Аэроакустика

Аэроакустика — это раздел акустики , который изучает образование шума за счет турбулентного движения жидкости или аэродинамических сил, взаимодействующих с поверхностями. Генерация шума также может быть связана с периодически меняющимися расходами. Ярким примером этого явления являются эоловые тона, создаваемые ветром, дующим над неподвижными объектами.

Хотя полной научной теории генерации шума аэродинамическими потоками не создано, большая часть практического аэроакустического анализа опирается на так называемую аэроакустическую аналогию . предложен сэром Джеймсом Лайтхиллом в 1950-х годах во время учебы в Манчестерском университете . при этом основные уравнения движения жидкости приводятся к форме, напоминающей волновое уравнение «классической» (то есть линейной) акустики в левой части, а остальные члены в качестве источников в правой части.

История

Можно сказать, что современная дисциплина аэроакустика зародилась с первой публикацией Лайтхилла. в начале 1950-х годов, когда шум, связанный с реактивным двигателем, начал подвергаться научному изучению.

Уравнение Лайтхилла

Лайтхилл переставил уравнения Навье-Стокса , которые управляют сжимаемой , вязкой жидкости и в неоднородное волновое уравнение , тем самым установив связь между механикой жидкости течением акустикой . Это часто называют «аналогией Лайтхилла», поскольку она представляет модель акустического поля, которая, строго говоря, основана не на физике шума, вызванного/генерируемого потоком, а, скорее, на аналогии того, как они могут быть представлены через определяющие уравнения сжимаемой жидкости.

Уравнения непрерывности и импульса имеют вид

${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)&=0,\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \mathbf {v} )&=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }},\end{aligned}}$

где $\rho$ плотность жидкости, $\mathbf {v}$ – поле скоростей, $p$ давление жидкости и ${\boldsymbol {\tau }}$ – тензор вязких напряжений. Обратите внимание, что $\mathbf {v} \mathbf {v}$ является тензором (см. также тензорное произведение ). Дифференцируя уравнение сохранения массы по времени, взяв дивергенцию последнего уравнения и вычтя последнее из первого, придем к

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}=\nabla \cdot \left[\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \mathbf {v} )+\nabla p-\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}\right].$

Вычитание $c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho$, где $c_{0}$ — скорость звука в среде в ее равновесном (или спокойном) состоянии, обе части последнего уравнения приводят к знаменитому уравнению аэроакустики Лайтхилла:

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho =\nabla \nabla :\mathbf {T} ,\quad \mathbf {T} =\rho \mathbf {v} \mathbf {v} +(p-c_{0}^{2}\rho )\mathbf {I} -{\boldsymbol {\tau }},$

где $\nabla \nabla$ это гессен и $\mathbf {T}$ – так называемый тензор напряжений турбулентности Лайтхилла для акустического поля . Уравнение Лайтхилла представляет собой неоднородное волновое уравнение . Используя обозначения Эйнштейна , уравнение Лайтхилла можно записать как

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho ={\frac {\partial ^{2}T_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad T_{ij}=\rho v_{i}v_{j}+(p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}-\tau _{ij}.$

Каждый из членов акустического источника, т.е. термины в $T_{ij}$, может играть значительную роль в генерации шума в зависимости от рассматриваемых условий потока. Первый срок $\rho v_{i}v_{j}$ описывает инерционный эффект потока (или напряжение Рейнольдса, разработанное Осборном Рейнольдсом ), тогда как второй член $(p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}$ описывает нелинейные процессы генерации звука и, наконец, последний член $\tau _{ij}$ соответствует генерации/затуханию звука за счет вязких сил.

На практике принято пренебрегать влиянием вязкости на жидкость, поскольку ее влияние невелико в задачах генерации турбулентного шума, таких как шум струи. Лайтхилл дает подробное обсуждение этого вопроса.

В аэроакустических исследованиях предпринимаются как теоретические, так и вычислительные усилия для определения членов акустического источника в уравнении Лайтхилла, чтобы сделать утверждения относительно соответствующих присутствующих механизмов генерации аэродинамического шума. Наконец, важно понимать, что уравнение Лайтхилла является точным в том смысле, что при его выводе не было сделано никаких приближений.

