неголономная система

Неголономная система в физике и математике — это физическая система , состояние которой зависит от пути, пройденного для его достижения. Такая система описывается набором параметров, подверженных дифференциальным ограничениям и нелинейным ограничениям, так что, когда система развивается по пути в своем пространстве параметров (параметры непрерывно изменяются по значениям), но в конце концов возвращается к исходному набору параметров значения в начале пути, возможно, сама система не вернулась в исходное состояние. Неголономная механика является автономным разделом механики Ньютона . ^[1]

Подробности

Точнее, неголономная система, также называемая анголономной системой, — это система, в которой существует непрерывная замкнутая цепь управляющих параметров, с помощью которых система может быть преобразована из любого данного состояния в любое другое состояние. ^[2] Поскольку конечное состояние системы зависит от промежуточных значений ее траектории в пространстве параметров, систему нельзя представить консервативной потенциальной функцией , как, например, закон обратных квадратов гравитационной силы. Последняя представляет собой пример голономной системы: интегралы по траекториям в системе зависят только от начального и конечного состояний системы (положений в потенциале) и совершенно не зависят от траектории перехода между этими состояниями. Поэтому систему называют интегрируемой , а неголономную систему — неинтегрируемой . Когда интеграл по путям вычисляется в неголономной системе, это значение представляет собой отклонение в некотором диапазоне допустимых значений, и это отклонение называется анголономией , создаваемой конкретным рассматриваемым путем. Этот термин был введен Генрихом Герцем в 1894 году. ^[3]

Общий характер анголономных систем — это неявно зависимые параметры. Если неявную зависимость можно устранить, например, увеличив размерность пространства и добавив тем самым хотя бы один дополнительный параметр, система не является истинно неголономной, а просто не полностью моделируется пространством более низкой размерности. Напротив, если система по своей сути не может быть представлена независимыми координатами (параметрами), то это действительно анголономная система. Некоторые авторы ^{[ нужна ссылка ]} придают этому большое значение, создавая различие между так называемыми внутренними и внешними состояниями системы, но на самом деле для характеристики системы необходимы все параметры, независимо от того, представляют ли они «внутренние» или «внешние» процессы, поэтому различие фактически искусственный. Однако существует вполне реальная и непримиримая разница между физическими системами, подчиняющимися принципам сохранения, и теми, которые этого не делают. В случае параллельного переноса на сфере различие очевидно: риманово многообразие имеет метрику, принципиально отличную от метрики евклидова пространства . Для параллельного переноса по сфере неявная зависимость присуща неевклидовой метрике. Поверхность сферы представляет собой двумерное пространство. Увеличивая размерность, мы можем более четко увидеть ^{[ нужны разъяснения ]} природа метрики, но это по-прежнему фундаментально двумерное пространство с параметрами, безвозвратно переплетенными в зависимости от римановой метрики .

Напротив, можно рассматривать XY- плоттер как пример голономной системы, в которой состояние механических компонентов системы будет иметь одну фиксированную конфигурацию для любого заданного положения пера плоттера. Если перо перемещается между положениями 0,0 и 3,3, шестерни механизма будут иметь одинаковые конечные положения независимо от того, происходит ли перемещение путем увеличения механизма сначала на 3 единицы по оси X, а затем на 3 единицы по оси Y. , сначала увеличивая положение оси Y, или выполняя любую другую последовательность изменений положения, которая приводит к конечному положению 3,3. Поскольку конечное состояние машины одинаково, независимо от пути, пройденного пером плоттера для достижения нового положения, можно сказать, что конечный результат не зависит от пути . Если мы заменим плоттер- черепаху , процесс перемещения пера от 0,0 до 3,3 может привести к тому, что шестерни механизма робота займут разные положения в зависимости от пути, пройденного для перемещения между двумя положениями. Посмотрите это очень похоже пример козлового крана для математического объяснения того, почему такая система является голономной.

