Тело революции

Тела вращения ( Matemateca Ime-Usp )

В геометрии телом вращения называют твёрдую фигуру, полученную вращением вокруг плоской фигуры некоторой прямой ( оси вращения которая не может пересекать образующую ) , (кроме её границы). Поверхность , созданная этим вращением и ограничивающая твердое тело, является поверхностью вращения .

Предполагая, что кривая не пересекает ось, объем твердого тела равен длине круга , описываемого фигуры, центроидом фигуры умноженным на площадь ( вторая теорема Паппа о центроиде ).

Представительный диск трехмерный представляет собой объемный элемент тела вращения. Элемент создается путем вращения отрезка линии ( длиной $w$ ) вокруг некоторой оси (расположенной $расстоянии r$ единиц), так что цилиндрический объем π $на r 2 w$ единиц прилагается.

Нахождение объема

Двумя распространенными методами нахождения объема тела вращения являются метод диска и метод оболочки . Для применения этих методов проще всего нарисовать рассматриваемый график; определить область, которая должна вращаться вокруг оси вращения; определить объем либо дискообразного среза твердого тела толщиной $δx$ , либо цилиндрической оболочки шириной $δx$ ; а затем найдите предельную сумму этих объемов, когда $δx$ приближается к 0, значению, которое можно найти путем вычисления подходящего интеграла. Более строгое обоснование можно дать, попытавшись вычислить тройной интеграл в цилиндрических координатах с двумя разными порядками интегрирования.

Дисковый метод

Дисковый метод используется, когда нарисованный срез перпендикулярен оси вращения; т.е. при интегрировании параллельно оси вращения.

Объем твердого тела, образованного вращением области между кривыми $f (y)$ и $g (y)$ и линиями $y = a$ и $y = b$ вокруг $оси y,$ определяется выражением $V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(y)^{2}-g(y)^{2}\right|\,dy\,.$ Если $g (y) = 0$ (например, вращение области между кривой и $осью y$ ), это сводится к: $V=\pi \int _{a}^{b}f(y)^{2}\,dy\,.$

Метод можно визуализировать, рассмотрев тонкий горизонтальный прямоугольник в точке $y$ между $f (y)$ сверху и $g (y)$ снизу и вращая его вокруг $оси y$ ; он образует кольцо (или диск в случае, если $g (y) = 0$ ) с внешним радиусом $f (y)$ и внутренним радиусом $g (y)$ . Площадь кольца равна $π(R 2 - р 2)$ , где $R$ — внешний радиус (в данном случае $f (y)$ ), а $r$ — внутренний радиус (в данном случае $g (y)$ ). Таким образом, объем каждого бесконечно малого диска равен $π f (y) 2 ды$ . Предел суммы Римана объемов дисков между $a$ и $b$ становится целым (1).

Предполагая применимость теоремы Фубини и формулы многомерной замены переменных, метод диска можно вывести простым способом (обозначая твердое тело D): $V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{g(z)}^{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}(f(z)^{2}-g(z)^{2})\,dz$

Оболочный метод интеграции

Метод оболочки (иногда называемый «методом цилиндра») используется, когда нарисованный срез параллелен оси вращения; т.е. при интегрировании перпендикулярно оси вращения.

Объем твердого тела, образованного вращением области между кривыми $f (x)$ и $g (x)$ и линиями $x = a$ и $x = b$ вокруг $оси y$ , определяется выражением $V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.$ Если $g (x) = 0$ (например, вращение области между кривой и $осью y$ ), это сводится к: $V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.$

Метод можно визуализировать, рассмотрев тонкий вертикальный прямоугольник в точке $x$ с высотой $f (x) - g (x)$ и вращая его вокруг $оси y$ ; он образует цилиндрическую оболочку. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2π rh$ , где $r$ — радиус (в данном случае $x$ ), а $h$ — высота (в данном случае $f (x) - g (x)$ ). Суммирование всех площадей поверхности вдоль интервала дает общий объем.

Этот метод можно получить с помощью того же тройного интеграла, но на этот раз с другим порядком интегрирования: $V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr.$

Демонстрация твердой революции

Фигуры в состоянии покоя

Формы в движении, показывающие тела вращения, образованные каждым

Параметрическая форма

Когда кривая определяется ее параметрической формой $(x (t), y (t))$ в некотором интервале $[a, b]$ , объемы твердых тел, генерируемые вращением кривой вокруг $оси x$ или $оси y$ , равны данный ^[1] ${\begin{aligned}V_{x}&=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,\\V_{y}&=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.\end{aligned}}$

При тех же обстоятельствах площади поверхностей твердых тел, образующиеся в результате вращения кривой вокруг $оси x$ или $оси y$ , определяются выражением ^[2] ${\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,\\A_{y}&=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.\end{aligned}}$

Это также может быть получено путем многовариантной интеграции. Если плоская кривая задана формулой $\langle x(t),y(t)\rangle$ тогда его соответствующая поверхность вращения при вращении вокруг оси X имеет декартовы координаты, определяемые выражением $\mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle$ с $0\leq \theta \leq 2\pi$ . Тогда площадь поверхности определяется поверхностным интегралом $A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.$

Вычисление результатов частных производных ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,$ ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\right\rangle$ и вычисляем перекрестного произведения доходность ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle$ где тригонометрическое тождество $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$ был использован. Используя это векторное произведение, мы получаем ${\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}$ где снова использовалось то же тригонометрическое тождество. Вывод для поверхности, полученной вращением вокруг оси y, аналогичен.

Полярная форма

Для полярной кривой $r=f(\theta )$ где $\alpha \leq \theta \leq \beta$ и $f(\theta )\geq 0$ , объемы твердых веществ, образующихся при вращении кривой вокруг оси x или оси y, равны ${\begin{aligned}V_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}-\pi r^{3}\sin ^{3}{\theta }\right)d\theta \,,\\V_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin {\theta }\cos ^{2}{\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}+\pi r^{3}\cos ^{3}{\theta }\right)d\theta \,.\end{aligned}}$

Площади поверхностей твердых тел, образующиеся в результате вращения кривой вокруг $оси x$ или $оси y$ , заданы. ${\begin{aligned}A_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\sin {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\\A_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\cos {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\end{aligned}}$

См. также

Примечания

^ Шарма, AK (2005). Применение интегрального исчисления . Издательство Дискавери. п. 168. ИСБН 81-7141-967-4 .
^ Сингх, Равиш Р. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. п. 6.90. ISBN 0-07-014615-2 .

Ссылки

«Объемы тел революции» . CliffsNotes.com . 12 апреля 2011 г. Архивировано из оригинала 19 марта 2012 г.
Эйрес, Фрэнк ; Мендельсон, Эллиотт (2008). Исчисление . Очерки Шаума . МакГроу-Хилл Профессионал. стр. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2 . ( онлайн-копия , стр. 244, в Google Книгах )
Вайсштейн, Эрик В. «Твердое революции» . Математический мир .

[1] Шарма, AK (2005). Применение интегрального исчисления . Издательство Дискавери. п. 168. ИСБН 81-7141-967-4 .

[2] Сингх, Равиш Р. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. п. 6.90. ISBN 0-07-014615-2 .

[1]

[2]