Магниторотационная нестабильность

Магниторотационная нестабильность (МРТ) представляет собой жидкости нестабильность , которая вызывает аккреционный диск, вращающий массовый центральный объект, чтобы стать турбулентным . Это возникает, когда угловая скорость проводящей жидкости в магнитном поле уменьшается по мере увеличения расстояния от центра вращения. Он также известен как нестабильность Велихова -Чандрасекхара или нестабильность Балбуса -Хаули в литературе, а не путать с электротермической нестабильностью Вилихова . МРТ имеет особое значение в астрофизике , где она является важной частью динамики на аккреционных дисках .

Газы или жидкости, содержащие мобильные электрические заряды, подвержены влиянию магнитного поля. В дополнение к гидродинамическим силам, таким как давление и гравитация, элемент намагниченной жидкости также чувствует силу Лоренца ${\boldsymbol {J}}\times {\boldsymbol {B}}\ ,$ где ${\boldsymbol {J}}$ является плотностью тока и ${\boldsymbol {B}}$ вектор магнитного поля. Если жидкость находится в состоянии дифференциального вращения вокруг фиксированного происхождения, эта сила Лоренца может быть на удивление разрушительной, даже если магнитное поле очень слабого. В частности, если угловая скорость вращения $\Omega$ уменьшается с радиальным расстоянием $R\ ,$ Движение нестабильно: жидкий элемент, подвергающийся небольшому смещению из кругового движения, испытывает дестабилизирующую силу, которая увеличивается со скоростью, которая сама по себе пропорциональна смещению. Этот процесс известен как магниторотационная нестабильность или «МРТ».

В астрофизических условиях дифференциально вращающиеся системы очень распространены, а магнитные поля вездесущи. В частности, тонкие диски газа часто встречаются вокруг формирования звезд или в бинарных звездных системах, где они известны как аккреционные диски. Аккреционные диски также обычно присутствуют в центре галактик, а в некоторых случаях могут быть чрезвычайно светящимися: квазары например, , как полагают, происходят из газообразного диска, окружающего очень массивную черную дыру . Наше современное понимание МРТ возникло из попыток понять поведение аккреционных дисков в присутствии магнитных полей; В настоящее время понятно, что МРТ, вероятно, произойдет в очень разнообразных различных системах.

Открытие

МРТ была впервые замечена в неастрофизическом контексте Евгением Велиховым в 1959 году при рассмотрении стабильности потока Куэтта идеальной гидромагнитной жидкости. Его результат был позже генерализован субрахманином Чандрасекхаром в 1960 году. Этот механизм был предложен DJ Acheson и Raymond Hide (1973), возможно, сыграть роль в контексте проблемы геодинамо Земли. Хотя в последующие десятилетия была некоторая последующая работа (Fricke, 1969; Acheson and Hide 1972; Acheson and Gibbons 1978), общность и сила нестабильности не были полностью оценены до 1991 года, когда Стивен А. Балбус и Джон Ф. Хоули дал относительно простое разъяснение и физическое объяснение этого важного процесса.

Физический процесс

Простая модель МРТ

В намагниченной, идеально проводящей жидкости магнитные силы ведут себя в некоторых очень важных отношениях, как будто элементы жидкости были связаны с упругими полосами: попытка вытеснить такой элемент, перпендикулярный магнитной линии силы, вызывает силу притяжения, пропорциональную к смещению , как пружина под напряжением. Обычно такая сила восстанавливается, сильно стабилизирующее влияние, которое позволило бы размножаться тип магнитной волны. Если жидкая среда не является неподвижной, а вращающейся, однако, силы притяжения могут быть дестабилизирующими. МРТ является следствием этого удивительного поведения.

