Аффинная симметричная группа

Регулярное треугольное замощение плоскости, симметрии которого описываются аффинной симметрической группой S̃ ₃

Аффинные симметрические группы — это семейство математических структур, которые описывают симметрию числовой прямой и правильное треугольное замощение плоскости, а также связанные с ними объекты более высокой размерности. В дополнение к этому геометрическому описанию аффинные симметрические группы могут быть определены другими способами: как наборы перестановок (перестановок) целых чисел ( ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... ), которые являются периодическими в определенном смысле или, в чисто алгебраическом смысле, как группа с определенными образующими и отношениями . Они изучаются в комбинаторике и теории представлений .

Конечная симметрическая группа состоит из всех перестановок конечного множества. Каждая аффинная симметрическая группа является бесконечным расширением конечной симметрической группы. Многие важные комбинаторные свойства конечных симметрических групп могут быть распространены на соответствующие аффинные симметрические группы. Статистика перестановок, такая как спуск и инверсия, может быть определена в аффинном случае. Как и в конечном случае, естественные комбинаторные определения этой статистики также имеют геометрическую интерпретацию.

Аффинные симметричные группы имеют тесные связи с другими математическими объектами, включая модели жонглирования и некоторые сложные группы отражений . Многие из их комбинаторных и геометрических свойств распространяются на более широкое семейство аффинных групп Кокстера .

Определения

Аффинную симметрическую группу можно эквивалентно определить как абстрактную группу с помощью генераторов и отношений или с точки зрения конкретных геометрических и комбинаторных моделей.

Алгебраическое определение

Диаграммы Дынкина для аффинных симметрических групп с 2 и более образующими

Один из способов определения групп — с помощью генераторов и отношений . В этом типе определения генераторы представляют собой подмножество элементов группы, которые при объединении создают все остальные элементы. Отношения определения представляют собой систему уравнений, определяющих равенство двух комбинаций образующих. Таким образом, аффинная симметрическая группа ${\widetilde {S}}_{n}$ генерируется набором $$s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n-1}$$из n элементов, удовлетворяющих следующим соотношениям: когда $n\geq 3$,

1. $s_{i}^{2}=1$ (образующие — инволюции ),
2. $s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}$ если j не является одним из $i-1,i,i+1$, что указывает на то, что для этих пар генераторов групповая операция коммутативна , и
3. $s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1}$.

В приведенных выше отношениях индексы берутся по модулю n , так что третье соотношение включает в себя как частный случай $s_{0}s_{n-1}s_{0}=s_{n-1}s_{0}s_{n-1}$. (Второе и третье соотношение иногда называют отношениями кос . ) Когда $n=2$, аффинная симметрическая группа ${\widetilde {S}}_{2}$ - бесконечная группа диэдра, порожденная двумя элементами $s_{0},s_{1}$ подчиняется только отношениям $s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=1$.

Эти отношения можно переписать в специальной форме, которая определяет группы Кокстера , так что аффинные симметрические группы являются группами Кокстера с $s_{i}$ как их генераторные установки Кокстера. Каждую группу Кокстера можно представить диаграммой Кокстера-Динкина , в которой вершины соответствуют образующим, а ребра кодируют отношения между ними. Для $n\geq 3$, диаграмма Кокстера – Дынкина ${\widetilde {S}}_{n}$ является n -циклом (где ребра соответствуют отношениям между парами последовательных образующих, а отсутствие ребра между остальными парами образующих указывает на их коммутацию), а для $n=2$ он состоит из двух узлов, соединенных ребром с меткой $\infty$.

Геометрическое определение

Когда n = 3 , пространство V представляет собой двумерную плоскость, и отражения происходят поперек линий. Точки корневой решетки Λ обведены кружками.

В евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ с координатами $(x_{1},\ldots ,x_{n})$, множество V точек, для которых $x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=0$ образует (гипер)плоскость , ( n − 1) -мерное подпространство. Для каждой пары различных элементов i и j из $\{1,\ldots ,n\}$ и каждое целое число k — набор точек в V , которые удовлетворяют $x_{i}-x_{j}=k$ образует ( n − 2) -мерное подпространство внутри V , и существует единственное отражение V , которое фиксирует это подпространство. Тогда аффинная симметрическая группа ${\widetilde {S}}_{n}$ может быть реализовано геометрически как совокупность отображений V в себя, композиции этих отражений.

Внутри V подмножество точек с целочисленными координатами образует решетку Λ корневую . Это набор всех целочисленных векторов $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ такой, что $a_{1}+\cdots +a_{n}=0$. Каждое отражение сохраняет эту решетку, и, следовательно, решетка сохраняется для всей группы.

Фиксированные подпространства этих отражений делят V на конгруэнтные симплексы , называемые альковами . Ситуация, когда $n=3$ показано на рисунке; в этом случае решетка корней представляет собой треугольную решетку, отражающие линии делят V на равносторонние треугольные ниши, а корни — центры непересекающихся шестиугольников, составленных из шести треугольных ниш.

Отражения и ниши для аффинной симметрической группы. Основная ниша затенена.

Чтобы перевести геометрические и алгебраические определения, фиксируют нишу и рассматривают n гиперплоскостей, образующих ее границу. Отражения через эти граничные гиперплоскости можно отождествить с генераторами Кокстера. В частности, существует единственная ниша ( фундаментальная ниша ), состоящая из точек $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ такой, что $x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots \geq x_{n}\geq x_{1}-1$, ограниченный гиперплоскостями $x_{1}-x_{2}=0,$ $x_{2}-x_{3}=0,$ ..., и $x_{1}-x_{n}=1,$ проиллюстрировано в деле $n=3$. Для $i=1,\ldots ,n-1$, можно идентифицировать отражение через $x_{i}-x_{i+1}=0$ с генератором Кокстера $s_{i}$, а также идентифицировать отражение через $x_{1}-x_{n}=1$ с генератором $s_{0}=s_{n}$.

Комбинаторное определение

Элементы аффинной симметрической группы можно реализовать как группу периодических перестановок целых чисел. В частности, скажем, что функция $u\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ является аффинной перестановкой, если

• это биекция (каждое целое число появляется как значение $u(x)$ ровно за один $x$),
• $u(x+n)=u(x)+n$ для всех целых x (функция эквивариантна относительно сдвига на $n$), и
• $u(1)+u(2)+\cdots +u(n)=1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$, $n$треугольное число .

Для каждой аффинной перестановки и, в более общем плане, каждой сдвиго-эквивариантной биекции числа $u(1),\ldots ,u(n)$ все должны быть различны по модулю n . Аффинная перестановка однозначно определяется обозначением ее окна. $[u(1),\ldots ,u(n)]$, поскольку все остальные значения $u$ можно найти, сдвигая эти значения. Таким образом, аффинные перестановки также можно идентифицировать с помощью кортежей $[u(1),\ldots ,u(n)]$ целых чисел, которые содержат по одному элементу из каждого класса сравнения по модулю n и имеют сумму $1+2+\cdots +n$.

