Обмен сайтами

«Жонглирующий ритм» перенаправляется сюда. О музыке см. «Жонглирование битами» .

Доли обмена сайтами отображаются как относительная высота

Siteswap , также называемый квантовым жонглированием или кембриджской нотацией , представляет собой числовую нотацию жонглирования, используемую для описания или представления шаблонов жонглирования . Этот термин также может использоваться для описания шаблонов обмена сайтами , возможных шаблонов, расшифрованных с использованием обмена сайтами. Броски представлены неотрицательными целыми числами , которые определяют количество ударов в будущем, когда объект будет брошен снова: «Идея обмена сайтами состоит в том, чтобы отслеживать порядок, в котором мячи бросаются и ловятся, и только это». Это бесценный инструмент для определения того, какие комбинации бросков дают действительные схемы жонглирования для заданного количества объектов, и он привел к ранее неизвестным закономерностям (например, 441). Однако здесь не описываются такие движения тела, как движение за спину и под ногу. Siteswap предполагает, что «броски происходят в такты , которые равномерно распределены во времени».

Например, каскад из трех шаров может быть обозначен как «3», а ливень — как «5 1».

Происхождение

Обозначение было изобретено Полом Климеком в Санта-Крус, Калифорния, в 1981 году, а затем разработано студентами Брюсом «Боппо» Тиманном, Джоэлом Дэвидом Хэмкинсом и покойным Бенгтом Магнуссоном в Калифорнийском технологическом институте в 1985 году, а также математиком Майком Дэй. Колин Райт и математик Адам Чалкрафт в Кембридже, Англия, в 1985 году (отсюда и альтернативное название). В 1985 году Хэмкинс написал компьютерный код для систематического создания шаблонов обмена сайтами — распечатки были немедленно доставлены на лужайку Атенеума в Калифорнийском технологическом институте, чтобы их опробовали он сам, Тиманн и Магнуссон. Числа основаны на количестве шаров, используемых в наиболее распространенных схемах жонглирования. Siteswap был описан как «пожалуй, самое популярное» имя.

Название sitewap происходит от способности генерировать шаблоны путем «замены» времени посещения любых двух «сайтов» в обмене сайтами с помощью свойства swap . Например, замена времени приземления бросков «5» и «1» в обмене сайтами «51» приводит к обмену сайтами «24».

Vanilla

Diagram of someone "juggling" with the siteswap notation and the state

Его простейшая форма, иногда называемая ванильным обменом сайтами, описывает только схемы, в которых броски выполняются попеременно руками и в которых из каждой руки выбрасывается по одному шару за раз. Если бы кто-то жонглировал, идя вперед, сверху было бы видно что-то вроде соседней диаграммы, которую иногда называют диаграммой пространства-времени или лестничной диаграммой . На этой диаграмме жонглируют тремя мячами. Время движется сверху вниз.

Эту закономерность можно описать, указав, сколько бросков спустя будет пойман каждый мяч. Например, при первом броске на диаграмме фиолетовый шар подбрасывается в воздух (вверх за пределы экрана, в левый нижний угол) правой рукой, затем синий шар, зеленый шар, снова зеленый шар, и снова синий мяч, а затем, наконец, фиолетовый мяч ловится и бросается левой рукой при пятом броске, это дает первому броску счет 5 . В результате получается последовательность чисел, обозначающая высоту каждого броска, который необходимо выполнить. Поскольку руки чередуются, броски с нечетными номерами отправляют мяч в другую руку, а броски с четными номерами отправляют мяч в ту же руку. 3 ; представляет собой бросок в противоположную руку на высоте основного каскада тройного 4 так представляет собой бросок в ту же руку на высоте четырехфонтана и далее.

Имена для обмена сайтами

Бросок имени	Объект Beats находится в воздухе	Переключает руки	Описание
0	-	-	Пустая рука
1	1	Да	Перебрасывать из одной руки в другую
2	0	Нет	Мгновенное удержание
3	3	Да	из трех мячей Бросок из каскада
4	4	Нет	из 4 шаров Бросок из фонтана
5	5	Да	из 5 мячей Бросок из каскада
6	6	Нет	из 6 шаров Бросок из фонтана
7	7	Да	Бросок из каскада из 7 мячей
8	8	Нет	Бросок из фонтана на 8 шаров
9	9	Да	из 9 мячей Бросок из каскада
а	10	Нет	из 10 шаров Бросок из фонтана
б	11	Да	из 11 мячей Бросок из каскада
...	...	...	...