Рассмотрим, например, две массы, M _i («внутренний») и M _o («внешний»), соединенные пружиной под напряжением, обе массы на орбите вокруг центрального тела, m _c . В такой системе угловая скорость круглых орбит вблизи центра больше, чем угловая скорость орбит дальше от центра, но угловой импульс внутренних орбит меньше, чем у внешних орбит. Если М _-я разрешено на орбите немного ближе к центру, чем в M _O , он будет иметь немного более высокую угловую скорость. Соединительная пружина будет тянуться назад на м _I и перетаскивать _вперед . Это означает, что M _I испытывает замедление крутящего момента, теряет угловой импульс и должен падать внутрь на орбиту меньшего радиуса, соответствующего меньшему угловому импульсу. M _O , с другой стороны, испытывает положительный крутящий момент, приобретает больше углового импульса и перемещается наружу на более высокую орбиту. Весна растягивается еще больше, крутящие моменты становятся еще больше, и движение нестабильно! Поскольку магнитные силы действуют как пружина под напряжением, соединяющим элементы жидкости, поведение намагниченной жидкости почти точно аналогично этой простой механической системе. Это суть МРТ.

Более подробное объяснение

Чтобы увидеть это нестабильное поведение более количественно, рассмотрите уравнения движения для массы жидкости в круговом движении с угловой скоростью $\Omega \ .$ В общем $\Omega$ будет функцией расстояния от оси вращения $R\ ,$ и мы предполагаем, что орбитальный радиус $r=R_{0}\ .$ Центростремительное ускорение, необходимое для поддержания массы на орбите, является $-R\Omega ^{2}(R)$; Знак минус указывает направление в направлении центра. Если эта сила имеет гравитацию из точечной массы в центре, то центростременное ускорение просто $-GM/R^{2},$ где $G$ гравитационная константа и $M$ это центральная месса. Давайте теперь рассмотрим небольшие отклонения от круговых движений вращающегося массового элемента, вызванного какой -то возмущающей силой. Мы превращаем переменные в вращающуюся раму, движущуюся с вращающимся массовым элементом при угловой скорости $\Omega (R_{0})=\Omega _{0}\ ,$ с происхождением, расположенным в невозмутимого, орбитальном месте массового элемента. Как обычно при работе в вращающейся раме, нам нужно добавить к уравнениям движения $-2{\boldsymbol {\Omega }}_{0}\times {\boldsymbol {v}}$ плюс центробежная сила $R\Omega _{0}^{2}\ .$ Скорость $v$ это скорость, измеренная в вращающейся раме. Кроме того, мы ограничиваем наше внимание на небольшой район рядом $R_{0}\ ,$ сказать $R_{0}+x\ ,$ с $x$ намного меньше $R_{0}\ .$ Тогда сумма центробежных и центростремительных сил

$R[\Omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}(R_{0}+x)]\simeq -xR{d\Omega ^{2} \over dR}$ ( 1 )

на линейный заказ в $x\ .$ С нашим $x$ Ось, указывающая на радиальную наружу от невозмутимого расположения элемента жидкости и нашего $y$ Ось, указывающая в направлении увеличения азимутального угла (направление невозмущенной орбиты), $x$ и $y$ Уравнения движения для небольшого отъезда от круговой орбиты $R=R_{0}$ являются:

${\ddot {x}}-2\Omega _{0}{\dot {y}}=-xR{d\Omega ^{2} \over dR}+f_{x}$ ( 2 )

${\ddot {y}}+2\Omega _{0}{\dot {x}}=f_{y}$ ( 3 )

где $f_{x}$ и $f_{y}$ Являются ли силы на единицу массы в $x$ и $y$ Направления и точка указывает на производную времени (т.е. ${\dot {x}}$ является $x$ скорость, ${\ddot {x}}$ является $x$ ускорение и т. Д.). При условии, что $f_{x}$ и $f_{y}$ являются либо 0, либо линейными по x и y, это система связанных линейных дифференциальных уравнений второго порядка , которые можно решить аналитически. В отсутствие внешних сил, $f_{x}=0$ и $f_{y}=0$, уравнения движения имеют решения с зависимостью от времени $e^{i\omega t}\ ,$ где угловая частота $\omega$ удовлетворяет уравнению

