Модели шмелей

Модели шмеля — это эффективные теории поля, описывающие векторное поле с вакуумным математическим ожиданием, которое спонтанно нарушает симметрию Лоренца. Модель шмеля — простейший случай теории со спонтанным нарушением лоренцевой симметрии .

Разработка моделей шмелей была мотивирована прежде всего открытием того, что механизмы в теории струн (а впоследствии и в других квантовых теориях гравитации) могут привести к тому, что тензорные поля приобретут значения вакуумного ожидания. Модели Шмеля отличаются от локальных U (1)-калибровочных теорий. Тем не менее, в некоторых моделях шмелей могут появиться безмассовые моды, ведущие себя как фотоны .

Введение

Алан Костелецкий и Стюарт Сэмюэл показали в 1989 году, что механизмы, возникающие в контексте теории струн, могут привести к спонтанному нарушению симметрии Лоренца . Был определен набор моделей на уровне эффективной теории поля, которые содержали гравитационные поля и векторное поле B _µ , имеющее ненулевое вакуумное математическое ожидание, <B _µ > = b _µ . Они стали известны как модели шмелей.

Обычно в этих моделях спонтанное нарушение Лоренца вызвано наличием потенциального члена в действии. Значение вакуума b _μ вместе с фоновой метрикой дают решение, которое минимизирует потенциал шмелей.

Величина вакуума b _μ действует как фиксированное фоновое поле, которое спонтанно нарушает симметрию Лоренца. Для случая вектора это пример коэффициента нарушения Лоренца, определенного в Расширении стандартной модели .

Название шмеля модели , придуманное Костелецким, основан на насекомом, способность которого летать иногда подвергалась сомнению на теоретических основаниях , но которое, тем не менее, способно успешно летать.

лагранжиан

Можно построить различные примеры лагранжианов шмелей. Их выражения включают кинетические термины для гравитационного поля и поля шмеля, потенциал V , вызывающий спонтанное лоренц-разрушение, и материальные термины. Кроме того, могут существовать связи между гравитационным, шмельным и материальным полями.

Одним из примеров с традиционными терминами Эйнштейна-Гильберта и космологическими постоянными для гравитационного сектора является лагранжиан:

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{B}&={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda )+\sigma _{1}B^{\mu }B^{\nu }R_{\mu \nu }+\sigma _{2}B^{\mu }B_{\mu }R-{\frac {1}{4}}\tau _{1}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }\\&\quad +{\frac {1}{2}}\tau _{2}D_{\mu }B_{\nu }D^{\mu }B^{\nu }+{\frac {1}{2}}\tau _{3}D_{\mu }B^{\mu }D_{\nu }B^{\nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.\end{aligned}}$

В этом выражении $D_{\mu }{\Big .}$ – ковариантная производная, $B_{\mu \nu }=D_{\mu }B_{\nu }-D_{\nu }B_{\mu }{\Big .}$, а члены контролируются набором констант, $\sigma _{1}{\Big .}$, $\sigma _{2}{\Big .}$, $\tau _{1}{\Big .}$, $\tau _{2}{\Big .}$, $\tau _{3}{\Big .}$. Лагранжиан сектора материи, ${\mathcal {L}}_{\rm {M}}$, может включать связи с B _μ .

Потенциал $V(B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})$ в этом примере предполагается, что оно имеет минимум, когда

$B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2}=0.$

Это условие выполняется, когда векторное поле имеет вакуумную величину b _µ, подчиняющуюся b _µ b ^м = ±b ² . Значение константы ± b ² в потенциале определяет, является ли вакуумный вектор времениподобным , светоподобным или пространственноподобным .

Одним из часто используемых примеров потенциала является гладкая квадратичная функция:

$V={\frac {1}{2}}\kappa (B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2})^{2},$

где $\kappa {\Big .}$ является константой. При таком выборе массивная мода может появиться в теории при значениях B _µ , не минимизирующих потенциал V .

Другой распространенный выбор использует поле множителя Лагранжа и задается как

$V=\lambda (B_{\mu }B^{\mu }\mp b^{2}).$

В этом случае массивная мода замораживается. Однако поле множителей Лагранжа λ занимает свое место в теории как дополнительная степень свободы.

В пределе, когда из теории удаляется потенциальный член V , модели шмелей сводятся к примерам векторно-тензорных теорий гравитации.

Специальный лагранжиан ${\mathcal {L}}_{B}$ с $\tau _{1}=1{\Big .}$, и $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$ это оригинальный тип модели, исследованный Костелецким и Самуэлем, известная как модель шмеля KS. Лагранжиан в этом случае имеет форму Максвелла для кинетического члена шмеля и задается как

${\mathcal {L}}_{\rm {KS}}={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda )-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\pm b^{2})+B_{\mu }J^{\mu }+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.$

По этой причине Bμ _{материи} можно рассматривать как обобщенный векторный потенциал, а взаимодействие с током $J^{\mu }{\Big .}$ можно включить.