История

Н. М. Феррерс впервые предложил расширить уравнения движения неголономными связями в 1871 году. ^[4]Он ввел выражения для декартовых скоростей через обобщенные скорости.В 1877 году Э. Раут написал уравнения с множителями Лагранжа. В третьем издании своей книги ^[5] для линейных неголономных связей твердых тел он ввел форму с множителями, называемую теперь уравнениями Лагранжа второго рода с множителями. Термины голономная и неголономная системы были введены Генрихом Герцем в 1894 году. ^[6]В 1897 г. С. А. Чаплыгин впервые предложил составлять уравнения движения без множителей Лагранжа. ^[7]При некоторых линейных ограничениях он ввел в левую часть уравнений движения группу дополнительных членов типа оператора Лагранжа.Остальные дополнительные члены характеризуют неголономность системы и обращаются в нуль, когда данные ограничения интегрируемы.В 1901 году П.В.Воронец обобщил работы Чаплыгина на случаи нециклических голономных координат. и нестационарных ограничений. ^[8]

Ограничения

Рассмотрим систему $N$ частицы с позициями $\mathbf {r} _{i}$ для $i\in \{1,\ldots ,N\}$ относительно заданной системы отсчета. В классической механике любое ограничение, не выражаемое как $f(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3},\ldots ,t)=0,$

является неголономным ограничением . Другими словами, неголономная связь неинтегрируема. ^[9]^: 261 и в пфаффовой форме : $\sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\,dq_{i}+a_{s,t}\,dt=0~~~~(s=1,2,\ldots ,k)$

$n$ это количество координат.
$k$ – количество уравнений ограничений.
$q_{i}$ являются координатами.
$a_{s,i}$ являются коэффициентами.

Чтобы приведенная выше форма была неголономной, также требуется, чтобы левая часть не была полным дифференциалом и не могла быть преобразована в него, возможно, с помощью интегрирующего множителя . ^[10]^: 2–3

Только для виртуальных смещений дифференциальная форма ограничения равна ^[9]^: 282 $\sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\delta q_{i}=0~~~~(s=1,2,\ldots ,k).$

Не обязательно, чтобы все неголономные ограничения принимали эту форму, на самом деле она может включать высшие производные или неравенства. ^[11] Классическим примером ограничения-неравенства является случай, когда частица помещена на поверхность сферы, но ей разрешено упасть с нее: $r^{2}-a^{2}\geq 0.$

$r$ — расстояние частицы от центра сферы.
$a$ - радиус сферы.

Примеры

Вращающееся колесо

Колесо (иногда представляемое в виде одноколесного велосипеда или катящейся монеты) — неголономная система.

Объяснение непрофессионала

Рассмотрим колесо велосипеда, припаркованного в определенном месте (на земле). Первоначально накачивающий клапан находится в определенном положении на колесе. Если велосипед проехаться, а затем припарковаться точно в том же месте, клапан почти наверняка не окажется в том же положении, что и раньше. Его новое положение зависит от пройденного пути. Если бы колесо было голономным, то стержень клапана всегда оказывался бы в одном и том же положении, пока колесо всегда катилось бы обратно в одно и то же место на Земле. Однако очевидно, что это не так, поэтому система неголономна.

Математическое объяснение

Можно математически смоделировать колесо с помощью системы уравнений связей, а затем доказать, что эта система неголономна.