Для перевода между комбинаторными и алгебраическими определениями, например $i=1,\ldots ,n-1$ можно идентифицировать генератор Кокстера $s_{i}$ с аффинной перестановкой, имеющей оконное обозначение $[1,2,\ldots ,i-1,i+1,i,i+2,\ldots ,n]$, а также определить генератор $s_{0}=s_{n}$ с аффинной перестановкой $[0,2,3,\ldots ,n-2,n-1,n+1]$. В более общем смысле каждое отражение (то есть сопряженное с одним из генераторов Кокстера) можно однозначно описать следующим образом: для различных целых чисел i , j в $\{1,\ldots ,n\}$ и произвольное целое число k , оно отображает i в j − kn , отображает j в i + kn и фиксирует все входные данные, не совпадающие с i или j по модулю n .

Представление в виде матриц

Матричное представление аффинной перестановки [2, 0, 4] с соглашением о замене единиц на • и нулях опущено. Отображаются обозначения строк и столбцов.

Аффинные перестановки можно представить как бесконечные периодические матрицы перестановок . Если $u:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ является аффинной перестановкой, соответствующая матрица имеет запись 1 в позиции $(i,u(i))$ в бесконечной сетке $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ для каждого целого числа i , а все остальные элементы равны 0. Поскольку u является биекцией, результирующая матрица содержит ровно одну единицу в каждой строке и столбце. Условие периодичности на карте u гарантирует, что запись в позиции $(a,b)$ равно входу в позиции $(a+n,b+n)$ для каждой пары целых чисел $(a,b)$. Например, часть матрицы для аффинной перестановки $[2,0,4]\in {\widetilde {S}}_{3}$ показано на рисунке. В строке 1 в столбце 2 стоит 1; в строке 2 в столбце 0 стоит 1; а в строке 3 в столбце 4 стоит 1. Остальные записи в этих строках и столбцах равны 0, а все остальные записи в матрице фиксируются условием периодичности.

Связь с конечной симметрической группой

Аффинная симметрическая группа ${\widetilde {S}}_{n}$ содержит конечную симметрическую группу $S_{n}$ перестановок на $n$ элементы как подгруппа и факторгруппа . Эти связи позволяют осуществлять прямой перевод между комбинаторными и геометрическими определениями аффинной симметрической группы.

Как подгруппа

Существует канонический способ выбора подгруппы ${\widetilde {S}}_{n}$ изоморфная конечной симметрической группе $S_{n}$.В терминах алгебраического определения это подгруппа ${\widetilde {S}}_{n}$ созданный $s_{1},\ldots ,s_{n-1}$ (исключая простое отражение $s_{0}=s_{n}$). Геометрически это соответствует подгруппе преобразований, фиксирующих начало координат, а комбинаторно — оконным обозначениям, для которых $\{u(1),\ldots ,u(n)\}=\{1,2,\ldots ,n\}$ (то есть, в котором обозначение окна представляет собой однострочное обозначение конечной перестановки).

Если $u=[u(1),u(2),\ldots ,u(n)]$ — это оконная запись элемента этой стандартной копии $S_{n}\subset {\widetilde {S}}_{n}$, его действие на гиперплоскости V в $\mathbb {R} ^{n}$ задаётся перестановкой координат: $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\cdot u=(x_{u(1)},x_{u(2)},\ldots ,x_{u(n)})$. (В этой статье геометрическое действие перестановок и аффинных перестановок находится справа; таким образом, если u и v — две аффинные перестановки, действие uv на точку задается сначала применением u , а затем применением v .)

Также существует множество нестандартных копий. $S_{n}$ содержится в ${\widetilde {S}}_{n}$. Геометрическая конструкция состоит в том, чтобы выбрать любую точку a в Λ (то есть целочисленный вектор, сумма координат которого равна 0); подгруппа $({\widetilde {S}}_{n})_{a}$ из ${\widetilde {S}}_{n}$ изометрий , фиксирующих a, изоморфно $S_{n}$.

Как частное

Существует простое отображение (технически гомоморфизм сюръективной группы ) π из ${\widetilde {S}}_{n}$ на конечную симметрическую группу $S_{n}$. С точки зрения комбинаторного определения, аффинная перестановка может быть отображена в перестановку путем сокращения записей окна по модулю n до элементов $\{1,2,\ldots ,n\}$, оставляя однострочное обозначение перестановки. В этой статье изображение $\pi (u)$ аффинной перестановки называется базовой перестановкой u . u

Карта π отправляет генератор Кокстера $s_{0}=[0,2,3,4,\ldots ,n-2,n-1,n+1]$ к перестановке, однострочное обозначение и обозначение цикла которого $[n,2,3,4,\ldots ,n-2,n-1,1]$ и $(1\;n)$, соответственно.

Ядро числа π является по определению представляет собой набор аффинных перестановок, основной перестановкой которых единица . Оконные обозначения таких аффинных перестановок имеют вид $[1-a_{1}\cdot n,2-a_{2}\cdot n,\ldots ,n-a_{n}\cdot n]$, где $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ — целочисленный вектор такой, что $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=0$, то есть где $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \Lambda$. Геометрически это ядро ​​состоит из трансляций , изометрий, которые смещают все пространство V, не вращая и не отражая его. В результате злоупотребления обозначениями символ Λ используется в этой статье для всех трех из этих наборов (целочисленные векторы в V , аффинные перестановки с базовой перестановкой тождества и переводы); во всех трех случаях естественная групповая операция превращает в абелеву группу , свободно векторами порожденную n - 1 Λ $\{(1,-1,0,\ldots ,0),(0,1,-1,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,1,-1)\}$.

Связь между геометрическими и комбинаторными определениями

Альковы для ${\widetilde {S}}_{3}$ помечены аффинными перестановками. Альков A помечается обозначением окна для перестановки u, если u отправляет фундаментальный альков (заштрихованный) в A . Отрицательные числа обозначаются чертами.

Аффинная симметрическая группа ${\widetilde {S}}_{n}$ имеет Λ как нормальную подгруппу и изоморфна полупрямому произведению $${\widetilde {S}}_{n}\cong S_{n}\ltimes \Lambda$$этой подгруппы с конечной симметрической группой $S_{n}$, где действие $S_{n}$ на Λ осуществляется перестановкой координат. Следовательно, каждый элемент u из ${\widetilde {S}}_{n}$ имеет уникальную реализацию как продукт $u=r\cdot t$ где $r$ является перестановкой в ​​стандартной копии $S_{n}$ в ${\widetilde {S}}_{n}$ и $t$ является переводом в Λ .