$\omega ^{2}=4\Omega _{0}^{2}+R{d\Omega ^{2} \over dR}\equiv \kappa ^{2}$ ( 4 )

где $\kappa ^{2}$ известен как эпициклическая частота . Например, в нашей солнечной системе отклонений от круглой орбиты, ориентированной на солнце, которые являются знакомыми эллипсами при рассмотрении внешнего зрителя в состоянии покоя, вместо этого появляются как маленькие радиальные и азимутальные колебания орбитального элемента, когда просмотрено наблюдателем, движущим круговое движение. Эти колебания прослеживают небольшой ретроградный эллипс (то есть вращающийся в противоположном смысле большой круглой орбиты), центрированного на нетронутом орбитальном расположении массового элемента.

Эпициклическая частота может быть написана эквивалентно $(1/R^{3})(dR^{4}\Omega ^{2}/dR)\ ,$ что показывает, что он пропорционален радиальной производной углового импульса на единицу массы или специфического углового импульса. Конкретный угловой импульс должен увеличиваться наружу, если существуют стабильные эпициклические колебания, в противном случае смещения будут расти в геометрической прогрессии, что соответствует нестабильности. Это очень общий результат, известный как критерий Рэлея (Chandrasekhar 1961) для стабильности. Для орбит вокруг массы точки специфический угловой импульс пропорциональна $R^{1/2}\ ,$ Таким образом, критерий Рэлея хорошо удовлетворен.

Далее рассмотрим решения о уравнениях движения, если массовый элемент подвергается внешней восстановительной силе, $f_{x}=-Kx\ ,$ $f_{y}=-Ky$ где $K$ является произвольной постоянной («Постоянная пружина»). Если мы сейчас ищем решения для модальных смещений в $x$ и $y$ с зависимостью от времени $e^{i\omega t}\ ,$ Мы находим гораздо более сложное уравнение для $\omega \ :$

$\omega ^{4}-(2K+\kappa ^{2})\omega ^{2}+K(K+Rd\Omega ^{2}/dR)=0$ ( 5 )

Несмотря на то, что весна оказывает притяжение силы, она может дестабилизировать. Например, если пружина постоянная $K$ достаточно слабый, доминирующий баланс будет находиться между последними двумя терминами в левой стороне уравнения. Затем уменьшающийся внешний профиль угловой скорости даст отрицательные значения для $\omega ^{2}\ ,$ и как положительные, так и отрицательные воображаемые значения для $\omega \ .$ Отрицательный воображаемый корень приводит не к колебаниям, а в экспоненциальном росте очень небольших смещений. Следовательно, слабая пружина вызывает качественный тип нестабильности в конце предыдущего раздела. пружина Сильная , с другой стороны, будет производить колебания, как и ожидается интуитивно.

Пружинная природа магнитных полей

Условия внутри идеально проводящей жидкости в движении часто являются хорошим приближением к астрофизическим газам. В присутствии магнитного поля ${\boldsymbol {B}}\ ,$ Двигающийся проводник отвечает, пытаясь устранить силу Лоренца на свободных обвинениях. Магнитная сила действует таким образом, чтобы локально переставлять эти заряды для получения внутреннего электрического поля ${\boldsymbol {E=-{v\times B}}}\ .$ Таким образом, прямая сила Лоренца по обвинению ${\boldsymbol {E+v\times B}}$ исчезает. (В качестве альтернативы, электрическое поле в локальной раме REST движущихся зарядов исчезает.) Это индуцированное электрическое поле теперь может само по себе вызвать дальнейшие изменения в магнитном поле ${\boldsymbol {B}}$ Согласно закону Фарадея ,

$-{\boldsymbol {\nabla \times E}}={\partial {\boldsymbol {B}} \over \partial t}\quad {\rm {or}}\quad {\boldsymbol {\nabla \times (v\times B)}}={\partial {\boldsymbol {B}} \over \partial t}$ ( 6 )

