Порядок приближения

В науке , технике и других количественных дисциплинах порядок аппроксимации относится к формальным или неформальным выражениям того, насколько точным является аппроксимация .

Использование в науке и технике

В формальных выражениях порядковый номер, слов, используемый перед порядком относится к высшей степени в разложении в ряд, используемом в приближении . Выражения: нулевого порядка приближение , первого порядка приближение , второго порядка приближение и т. д. используются как устойчивые словосочетания . выражение нулевого приближения Также распространено . Кардинальные числительные иногда используются в таких выражениях, как аппроксимация нулевого порядка , аппроксимация первого порядка и т. д.

Упущение порядка слов приводит к тому , что фразы имеют менее формальное значение. Такие фразы, как «первое приближение» или «первое приближение», могут относиться к примерно приблизительному значению величины . Фраза с нулевым приближением указывает на дикую догадку . Выражение « порядок приближения» иногда неофициально используется для обозначения количества значащих цифр в порядке возрастания точности или в порядке величины . Однако это может сбить с толку, поскольку эти формальные выражения не относятся напрямую к порядку производных.

Выбор разложения в ряд зависит от научного метода, использованного для исследования явления . порядок выражения аппроксимации Ожидается, что будет указывать на все более точные аппроксимации функции в указанном интервале . Выбор порядка аппроксимации зависит от цели исследования . Кто-то может захотеть упростить известное аналитическое выражение , чтобы разработать новое приложение, или, наоборот, попытаться подогнать кривую к точкам данных . Более высокий порядок аппроксимации не всегда полезнее нижнего. второго порядка Например, если величина постоянна во всем интервале, аппроксимация ее рядом Тейлора не увеличит точность.

В случае гладкой функции аппроксимацией n- го порядка является многочлен степени n . , который получается усечением ряда Тейлора до этой степени Формальное использование порядка аппроксимации соответствует опущению некоторых членов ряда, используемого при разложении . Это влияет на точность . Ошибка обычно меняется в пределах интервала. Таким образом, используемые выше термины ( нулевой , первый , второй и т. д.) не дают напрямую информации о процентной ошибке или значащих цифрах . Например, в ряд Тейлора разложении показательной функции в $$e^{x}=\underbrace {1} _{0^{\text{th}}}+\underbrace {x} _{1^{\text{st}}}+\underbrace {\frac {x^{2}}{2!}} _{2^{\text{nd}}}+\underbrace {\frac {x^{3}}{3!}} _{3^{\text{rd}}}+\underbrace {\frac {x^{4}}{4!}} _{4^{\text{th}}}+\ldots \;,$$член нулевого порядка $1;$ член первого порядка $x,$ второй порядок - это $x^{2}/2,$ и так далее. Если $|x|<1,$ каждый член более высокого порядка меньше предыдущего. Если $|x|<<1,\,$ тогда приближение первого порядка, $$e^{x}\approx 1+x,$$зачастую бывает достаточно. Но в $x=1,$ член первого порядка, $x,$ не меньше члена нулевого порядка, $1.$ И в $x=2,$ даже член второго порядка, $2^{3}/3!=4/3,\,$ больше члена нулевого порядка.

нулевого порядка

Приближение нулевого порядка — это термин, который ученые используют для первого приблизительного ответа. Делается множество упрощающих предположений ответ порядка величины (или ноль значащих цифр , и когда требуется число, часто дается ). Например, вы можете сказать «в городе несколько тысяч жителей», тогда как на самом деле в нем проживает 3914 человек. Это также иногда называют аппроксимацией порядка величины . Ноль «нулевого порядка» отражает тот факт, что даже единственное данное число, «несколько», само по себе определено слабо.

нулевого порядка Приближение функции (то есть математическое определение формулы для соответствия нескольким точкам данных ) будет константой или плоской линией без наклона : полиномом степени 0. Например,

$x=[0,1,2],$

$y=[3,3,5],$

$y\sim f(x)=3.67$

могло бы быть (если бы была указана точность точек данных) приблизительным соответствием данным, полученным путем простого усреднения значений x и значений y . Однако точки данных представляют собой результаты измерений и отличаются от точек в евклидовой геометрии . Таким образом, указание среднего значения, содержащего три значащие цифры в выходных данных, при наличии только одной значащей цифры во входных данных может быть расценено как пример ложной точности . При предполагаемой точности точек данных ±0,5 аппроксимация нулевого порядка может в лучшем случае дать результат для y ~ 3,7 ± 2,0 в интервале x от -0,5 до 2,5, учитывая стандартное отклонение .