Специальный лагранжиан ${\mathcal {L}}_{B}$ с $\tau _{1}=1{\Big .}$, $\sigma _{1}=\xi /16\pi G{\Big .}$, и $\sigma _{2}=\tau _{2}=\tau _{3}=0{\Big .}$, аналогична модели КС, но включает неминимальные гравитационные связи, параметризуемые связью $\xi {\Big .}$. Лагранжиан в этом случае:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G}}(R-2\Lambda +\xi B^{\mu }B^{\nu }R_{\mu \nu })-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-V(B_{\mu }B^{\mu }\pm b^{2})+B_{\mu }J^{\mu }+{\mathcal {L}}_{\rm {M}}.$

Во всех моделях шмелей лагранжиан инвариантен как относительно локальных преобразований Лоренца, так и относительно диффеоморфизмов . Формализм Вирбена можно использовать для введения локальных компонентов для полей метрики , шмеля и материи в каждой точке пространства-времени . Спонтанное нарушение Лоренца происходит, когда поле шмеля имеет ненулевое значение вакуума в локальных системах Лоренца.

Формализм Вирбена . полезен для выражения структуры теорий шмелей Например, он обеспечивает естественный способ выразить прямую связь между спонтанным нарушением Лоренца и нарушением диффеоморфизма. Значение пространственно-временного вакуума b _μ получается, когда вакуумное решение для Вирбена воздействует на локальное значение вакуума для векторного поля. Результатом является фиксированное фоновое поле в пространственно-временной системе, которое спонтанно нарушает диффеоморфизмы частиц .

Намбу–Голдстоуна и массивные моды.

Модели шмеля полезны для изучения эффектов спонтанного нарушения Лоренца в теориях гравитации. Эти эффекты включают существование мод Намбу – Голдстоуна, массивные (хиггсовские) моды и возможность механизма Хиггса. В моделях шмелей Лоренц и диффеоморфизма симметрия самопроизвольно разрушаются, поэтому необходимо учитывать эти эффекты в контексте обоих типов нарушения симметрии .

Моды Намбу – Голдстоуна возникают при наличии непрерывной симметрии. самопроизвольно разрушается. Моды Намбу–Голдстоуна можно рассматривать как возбуждения, генерируемые нарушенной симметрией, которые остаются в вырожденный вакуум теории. Напротив, массивные ( хиггсовские ) моды являются возбуждениями. которые не остаются в потенциальном минимуме. В этом смысле массивные моды ортогональны возбуждениям Намбу–Голдстоуна.

В моделях шмелей возбуждения, порождаемые нарушенными диффеоморфизмами содержатся как в векторном поле B _µ, так и в метрике g _µν . Можно выбрать различные калибры, которые эффективно перемещают линию Намбу-Голдстоуна. степени свободы между этими полями. Для широкого круга моделей, включая шмель КС с постоянным значением b _µ , диффеоморфные моды Намбу–Голдстоуна не распространяются как физические безмассовые моды. Вместо этого они являются вспомогательными режимами.

Различные выборы калибровок также влияют на интерпретацию мод Намбу – Голдстоуна, возникающих в результате спонтанного нарушения Лоренца. В наиболее общих моделях шмелей калибровка преобразований Лоренца и диффеоморфизмов может быть сделана так, чтобы все моды Намбу–Голдстоуна содержались в гравитационном секторе либо в Вирбейне, либо, в некоторых случаях, в метрике только . При таком выборе модели шмелей рассматриваются как альтернативные теории гравитации.

Для общей модели с лагранжианом ${\mathcal {L}}_{B}$, с неограниченными значениями констант $\sigma _{1}{\Big .}$, $\sigma _{2}{\Big .}$, $\tau _{1}{\Big .}$, $\tau _{2}{\Big .}$, $\tau _{3}{\Big .}$Моды Намбу–Голдстоуна включают как распространяющиеся безмассовые моды, так и фантомные моды. Одним из направлений исследований является поиск ограниченных значений параметров, которые исключают призраки как распространяющиеся моды.

В модели шмеля КС единственными распространяющимися модами Намбу–Голдстоуна являются две поперечные безмассовые моды, обладающие свойствами, подобными фотону в аксиальной калибровке. Распространяющиеся гравитационные моды описывают обычные гравитонные моды в общей теории относительности.

Помимо мод Намбу–Голдстоуна, имеется комбинированное возбуждение в Bμ _, и gμν _. не остающееся в потенциальном минимуме Это массивная мода, подобная хиггсовскому возбуждению в электрослабой модели .

