Порядок величины

Порядок величины — это аппроксимация логарифма значения относительно некоторого контекстуально понимаемого эталонного значения, обычно 10, интерпретируемого как основание логарифма и представителя значений единицы. Логарифмические распределения распространены в природе, и учет порядка величин, выбранных из такого распределения, может быть более интуитивным. Когда опорное значение равно 10, порядок величины можно понимать как количество цифр в десятичном представлении значения. Аналогично, если эталонное значение является одной из некоторых степеней 2, поскольку компьютеры хранят данные в двоичном формате, величину можно понимать с точки зрения объема компьютерной памяти, необходимой для хранения этого значения.

Различия по порядку величины могут быть измерены по десятичной логарифмической шкале в « десятилетиях » (т. е. в десять раз). ^[1] Примеры чисел разной величины можно найти на странице Порядки величин (числа) .

Определение

Обычно порядок числа — это наименьшая степень 10, используемая для представления этого числа. ^[2] Чтобы определить порядок числа $N$ , число сначала выражается в следующем виде:

N=a\times 10^{b}

где ${\frac {1}{\sqrt {10}}}\leq a<{\sqrt {10}}$ , или приблизительно $0.316\lesssim a\lesssim 3.16$ . Затем, $b$ представляет порядок величины числа. Порядок величины может быть любым целым числом . В таблице ниже указан порядок величины некоторых чисел в свете этого определения:

Число $N$	Выражение в $N=a\times 10^{b}$	Порядок величины $b$
0.2	2 × 10 ⁻¹	−1
1	1 × 10 ⁰	0
5	0.5 × 10 ¹	1
6	0.6 × 10 ¹	1
31	3.1 × 10 ¹	1
32	0.32 × 10 ²	2
999	0.999 × 10 ³	3
1000	1 × 10 ³	3

Среднее геометрическое $10^{b-1/2}$ и $10^{b+1/2}$ является $10^{b}$ , что означает, что значение ровно $10^{b}$ (т.е. $a=1$ ) представляет собой геометрическую среднюю точку в диапазоне возможных значений $a$ .

Некоторые используют более простое определение, где $0.5\leq a<5$ , ^[3] возможно, потому, что арифметическое среднее $10^{b}$ и $10^{b+c}$ подходы $5\times 10^{b+c-1}$ для увеличения $c$ . ^{[ нужна ссылка ]} Это определение приводит к снижению значений $b$ немного:

Число $N$	Выражение в $N=a\times 10^{b}$	Порядок величины $b$
0.2	2 × 10 ⁻¹	−1
1	1 × 10 ⁰	0
5	0.5 × 10 ¹	1
6	0.6 × 10 ¹	1
31	3.1 × 10 ¹	1
32	3.2 × 10 ¹	1
999	0.999 × 10 ³	3
1000	1 × 10 ³	3

Использование

Порядки величин используются для приблизительных сравнений. Если числа различаются на один порядок, x десять раз отличается примерно в по величине от y . Если значения различаются на два порядка, они различаются примерно в 100 раз. Два числа одного порядка имеют примерно одинаковый масштаб: большее значение более чем в десять раз меньше меньшего.Растущие объемы интернет-данных со временем привели к добавлению новых префиксов SI , последний раз в 2022 году. ^[4]

На словах	Префикс (Символ)	Десятичный	Власть часто	Орден величина
немиллионный	так- (q)	0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 001	10 ⁻³⁰	−30
октиллионный	ронто- (р)	0.000 000 000 000 000 000 000 000 001	10 ⁻²⁷	−27
септиллионный	йокто- (и)	0.000 000 000 000 000 000 000 001	10 ⁻²⁴	−24
секстиллионный	зепто- (от)	0.000 000 000 000 000 000 001	10 ⁻²¹	−21
квинтиллионный	действовать- (а)	0.000 000 000 000 000 001	10 ⁻¹⁸	−18
квадриллионный	фемто- (ф)	0.000 000 000 000 001	10 ⁻¹⁵	−15
триллионный	пико- (п)	0.000 000 000 001	10 ⁻¹²	−12
миллиардный	нано- (н)	0.000 000 001	10 ⁻⁹	−9
миллионный	микро- ( μ )	0.000 001	10 ⁻⁶	−6
тысячный	милли- (м)	0.001	10 ⁻³	−3
сотый	санти- (с)	0.01	10 ⁻²	−2
десятый	дерн)	0.1	10 ⁻¹	−1
один		1	10 ⁰	0
десять	дека- (от)	10	10 ¹	1
сто	гекто- (h)	100	10 ²	2
тысяча	килограмм (к)	1000	10 ³	3
миллион	мега- (М)	1 000 000	10 ⁶	6
миллиард	giga- (G)	1 000 000 000	10 ⁹	9
триллион	тера- (Т)	1 000 000 000 000	10 ¹²	12
квадриллион	карта- (П)	1 000 000 000 000 000	10 ¹⁵	15
квинтиллион	экса-(Е)	1 000 000 000 000 000 000	10 ¹⁸	18
секстиллион	зетта- (З)	1 000 000 000 000 000 000 000	10 ²¹	21
септиллион	йотта- (Y)	1 000 000 000 000 000 000 000 000	10 ²⁴	24
октиллион	ронна- (R)	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000	10 ²⁷	27
ноллион	кветта- (Q)	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000	10 ³⁰	30
На словах	Префикс (Символ)	Десятичный	Власть часто	Орден величина