Сначала мы определяем конфигурационное пространство. Колесо может изменить свое состояние тремя способами: иметь другое вращение вокруг своей оси, иметь другой угол поворота и находиться в другом месте. Мы можем сказать, что $\phi$ - вращение вокруг оси, $\theta$ это угол поворота относительно $x$ -ось и $x$ и $y$ определить пространственное положение. Таким образом, конфигурационное пространство представляет собой: $\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$

Теперь мы должны связать эти переменные друг с другом. Мы замечаем, что когда колесо меняет свое вращение, оно меняет свое положение. Должно присутствовать изменение вращения и положения, влекущее за собой скорости. Мы пытаемся связать угловую скорость и угол поворота с линейными скоростями, взяв простые производные по времени от соответствующих членов: ${\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{pmatrix}}$ Скорость в $x$ направление равно угловой скорости, умноженной на радиус, умноженной на косинус угла поворота, а $y$ скорость аналогичная. Теперь мы проделаем некоторые алгебраические манипуляции, чтобы преобразовать уравнение к форме Пфаффа , чтобы можно было проверить, является ли оно голономным, начиная с: ${\begin{pmatrix}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{pmatrix}}=\mathbf {0}$

Затем давайте отделим переменные от их коэффициентов (левая часть уравнения, полученного выше). Мы также понимаем, что можем умножить все члены на ${\text{d}}t$ таким образом, мы получаем только дифференциалы (правая часть уравнения): ${\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ={\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{pmatrix}}$ Правая часть уравнения теперь имеет форму Пфаффа : $\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2$

Теперь мы воспользуемся универсальным тестом на голономные ограничения . Если бы эта система была голономной, нам, возможно, пришлось бы провести до восьми тестов. Однако мы можем использовать математическую интуицию, чтобы попытаться доказать, что система неголономна при первом же тесте. Учитывая уравнение теста: $A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta }\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0$

мы можем видеть, что если какой-либо из терминов $A_{\alpha }$ , $A_{\beta }$ , или $A_{\gamma }$ были равны нулю, то эту часть тестового уравнения было бы тривиально решить и она была бы равна нулю. Поэтому часто рекомендуется иметь в первом тестовом уравнении как можно больше ненулевых членов, чтобы максимизировать вероятность того, что их сумма не будет равна нулю. Поэтому мы выбираем:

A_{\alpha }=1

A_{\beta }=0

A_{\gamma }=-r\cos \theta

u_{\alpha }=dx

u_{\beta }=d\theta

u_{\gamma }=d\phi

Подставим в наше тестовое уравнение: $-r\cos \theta \left({\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)\right)+0\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta )\right)+1\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0)\right)=0$

и упростить: $r\sin \theta =0$

Мы легко можем видеть, что эта система, как она описана, является неголономной, поскольку $\sin \theta$ не всегда равен нулю.

Дополнительные выводы

Мы завершили доказательство того, что система неголономна, но наше тестовое уравнение дало нам некоторое представление о том, может ли система, если ввести дополнительные ограничения, быть голономной. Во многих случаях тестовые уравнения возвращают такой результат, как $-1=0$ подразумевая, что система никогда не может быть голономной без радикального изменения системы, но в нашем результате мы видим, что $r\sin \theta$ может быть равен нулю двумя разными способами:

$r$ , радиус колеса, может быть равен нулю. Это бесполезно, поскольку на практике система потеряет все свои степени свободы.
$\sin \theta$ может быть нулевым, установив $\theta$ равен нулю. Это означает, что если бы колесу не было позволено вращаться и оно должно было бы все время двигаться только по прямой линии, это была бы голономная система.

Однако есть одна вещь, которую мы еще не учли: чтобы найти все такие модификации для системы, необходимо выполнить все восемь тестовых уравнений (по четыре из каждого уравнения ограничений) и собрать все ошибки, чтобы собрать все требования, чтобы сделать систему голономной. , если возможно. В этой системе из семи дополнительных тестовых уравнений возникает дополнительный случай: $-r\cos \theta =0$ Однако это не представляет особых затруднений, так как сложение уравнений и деление на $r$ приводит к: $\sin \theta -\cos \theta =0$ который с помощью некоторых простых алгебраических манипуляций становится: $\tan \theta =1$

который имеет решение ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} \;}$ (от $\theta =\arctan(1)$ ).