В моделях шмеля КС возбуждение массивной моды действует как фоновый источник гравитации и как фоновый источник плотности заряда. На устойчивость теории влияет поведение массивной моды, которая представляет собой дополнительную степень свободы по сравнению с теорией Эйнштейна-Максвелла .

В модели KS можно показать, что существуют подходящие начальные условия, которые навсегда обнуляют массивную моду. С другой стороны, когда массовый масштаб массивной моды становится большим, ее эффекты значительно подавляются. В пределе бесконечного масштаба массы для массивной моды модель КС оказывается эквивалентной теории Эйнштейна – Максвелла в фиксированной осевой калибровке.

Обратите внимание, что другие модели, помимо шмеля, допускают возникновение известных безмассовых частиц в виде мод Намбу – Голдстоуна. Например, кардинальная модель основана на симметричном двухтензоре. Моды, возникающие в результате спонтанного лоренц-нарушения, в этой модели можно приравнять к гравитону.

Фотоны от спонтанного нарушения Лоренца

Идея о том, что фотон может возникнуть в виде мод Намбу – Голдстоуна. в теории со спонтанным нарушением Лоренца впервые возникло в контексте специальной теории относительности .

В 1951 году Поль Дирак рассмотрел векторную теорию с потенциалом множителя Лагранжа как альтернативную модель, приводящую к возникновению заряда электрона. Позже было признано, что это была теория со спонтанным лоренц-разрушением .

Двенадцать лет спустя, в 1963 году, Джеймс Бьоркен предложил модель, в которой коллективные возбуждения фермионного поля могут привести к появлению составных фотонов в виде мод Намбу – Голдстоуна. Наблюдаемое поведение фотона в этой оригинальной модели было заявлено как эквивалентное электродинамике .

Впоследствии, в 1968 году, Ёитиро Намбу представил векторную модель, которая не включала потенциал нарушения симметрии. Вместо этого было непосредственно введено ограничение, согласно которому векторное поле имеет фиксированную норму, и полученная теория, не содержащая массивной моды, была показана эквивалентной электромагнетизму в фиксированной калибровке.

Модель шмеля КС, которая включает в себя помимо векторного поля гравитационные поля, расширяет идею фотонов, возникающих как моды Намбу-Голдстоуна, из специальной теории относительности в общую теорию относительности .

В модели КС отсутствует локальная U калибровочная симметрия (1). Вместо этого существуют как безмассовые моды Намбу–Голдстоуна, так и массивная мода в результате спонтанного нарушения Лоренца . В пределе бесконечной массы фотон появляется как безмассовые моды Намбу–Голдстоуна.

Механизм Хиггса

Поскольку симметрия Лоренца является локальной симметрией в присутствии гравитации , возможность механизма Хиггса возникает, когда симметрия Лоренца спонтанно нарушается . калибровочной теории В традиционном механизме Хиггса моды Намбу-Голдстоуна переинтерпретируются как степени свободы, связанные с массивным калибровочным полем . Говорят, что моды Намбу–Голдстоуна съедаются , а калибровочные бозоны приобретают массу.

Возможность того, что гравитационный механизм Хиггса в моделях шмелей может наделить гравитон массой, рассматривалась Костелецки и Сэмюэлем. Однако они показали, что то, что кажется массовым термином, включает в себя квадрат аффинной связности. $\Gamma _{\,\,\mu \nu }^{\lambda }$. Поскольку связь является функцией производных метрики, это не может быть массовым членом. Таким образом, в моделях шмелей не существует обычного механизма Хиггса , который приводит к образованию массивного гравитона .

Этот результат предполагал, что пространство-время является римановым пространством-временем . Если вместо этого пространство-время Римана-Картана рассматривать , то механизм Хиггса действительно становится возможным. не гравитон . Однако в этом случае массу приобретает Вместо этого именно спиновая связь становится массивной в результате спонтанного лоренцевского разрыва .

В пространстве-времени Римана-Картана ковариантные производные, действующие на локальные тензоры, включают спиновую связь . Поскольку этот тип геометрии включает в себя кручение , спиновая связь обеспечивает дополнительный набор динамических степеней свободы, которые могут распространяться.

Модели шмеля в пространстве-времени Римана-Картана приводят к массовым членам спиновой связи посредством спонтанного нарушения локальной симметрии Лоренца . Возникающие в результате моды Намбу-Голдстоуна можно интерпретировать, как в механизме Хиггса , как степени свободы, которые делают спиновую связь массивной. Однако поиск подходящих кинетических членов для полученной массивной спиновой связи , свободной от призраков и тахионов , остается открытой проблемой.

См. также

• Расширение стандартной модели
• Геометрия Римана – Картана
• Тесты на антивещество с нарушением Лоренца
• Лоренц-нарушающие нейтринные осцилляции
• Электродинамика, нарушающая Лоренц