Эта точка зрения допускает прямой перевод между комбинаторным и геометрическим определениями. ${\widetilde {S}}_{n}$: если кто-то пишет $[u(1),\ldots ,u(n)]=[r_{1}-a_{1}\cdot n,\ldots ,r_{n}-a_{n}\cdot n]$ где $r=[r_{1},\ldots ,r_{n}]=\pi (u)$ и $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in \Lambda$ тогда аффинная перестановка u соответствует жесткому движению V, определяемому формулой $$(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot u=\left(x_{r(1)}+a_{1},\ldots ,x_{r(n)}+a_{n}\right).$$

Более того, как и в случае с любой аффинной группой Кокстера, аффинная симметрическая группа действует транзитивно и свободно на множестве ниш: для каждых двух ниш уникальный групповой элемент переводит одну нишу в другую. Следовательно, произвольный выбор ниши $A_{0}$ ставит группу во взаимно однозначное соответствие с нишами: элемент идентичности соответствует $A_{0}$, а каждый второй элемент группы g соответствует нише $A=A_{0}\cdot g$ это образ $A_{0}$ действием г. под

Пример: n = 2

Аффинная симметрическая группа ${\widetilde {S}}_{2}$ действует на прямой V в евклидовой плоскости. Отражения проходят через пунктирные линии. векторы корневой решетки Λ . Отмечены

Алгебраически, ${\widetilde {S}}_{2}$ - бесконечная группа диэдра, порожденная двумя образующими $s_{0},s_{1}$ в зависимости от отношений $s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=1$. Любой другой элемент группы можно записать как чередующееся произведение копий $s_{0}$ и $s_{1}$.

Комбинаторно аффинная перестановка $s_{1}$ имеет обозначение окна $[2,1]$, соответствующий биекции $2k\mapsto 2k-1,2k-1\mapsto 2k$ для каждого целого числа k . Аффинная перестановка $s_{0}$ имеет обозначение окна $[0,3]$, соответствующий биекции $2k\mapsto 2k+1,2k+1\mapsto 2k$ для каждого целого числа k . Остальные элементы имеют следующие обозначения окон:

${\begin{aligned}\overbrace {s_{0}s_{1}\cdots s_{0}s_{1}} ^{2k{\text{ factors}}}&=[1+2k,2-2k],\\[5pt]\overbrace {s_{1}s_{0}\cdots s_{1}s_{0}} ^{2k{\text{ factors}}}&=[1-2k,2+2k],\\[5pt]\overbrace {s_{0}s_{1}\cdots s_{0}} ^{2k+1{\text{ factors}}}&=[2+2k,1-2k],\\[5pt]\overbrace {s_{1}s_{0}\cdots s_{1}} ^{2k+1{\text{ factors}}}&=[2-2(k+1),1+2(k+1)].\end{aligned}}$

Геометрически пространство V , на котором ${\widetilde {S}}_{2}$ действия — это линия с бесконечным количеством равноотстоящих друг от друга отражений. естественно отождествить Линию V с реальной линией $\mathbb {R} ^{1}$, $s_{0}$ с отражением вокруг точки 0 и $s_{1}$ с отражением вокруг точки 1 . В этом случае отражение $(s_{0}s_{1})^{k}s_{0}$ отражается через точку – k для любого целого числа k , композиция $s_{0}s_{1}$ переводит строку на –2 , а композиция $s_{1}s_{0}$ переводит строку на 2 .

Статистика перестановок и шаблоны перестановок

Многие статистики перестановок и другие особенности комбинаторики конечных перестановок могут быть распространены на аффинный случай.

Спуски, длина и инверсии

Длина ​ $\ell (g)$ элемента g группы Кокстера G — это наименьшее число k такое, что g можно записать как произведение $g=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}$ k генераторов Кокстера группы G . Геометрически длина элемента g в ${\widetilde {S}}_{n}$ - количество отражающих гиперплоскостей, разделяющих $A_{0}$ и $A_{0}\cdot g$, где $A_{0}$ - фундаментальная ниша (симплекс, ограниченный отражающими гиперплоскостями генераторов Кокстера $s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n-1}$). Комбинаторно длина аффинной перестановки кодируется с помощью соответствующего понятия инверсий : для аффинной перестановки u длина равна $$\ell (u)=\#\left\{(i,j)\colon i\in \{1,\ldots ,n\},i<j,{\text{ and }}u(i)>u(j)\right\}.$$Альтернативно, это количество классов эквивалентности пар. $(i,j)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ такой, что $i<j$ и $u(i)>u(j)$ по отношению эквивалентности $(i,j)\equiv (i',j')$ если $(i-i',j-j')=(kn,kn)$ для некоторого целого числа k . длины Производящая функция в ${\widetilde {S}}_{n}$ является $$\sum _{g\in {\widetilde {S}}_{n}}q^{\ell (g)}={\frac {1-q^{n}}{(1-q)^{n}}}.$$

Аналогично существует аффинный аналог спусков в перестановках: аффинная перестановка u имеет спуск в позиции i , если $u(i)>u(i+1)$. (По периодичности u имеет спуск в позиции i тогда и только тогда, когда он имеет спуск в позиции $i+kn$ для всех целых k .)Алгебраически спуски соответствуют правым спускам в смысле групп Кокстера; то есть я являюсь потомком u тогда и только тогда, когда $\ell (u\cdot s_{i})<\ell (u)$. Левые спуски (т. е. такие индексы i , что $\ell (s_{i}\cdot u)<\ell (u)$) являются спусками обратной аффинной перестановки $u^{-1}$; эквивалентно, это значения i такие, что i встречается до i - 1 в последовательности $\ldots ,u(-2),u(-1),u(0),u(1),u(2),\ldots$. Геометрически i является спуском u тогда и только тогда, когда фиксированная гиперплоскость $s_{i}$ разделяет ниши $A_{0}$ и $A_{0}\cdot u.$

Поскольку существует только конечное число возможностей для количества спусков аффинной перестановки, но бесконечное число аффинных перестановок, невозможно наивно сформировать производящую функцию для аффинных перестановок по числу спусков (аффинный аналог эйлеровых полиномов ). Одно из возможных решений — рассмотреть аффинный спуск (эквивалентно циклический спуск) в конечной симметрической группе. $S_{n}$. Другой способ — одновременно учитывать длину и количество спусков аффинной перестановки. Многомерная производящая функция для этой статистики по ${\widetilde {S}}_{n}$ одновременно для n всех $$\sum _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{1-q^{n}}}\sum _{w\in {\widetilde {S}}_{n}}t^{\operatorname {des} (w)}q^{\ell (w)}=\left[{\frac {x\cdot {\frac {\partial }{\partial {x}}}\log(\exp(x;q))}{1-t\exp(x;q)}}\right]_{x\mapsto x{\frac {1-t}{1-q}}}$$где des( w ) — количество спусков аффинной перестановки w и $\exp(x;q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}(1-q)^{n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}$ – q -экспоненциальная функция .