Существует три специальных броска: 0 — пауза с пустой рукой, 1 — быстрый пас прямо на другую руку и 2 — кратковременное удержание предмета. Броски длиной более 9 ударов обозначаются буквами, начинающимися с буквы . Количество ударов мяча в воздухе обычно соответствует тому, насколько высоко он был брошен, поэтому многие люди называют цифры высотой, но это технически неверно; все, что имеет значение, это количество ударов в воздухе, а не то, насколько высоко он подброшен. Например, подпрыгивание мяча занимает больше времени, чем бросок в воздух на ту же высоту, поэтому значение замены сайта может быть более высоким, но при этом бросок будет меньшим.

Каждый шаблон повторяется после определенного количества бросков, называемого периодом шаблона. Точка — это количество цифр в кратчайшем неповторяющемся представлении шаблона. Например, на диаграмме справа изображен шаблон 53145305520, который имеет 11 цифр и, следовательно, имеет период 11. Если период представляет собой нечетное число, как это, то каждый раз, когда последовательность повторяется, последовательность начинается с другой руки. , и рисунок симметричен , потому что каждая рука делает одно и то же (хотя и в разное время). Если период представляет собой четное число, то при каждом повторении паттерна каждая рука делает то же самое, что и в прошлый раз, и паттерн асимметричен .

Количество шаров, используемых в шаблоне, представляет собой среднее число бросков в шаблоне. Например, 441 — это шаблон из трех объектов, потому что (4+4+1)/3 — это 3, а 86 — это шаблон из семи объектов. Поэтому все шаблоны должны иметь последовательность замены сайтов, среднее значение которой равно целому числу . Не все такие последовательности описывают закономерности; например, 543 со средним целым числом 4, но все три броска приземляются одновременно, сталкиваясь.

Некоторые придерживаются соглашения, согласно которому сначала в файле обмена сайтами пишутся его самые высокие номера. Один из недостатков этого подхода очевиден в шаблоне 51414 , шаблоне из трех шаров, который нельзя вставить в середину цепочки из трех бросков, в отличие от его вращения 45141 , которое может.

Синхронный

Лестничная схема для коробки: (4,2x)(2x,4)

Нотация обмена сайтами может быть расширена для обозначения шаблонов, содержащих синхронные броски обеих рук. Числа двух бросков объединяются в круглые скобки и разделяются запятой. Поскольку синхронные броски выполняются только на четные удары, разрешены только четные числа. Броски, которые переходят в другую руку, отмечаются знаком « х» после номера. с тремя опорами Таким образом, синхронный душ обозначается (4x,2x) , что означает, что одна рука постоянно делает низкий бросок или «молнию» в противоположную руку, в то время как другая постоянно делает более высокий бросок в первую руку. Последовательности пар в скобках записываются без разделительных маркеров. Узоры, повторяющиеся в зеркальном отражении на противоположной стороне, можно обозначать знаком *. Например, вместо (4,2x)(2x,4) трех шаров (шаблон из ) можно сократить до (4,2x)* .

Мультиплексирование

Каскад из трех шаров с триплексом: [333]33

Дальнейшее расширение позволяет обмену сайтами записывать шаблоны, включающие несколько бросков одной или обеими руками одновременно в мультиплексном шаблоне. Числа для нескольких бросков с одной руки записываются вместе в квадратных скобках. Например, [33]33 — это обычный каскад из трех шаров, в котором пара шаров всегда брошена вместе.

Прохождение

Счет до четырех, или «Все остальные»: <333P|333P>

Одновременное жонглирование: обозначение <xxx|yyy> означает, что один жонглер выполняет «xxx», а другой — «yyy». «p» используется для обозначения паса. Например, <3p 3|3p 3> — это схема передачи с 6 опорами «2 счета», где все броски левой рукой являются пасами, а броски правой рукой являются самостоятельными. Это также можно использовать с синхронными шаблонами; тогда «душ» для двух человек будет <(4xp,2x)|(4xp,2x)>

Дробное обозначение

Если шаблон содержит дроби, например <4.5 3 3 | 3 4 3.5> жонглеру после планки положено быть на полсчета позже, и все дроби проходят.

социальный обмен сайтами

Если оба жонглируют одним и тем же шаблоном (хотя и сдвинутым во времени), этот шаблон называется заменой социальных сайтов, и нужно написать только половину шаблона: <4p 3| 3 4p> становится 4p 3 и <4.5 3 3| 3 4,5 3> становится 4,5 3 3 . (обратите внимание, что в последнем случае 4,5 будут прямыми пасами от одного жонглера и перекрестными пасами (т. е. слева налево или справа на правую руку) от другого жонглера.Социальные обмены сайтами также могут быть созданы для более чем двух жонглеров (например, 4p 3 3 или 3,7 3 для 3 жонглеров, где 3,7 означает 3,66666.... или 3). 2 ⁄ 3 . Затем каждый жонглер должен начать 1/3 на счета после предыдущего.)