Вернитесь к объяснению непрофессионала выше, где сказано: «Новое положение [стержня клапана] зависит от пройденного пути. Если бы колесо было голономным, то стержень клапана всегда оказывался бы в том же положении, пока колесо было бы всегда возвращается в одно и то же место на Земле. Однако очевидно, что это не так, поэтому система неголономна». Однако легко представить, что если бы колесо катилось только по идеально прямой линии и назад, стержень клапана оказался бы в том же положении! Действительно, двигаясь параллельно заданному углу $\pi /4$ на самом деле не требуется в реальном мире, поскольку ориентация самой системы координат произвольна. Система может стать голономной, если колесо будет двигаться только по прямой линии под любым фиксированным углом относительно заданной точки отсчета. Таким образом, мы не только доказали, что исходная система неголономна, но и смогли найти ограничение, которое можно добавить к системе, чтобы сделать ее голономной.

Однако в ограничении $\theta =\arctan(1)$ чтобы система сделала ее голономной, т.к. $\theta =\arctan(y/x)$ в декартовой сетке. Объединив два уравнения и исключив $\theta$ , мы действительно это видим $y=x$ и поэтому одна из этих двух координат совершенно избыточна. Мы уже знаем, что угол поворота является константой, а это означает, что голономная система должна иметь только конфигурационное пространство $\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$ . Как обсуждалось здесь , система, которую можно моделировать с помощью ограничений Пфаффа, должна быть голономной, если конфигурационное пространство состоит из двух или меньшего числа переменных. Изменяя нашу исходную систему, ограничивая ее наличием только двух степеней свободы и, таким образом, требуя описания только двух переменных, и предполагая, что ее можно описать в форме Пфаффа (что в этом примере, как мы уже знаем, верно), мы уверены, что оно голономно.

Катящаяся сфера

Этот пример является расширением рассмотренной выше проблемы «качающегося колеса».

Рассмотрим трехмерную ортогональную декартову систему координат, например ровную столешницу с отмеченной на ней точкой начала координат и осями x и y , нанесенными карандашными линиями. Возьмите сферу единичного радиуса, например, мячик для пинг-понга, и отметьте одну точку B синим цветом. Этой точке соответствует диаметр сферы, а плоскость, ортогональная этому диаметру, расположенная в центре C сферы называемый экватором, связанный с точкой B. , определяет большой круг , На этом экваторе выделите еще одну точку R и отметьте ее красным. Расположите сферу на плоскости z = 0 так, чтобы точка B совпадала с началом координат, точка C находилась в точках x = 0, y = 0, z = 1, а точка R находилась в точках x = 1, y = 0 и z = 1, т.е. R простирается в направлении положительной оси x . Это начальная или эталонная ориентация сферы.

Теперь сферу можно катить по любому непрерывному замкнутому пути в плоскости z = 0, не обязательно по односвязному пути, так, чтобы она не скользила и не скручивалась, так что C возвращается к x = 0, y = 0, z. = 1. В общем случае точка B больше не совпадает с началом координат, а точка R больше не простирается вдоль положительной оси x . Фактически, выбрав подходящий путь, сферу можно переориентировать из исходной ориентации в любую возможную ориентацию сферы с C, расположенным в точках x = 0, y = 0, z = 1. ^[12] Следовательно, система неголономна. Анголономия может быть представлена вдвойне уникальным кватернионом ( q и − q ), который при применении к точкам, представляющим сферу, переносит точки B и R на их новые позиции.

Маятник Фуко

Дополнительным примером неголономной системы является маятник Фуко . В местной системе координат маятник качается в вертикальной плоскости с определенной ориентацией относительно географического севера в начале пути. Неявная траектория системы — это линия широты на Земле, где расположен маятник. Несмотря на то, что маятник неподвижен в системе отсчета Земли, он движется в системе отсчета, отнесенной к Солнцу, и вращается синхронно со скоростью вращения Земли, так что единственным видимым движением плоскости маятника является то, которое вызвано вращением Земля. Эта последняя система отсчета считается инерциальной системой отсчета, хотя она также является неинерциальной в более тонком смысле. Хорошо известно, что земная система неинерциальна, и этот факт становится очевидным благодаря очевидному присутствию центробежных сил и Кориолиса сил .

