Анализ колебаний без тренда

В случайных процессах , теории хаоса и временных рядов анализе анализ колебаний без тренда ( DFA ) является методом определения статистической самоаффинности сигнала. Это полезно для анализа временных рядов, которые кажутся процессами с длинной памятью (расходящееся время корреляции , например, степенная затухающая автокорреляционная функция ) или шумом 1/f .

Полученная экспонента аналогична экспоненте Херста , за исключением того, что DFA также может применяться к сигналам, основная статистика которых (например, среднее значение и дисперсия) или динамика нестационарны ( изменяются со временем). Это связано с мерами, основанными на спектральных методах, таких как автокорреляция и преобразование Фурье .

Пэн и др. представил DFA в 1994 году в статье, которая по состоянию на 2022 год цитировалась более 3000 раз. и представляет собой расширение (обычного) флуктуационного анализа (ФА), на который влияют нестационарности.

Определение

ДКА на процессе броуновского движения с возрастающими значениями $n$.

Алгоритм

Дано: временной ряд $x_{1},x_{2},...,x_{N}$.

Вычислите его среднее значение $\langle x\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}x_{t}$.

Суммируйте это в процесс $X_{t}=\sum _{i=1}^{t}(x_{i}-\langle x\rangle )$. Это совокупная сумма или профиль исходного временного ряда. Например, профиль iid белого шума представляет собой стандартное случайное блуждание .

Выберите набор $T=\{n_{1},...,n_{k}\}$ целых чисел, таких что $n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{k}$, самый маленький $n_{1}\approx 4$, самый крупный $n_{k}\approx N$, и последовательность примерно равномерно распределена в логарифмическом масштабе: $\log(n_{2})-\log(n_{1})\approx \log(n_{3})-\log(n_{2})\approx \cdots$. Другими словами, это примерно геометрическая прогрессия .

Для каждого $n\in T$, разделите последовательность $X_{t}$ на последовательные отрезки длины $n$. Внутри каждого сегмента вычислите наименьших квадратов аппроксимацию прямой линией методом ( локальный тренд ). Позволять $Y_{1,n},Y_{2,n},...,Y_{N,n}$ будет результирующая кусочно-линейная аппроксимация.

Вычислите среднеквадратичное отклонение от локального тренда ( локальное колебание ): $$F(n,i)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{t=in+1}^{in+n}\left(X_{t}-Y_{t,n}\right)^{2}}}.$$А их среднеквадратичное значение — это общее колебание:

$F(n)={\sqrt {{\frac {1}{N/n}}\sum _{i=1}^{N/n}F(n,i)^{2}}}.$

(Если $N$ не делится на $n$, то можно либо отбросить остаток последовательности, либо повторить процедуру с обратной последовательностью, а затем взять их среднеквадратическое значение. )

Сделайте логарифмический график $\log n-\log F(n)$.

Интерпретация

Прямая линия уклона $\alpha$ на логарифмическом графике указывает на статистическую самоблизость формы $F(n)\propto n^{\alpha }$. С $F(n)$ монотонно возрастает с $n$, у нас всегда есть $\alpha >0$.

Показатель масштабирования $\alpha$ является обобщением показателя Херста с точным значением, дающим информацию о самокорреляции ряда:

• $\alpha <1/2$: антикоррелированный
• $\alpha \simeq 1/2$: некоррелированный, белый шум
• $\alpha >1/2$: коррелирует
• $\alpha \simeq 1$: 1/f-шум, розовый шум
• $\alpha >1$: нестационарный, неограниченный
• $\alpha \simeq 3/2$: Броуновский шум

Поскольку ожидаемое смещение в некоррелированном случайном блуждании длины N растет как ${\sqrt {N}}$, показатель ${\tfrac {1}{2}}$ будет соответствовать некоррелированному белому шуму. Когда показатель степени находится между 0 и 1, результатом является дробный гауссов шум .

Подводные камни в интерпретации

Хотя алгоритм DFA всегда выдает положительное число $\alpha$ для любого временного ряда это не обязательно означает, что временной ряд самоподобен. Самоподобие требует, чтобы логарифмический график был достаточно линейным в широком диапазоне значений. $n$. Кроме того, было показано, что комбинация методов, включая оценку максимального правдоподобия (MLE), а не метод наименьших квадратов, лучше аппроксимирует показатель масштабирования или степенной показатель.

Кроме того, существует множество величин, подобных экспоненте масштабирования, которые можно измерить для самоподобного временного ряда, включая размерность делителя и показатель Херста . Следовательно, показатель масштабирования DFA $\alpha$ не является фрактальным измерением и не обладает некоторыми желательными свойствами, которыми обладает измерение Хаусдорфа , хотя в некоторых особых случаях оно связано с измерением подсчета ящиков для графика временного ряда.