Вычисление порядка величины

Порядок числа — это, интуитивно говоря, количество степеней 10, содержащихся в числе. Точнее, порядок числа можно определить через десятичный логарифм , обычно как целую часть логарифма, полученную путем усечения . ^{[ противоречивый ]} Например, число 4 000 000 имеет логарифм (по основанию 10) 6,602; его порядок величины равен 6. При усечении число этого порядка находится в пределах 10 ⁶ и 10 ⁷. В аналогичном примере с фразой «семизначный доход» порядок величины равен количеству цифр минус одна, поэтому без калькулятора очень легко определить, что он равен 6. Порядок величины — это приблизительное положение на логарифмическая шкала .

Оценка порядка величины

Оценка порядка величины переменной, точное значение которой неизвестно, представляет собой оценку, округленную до ближайшей степени десяти. Например, оценка порядка величины переменной от 3 до 30 миллиардов (например, человеческое ) составляет население Земли 10 миллиардов . Чтобы округлить число до ближайшего порядка, нужно округлить его логарифм до ближайшего целого числа. Таким образом, 4 000 000 , логарифм которого (по основанию 10) равен 6,602, имеет 7 в качестве ближайшего порядка величины, поскольку «ближайший» подразумевает округление, а не усечение. Для чисел, записанных в экспоненциальной записи, эта логарифмическая шкала округления требует округления до следующей степени десяти, когда множитель больше квадратного корня из десяти (около 3,162). Например, ближайший порядок величины для 1,7 × 10 ⁸ равно 8, тогда как ближайший порядок величины для 3,7 × 10 ⁸ равно 9. Оценку порядка величины иногда также называют приближением нулевого порядка .

Разница на порядок

Разница на порядок величины между двумя значениями составляет 10 раз.

Недесятичные порядки величины

Другие порядки величины могут быть рассчитаны с использованием других оснований , кроме 10. Древние греки ранжировали яркость небесных тел в ночное время по 6 уровням, в которых каждый уровень представлял собой пятый корень из ста (около 2,512), столь же яркий, как ближайший более слабый уровень яркости. , ^{[ нужна ссылка ]} и, таким образом, самый яркий уровень, который на 5 порядков ярче самого слабого, указывает на то, что он (100 ^1/5) ⁵ или в 100 раз ярче . Однако модернизированная версия превратилась в логарифмическую шкалу с нецелыми значениями.

Различные десятичные системы счисления мира используют более крупную основу, чтобы лучше представить размер числа, и создали названия для степеней этой более крупной системы счисления. В таблице показано, к какому числу стремится число по основанию 10 и по основанию 1 000 000 . Видно, что в этом примере в имя числа включен порядок величины, поскольку би- означает 2, три- означает 3 и т. д. (они имеют смысл только в длинной шкале), а суффикс -иллион сообщает, что База 1 000 000 . Но сами числа, названия миллиарды, триллионы (здесь с другим смыслом , чем в первой главе) не являются именами порядков величин , а являются названиями «величин», то есть чисел 1 000 000 000 000 и т. д.

Порядок величины	Лог ₁₀ из	Лог _{1 000 000}	Короткая шкала	Длинный масштаб
1	10	1 000 000	миллион	миллион
2	100	1 000 000 000 000	триллион	миллиард
3	1000	1 000 000 000 000 000 000	квинтиллион	триллион
4	10000	(1 000 000) ⁴	септиллион	квадриллион
5	100000	(1 000 000) ⁵	ноллион	квинтиллион

Единицы СИ в таблице справа используются вместе с префиксами СИ , которые были разработаны в основном с учетом 1000-кратных величин. Префиксы стандарта IEC с основанием 1024 были изобретены для использования в электронных технологиях.

Чрезвычайно большие числа

Для чрезвычайно больших чисел обобщенный порядок величины может быть основан на их двойном логарифме или суперлогарифме . Округление их вниз до целого числа дает категории между очень «круглыми числами», округление их до ближайшего целого числа и применение обратной функции дает «ближайшее» круглое число.

Двойной логарифм дает категории:

..., 1.0023–1.023, 1.023–1.26, 1.26–10, 10–10 ¹⁰, 10 ¹⁰–10 ¹⁰⁰, 10 ¹⁰⁰–10 ¹⁰⁰⁰, ...

(первые два из упомянутых и расширение влево могут быть не очень полезны, они просто демонстрируют, как последовательность математически продолжается влево).