Тип цикла и длина отражения

Любая биекция $u:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ разделяет целые числа на (возможно, бесконечный) список (возможно, бесконечных) циклов: для каждого целого числа i цикл, содержащий i, представляет собой последовательность $(\ldots ,u^{-2}(i),u^{-1}(i),i,u(i),u^{2}(i),\ldots )$ где возведение в степень представляет функциональную композицию. Для аффинной перестановки u следующие условия эквивалентны: все циклы u конечны, u имеет конечный порядок и геометрическое действие u на пространстве V имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Длина отражения $\ell _{R}(u)$ элемента u из ${\widetilde {S}}_{n}$ — наименьшее число k такое, что существуют отражения $r_{1},\ldots ,r_{k}$ такой, что $u=r_{1}\cdots r_{k}$. (В симметричной группе отражения представляют собой транспозиции, а длина отражения перестановки u равна $n-c(u)$, где $c(u)$ количество циклов u . ) В ( Льюис и др., 2019 ) была доказана следующая формула для длины отражения аффинной перестановки u : для каждого цикла u определите вес как целое число k такое, что последовательные элементы, конгруэнтные по модулю n, отличаются ровно на kn . Сформируйте кортеж весов цикла u (считая переводы одного и того же цикла на кратные n только один раз) и определите нулевое значение $\nu (u)$ быть размером наименьшего раздела множества этого кортежа, так что сумма каждой части равна 0. Тогда длина отражения u равна $$\ell _{R}(u)=n-2\nu (u)+c(\pi (u)),$$где $\pi (u)$ является основной перестановкой u .

Для каждой аффинной перестановки u существует выбор подгруппы W группы. ${\widetilde {S}}_{n}$ такой, что $W\cong S_{n}$, ${\widetilde {S}}_{n}=W\ltimes \Lambda$, а для стандартной формы $u=w\cdot t$ подразумеваемое этим полупрямым произведением, длины отражения аддитивны, то есть $\ell _{R}(u)=\ell _{R}(w)+\ell _{R}(t)$.

Полностью коммутативные элементы и избежание шаблонов

Сокращенным словом для элемента g группы Кокстера является кортеж $(s_{i_{1}},\ldots ,s_{i_{\ell (g)}})$ генераторов Кокстера минимально возможной длины таких, что $g=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{\ell (g)}}$. Элемент g называется вполне коммутативным, если любое приведенное слово можно преобразовать в любое другое путем последовательной замены коммутирующих пар множителей. Например, в конечной симметрической группе $S_{4}$, элемент $2143=(12)(34)$ полностью коммутативна, поскольку два ее сокращенных слова $(s_{1},s_{3})$ и $(s_{3},s_{1})$ могут быть связаны путем замены коммутирующих факторов, но $4132=(142)(3)$ не является полностью коммутативным, поскольку нет возможности получить сокращенное слово $(s_{3},s_{2},s_{3},s_{1})$ начиная с сокращенного слова $(s_{2},s_{3},s_{2},s_{1})$ по коммутациям.

Билли, Йокуш и Стэнли (1993) доказали, что в конечной симметрической группе $S_{n}$, перестановка является полностью коммутативной тогда и только тогда, когда она избегает шаблона перестановки 321, то есть, если и только если ее однострочное обозначение не содержит убывающей подпоследовательности из трех членов. В ( Green 2002 ) этот результат был распространен на аффинные перестановки: аффинная перестановка u полностью коммутативна тогда и только тогда, когда не существуют целые числа. $i<j<k$ такой, что $u(i)>u(j)>u(k)$.

Число аффинных перестановок, избегающих одного шаблона p , конечно тогда и только тогда, когда p избегает шаблона 321, поэтому, в частности, существует бесконечно много полностью коммутативных аффинных перестановок. Они были перечислены по длине в ( Hanusa & Jones 2010 ).

Параболические подгруппы и другие структуры

Параболические подгруппы ${\widetilde {S}}_{n}$ и их представители смежных классов имеют богатую комбинаторную структуру. Другие аспекты аффинных симметричных групп, такие как их порядок Брюа и теория представлений , также можно понять с помощью комбинаторных моделей.

Параболические подгруппы, представители смежных классов

Диаграмма счетов аффинной перестановки [−5, 0, 6, 9]

Стандартная группы Кокстера — это подгруппа , параболическая подгруппа порожденная подмножеством своего порождающего набора Кокстера. Максимальные параболические подгруппы — это те, которые возникают в результате исключения одного генератора Кокстера. В ${\widetilde {S}}_{n}$все максимальные параболические подгруппы изоморфны конечной симметрической группе $S_{n}$. Подгруппа, созданная подмножеством $\{s_{0},\ldots ,s_{n-1}\}\smallsetminus \{s_{i}\}$ состоит из тех аффинных перестановок, которые стабилизируют интервал $[i+1,i+n]$, то есть которые отображают каждый элемент этого интервала в другой элемент интервала.

Для фиксированного элемента i из $\{0,\ldots ,n-1\}$, позволять $J=\{s_{0},\ldots ,s_{n-1}\}\smallsetminus \{s_{i}\}$ — максимальное собственное подмножество генераторов Кокстера, опускающее $s_{i}$, и пусть $({\widetilde {S}}_{n})_{J}$ обозначим параболическую подгруппу, порожденную J . Каждый класс $g\cdot ({\widetilde {S}}_{n})_{J}$ имеет уникальный элемент минимальной длины. Совокупность таких представителей, обозначаемая $({\widetilde {S}}_{n})^{J}$, состоит из следующих аффинных перестановок: $$({\widetilde {S}}_{n})^{J}=\left\{u\in {\widetilde {S}}_{n}\colon u(i-n+1)<u(i-n+2)<\cdots <u(i-1)<u(i)\right\}.$$

В частном случае, что $J=\{s_{1},\ldots ,s_{n-1}\}$, так что $({\widetilde {S}}_{n})_{J}\cong S_{n}$ это стандартная копия $S_{n}$ внутри ${\widetilde {S}}_{n}$, элементы $({\widetilde {S}}_{n})^{J}\cong {\widetilde {S}}_{n}/S_{n}$ естественно может быть представлено в виде диаграмм на счетах : целые числа располагаются в бесконечной полосе шириной n , возрастающей последовательно по рядам, а затем сверху вниз; целые числа обведены кружком, если они лежат непосредственно над одной из записей окна представителя минимального смежного класса. Например, представитель минимального смежного класса $u=[-5,0,6,9]$ представлено диаграммой на счетах справа. Чтобы вычислить длину представителя на диаграмме счетов, нужно сложить количество чисел без кружка, которые меньше последней записи в кружке в каждом столбце. (В показанном примере это дает $5+3+0+1=9$.)

Другие комбинаторные модели представителей смежных классов минимальной длины для ${\widetilde {S}}_{n}/S_{n}$ могут быть заданы в виде основных разделов ( целочисленных разделов, в которых ни одна длина соединения не делится на n ) или ограниченных разделов (целочисленных разделов, в которых ни одна часть не превышает n - 1 ). При этих соответствиях можно показать, что слабый порядок Брюа на ${\widetilde {S}}_{n}/S_{n}$ изоморфно некоторому подмножеству решетки Юнга .