Другой способ написать это уравнение - это, если вовремя $\delta t$ Жидкость делает смещение ${\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {v}}\delta t\ ,$ тогда магнитное поле меняется

$\delta {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\nabla \times (\xi \times B)}}$ ( 7 )

Уравнение магнитного поля в идеальном проводнике в движении имеет особое свойство: комбинация индукции Фарадея и нулевой силы Лоренца заставляет линии полевых линий ведут себя так, как если бы они были окрашены, или «заморожены» в жидкость. В частности, если ${\boldsymbol {B}}$ первоначально почти постоянный и $\xi$ это смещение без расхождения , тогда наше уравнение уменьшается до

$\delta {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\ {(B\cdot \nabla )\xi }}},$ ( 8 )

Из -за идентичности векторного исчисления $\nabla \times (\mathbf {\xi } \times \mathbf {B} )=\mathbf {\xi } (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {\xi } )+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {\xi } -(\mathbf {\xi } \cdot \nabla )\mathbf {B} \ .$ Из этих 4 терминов, $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ является одним из уравнений Максвелла . По допущению без расхождения, $\nabla \cdot \mathbf {\xi } =0$. $(\mathbf {\xi } \cdot \nabla )\mathbf {B} =0$ Потому что B считается почти постоянным. Уравнение 8 показывает, что ${\boldsymbol {B}}$ изменяется только тогда, когда вдоль линии поля происходит смещение сдвига. Чтобы понять МРТ, достаточно рассмотреть случай, в котором ${\boldsymbol {B}}$ является равномерным по вертикали $z$ направление и $\xi$ варьируется как $e^{ikz}\ .$ Затем

$\delta {\boldsymbol {B}}=ikB{\boldsymbol {\xi }},$ ( 9 )

где понимается, что реальная часть этого уравнения выражает свое физическое содержание. (Если ${\boldsymbol {\xi }}$ пропорционально $\cos(kz)\ ,$ Например, тогда $\delta {\boldsymbol {B}}$ пропорционально $-\sin(kz)\ .$)

Магнитное поле оказывает силу на единицу объема на электрически нейтральном, проводя жидкость, равную ${\boldsymbol {J}}\times {\boldsymbol {B}}\ .$ Закон Ампера дает $\mu _{0}{\boldsymbol {J=\nabla \times B}}\ ,$ Потому что коррекция Максвелла пренебрегается в приближении MHD. Сила на единицу объема становится

$\left({\frac {1}{\mu _{0}}}\right){\boldsymbol {(\nabla \times B)\times B}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)+\left({\frac {1}{\mu _{0}}}\right){\boldsymbol {(B\cdot \nabla )B}}$ ( 10 )

где мы использовали ту же идентичность векторного исчисления. Это уравнение полностью общее и не делает предположений о силе или направлении магнитного поля. Первый термин справа аналогичен градиенту давления. В нашей проблеме его можно пренебречь, потому что он не оказывает никакой силы в плоскости диска, перпендикулярно $z\ .$ Второй термин действует как магнитная сила натяжения, аналогично тугой строке. Для небольшого нарушения $\delta {\boldsymbol {B}}\ ,$ Он оказывает ускорение, заданное силой, деленное на массу, или эквивалентно, сила на единицу объема, деленная на массу на единицу объема:

$\left({\frac {1}{\mu _{0}\rho }}\right){\boldsymbol {(B\cdot \nabla )\delta B}}=\left({\frac {ikB{\boldsymbol {\delta B}}}{\mu _{0}\rho }}\right)=-{k^{2}B^{2} \over \mu _{0}\rho }{\boldsymbol {(}}\xi )$ ( 11 )

Таким образом, магнитная сила натяжения приводит к возвращению силы, которая непосредственно пропорциональна смещению. Это означает, что частота колебаний $\omega$ Для небольших смещений в плоскости вращения диска с равномерным магнитным полем в вертикальном направлении удовлетворяет уравнение («дисперсионное отношение»), точно аналогично уравнению 5 , с «константой пружины» $K={k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho }\ :$