Обобщения

Обобщение полиномиальных тенденций (DFA более высокого порядка)

Приведенный выше стандартный алгоритм DFA удаляет линейный тренд в каждом сегменте. Если мы удалим полиномиальный тренд степени n в каждом сегменте, это будет называться DFAn или DFA более высокого порядка.

С $X_{t}$ представляет собой совокупную сумму $x_{t}-\langle x\rangle$, линейный тренд в $X_{t}$ является постоянной тенденцией в $x_{t}-\langle x\rangle$, что является постоянной тенденцией $x_{t}$ (видны как короткие участки «плоских плато»). В связи с этим DFA1 удаляет среднее значение из сегментов временного ряда. $x_{t}$ прежде чем количественно оценить колебания.

Аналогично, тенденция степени n в $X_{t}$ представляет собой тенденцию степени (n-1) в $x_{t}$. Например, DFA1 удаляет линейные тенденции из сегментов временного ряда. $x_{t}$ перед количественной оценкой колебаний DFA1 удаляет параболические тенденции из $x_{t}$, и так далее.

Анализ Hurst R/S удаляет постоянные тенденции в исходной последовательности и, таким образом, при исключении тренда он эквивалентен DFA1.

Обобщение на разные моменты (мультифрактальный ДКА)

DFA можно обобщить, вычислив $$F_{q}(n)=\left({\frac {1}{N/n}}\sum _{i=1}^{N/n}F(n,i)^{q}\right)^{1/q}.$$затем построим логарифмический график $\log n-\log F_{q}(n)$, Если в графике имеется сильная линейность $\log n-\log F_{q}(n)$, то этот наклон $\alpha (q)$. DFA – это особый случай, когда $q=2$.

Мультифрактальные системы масштабируются как функция $F_{q}(n)\propto n^{\alpha (q)}$. По сути, показатели масштабирования не обязательно должны быть независимыми от масштаба системы. В частности, DFA измеряет масштабное поведение колебаний второго момента.

Кантельхардт и др. задумал этот показатель масштабирования как обобщение классического показателя Херста. Классический показатель Херста соответствует $H=\alpha (2)$ для стационарных случаев и $H=\alpha (2)-1$ для нестационарных случаев.

Приложения

Метод DFA применялся ко многим системам, например к последовательностям ДНК, нейрональные колебания, выявление речевых патологий, колебание сердцебиения в разные фазы сна, и анализ моделей поведения животных.

Изучено влияние тенденций на DFA.

Связь с другими методами для конкретных типов сигналов

Для сигналов со степенным затуханием автокорреляции

В случае степенных затухающих автокорреляций корреляционная функция затухает с показателем степени $\gamma$: $C(L)\sim L^{-\gamma }\!\$.Кроме того, спектр мощности затухает по мере $P(f)\sim f^{-\beta }\!\$.Три показателя связаны соотношением:

• $\gamma =2-2\alpha$
• $\beta =2\alpha -1$ и
• $\gamma =1-\beta$.

Соотношения можно вывести с помощью теоремы Винера–Хинчина . Связь DFA с методом спектра мощности хорошо изучена.

Таким образом, $\alpha$ привязан к наклону спектра мощности $\beta$ и используется для описания цвета шума следующим соотношением: $\alpha =(\beta +1)/2$.

Для дробного гауссовского шума

Для дробного гауссовского шума (FGN) мы имеем $\beta \in [-1,1]$, и таким образом $\alpha \in [0,1]$, и $\beta =2H-1$, где $H$ является показателем Херста . $\alpha$ для ФГН равно $H$.

Для дробного броуновского движения

Для дробного броуновского движения (FBM) мы имеем $\beta \in [1,3]$, и таким образом $\alpha \in [1,2]$, и $\beta =2H+1$, где $H$ является показателем Херста . $\alpha$ для FBM равно $H+1$. В этом контексте FBM представляет собой совокупную сумму или интеграл FGN, следовательно, показатели их степениСпектры мощности отличаются на 2.

См. также

• Мультифрактальная система
• Самоорганизованная критичность
• Самоблизость
• Анализ временных рядов
• показатель Херста

Внешние ссылки

• Учебное пособие по расчету анализа колебаний без тренда. Архивировано 3 февраля 2019 г. в Wayback Machine в Matlab с использованием набора инструментов нейрофизиологических биомаркеров .
• Код FastDFA MATLAB для быстрого расчета показателя масштабирования DFA для очень больших наборов данных.
• Physionet Хороший обзор DFA и кода C для его расчета.
• MFDFA Python (мультифрактального) анализа флуктуаций без тренда. Реализация