Аэроакустическое уравнение Ландау–Лифшица

В своем классическом труде по механике жидкости Ландау и Лифшиц вывести аэроакустическое уравнение, аналогичное уравнению Лайтхилла (т. е. уравнение звука, порождаемого « турбулентным » движением жидкости), но для несжимаемого течения жидкости невязкой . Полученное ими неоднородное волновое уравнение относится к давлению $p$ а не по плотности $\rho$ жидкости. Более того, в отличие от уравнения Лайтхилла, уравнение Ландау и Лифшица не является точным; это приближение.

Если кто-то хочет допустить приближение, то более простой способ (не обязательно предполагая, что жидкость несжимаема ) получить приближение к уравнению Лайтхилла состоит в том, чтобы предположить, что $p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})$, где $\rho _{0}$ и $p_{0}$ – (характеристическая) плотность и давление жидкости в равновесном состоянии. Тогда, подставив предполагаемую связь между давлением и плотностью в $(*)\,$ получаем уравнение (для невязкой жидкости σ = 0)

${\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p={\frac {\partial ^{2}{\tilde {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{where}}\quad {\tilde {T}}_{ij}=\rho v_{i}v_{j}.$

А для случая, когда жидкость действительно несжимаема, т.е. $\rho =\rho _{0}$ (для некоторой положительной константы $\rho _{0}$) всюду, то получим в точности уравнение, данное Ландау и Лифшицем, а именно

${\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\hat {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{where}}\quad {\hat {T}}_{ij}=v_{i}v_{j}.$

Аналогичное приближение (в контексте уравнения $(*)\,$], а именно $T\approx \rho _{0}{\hat {T}}$, предложено Лайтхиллом [см. уравнение (7) в последней статье].

Конечно, можно задаться вопросом, оправданы ли мы, полагая, что $p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})$. Ответ положительный, если поток удовлетворяет некоторым основным предположениям. В частности, если $\rho \ll \rho _{0}$ и $p\ll p_{0}$, то предполагаемое соотношение следует непосредственно из линейной теории звуковых волн (см., например, линеаризованные уравнения Эйлера и уравнение акустической волны ). Действительно, приблизительное соотношение между $p$ и $\rho$ то, что мы предполагали, является просто линейным приближением к общему баротропному уравнению состояния жидкости.

Однако даже после приведенных выше рассуждений все еще неясно, оправдано ли использование изначально линейного соотношения для упрощения нелинейного волнового уравнения. Тем не менее, это очень распространенная практика в нелинейной акустике , как показывают учебники по этому предмету: например, Наугольных и Островского. и Гамильтон и Морфи.

См. также

• Акустическая теория
• Эолова арфа
• Вычислительная аэроакустика

Внешние ссылки

• М. Дж. Лайтхилл, «О звуке, генерируемом аэродинамически. I. Общая теория», Proc. Р. Сок. Лонд. А 211 (1952), стр. 564–587. Эта статья о JSTOR .
• М. Дж. Лайтхилл, «О звуке, генерируемом аэродинамически. II. Турбулентность как источник звука», Proc. Р. Сок. Лонд. А 222 (1954), стр. 1–32. Эта статья о JSTOR .
• Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Механика жидкости, 2-е изд., Курс теоретической физики, вып. 6, Баттерворт-Хайнеманн (1987) §75. ISBN   0-7506-2767-0 , предварительный просмотр с Amazon .
• К. Наугольных и Л. Островский, Нелинейные волновые процессы в акустике , Кембриджские тексты по прикладной математике, том. 9, Издательство Кембриджского университета (1998), глава. 1. ISBN   0-521-39984-X , предварительный просмотр от Google .
• М. Ф. Гамильтон и К. Л. Морфей, «Модельные уравнения», « Нелинейная акустика » , под ред. М. Ф. Гамильтон и Д. Т. Блэксток, Academic Press (1998), глава. 3. ISBN   0-12-321860-8 , предварительный просмотр от Google .
• Аэроакустика в Университете Миссисипи
• Аэроакустика в Левенском университете
• Международный журнал аэроакустики. Архивировано 30 октября 2005 г. в Wayback Machine.
• Примеры аэроакустики от НАСА. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine.
• Aeroacoustics.info