Обратите внимание, что некоторые жонглеры используют дроби, чтобы отметить схемы игры несколькими руками.

Многорукий

Многоручная нотация была разработана Эдом Карстенсом в 1992 году для использования в его программе для жонглирования JugglePro. Нотация обмена сайтами в своей простейшей форме («ванильный обмен сайтами») предполагает, что одновременно бросается только один мяч. Отсюда следует, что любой действительный обмен сайтами для двух рук также будет действителен для любого количества рук при условии, что руки бросают друг за другом. Обычно используемый обмен сайтами с участием нескольких рук — это обмен сайтами в одну руку (диаболо) и обмен сайтами в четыре руки (попутный) .

1-ручное (диаболо)

Обмен сайтами осуществляется одной рукой или игроком -диаболо, бросающим диаболо на разную высоту.

в 4 руки

Действительные обмены сайтами могут выполняться жонглером в 4 руки или двумя жонглерами, координирующими 4 руки, при условии, что руки бросают поочередно.

На практике этого легче всего добиться, если жонглеры бросают по очереди, в одной последовательности (правая рука жонглера А, правая рука жонглера Б, левая рука А, левая рука Б).

перепутанные обозначения

Некоторые жонглеры, отмечая обмен сайтами в 4 руки, делят значения обмена сайтами на количество жонглеров. Это приводит к дробной записи, похожей на запись для социальных сетей, но порядок записи может быть другим.

Диаграммы состояний

Диаграмма состояния для 3 мячей с максимальным броском «5»

Сразу после броска мяча (или клюшки, или другого предмета для жонглирования) все мячи находятся в воздухе и находятся под действием силы тяжести. Если предположить, что мячи пойманы на постоянном уровне, то время приземления мячей уже определено. Мы можем отметить каждый момент времени, когда мяч приземлится, знаком x , а каждый момент времени, когда еще не запланировано приземление мяча, знаком - . Это описывает текущее состояние и определяет, какой номер шара можно бросить следующим. Например, мы можем посмотреть на диаграмме состояние сразу после нашего первого броска: это xx--x. Мы можем использовать состояние, чтобы определить, что можно сделать дальше. Сначала мы убираем x с левой стороны (это мяч, который приземлится следующим) и сдвигаем все остальное влево, заполняя - справа. Это оставляет нам x--x-. Поскольку мы поймали мяч (х, который мы удалили слева), мы не можем «бросить» 0 следующим. Мы также не можем выбросить 1 или 4, потому что там уже запланировано приземление шаров. Итак, если предположить, что максимально точно мы можем бросить мяч на высоту 5, тогда мы можем бросить только 2, 3 или 5. На этой диаграмме жонглер бросил 3, поэтому x стоит на третьем месте. , заменив -, и мы получим x-xx- в качестве нового состояния.

На показанной диаграмме показаны все возможные состояния для человека, жонглирующего тремя предметами и максимальной высотой 5. Из каждого состояния можно следовать стрелкам, а соответствующие числа производят замену сайтов. Любой путь, создающий цикл, генерирует действительный обмен сайтами, и таким образом можно сгенерировать все обмены сайтами. Диаграмма быстро увеличивается, когда вводится больше шаров или более высокие броски, поскольку появляется больше возможных состояний и возможных бросков.

Другой метод представления состояний смены сайтов — это представление мяча с цифрой 1 вместо x и представление места, где нет запланированного приземления мяча, с цифрой 0 вместо -. Тогда состояние может быть представлено двоичным числом, например двоичным 10011. Этот формат позволяет представлять мультиплексные состояния, т. е. число 2 означает, что в этот такт приземлятся 2 мяча.

Бросать Состояние	0	1	2	3	4	5
111				111	1101	11001
0111	111
1011		111			0111	01101
1101			111		1011	10101
00111	0111
01011	1011
01101	1101
10011		1011	0111			00111
10101		1101		0111		01011
11001			1101	1011		10011

Диаграмму состояний обмена сайтами также можно представить в виде таблицы перехода состояний , как показано справа. Чтобы создать замену сайтов, выберите строку начального состояния. Индексируйте строку через соответствующий столбец. Запись состояния на пересечении — это переход в состояние при совершении этого броска. Из нового состояния можно снова индексировать таблицу. Этот процесс можно повторить, чтобы при достижении исходного состояния был создан действительный обмен сайтами.

