Гипотеза Литтлвуда

В математике гипотеза Литтлвуда является открытой проблемой (по состоянию на апрель 2024 г.). ) в диофантовом приближении , предложенном Джоном Иденсором Литтлвудом примерно в 1930 году. В нем говорится, что для любых двух действительных чисел α и β,

$\liminf _{n\to \infty }\ n\,\Vert n\alpha \Vert \,\Vert n\beta \Vert =0,$

где $\Vert x\Vert :=\min(|x-\lfloor x\rfloor |,|x-\lceil x\rceil |)$ — расстояние до ближайшего целого числа.

Формулировка и объяснение

Это означает следующее: возьмем точку ( α , β ) на плоскости, а затем рассмотрим последовательность точек

(2а , 2б ) , (3а , 3б ) , ... .

Для каждого из них умножьте расстояние до ближайшей линии с целочисленной координатой x на расстояние до ближайшей линии с целочисленной координатой y . Это произведение наверняка будет максимум 1/4. Гипотеза не делает никаких заявлений о том, будет ли сходиться эта последовательность значений ; на самом деле обычно это не так. В гипотезе говорится что-то о нижнем пределе и говорится, что существует подпоследовательность, для которой расстояния затухают быстрее, чем обратное, т.е.

о(1/ п )

в записи «маленькое о» .

Связь с дальнейшими предположениями

Известно, что это следует из результата в геометрии чисел о минимуме в ненулевой точке решетки произведения трех линейных форм с тремя действительными переменными: импликация была показана в 1955 году Касселсом и Суиннертоном-Дайером. . Это можно сформулировать и по-другому, в терминах теории групп. Теперь существует еще одна гипотеза, которая, как ожидается, будет верна для n ≥ 3: она сформулирована в терминах G = SL _n ( R ), Γ = SL _n ( Z ) и подгруппы D диагональных матриц в G .

Гипотеза : для любого g из G /Γ такого, что Dg ( относительно компактен в G /Γ), то Dg замкнут.

Это, в свою очередь, является частным случаем общей гипотезы Маргулиса о группах Ли .

Частичные результаты

В 1909 году Борель показал, что исключительное множество вещественных пар (α,β), нарушающее утверждение гипотезы, имеет нулевую меру Лебега . Манфред Эйнзидлер , Анатоль Каток и Илон Линденштраусс показали что он должен иметь хаусдорфову размерность ; нулевую и фактически представляет собой объединение счетного числа компактов ящиков нулевой размерности со счетом . Результат был доказан с использованием теоремы классификации мер для диагонализуемых действий групп более высокого ранга, а также теоремы об изоляции , доказанной Линденштраусом и Бараком Вайсом.

Эти результаты подразумевают, что нетривиальные пары, удовлетворяющие этой гипотезе, существуют: действительно, для данного действительного числа α такого, что $\inf _{n\geq 1}n\cdot ||n\alpha ||>0$, можно построить явный β такой, что (α,β) удовлетворяет гипотезе.

См. также

• Полином Литтлвуда

Ссылки

• Адамчевский, Борис; Бюжо, Янн (2010). «8. Трансцендентность и диофантово приближение». В Берте, Валери ; Риго, Майкл (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 135. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 410–451. ISBN  978-0-521-51597-9 . Збл   1271.11073 .

Дальнейшее чтение

• Акшай Венкатеш (29 октября 2007 г.). «Работа Эйнзидлера, Катока и Линденштрауса по гипотезе Литтлвуда» . Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 45 (1): 117–134. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01194-9 . МР   2358379 . Збл   1194.11075 .