Движение вдоль линии широты параметризуется течением времени, и кажется, что плоскость колебаний маятника Фуко вращается вокруг локальной вертикальной оси с течением времени. Угол поворота этой плоскости в момент времени t относительно начальной ориентации является анголономией системы. Анголономия, вызванная полным обходом широты, пропорциональна телесному углу, образуемому этим кругом широты. Путь не обязательно должен быть ограничен кругами широты. Например, маятник можно установить в самолете. Анголономия по-прежнему пропорциональна телесному углу, образуемому путем, который теперь может быть совершенно нерегулярным. Маятник Фуко является физическим примером параллельного транспорта .

Линейно-поляризованный свет в оптическом волокне

Возьмите отрезок оптического волокна, скажем, три метра, и проложите его по абсолютно прямой линии. Когда с одного конца вводится вертикально поляризованный луч, он выходит с другого конца, все еще поляризованный в вертикальном направлении. Отметьте верхнюю часть волокна полосой, соответствующей ориентации вертикальной поляризации.

Теперь плотно намотайте волокно на цилиндр диаметром десять сантиметров. Путь волокна теперь описывает спираль , которая, как и окружность, имеет постоянную кривизну . Спираль также обладает интересным свойством постоянного кручения . Таким образом, результатом является постепенное вращение волокна вокруг оси волокна по мере продвижения центральной линии волокна вдоль спирали. Соответственно, полоска также закручивается вокруг оси спирали.

Когда линейно поляризованный свет снова подводится к одному концу с ориентацией поляризации, совпадающей с полоской, он, как правило, появляется как линейно поляризованный свет, ориентированный не на полоску, а под некоторым фиксированным углом к полоске, зависящим от длина волокна, шаг и радиус спирали. Эта система также неголономна, поскольку мы можем легко свернуть волокно во вторую спираль и выровнять концы, возвращая свет в точку его происхождения. Анголономия, таким образом, представлена отклонением угла поляризации в каждом контуре волокна. Ясно, что путем соответствующей настройки параметров можно создать любое возможное угловое состояние.

Робототехника

В робототехнике неголономность особенно изучалась в области планирования движения и линеаризации обратной связи для мобильных роботов . ^[13]

См. также

Ссылки

^ Солтаханов Юшков Зегжда, Ш.Х Михаил Сергеевич (май 2009). Механика неголономных систем. Новый класс систем управления . Том. 43. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. XXIII. ISBN 9783540858478 .
^ Брайант, Роберт Л. (2006). «Геометрия многообразий со специальной голономией:« 100 лет голономии » ». 150 лет математике в Вашингтонском университете в Сент-Луисе . Современная математика. Том. 395. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 29–38. дои : 10.1090/conm/395/07414 . МР 2206889 .
^ Берри, Майкл (декабрь 1990 г.). «Предчувствия геометрической фазы». Физика сегодня . 43 (12): 34–40. Бибкод : 1990ФТ....43л..34Б . дои : 10.1063/1.881219 .
^ Феррерс, Нью-Мексико (1872 г.). «Расширение уравнений Лагранжа». QJ Pure Appl. Математика . XII : 1–5.
^ Раут, Э. (1884). Расширенная часть «Трактата о динамике системы твердых тел» . Лондон. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Герц, Х. (1894). Принципы механики представлены в новом контексте .
^ Chaplygin, S.A. (1897). "О движении тяжелого тела вращения по горизонтальнойплоскости" [A motion of heavy body of revolution on a horizontal plane]. антpопологии и этногpафии (in Russian). 1 (IX). отделения физических наук общества любителей естествознания: 10–16.
^ Voronets, P. (1901). "Об уравнениях движения для неголономных систем" [Equations of motion of nonholonomic systems]. Матем. Сб. (in Russian). 4 (22): 659–686.
^ Jump up to: ^а ^б Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Advanced Dynamics для инженеров . Серия HRW в области машиностроения. Соединенные Штаты Америки: Издательство CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4 .
^ Джек Сарфатти (26 марта 2000 г.). «Неголономные ограничения в ньютоновской механике» (PDF) . Педагогическое обозрение из классиков физики . сайт stardrive.org. Архивировано из оригинала (PDF) 20 октября 2007 г. Проверено 22 сентября 2007 г.
^ Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (3-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Эддисон Уэсли. п. 16. ISBN 0-201-65702-3 .
^ Неголономность катящейся сферы, Броуди Дилан Джонсон, The American Mathematical Monthly, июнь – июль 2007 г., том. 114, стр. 500–508.
^ Планирование и управление движением робота , Жан-Поль Ломонд (ред.), 1998, Конспекты лекций по управлению и информатике, том 229, Springer, дои : 10.1007/BFb0036069 .