$\omega ^{4}-[2(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )+\kappa ^{2}]\omega ^{2}+(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )[(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )+Rd\Omega ^{2}/dR]=0$ ( 12 )

Как и прежде, если $d\Omega ^{2}/dR<0\ ,$ Существует экспоненциально растущий корень этого уравнения для волновых $k$ удовлетворительный $(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )<-Rd\Omega ^{2}/dR\ .$ Это соответствует МРТ. Обратите внимание, что магнитное поле появляется в уравнении 12 только как продукт $kB\ .$ Таким образом, даже если $B$ очень маленький, для очень больших волн $k$ Это магнитное напряжение может быть важным. Вот почему МРТ настолько чувствительна даже к очень слабым магнитным полям: их эффект усиливается умножением $k\ .$ Более того, можно показать, что МРТ присутствует независимо от геометрии магнитного поля, если поле не слишком сильное.

В астрофизике, в целом заинтересована в случае, для которого диск поддерживается вращением против гравитационного притяжения центральной массы. Баланс между ньютоновской гравитационной силой и радиальной центростремительной силой немедленно дает

$\Omega ^{2}={GM \over R^{3}}$ ( 13 )

где $G$ ньютоновская гравитационная константа, $M$ это центральная месса, и $R$ Радиальное расположение на диске. С $Rd\Omega ^{2}/dR=-3\Omega ^{2}<0\ ,$ Этот так называемый кеплеровский диск нестабилен для МРТ. Без слабого магнитного поля поток будет стабильным.

Для кеплеровского диска максимальная скорость роста $\gamma =3\Omega /4\ ,$ который встречается у волнительного числа, удовлетворяющего $(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )=15\Omega ^{2}/16\ .$ $\gamma$ очень быстро, соответствующий коэффициенту усиления более 100 за период вращения. Нелинейное развитие МРТ в полностью развитую турбулентность может соблюдать крупномасштабные численные вычисления.

Приложения и лабораторные эксперименты

Интерес к МРТ основан на том факте, что он, по -видимому, дает объяснение происхождения турбулентного потока на астрофизических аккреционных дисках (Balbus and Hawley, 1991). Многообещающей моделью для компактных, интенсивных рентгеновских источников, обнаруженных в 1960-х годах, была модель нейтронной звезды или черной дыры, рисующего в газе («аккреции») из его окружающей среды (Prendergast and Burbidge, 1968). Такой газ всегда накапливается с конечным количеством углового импульса по сравнению с центральным объектом, и поэтому он должен сначала образовать вращающийся диск - он не может накапливаться непосредственно на объект, не потеряв свой угловой импульс. Но то, как элемент газообразной жидкости удалось потерять свой угловой импульс и спираль на центральный объект, совсем не было очевидным.

Одно объяснение было связано с турбулентностью, управляемой сдвигом (Shakura and Sunyaev, 1973). В аккреционном диске будет значительный сдвиг (газ ближе к центру вращается быстрее, чем области наружных дисков), и слои сдвига часто разбиваются на турбулентный поток. Наличие сгенерированной сдвигом турбулентности, в свою очередь, приводит к мощным крутям, необходимым для транспортировки углового импульса из одного (внутреннего) жидкости в другой (дальше).