Математические свойства

Срок действия

Диаграмма состояний Siteswap 531

Не все последовательности обмена сайтами действительны. Все стандартные, синхронные и мультиплексные последовательности обмена сайтами действительны, если переходы их состояний создают цикл в графе диаграммы состояний. Последовательности, которые не создают цикл, недействительны. Например, шаблон 531 можно сопоставить с диаграммой состояний, как показано справа. Поскольку переходы в этой последовательности создают цикл в графе, этот шаблон действителен.

Существуют и другие методы определения достоверности последовательности, основанные на разновидности замены сайтов.

последовательность Ванильная обмена сайтами $a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n-1}$где $n$ период обмена сайтами, действителен, когда мощность набора $S$ (записано в обозначениях Set-builder ) равно периоду $n$ где $$S=\{(a_{i}+i){\bmod {n}}|0\leq i\leq n-1\}$$Чтобы определить, действителен ли шаблон, сначала создайте новую последовательность, образованную сложением $0$ до первого номера, $1$ на второй номер, $2$ до третьего номера и так далее. Во-вторых, вычислите модуль (остаток) каждого числа с периодом. Если ни одно из чисел не повторяется в этой последней последовательности, то шаблон действителен.

Например, шаблон 531 даст $5+0,3+1,1+2$ или $5,4,3$. Поскольку период паттерна 531 равен 3, результаты предыдущего примера дадут $5{\bmod {3}},4{\bmod {3}},3{\bmod {3}}$или $2,1,0$. В данном случае допустимо число 531, поскольку числа $2,1,0$ все уникальны. Другой пример: 513 — недопустимый шаблон, поскольку на первом этапе создается $5+0,1+1,3+2$ или $5,2,5$, второй шаг дает $5{\bmod {3}},2{\bmod {3}},5{\bmod {3}}$ или $2,2,2$, а окончательная последовательность содержит как минимум дубликат одного числа, в данном случае 2.

Синхронный если обмен сайтами действителен,

1. он содержит только четные числа и
2. его можно преобразовать в действительный стандартный обмен сайтами с помощью свойства слайда .

в противном случае это недействительно .

Обмен недвижимостью

Новые действительные ванильные последовательности могут быть созданы путем замены соседних элементов из другой действительной ванильной последовательности замены сайтов, добавления 1 к заменяемому числу справа и вычитанию 1 из заменяемого числа слева. Свойство swap преобразует действительную последовательность ${\textstyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{i}a_{i+1}...a_{n-1}}$ с произвольным значением $i$, чтобы сгенерировать новую действительную последовательность $a_{0}a_{1}a_{2}...(a_{i+1}+1)(a_{i}-1)...a_{n-1}$.

Например, свойство swap, выполняемое для двух внутренних бросков последовательности 4413, переместит 4 вправо, вычитая из нее 1, чтобы получить 3, и переместит 1 влево, добавив к ней 1, чтобы стать 2. Это создает новое действительное значение. Шаблон обмена сайтами 4233.

Свойство слайда

Допустимую синхронную последовательность можно преобразовать в допустимую асинхронную последовательность и наоборот с помощью свойства слайда. Учитывая синхронную последовательность $(a_{0},a_{1})(a_{2},a_{3})...(a_{n-2},a_{n-1})$, могут быть сформированы две новые ванильные последовательности: ${\textstyle b_{0}b_{1}...b_{n-1}}$ и $c_{0}c_{1}...c_{n-1}$, где $$b_{i}={\begin{cases}a_{i}+1,&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i}-1,&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i},&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$и $$c_{i}={\begin{cases}a_{i+1}+1,&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i-1}-1,&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ crosses hands}}\\a_{i+1},&{\text{if }}i{\text{ is even and }}a_{i}{\text{ does not cross}}\\a_{i-1},&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}a_{i}{\text{ does not cross}}\end{cases}}$$Свойство слайд получило свое название за счет сдвига времени бросков одной из рук на одну единицу времени, чтобы броски выравнивались асинхронно. Например, обмен сайтами (8x,4x)(4,4) создаст два асинхронных (ванильных) обмена сайтами с использованием свойства слайда: 9344 и 5744.

Основные шаблоны

Обмен сайтами можно считать простым или составным. Обмен сайтами является простым, если путь, созданный на его диаграмме состояний, не пересекает ни одно состояние более одного раза. Свопы сайтов, которые не являются простыми, называются составными.