[1] Солтаханов Юшков Зегжда, Ш.Х Михаил Сергеевич (май 2009). Механика неголономных систем. Новый класс систем управления . Том. 43. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. XXIII. ISBN 9783540858478 .

[Bryant06-2] Брайант, Роберт Л. (2006). «Геометрия многообразий со специальной голономией:« 100 лет голономии » ». 150 лет математике в Вашингтонском университете в Сент-Луисе . Современная математика. Том. 395. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 29–38. дои : 10.1090/conm/395/07414 . МР 2206889 .

[Berry90-3] Берри, Майкл (декабрь 1990 г.). «Предчувствия геометрической фазы». Физика сегодня . 43 (12): 34–40. Бибкод : 1990ФТ....43л..34Б . дои : 10.1063/1.881219 .

[Ferrers1872-4] Феррерс, Нью-Мексико (1872 г.). «Расширение уравнений Лагранжа». QJ Pure Appl. Математика . XII : 1–5.

[Routh1884-5] Раут, Э. (1884). Расширенная часть «Трактата о динамике системы твердых тел» . Лондон. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[Hertz1894-6] Герц, Х. (1894). Принципы механики представлены в новом контексте .

[Chaplygin1897-7] Chaplygin, S.A. (1897). "О движении тяжелого тела вращения по горизонтальнойплоскости" [A motion of heavy body of revolution on a horizontal plane]. антpопологии и этногpафии (in Russian). 1 (IX). отделения физических наук общества любителей естествознания: 10–16.

[Voronets1901-8] Voronets, P. (1901). "Об уравнениях движения для неголономных систем" [Equations of motion of nonholonomic systems]. Матем. Сб. (in Russian). 4 (22): 659–686.

[Torby1984-9] Jump up to: ^а ^б Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Advanced Dynamics для инженеров . Серия HRW в области машиностроения. Соединенные Штаты Америки: Издательство CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4 .

[Sarfatti2000-10] Джек Сарфатти (26 марта 2000 г.). «Неголономные ограничения в ньютоновской механике» (PDF) . Педагогическое обозрение из классиков физики . сайт stardrive.org. Архивировано из оригинала (PDF) 20 октября 2007 г. Проверено 22 сентября 2007 г.

[Herb1980-11] Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (3-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Эддисон Уэсли. п. 16. ISBN 0-201-65702-3 .

[12] Неголономность катящейся сферы, Броуди Дилан Джонсон, The American Mathematical Monthly, июнь – июль 2007 г., том. 114, стр. 500–508.

[13] Планирование и управление движением робота , Жан-Поль Ломонд (ред.), 1998, Конспекты лекций по управлению и информатике, том 229, Springer, дои : 10.1007/BFb0036069 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]