Разрыв слоев сдвига на турбулентность обычно наблюдается в потоках с градиентами скорости, но без систематического вращения. Это важный момент, потому что вращение производит сильно стабилизирующие силы Кориолиса, и это именно то, что происходит на аккреционных дисках. Как видно из уравнения 5 , предел k = 0 вызывает стабилизированные кориолис колебания, а не экспоненциальный рост. Эти колебания присутствуют и в гораздо более общих условиях: недавний лабораторный эксперимент (Ji et al., 2006) показал стабильность профиля потока, ожидаемого на аккреционных дисках в условиях, в которых в противном случае неприятные эффекты диссипации (стандартной мерой известны как номер Рейнольдса) значительно ниже одной части за миллион. Однако все эти изменения, когда присутствует даже очень слабые магнитные поля. МРТ производит крутящие кругу, которые не стабилизируются силами Кориолиса. Крупномасштабное численное моделирование МРТ указывает на то, что поток вращательного диска разбивается на турбулентность (Hawley et al., 1995), с сильно усиленными свойствами переноса угловых импульсов. Это то, что требуется для работы модели аккреционного диска. Образование звезд (Stone et al., 2000), производство рентгеновских лучей в системах нейтронной звезды и черных дыр (Blaes, 2004) и создание активных галактических ядер (Krolik, 1999) и гамма-луча , 2004), как полагают, включают в себя развитие МРТ на некотором уровне.

До сих пор мы сосредоточились довольно исключительно на динамическом расщеплении ламинарного потока в турбулентность, вызванную слабым магнитным полем, но также следит за тем, что результирующий высоко взволнованный поток может действовать на этом же магнитном поле. Встроенные линии магнитного поля растягиваются турбулентным потоком, и возможно, что систематическое усиление поля может привести к. Процесс, посредством которого движения жидкости преобразуются в энергию магнитного поля, известен как динамо (Moffatt, 1978); Двумя лучшими примерами являются внешнее ядро ​​жидкости Земли и слои, близкие к поверхности Солнца. Считается, что активность динамо в этих регионах отвечает за поддержание наземных и солнечных магнитных полей. В обоих этих случаях тепловая конвекция , вероятно, будет основным источником энергии, хотя в случае вращения дифференциального солнца также может играть важную роль. Является ли МРТ эффективным процессом динамо на аккреционных дисках, в настоящее время является областью активных исследований (Fromang and Papaloizou, 2007).

Также могут быть применения МРТ за пределами классического места для аккреционного диска. Внутреннее вращение у звезд (Ogilvie, 2007) и даже планетарные динамо (Petitdemange et al., 2008) могут при некоторых обстоятельствах быть уязвимыми для МРТ в сочетании с конвективной нестабильностью. Эти исследования также продолжаются.

Наконец, МРТ, в принципе, может быть изучена в лаборатории (Ji et al., 2001), хотя эти эксперименты очень трудно реализовать. Типичная установка включает в себя либо концентрические сферические оболочки, либо коаксиальные цилиндрические раковины. Между (и ограничен) раковинами, существует проводящий жидкий металл, такой как натрий или галлия. Внутренние и внешние оболочки установлены при вращении с разными скоростями, а вязкие моменты заставляют захваченный жидкий металл к дифференциальному вращению. Затем эксперимент исследует, является ли профиль дифференциального вращения стабильным или не в присутствии приложенного магнитного поля.

Заявленное обнаружение МРТ в эксперименте сферической оболочки (Sisan et al., 2004), в котором основное состояние было сама по себе бурным, ожидает подтверждения на момент написания этой статьи (2009). Магнитная нестабильность, которая имеет некоторое сходство с МРТ, может быть возбуждена, если в нетронутом состоянии присутствуют как вертикальные, так и азимутальные магнитные поля (Hollerbach and Rüdiger, 2005). Это иногда называют спиральной MRI (Liu et al., 2006), хотя его точное отношение к МРТ, описанному выше, еще предстоит полностью выяснить. Поскольку он менее чувствителен к стабилизации омического сопротивления, чем классическая МРТ, эта спиральная магнитная нестабильность легче возбудить в лаборатории, и есть признаки того, что она может быть обнаружена (Stefani et al., 2006). Однако обнаружение классической МРТ в гидродинамически покоящемся фоновом состоянии еще предстоит достичь в лаборатории.

Аналог пружины стандартной МРТ был продемонстрирован при вращающемся потоке Тейлора-Куэтта / Кеплериана (Hung et al. 2019) .