порядок рвоты

Заказ Брюа на ${\widetilde {S}}_{n}$ имеет следующую комбинаторную реализацию. Если u — аффинная перестановка, а i и j — целые числа, определите $u[i,j]$— это количество целых чисел a таких, что $a\leq i$ и $u(a)\geq j$. (Например, с $u=[2,0,4]\in {\widetilde {S}}_{3}$, у одного есть $u[3,1]=3$: три соответствующих значения: $a=0,1,3$, которые соответственно отображаются с помощью u в 1, 2 и 4.) Тогда для двух аффинных перестановок u , v имеем следующее $u\leq v$ в порядке Брюа тогда и только тогда, когда $u[i,j]\leq v[i,j]$ для всех целых чисел i , j .

Теория представлений и аффинное соответствие Робинсона – Шенстеда

В конечной симметрической группе соответствие Робинсона–Шенстеда дает биекцию между группой и парами. $(P,Q)$ стандартных таблиц Янга той же формы. Эта биекция играет центральную роль в комбинаторике и теории представлений симметрической группы . Например, на языке теории Каждана–Люстига две перестановки лежат в одной левой ячейке тогда и только тогда, когда их образы при Робинсоне–Шенстеде имеют одну и ту же таблицу Q , и в одной правой ячейке тогда и только тогда, когда их образы имеют таблица П. та же В ( Shi 1986 ) Цзянь-И Ши показал, что клетки оставляются для ${\widetilde {S}}_{n}$ вместо этого индексируются таблоидами , а в ( Shi 1991 ) он предложил алгоритм вычисления таблоида, аналогичного таблице P, для аффинной перестановки. В ( Чмутов, Пилявский и Юдовина 2018 ) авторы расширили работу Ши, дав биективное отображение между ${\widetilde {S}}_{n}$ и тройки $(P,Q,\rho )$ состоящий из двух таблоидов одинаковой формы и целочисленного вектора, элементы которого удовлетворяют определенным неравенствам. Их процедура использует матричное представление аффинных перестановок и обобщает теневую конструкцию , введенную в ( Viennot 1977 ).

Обратные реализации

Альковы для ${\widetilde {S}}_{3}$ помечены аффинными перестановками, обратными маркировке выше

В некоторых ситуациях может возникнуть желание рассмотреть действие аффинной симметрической группы на $\mathbb {Z}$ или в нишах, обратных приведенному выше. Эти альтернативные реализации описаны ниже.

В комбинаторном действии ${\widetilde {S}}_{n}$ на $\mathbb {Z}$, генератор $s_{i}$ действует путем переключения значений i и i + 1 . При обратном действии вместо этого он меняет местами записи в позициях i и i + 1 . Аналогичным образом, действие общего отражения будет заключаться в переключении записей в позициях j − kn и i + kn для каждого k , фиксируя все входные данные в позициях, не соответствующих i или j по модулю n .

В геометрическом действии ${\widetilde {S}}_{n}$, генератор $s_{i}$ действует на нишу A, отражая ее через одну из ограничивающих плоскостей основной ниши A ₀ . При обратном действии он вместо этого отражает А через одну из своих ограничивающих плоскостей. С этой точки зрения сокращенное слово соответствует обходу пространства V. мозаичного

Связь с другими математическими объектами

Аффинные симметрические группы тесно связаны со множеством других математических объектов.

Жонглирование узорами

Схема жонглирования 441 визуализируется в виде дуговой диаграммы: высота каждого броска соответствует длине дуги; два цвета узлов — это левая и правая руки жонглёра. Этот паттерн имеет четыре пересечения, которые периодически повторяются.

Схема жонглирования 441

В ( Ehrenborg & Readdy 1996 ) дано соответствие между аффинными перестановками и шаблонами жонглирования, закодированными в версии нотации sitewap . Здесь жонглирование периода n представляет собой последовательность $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ неотрицательных целых чисел (с некоторыми ограничениями), отражающих поведение мячей, брошенных жонглёром, где число $a_{i}$ указывает продолжительность времени, в течение которого i -й бросок находится в воздухе (эквивалент высоты броска). Число b шаров в паттерне является средним $b={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}$. Каждому шаблону жонглирования соответствует соответствие Эренборга – Ридди. ${\bf {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ периода n функция $w_{\bf {a}}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ определяется $$w_{\bf {a}}(i)=i+a_{i}-b,$$где индексы последовательности a берутся по модулю n . Затем $w_{\bf {a}}$ является аффинной перестановкой в ${\widetilde {S}}_{n}$, и более того, каждая аффинная перестановка возникает в результате такого жонглирования. В соответствии с этой биекцией длина аффинной перестановки кодируется естественной статистикой в ​​шаблоне жонглирования: $$\ell (w_{\bf {a}})=(b-1)n-\operatorname {cross} ({\bf {a}}),$$где $\operatorname {cross} ({\bf {a}})$ — число пересечений (с точностью до периодичности) на дуговой диаграмме a . Это позволяет элементарно доказать производящую функцию для аффинных перестановок по длине.

Например, шаблон жонглирования 441 имеет $n=3$ и $b={\frac {4+4+1}{3}}=3$. Следовательно, это соответствует аффинной перестановке $w_{441}=[1+4-3,2+4-3,3+1-3]=[2,3,1]$. Шаблон жонглирования имеет четыре пересечения, а аффинная перестановка имеет длину $\ell (w_{441})=(3-1)\cdot 3-4=2$.

Аналогичные методы можно использовать для получения производящей функции для представителей минимального смежного класса ${\widetilde {S}}_{n}/S_{n}$ по длине.

Сложные группы отражений

В конечномерном реальном внутреннем пространстве продукта отражение — это линейное преобразование , которое фиксирует линейную гиперплоскость поточечно и отменяет вектор, ортогональный плоскости. Это понятие может быть распространено на векторные пространства над другими полями . В частности, в комплексном пространстве внутреннего продукта отражение — это унитарное преобразование T конечного порядка, фиксирующее гиперплоскость. Это означает, что векторы, ортогональные гиперплоскости, являются собственными векторами T , а соответствующее собственное значение является комплексным корнем из единицы . Комплексная группа отражений — это конечная группа линейных преобразований в комплексном векторном пространстве, порожденная отражениями.