Суперлогарифм дает категории:

0–1, 1–10, 10–10 ¹⁰, 10 ¹⁰–10 ^{10 ¹⁰}, 10 ^{10 ¹⁰}–10 ^{10 ^{10 ¹⁰}}, ... или

0– ⁰10, ⁰10– ¹10, ¹10– ²10, ²10– ³10, ³10– ⁴10, ...

«Средние точки», определяющие, какой номер раунда ближе, в первом случае:

1.076, 2.071, 1453, 4.20 × 10 ³¹, 1.69 × 10 ³¹⁶,...

и, в зависимости от метода интерполяции, во втором случае

−0.301, 0.5, 3.162, 1453 , 1 × 10 ¹⁴⁵³,

(10\uparrow )^{1}10^{1453}

,

(10\uparrow )^{2}10^{1453}

,... (см. обозначения чрезвычайно больших чисел )

Для чрезвычайно малых чисел (в смысле близких к нулю) ни один из методов напрямую не подходит, но обобщенный порядок величины обратной величины можно рассматривать .

Подобно логарифмической шкале, можно использовать двойную логарифмическую шкалу (пример приведен здесь ) и суперлогарифмическую шкалу. Прежде всего, интервалы имеют одинаковую длину, а «середины» фактически находятся посередине. В более общем смысле, точка на полпути между двумя точками соответствует обобщенному f -среднему с f ( x ) соответствующей функцией log log x или slog x . В случае log log x это среднее двух чисел (например, 2 и 16, дающее 4) не зависит от основания логарифма, как и в случае log x ( среднее геометрическое , 2 и 8, дающее 4), но в отличие от случая log log log x (4 и 65 536 дают 16, если основание равно 2, но не иначе).

См. также

Ссылки

^ Брайанс, Паус. «Ордены величины» . Проверено 9 мая 2013 г.
^ «Орден Величины» . Вольфрам Математический мир . Проверено 3 января 2017 г. Физики и инженеры используют фразу «порядок величины» для обозначения наименьшей степени десяти, необходимой для представления величины.
^ Шаалаа.com. «Ответьте на следующий вопрос. Опишите, что подразумевается под порядком величины. - Физика | Shaalaa.com» . www.shaalaa.com . Проверено 4 июня 2023 г.
^ Гибни, Элизабет (2022). «Сколько йоттабайтов в кветтабайте? Крайние числа получают новые имена» . Природа . дои : 10.1038/d41586-022-03747-9 . ПМИД 36400954 . S2CID 253671538 . Проверено 20 ноября 2022 г.

Дальнейшее чтение

Азимов, Исаак , Мера Вселенной (1983).

Внешние ссылки

Масштаб Вселенной 2 Интерактивный инструмент от Планка длиной 10 ⁻³⁵ метров → размер вселенной 10 ²⁷
Космос – иллюстрированное путешествие в измерениях от микрокосмоса к макрокосмосу – от Digital Nature Agency
Степени 10 — графическая анимированная иллюстрация, начинающаяся с вида Млечного Пути в цифре 10. ²³ метров и заканчивается субатомными частицами на высоте 10 ⁻¹⁶ метры.
Что такое порядок величины?

[1] Брайанс, Паус. «Ордены величины» . Проверено 9 мая 2013 г.

[2] «Орден Величины» . Вольфрам Математический мир . Проверено 3 января 2017 г. Физики и инженеры используют фразу «порядок величины» для обозначения наименьшей степени десяти, необходимой для представления величины.

[3] Шаалаа.com. «Ответьте на следующий вопрос. Опишите, что подразумевается под порядком величины. - Физика | Shaalaa.com» . www.shaalaa.com . Проверено 4 июня 2023 г.

[4] Гибни, Элизабет (2022). «Сколько йоттабайтов в кветтабайте? Крайние числа получают новые имена» . Природа . дои : 10.1038/d41586-022-03747-9 . ПМИД 36400954 . S2CID 253671538 . Проверено 20 ноября 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Порядки величины
Количество	Ускорение Угловой момент Область Битрейт Заряжать Вычисление Текущий Данные Плотность Энергия / Плотность энергии Энтропия Сила Частота Освещенность Длина Яркость Магнитный момент Магнитное поле Масса Молярность Числа Власть Давление Вероятность Радиация Звуковое давление Удельная теплоемкость Скорость Температура Крутящий момент Время Напряжение Объем
См. также	Предварительный расчет Самые продаваемые электронные устройства Проблема Ферми Степени 10 и десятилетий 10-е место 100-й 1000000-й Метрический префикс (СИ) Макроскопический масштаб Микроскопический масштаб
Связанный	Астрономическая система единиц Расположение Земли во Вселенной Космический взгляд (книга 1957 года) На Луну и дальше (фильм, 1964 г.) Космический зум (фильм 1968 года) Силы десяти (фильмы 1968 и 1977 годов) Космическое путешествие (документальный фильм, 1996 г.) Масштаб Вселенной (2010) Космический глаз (2012)
Категория