Ссылки

• Acheson, DJ; Hide, R (1973-02-01). «Гидромагнетика вращающихся жидкостей». Отчеты о прогрессе в физике . 36 (2). IOP Publishing: 159–221. Bibcode : 1973rpph ... 36..159a . doi : 10.1088/0034-4885/36/2/002 . ISSN   0034-4885 . S2CID   250881777 .
• Acheson, DJ; Gibbons, MP (1978-06-22). «О нестабильности тороидальных магнитных полей и дифференциального вращения у звезд». Философские транзакции Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 289 (1363). Королевское общество: 459–500. Bibcode : 1978rspta.289..459a . doi : 10.1098/rsta.1978.0066 . ISSN   1364-503X . S2CID   82914771 .
• Balbus, SA и Hawley, JF 1991, Astrophys. J., 376, 214
• Балбус, Стивен А.; Хоули, Джон Ф. (1998-01-01). «Нестабильность, турбулентность и улучшенный транспорт на аккреционных дисках». Обзоры современной физики . 70 (1). Американское физическое общество (APS): 1–53. Bibcode : 1998rvmp ... 70 .... 1b . doi : 10.1103/revmodphys.70.1 . ISSN   0034-6861 . S2CID   53513044 .
• Blaes, OM 2004, в основах физики светящихся аккреционных дисков вокруг черных дыр . Прокурор LXXVIII Les Houches Summer School, Chamonix, France, Ed. Ф. Менард, Г. Пеллетье, В. Бескин, Дж. Далибард, с. 137. Париж/Берлин: Спрингер
• Чандрасекхар С. (1953-02-10). «Стабильность вязкого потока между вращающимися цилиндрами в присутствии магнитного поля». Труды Королевского общества Лондона. Серия А. Математические и физические науки . 216 (1126). Королевское общество: 293–309. Bibcode : 1953rspsa.216..293c . doi : 10.1098/rspa.1953.0023 . ISSN   2053-9169 . S2CID   122365384 .
• Чандрасекхар, С. 1961, Гидродинамическая и гидромагнитная нестабильность, Оксфорд: Кларендон
• Фрике, К. 1969, Астрон. Астрофиз., 1, 388
• J. 2007, Астрон. Астрофиз., 476,
• Hawley, JF, Gammie, CF, и Balbus, SA 1995, Astrophys. J., 440, 742
• Холлербах, Рейнер; Рудигер, Гюнтер (2005-09-14). «Новый тип магниторотационной нестабильности в цилиндрическом потоке Taylor-Couette» . Письма о физическом обзоре . 95 (12): 124501. Arxiv : Astro-ph/0508041 . Bibcode : 2005phrvl..95l4501H . doi : 10.1103/physrevlett.95.124501 . ISSN   0031-9007 . PMID   16197079 . S2CID   15497431 .
• Хул, Дерек М.Х.; Блэкман, Эрик Дж.; Каспари, Кайл Дж.; Гилсон, Эрик П.; Ji, Hantao (2019-01-14). «Экспериментальное подтверждение стандартного механизма магниторотационной нестабильности с аналогом пружинного массы» . Коммуникационная физика . 2 (1). Springer Science and Business Media LLC: 7. Arxiv : 1801.03569 . Bibcode : 2019cmphy ... 2 .... 7h . doi : 10.1038/s42005-018-0103-7 . ISSN   2399-3650 .
• Ji, H., Goodman, J. и Kageyama, A. 2001, Mnras, 325, L1
• Джи, Хантао; Бурин, Майкл; Шартман, Итан; Гудман, Джереми (2006). «Гидродинамическая турбулентность не может эффективно эффективно переносить угловой импульс на астрофизических дисках» . Природа . 444 (7117): 343–346. Arxiv : Astro-ph/0611481 . Bibcode : 2006natur.444..343j . doi : 10.1038/nature05323 . ISSN   0028-0836 . PMID   17108959 . S2CID   4422497 .