Группы комплексных отражений были полностью классифицированы Шепардом и Тоддом (1954) : каждая комплексная группа отражений изоморфна произведению неприводимых комплексных групп отражений, и каждая неприводимая либо принадлежит бесконечному семейству $G(m,p,n)$ (где m , p и n — положительные целые числа, такие что p делит m ) или является одним из 34 других (так называемых «исключительных») примеров. Группа $G(m,1,n)$ — обобщенная симметрическая группа : алгебраически это сплетение $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\wr S_{n}$ циклической группы $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ с симметричной группой $S_{n}$. Конкретно, элементы группы могут быть представлены мономиальными матрицами (матрицами, имеющими один ненулевой элемент в каждой строке и столбце), все ненулевые элементы которых являются корнями m-й степени из единицы. Группы $G(m,p,n)$ являются подгруппами $G(m,1,n)$, и в частности группа $G(m,m,n)$ состоит из тех матриц, в которых произведение ненулевых элементов равно 1.

В ( Shi 2002 ) Ши показал, что аффинная симметрическая группа является общим покрытием семейства $\left\{G(m,m,n)\colon m\geq 1\right\}$в следующем смысле: для каждого натурального числа m существует сюръекция $\pi _{m}$ от ${\widetilde {S}}_{n}$ к $G(m,m,n)$, и эти отображения совместимы с естественными сюръекциями $G(m,m,n)\twoheadrightarrow G(p,p,n)$ когда $p\mid m$ которые возникают в результате возведения каждой записи в m / p степень . Более того, эти проекции учитывают структуру группы отражений, поскольку изображение каждого отражения в ${\widetilde {S}}_{n}$ под $\pi _{m}$ является отражением в $G(m,m,n)$; и аналогично, когда $m>1$ изображение стандартного элемента Кокстера $s_{0}\cdot s_{1}\cdots s_{n-1}$ в ${\widetilde {S}}_{n}$ является элементом Кокстера в $G(m,m,n)$.

Аффинные алгебры Ли

Каждая аффинная группа Кокстера связана с аффинной алгеброй Ли — некоторой бесконечномерной неассоциативной алгеброй с необычайно хорошими теоретико-представленными свойствами. В этом объединении группа Кокстера возникает как группа симметрий корневого пространства алгебры Ли (двойственной подалгебре Картана ). В классификации аффинных алгебр Ли та, которая связана с ${\widetilde {S}}_{n}$ имеет (раскрученный) тип $A_{n-1}^{(1)}$, с матрицей Картана $\left[{\begin{array}{rr}2&-2\\-2&2\end{array}}\right]$ для $n=2$ и $$\left[{\begin{array}{rrrrrr}2&-1&0&\cdots &0&-1\\-1&2&-1&\cdots &0&0\\0&-1&2&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &2&-1\\-1&0&0&\cdots &-1&2\end{array}}\right]$$( циркулянтная матрица ) для $n>2$.

Как и другие алгебры Каца–Муди , аффинные алгебры Ли удовлетворяют формуле характеров Вейля–Каца , которая выражает характеры алгебры через их старшие веса . В случае аффинных алгебр Ли полученные тождества эквивалентны тождествам Макдональда . В частности, для аффинной алгебры Ли типа $A_{1}^{(1)}$, связанный с аффинной симметрической группой ${\widetilde {S}}_{2}$соответствующее тождество Макдональда эквивалентно тройному произведению Якоби .

Группа кос и теоретико-групповые свойства

Группы Кокстера обладают рядом особых свойств, присущих не всем группам. их проблема со словами разрешима К ним относятся то, что (то есть существует алгоритм , который может определить, равен ли любой данный продукт генераторов единичному элементу) и что они являются линейными группами (то есть их можно представить как группа обратимых матриц над полем).

Каждая группа Кокстера W связана с группой Артина – Титса. $B_{W}$, которое определяется аналогичным представлением, в котором отсутствуют отношения вида $s^{2}=1$ для каждого генератора s . В частности, группа Артина-Титса, связанная с ${\widetilde {S}}_{n}$ генерируется n элементами $\sigma _{0},\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$ в зависимости от отношений $\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}$ для $i=0,\ldots ,n-1$ (и никакие другие), где, как и прежде, индексы берутся по модулю n (так что $\sigma _{n}=\sigma _{0}$). Предполагается, что группы Артина–Титса из групп Кокстера обладают многими приятными свойствами: например, предполагается, что они не имеют кручения , имеют тривиальный центр , имеют разрешимую проблему слов и удовлетворяют $K(\pi ,1)$ предположение. Известно, что эти гипотезы верны не для всех групп Артина–Титса, но в ( Charney & Peifer 2003 ) было показано, что $B_{{\widetilde {S}}_{n}}$ имеет эти свойства. (Впоследствии они были доказаны для групп Артина–Титса, ассоциированных с аффинными группами Кокстера.) В случае аффинной симметрической группы в этих доказательствах используется ассоциированная структура Гарсайда на группе Артина – Титса.

Генераторы группы Артина-Титса, ассоциированные с аффинно-симметричной группой, представленные в виде кос с одной закрепленной нитью (для n = 4 ) и в виде кос, натянутых на цилиндре (для n = 3 )

Группы Артина–Титса иногда также называют обобщенными группами кос , потому что группа Артина–Титса $B_{S_{n}}$ (конечной) симметричной группы является группа кос на n нитях. Не все группы Артина–Титса имеют естественное представление в виде геометрических кос. Однако группа Артина-Титса гипероктаэдрической группы $S_{n}^{\pm }$ (геометрически группа симметрии n -мерного гиперкуба ; комбинаторно группа знаковых перестановок размера n ) действительно имеет такое представление: оно задается подгруппой группы кос на $n+1$ пряди, состоящие из тех кос, в которых конкретная прядь заканчивается в том же положении, в котором она началась, или, что эквивалентно, как группа кос из n прядей в кольцевой области. Более того, группа Артина–Титса гипероктаэдрической группы $S_{n}^{\pm }$ можно записать как полупрямое произведение $B_{{\widetilde {S}}_{n}}$ с бесконечной циклической группой. Отсюда следует, что $B_{{\widetilde {S}}_{n}}$ можно интерпретировать как некую подгруппу, состоящую из геометрических кос, а также как линейную группу .

Расширенная аффинно-симметричная группа

Аффинная симметрическая группа является подгруппой расширенной аффинной симметрической группы . Расширенная группа изоморфна сплетению $\mathbb {Z} \wr S_{n}$. Его элементы представляют собой расширенные аффинные перестановки : биекции. $u\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ такой, что $u(x+n)=u(x)+n$ для всех целых чисел x . В отличие от аффинной симметрической группы, расширенная аффинно-симметричная группа не является группой Кокстера. Но у него есть естественный порождающий набор, который расширяет порождающий набор Кокстера для ${\widetilde {S}}_{n}$: оператор смены $\tau$ чье обозначение окна $\tau =[2,3,\ldots ,n,n+1]$ порождает расширенную группу с простыми отражениями с учетом дополнительных соотношений $\tau s_{i}\tau ^{-1}=s_{i+1}$.