Если точки данных представлены как

$x=[0.00,1.00,2.00],$

$y=[3.00,3.00,5.00],$

приближение нулевого порядка приводит к

$y\sim f(x)=3.67.$

Точность результата оправдывает попытку вывести мультипликативную функцию для этого среднего, например:

$y\sim x+2.67.$

Однако следует быть осторожным, поскольку мультипликативная функция будет определена для всего интервала. Если доступны только три точки данных, никто не знает об остальной части интервала , которая может составлять большую его часть. Это означает, что y может иметь еще одну составляющую, равную 0 на концах и в середине интервала. Известен ряд функций, обладающих этим свойством, например y = sin π x . Ряд Тейлора полезен и помогает предсказать аналитическое решение , но само по себе приближение не дает убедительных доказательств.

Первый порядок

Приближение первого порядка — это термин, который ученые используют для немного лучшего ответа. Делаются некоторые упрощающие предположения, и когда требуется число, часто дается ответ только с одной значащей цифрой («в городе 4 × 10 ³ или четыре тысячи жителей»). В случае приближения первого порядка по крайней мере одно заданное число является точным. В приведенном выше примере нулевого порядка было задано количество «несколько», но в первом порядке Например, дана цифра «4».

Приближение функции первого порядка (то есть математическое определение формулы для соответствия нескольким точкам данных) будет линейным приближением, прямой линией с наклоном: полиномом степени 1. Например:

$x=[0.00,1.00,2.00],$

$y=[3.00,3.00,5.00],$

$y\sim f(x)=x+2.67$

является приблизительным соответствием данным.В этом примере имеется приближение нулевого порядка, такое же, как и приближение первого порядка, но метод его получения другой; то есть дикий удар в темноту отношений оказался столь же хорош, как и «обоснованное предположение».

второго порядка

Приближение второго порядка — это термин, который ученые используют для обозначения ответа приличного качества. Делается несколько упрощающих предположений, а когда требуется число, ответ содержит две или более значащие цифры («в городе 3,9 × 10 ³ или тридцать девятьсот жителей»). В математических финансах аппроксимации второго порядка известны как поправки на выпуклость . Как и в приведенных выше примерах, термин «второй порядок» относится к количеству точных чисел, данных для неточное количество. В этом случае «3» и «9» задаются как два последовательных уровня точности, а не просто «4» из первого порядка или «несколько» из нулевого порядка, как в примерах выше. .

Приближение функции второго порядка (то есть математическое определение формулы для соответствия нескольким точкам данных) будет квадратичным многочленом , геометрически - параболой : многочленом степени 2. Например:

$x=[0.00,1.00,2.00],$

$y=[3.00,3.00,5.00],$

$y\sim f(x)=x^{2}-x+3$

является приблизительным соответствием данным. В этом случае, имея всего три точки данных, парабола точно соответствует предоставленным данным. Однако точки данных для большей части интервала недоступны, что требует осторожности (см. «нулевой порядок»).

высшего порядка

Хотя аппроксимации более высокого порядка существуют и имеют решающее значение для лучшего понимания и описания реальности, их обычно не обозначают цифрами.

Продолжая вышеизложенное, потребуется аппроксимация третьего порядка, чтобы идеально соответствовать четырем точкам данных и так далее. См. полиномиальную интерполяцию .

Разговорное употребление

Эти термины также используются в разговорной речи учёными и инженерами для описания явлений, которыми можно пренебречь как незначительными (например: «Конечно, вращение Земли влияет на наш эксперимент, но это эффект настолько высокого порядка, что мы не сможем его оценить». измерьте ее» или «При этих скоростях относительность представляет собой эффект четвертого порядка, о котором мы беспокоимся только при ежегодной калибровке».) При таком использовании порядковый номер приближения не является точным, но используется, чтобы подчеркнуть его незначительность; чем выше используемое число, тем менее важен эффект. Терминология в этом контексте представляет собой высокий уровень точности, необходимый для учета эффекта, который считается очень небольшим по сравнению с общим предметом исследования. Чем выше порядок, тем больше точности требуется для измерения эффекта и, следовательно, меньше эффекта по сравнению с общим измерением.

См. также

• Линеаризация
• Теория возмущений
• Серия Тейлора
• Метод Чепмена-Энскога
• Обозначение большого О