• Krolik, J. 1999, активные галактические ядра, Принстон: Принстон Univ.
• Лю, Вэй; Гудман, Джереми; Херрон, Изом; Ji, Hantao (2006-11-07). «Спиральная магниторотационная нестабильность в намагниченном потоке Тейлор-Куэтта». Физический обзор e . 74 (5): 056302. Arxiv : Astro-ph/0606125 . BIBCODE : 2006FRVE..74E6302L . doi : 10.1103/physreve.74.056302 . ISSN   1539-3755 . PMID   17279988 . S2CID   12013725 .
• Moffatt, HK 1978, генерация магнитного поля в электрически проводящих жидкостях. Кембридж: Cambridge Univ
• Ogilvie G., 2007, в солнечном тахоклевом . редакция Д. Хьюз, Р. Роснер, Н. Вайс, с. 299. Кембридж: Cambridge Univ.
• Petitdemange, Ludovic; Дорми, Эммануэль; Балбус, Стивен А. (2008-08-15). «Магнитострофическая МРТ во внешнем ядре Земли» . Геофизические исследования . 35 (15). Американский геофизический союз (AGU): L15305. Arxiv : 0901.1217 . Bibcode : 2008georl..3515305p . doi : 10.1029/2008gl034395 . ISSN   0094-8276 .
• Prendergast, K. и Burbidge, Gr 1968, Astrophys. J. Lett., 151, L83
• Shakura, N. и Sunyaev, RA 1973, Astron. Астрофиз., 24, 337
• Сисан, Даниэль Р.; Муджика, Николас; Тиллотсон, В. Эндрю; Хуан, И-Мин; Дорланд, Уильям; Hassam, Adil B.; Антонсен, Томас М.; Lathrop, Daniel P. (2004-09-10). «Экспериментальное наблюдение и характеристика магниторотационной нестабильности». Письма о физическом обзоре . 93 (11): 114502. ARXIV : Физика/0402125 . Bibcode : 2004phrvl..93k4502s . doi : 10.1103/physrevlett.93.114502 . ISSN   0031-9007 . PMID   15447344 . S2CID   5842572 .
• Стефани, Фрэнк; Гундрум, Томас; Гербет, Гюнтер; Рюдигер, Гюнтер; Шульц, Манфред; Шкларски, Джейцек; Hollerbach, Rainer (2006-11-01). «Экспериментальные данные магниторотационной нестабильности в потоке Тейлор-Куэтта под влиянием спирального магнитного поля». Письма о физическом обзоре . 97 (18): 184502. Arxiv : Astro-ph/0606473 . Bibcode : 2006 phrvl..97r4502s . doi : 10.1103/physrevlett.97.184502 . ISSN   0031-9007 . PMID   17155546 . S2CID   119035530 .
• Stone, JM, Gammie, CF, Balbus, SA и Hawley, JF 2000, в протостарах и планетах IV, изд. V.Mannings, A.Boss и S.Russell, Space Science Reviews, p. 589. Тусон: У. Аризона
• Велихов, EP 1959, J. Exp. Теор. Физический (СССР), 36, 1398
• Wheeler, JC 2004, Достижения в области космических исследований, 34, 12, 2744

Дальнейшее чтение

• Балбус, Стивен А. (июнь 2003 г.). «Увеличенный угловой транспорт импульса на аккреционных дисках». Ежегодный обзор астрономии и астрофизики . 41 : 555–597. Arxiv : Astro-ph/0306208 . Bibcode : 2003ara & A..41..555b . doi : 10.1146/annurev.astro.41.081401.155207 . S2CID   45836806 .
• Blaes, Omer (октябрь 2004 г.). «Вселенная дисков» (PDF) . Scientific American . 289 (4): 48–57. Bibcode : 2004sciam.291d..48b . doi : 10.1038/Scientificamerican1004-48 . PMID   15487670 .
• Фрэнк, Джухан; Король, Эндрю; Рейн, Дерек (11 февраля 2002 г.). Аккреционная сила в астрофизике (3 -е изд.). Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-62957-8 .