Алгебра Линденбаума–Тарского
В математической логике алгебра Линденбаума -Тарского (или алгебра Линденбаума ) логической теории T состоит из классов эквивалентности предложений теории (т. е. фактора при отношении эквивалентности ~, определенном так, что p ~ q точно тогда, когда p и q доказуемо эквивалентны в T ). То есть два предложения эквивалентны, если теория Т доказывает, что каждое из них подразумевает другое. Таким образом, алгебра Линденбаума-Тарского представляет собой факторалгебру , полученную факторизацией алгебры формул по этому соотношению конгруэнтности .
Алгебра названа в честь логиков Адольфа Линденбаума и Альфреда Тарского . Начиная с 1926-1927 учебного года, Линденбаум впервые применил свой метод на Яна Лукасевича по математической логике. семинаре [1] [2] и этот метод был популяризирован и обобщен в последующие десятилетия благодаря работам по Тарскому. [3] Алгебра Линденбаума-Тарского считается источником современной алгебраической логики . [4]
Операции
[ редактировать ]Операции в алгебре Линденбаума – Тарского A наследуются от операций в базовой теории T . Обычно они включают в себя конъюнкция и дизъюнкция , которые четко определены в классах эквивалентности. Если отрицание также присутствует в T , то A является булевой алгеброй при условии, что логика классическая . Если теория T состоит из пропозициональных тавтологий , алгебра Линденбаума-Тарского является свободной булевой алгеброй, порожденной пропозициональными переменными .
Родственные алгебры
[ редактировать ]Алгебры Гейтинга и внутренние алгебры — это алгебры Линденбаума–Тарского для интуиционистской логики и модальной логики S4 соответственно.
Логика, к которой применим метод Тарского, называется алгебраизуемой . Однако существует ряд логик, в которых это не так, например, модальные логики S1 , S2 или S3 , в которых отсутствует правило необходимости (⊢φ подразумевает ⊢□φ), поэтому ~ (определенное выше) не является конгруэнтность (поскольку из ⊢φ→ψ не следует ⊢□φ→□ψ). Другой тип логики, в котором метод Тарского неприменим, — это логика релевантности , поскольку для данных двух теорем импликация из одной в другую сама по себе не может быть теоремой в логике релевантности. [4] Изучение процесса алгебраизации (и понятия) как интересующей темы само по себе, не обязательно методом Тарского, привело к развитию абстрактной алгебраической логики .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ С. Дж. Сурма (1982). «О происхождении и последующих применениях концепции алгебры Линденбаума». Логика, методология и философия науки VI, Труды Шестого Международного конгресса по логике, методологии и философии науки . Исследования по логике и основам математики. Том. 104. стр. 719–734. дои : 10.1016/S0049-237X(09)70230-7 . ISBN 978-0-444-85423-0 .
- ^ Ян Воленский. «Линденбаум, Адольф» . Интернет-энциклопедия философии .
- ^ А. Тарский (1983). Дж. Коркоран (ред.). Логика, семантика и метаматематика. Статьи 1923–1938 годов. Пер. Дж. Х. Вуджер (2-е изд.). Хакетт Паб. Ко.
- ^ Перейти обратно: а б У. Дж. Блок , Дон Пигоцци (1989). «Алгебраизуемая логика» . Воспоминания АМС . 77 (396). ; здесь: страницы 1-2
- Хинман, П. (2005). Основы математической логики . АК Петерс. ISBN 1-56881-262-0 .