Комбинаторика других аффинных групп Кокстера

Геометрическое действие аффинной симметрической группы ${\widetilde {S}}_{n}$ естественным образом помещает ее в семейство аффинных групп Кокстера , каждая из которых имеет аналогичное геометрическое действие на аффинном пространстве. Комбинаторное описание ${\widetilde {S}}_{n}$ также может быть распространено на многие из этих групп: в работе Эрикссона и Эрикссона (1998) дано аксиоматическое описание определенных групп перестановок, действующих на $\mathbb {Z}$ («группы Джорджа», в честь Джорджа Люстига ), и показано, что они являются в точности «классическими» группами Кокстера конечных и аффинных типов A, B, C и D. (В классификации аффинных групп Кокстера , аффинная симметрическая группа имеет тип А.) Таким образом, комбинаторные интерпретации спусков, инверсий и т. д. сохраняются и в этих случаях. Модели Abacus представителей смежных классов минимальной длины для параболических частных также были распространены на этот контекст.

История

Можно сказать, что изучение групп Кокстера в целом впервые возникло при классификации правильных многогранников ( платоновых тел ) в Древней Греции. Современное систематическое исследование (соединяющее алгебраические и геометрические определения конечных и аффинных групп Кокстера) началось в работах Кокстера в 1930-х годах. Комбинаторное описание аффинной симметричной группы впервые появилось в работе Люстига (1983) и было расширено Ши (1986) ; оба автора использовали комбинаторное описание для изучения ячеек Каждана–Люстига ${\widetilde {S}}_{n}$. Доказательство того, что комбинаторное определение согласуется с алгебраическим определением, было дано Эрикссоном и Эрикссоном (1998) .

Ссылки

Эта статья была адаптирована из следующего источника под лицензией CC BY 4.0 ( 2021 г. ) ( отчеты рецензента ): Джоэл Б. Льюис (21 апреля 2021 г.), «Аффинная симметричная группа» (PDF) , WikiJournal of Science , 4 (1): 3, doi : 10.15347/WJS/2021.003 , ISSN   2470-6345 , Wikidata   Q100400684