Нестрогий, но более простой метод определения того, является ли обмен сайтами простым, состоит в том, чтобы попытаться разбить его на любой допустимый более короткий шаблон, который использует такое же количество реквизитов. Например, 44404413 можно разделить на 4440, 441 и 3; следовательно, 44404413 является составным. Другой пример, 441, в котором используются три реквизита, является простым, поскольку 1, 4, 41 и 44 не являются допустимыми тремя шаблонами реквизита (так как 1/1≠3, 4/1≠3, (4+1)/2≠ 3 и (4+4)/2≠3). Иногда этот процесс не работает; например, число 153 (более известное по вращению 531) выглядит так, как будто его можно разбить на 15 и 3, но проверка того, что в цикле нет повторяющихся узлов при обходе графа, указывает на то, что по более строгому определению он является простым.

Эмпирически доказано, что самые длинные простые свопы сайтов, ограниченные высотой $h$ содержат в основном броски $0$ и $h$. Самые длинные простые шаблоны с высотой 22 (максимум с 3 шарами), для 9 шаров (с максимальной высотой 13), а также для высоты и промежуточного количества мячей были пронумерованы Джеком Бойсом в феврале 1999 года с использованием программы под названием jdeep. Полный список самых длинных простых обменов сайтами, сгенерированных jdeep (с бросками «0», обозначенными «-», и бросками максимальной высоты, обозначенными «+»), можно найти здесь .

Математические связи

с

Ванильные шаблоны обмена сайтами можно рассматривать как определенные элементы аффинной симметричной группы ( аффинной группы Вейля типа ${\tilde {A}}_{n}$). Одно из представлений этой группы — это набор биективных функций f на целых числах таких, что для фиксированного n : f ( i + n ) = f ( i ) + n для всех целых чисел i . Если элемент f удовлетворяет дополнительному условию, что f ( i ) ≥ i для всех i , то f соответствует (бесконечно повторяемому) шаблону замены сайтов, i -е число которого равно f ( i ) − i : то есть мяч, брошенный в момент времени я приземлюсь в момент f ( i ).

Подключения к топологии

Подмножество этих шаблонов обмена сайтами естественным образом маркирует слои в позитроидной стратификации грассманиана .

Список символов

• Число: Относительная продолжительность (высота) броска. 1, 2, 3...
• Скобки []: Мультиплекс. [333]33.
• Шевроны и вертикальная черта <|>: схемы одновременного и проходного движения.
  • П: Пасс. <333P|333P>
  • Фракция: пройти 1 удар позже. <4,5 3 3 | 3 4 3.5>
• Круглые скобки (): синхронный шаблон.
  • *: Синхронный шаблон с переключением сторон. (4,2x)(2x,4) = (4,2x)*
  • x: бросить в другую руку во время синхронного паттерна.

Программы

множество бесплатных компьютерных программ, Существует имитирующих схемы жонглирования.

• Аниматор Juggling Lab — аниматор с открытым исходным кодом , написанный на Java и интерпретирующий почти весь синтаксис обмена сайтами.
• Jongl — 3d аниматор, способный отображать многоручные (проходные) узоры.
• ДжоПасс! работает на Windows, Macintosh и Wine (для Linux)
• Gunswap — веб-аниматор с открытым исходным кодом, 3D-аниматор и библиотека шаблонов.

Есть также несколько игр, в которые можно поиграть с обменом сайтами:

• Игра Siteswap, разработанная Себи Хаусхофером (для Java)

См. также

• Список обменов сайтами

Дальнейшее чтение

• Польстер, Буркард (2003). Математика жонглирования . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-95513-5 . Проверено 23 августа 2012 г.

Внешние ссылки

• « Схемы симметричной передачи », PassingDB.com .
• DSSS: Симулятор обмена сайтами Diabolo , ArtofDiabolo.com .
• Лаборатория жонглирования (Загружаемый аниматор)
• Gunswap Juggling (Онлайн-аниматор)
• TWJC Siteswap Calculator (полезный ванильный, мультиплексный и синхронный валидатор обмена сайтами)
• « Схемы симметричной передачи в шахматном порядке для двух жонглеров », Шон Гандини (обмен в социальных сетях)
• Смит, HJ "Числа жонглера" в Wayback Machine (архивировано 6 августа 2003 г.)
• Райт, Колин. «Жонглирование числами» (видео) . Ютуб . Брэйди Харан . Проверено 4 октября 2017 г.