Цитируемые работы

• Олкок, Дэниел (2002), «Картинки с косами для групп Артина», Пер. амер. Математика. Соц. , 354 (9): 3455–3474, doi : 10.1090/S0002-9947-02-02944-6 , S2CID   14473723
• Бизли, Элизабет; Николс, Маргарет; Пак, Мин Хэ; Ши, СяоЛинь; Юцис, Александр (2015), «Биективные проекции на параболические факторы аффинных групп Вейля», J. Algebr. Гребень. , 41 (4): 911–948, arXiv : 1212.0771 , doi : 10.1007/s10801-014-0559-9
• Берг, Крис; Джонс, Брант; Вазирани, Моника (2009), «Биекция на основных разделах и параболический фактор аффинной симметричной группы», Дж. Комбин. Теория Сер. A , 116 (8): 1344–1360, arXiv : 0804.1380 , doi : 10.1016/j.jcta.2009.03.013 , S2CID   3032099
• Билли, Сара С .; Йокуш, Уильям; Стэнли, Ричард П. (1993), «Некоторые комбинаторные свойства полиномов Шуберта», J. Algebr. Гребень. , 2 (4): 345–374, doi : 10.1023/A:1022419800503 , hdl : 2027.42/46173 , S2CID   8628113
• Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (1996), «Аффинные перестановки типа А», Electron. Дж. Комбин. , 3 (2): R18, doi : 10.37236/1276 , S2CID   2987208
• Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера , Springer, doi : 10.1007/3-540-27596-7 , ISBN  978-3540-442387 , S2CID   115235335
• Кэмерон, Питер Дж. (1994), Комбинаторика: темы, методы, алгоритмы , издательство Кембриджского университета, номер документа : 10.1017/CBO9780511803888 , ISBN  978-0-521-45761-3 , S2CID   115451799
• Чарни, Рут ; Пайфер, Дэвид (2003), «The $K(\pi ,1)$-гипотеза об аффинных группах брид», Comment. Math. Helv. , 78 (3): 584–600, doi : 10.1007/S00014-003-0764-Y , S2CID   54016405
• Чмутов, Михаил; Льюис, Джоэл Брюстер; Пилявский, Павел (2022), «Аффинное обобщение эвакуации», Selecta Math. , Новая серия, 28 (4): Бумага 67, arXiv : 1706.00471 , doi : 10.1007/s00029-022-00779-x , S2CID   119168718
• Чмутов, Михаил; Фриден, Габриэль; Ким, Донгкван; Льюис, Джоэл Брюстер; Юдовина, Елена (2022), «Монодромия в клетках Каждана-Люстига аффинного типа А», Матем. Аннален , 386 (3–4): 1891–1949, arXiv : 1806.07429 , doi : 10.1007/s00208-022-02434-4 , S2CID   119669284
• Чмутов, Михаил; Пилявский, Павел; Юдовина, Елена (2018), «Матричное построение аффинного соответствия Робинсона-Шенстеда», Selecta Math. , Новая серия, 24 (2): 667–750, arXiv : 1511.05861 , doi : 10.1007/s00029-018-0402-6 , S2CID   119086049
• Кларк, Эрик; Эренборг, Ричард (2011), «Превосходства аффинных перестановок», « Достижения в области прикладной математики » , 46 (1–4): 175–191, doi : 10.1016/j.aam.2009.12.006 , S2CID   15349463
• Коксетер, HSM (1973), Правильные многогранники (3-е изд.), Дувр, ISBN  0-486-61480-8
• Криты, Эндрю (2010), «Перечисление методов предотвращения шаблонов для аффинных перестановок», Electron. Дж. Комбин. , 17 (1): R127, arXiv : 1002.1933 , doi : 10.37236/399 , S2CID   15383510
• Эренборг, Ричард ; Ридди, Маргарет (1996), «Жонглирование и приложения к q -аналогам», Дискретная математика. , 157 (1–3): 107–125, CiteSeerX   10.1.1.8.6684 , doi : 10.1016/S0012-365X(96)83010-X , S2CID   18149014
• Эрикссон, Хенрик; Эрикссон, Киммо (1998), «Аффинные группы Вейля как бесконечные перестановки», Electron. Дж. Комбин. , 5 : R18, doi : 10.37236/1356 , S2CID   218962
• Галлиан, Джозеф А. (2013), Современная абстрактная алгебра (8-е изд.), Брукс / Коул, ISBN  978-1-133-59970-8 , LCCN   2012938179
• Грин, Р.М. (2002), «О 321-избежании перестановок в аффинных группах Вейля», J. Algebr. Гребень. , 15 (3): 241–252, doi : 10.1023/A:1015012524524 , S2CID   10583938
• Хануса, Кристофер Р.Х.; Джонс, Брант К. (2010), «Перечисление полностью коммутативных аффинных перестановок», Eur. Дж. Комб. , 31 (5): 1342–1359, arXiv : 0907.0709 , doi : 10.1016/j.ejc.2009.11.010 , S2CID   789357
• Хануса, Кристофер Р.Х.; Джонс, Брант К. (2012), «Модели счетов для параболических факторов аффинных групп Вейля», J. Algebra , 361 : 134–162, arXiv : 1105.5333v2 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2012.03.029 , S2CID   47583179
• Хамфрис, Джеймс Э. (1990), Группы отражения и группы Кокстера , Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511623646 , ISBN  0-521-37510-Х , S2CID   121077209
• Кац, Виктор Г. (1990), Бесконечномерные алгебры Ли (PDF) (3-е изд.), Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511626234 , ISBN  0-521-46693-8
• Кейн, Ричард (2001), Группы отражений и теория инвариантов , Книги CMS по математике/Ouvrages de Mathématiques de la SMC, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4757-3542-0 , ISBN  0-387-98979-Х , S2CID   119694827
• Кент, IV, Ричард П.; Пайфер, Дэвид (2002), «Геометрическое и алгебраическое описание групп кольцевых кос», Международная конференция по геометрическим и комбинаторным методам в теории групп и теории полугрупп (Линкольн, Нью-Йорк, 2000), Internat. Дж. Алгебра Компьютер. , 12 (1–2): 85–97, doi : 10.1142/S0218196702000997 , S2CID   13593688
• Кнутсон, Аллен ; Лам, Томас; Шпейер, Дэвид Э. (2013), «Разновидности позитроидов: жонглирование и геометрия», Compositio Mathematica , 149 (10): 1710–1752, arXiv : 0903.3694 , doi : 10.1112/S0010437X13007240 , S2CID   16108179
• Лам, Томас (2015), «Форма случайного элемента аффинной группы Вейля и случайные основные разбиения», Ann. Вероятно. , 43 (4): 1643–1662, arXiv : 1102.4405v3 , doi : 10.1214/14-AOP915 , S2CID   119691692
• Лапуант, Люк; Морс, Дженнифер (2005), «Таблицы на $k+1$-ядра, сокращенные слова для аффинных перестановок и $k$-Разложения Шура», J. Combin. Theory Ser. A , 112 (1): 44–81, doi : 10.1016/j.jcta.2005.01.003 , S2CID   161241
• Лерер, Густав И.; Тейлор, Дональд Э. (2009), Унитарные группы отражения , Серия лекций Австралийского математического общества, том. 20, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-74989-3 , МР   2542964
• Льюис, Джоэл Брюстер (2020), «Заметка о действии Гурвица на факторизации отражения элементов Кокстера в сложных группах отражений», Electron. Дж. Комбин. , 27 (2): P2.54, arXiv : 2001.08238 , doi : 10.37236/9351 , S2CID   219176795
• Льюис, Джоэл Брюстер; Маккаммонд, Джон; Петерсен, Т. Кайл; Швер, Петра (2019), «Вычисление длины отражения в аффинной группе Кокстера», Trans. амер. Математика. Соц. , 371 (6): 4097–4127, arXiv : 1710.06920 , doi : 10.1090/tran/7472 , S2CID   119617021
• Льюис, Джоэл Брюстер; Райнер, Виктор (2016), «Цепи и действие Гурвица в конечных системах корней» , The New York Journal of Mathematics , 22 : 1457–1486, arXiv : 1603.05969 , MR   3603073 , S2CID   1789116
• Люстиг, Джордж (1983), «Некоторые примеры интегрируемых с квадратом представлений полупростых p -адических групп», Trans. амер. Математика. Соц. , 277 : 623–653, doi : 10.1090/S0002-9947-1983-0694380-4 , S2CID   54190838
• Маккаммонд, Джон (2017), «Загадочная геометрия групп Артина», Winter Braids Lect. Примечания , 4 (Winter Braids VII (Кан, 2017)): Exp. № 1, 30, doi : 10.5802/wbln.17 , S2CID   128279613
• Маккаммонд, Джон; Салуэй, Роберт (2017), «Группы Артина евклидова типа», Invent. Математика. , 210 (1): 231–282, arXiv : 1312.7770 , Bibcode : 2017InMat.210..231M , doi : 10.1007/s00222-017-0728-2 , S2CID   253738806
• Паолини, Джованни; Сальветти, Марио (2021), «Доказательство $K(\pi ,1)$ гипотеза об аффинных группах Артина», Invent. Math. , 224 (2): 487–572, arXiv : 1907.11795 , doi : 10.1007/s00222-020-01016-y , S2CID   253738279
• Петерсен, Т. Кайл (2015), Эйлеровы числа , Базельские учебники Birkhäuser Advanced Texts, Birkhauser, doi : 10.1007/978-1-4939-3091-3 , ISBN  978-1-4939-3090-6
• Польстер, Буркард (2003), Математика жонглирования , Springer, doi : 10.1007/b98883 , ISBN  0-387-95513-5 , S2CID   221274895
• Райнер, Виктор (1995), "Распределение спусков и длин в группе Кокстера", Electron. Дж. Комбин. , 2 : R25, doi : 10.37236/1219 , S2CID   6602595
• Шепард, Греция ; Тодд, Дж. А. (1954), «Конечные унитарные группы отражений», Канада. Дж. Математика. , 6 : 274–304, doi : 10.4153/CJM-1954-028-3 , S2CID   3342221
• Ши, Цзянь-И (1986), Ячейки Каждана-Люстига в некоторых аффинных группах Вейля , Конспект лекций по математике, том. 1179, Спрингер, номер домена : 10.1007/bfb0074968 , ISBN.  3-540-16439-1 , S2CID   117899042
• Ши, Цзянь И (1987), «Альковы, соответствующие аффинной группе Вейля», J. London Math. Соц. , 2, 35 (1): 42–55, doi : 10.1112/jlms/s2-35.1.42 , S2CID   119897519
• Ши, Цзянь-И (1991), «Обобщенный алгоритм Робинсона-Шенстеда на аффинной группе Вейля типа A _{n -1} », J. Algebra , 139 (2): 364–394, CiteSeerX   10.1.1.551.3094 , doi : 10.1016/0021-8693(91)90300-W , S2CID   124324517
• Ши, Цзянь-И (2002), «Некоторые группы импримитивного отражения и их общие версии», Пер. амер. Математика. Соц. , 354 (5): 2115–2129, номер документа : 10.1090/S0002-9947-02-02941-0 , S2CID   53996908.
• Стембридж, Джон (1996), «О полностью коммутативных элементах групп Кокстера», J. Algebr. Гребень. , 5 (4): 353–385, doi : 10.1007/BF00193185 , hdl : 2027.42/46260 , S2CID   195239538
• Вьенно, Г. (1977), «Геометрическая форма соответствия Робинсона-Шенстеда», в Фоата, Доминик (редактор), Комбинаторика и представление симметричной группы , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 579, Спрингер, стр. 29–58, номер домена : 10.1007/BFb0090011 , ISBN.  978-3-540-08143-2 , S2CID   118727388