Аллегория (математика)

математической области теории категорий аллегория — это категория , имеющая некоторую структуру категории Rel множеств В и бинарных отношений между ними. Аллегории могут использоваться как абстракция категорий отношений, и в этом смысле теория аллегорий представляет собой обобщение алгебры отношений на отношения между различными видами. Аллегории также полезны при определении и исследовании некоторых конструкций теории категорий, таких как точные пополнения.

В этой статье мы принимаем соглашение, согласно которому морфизмы составляются справа налево, поэтому $RS$ означает «сначала сделать $S$ , затем сделать $R$ ».

Определение [ править ]

Аллегория – это категория , в которой

каждый морфизм $R\colon X\to Y$ связан с антиинволюцией , т.е. морфизмом $R^{\circ }\colon Y\to X$ с $R^{\circ \circ }=R$ и $(RS)^{\circ }=S^{\circ }R^{\circ }{\text{;}}$ и
каждая пара морфизмов $R,S\colon X\to Y$ с общим доменом/кодоменом связан с пересечением , т.е. морфизмом $R\cap S\colon X\to Y$

все такое, что

пересечения идемпотентны : $R\cap R=R,$ коммутативный : $R\cap S=S\cap R,$ и ассоциативный : $(R\cap S)\cap T=R\cap (S\cap T);$
антиинволюция распределяется по пересечению: $(R\cap S)^{\circ }=R^{\circ }\cap S^{\circ };$
композиция полудистрибутивна по пересечению: $R(S\cap T)\subseteq RS\cap RT$ и $(R\cap S)T\subseteq RT\cap ST;$ и
закон модульности выполняется: $RS\cap T\subseteq (R\cap TS^{\circ })S.$

Здесь мы сокращаем, используя порядок, определенный пересечением: $R\subseteq S$ означает $R=R\cap S.$

Первым примером аллегории является категория множеств и отношений . Объектами этой аллегории являются множества и морфизм $X\to Y$ это бинарное отношение между $X$ и $Y.$ — Композиция морфизмов есть композиция отношений , а антиинволюция морфизмов есть композиция отношений. $R$ это обратное соотношение $R^{\circ }$ : $yR^{\circ }x$ тогда и только тогда, когда $xRy$ . Пересечение морфизмов — это (теоретико-множественное) пересечение отношений.

Обычные категории и аллегории [ править ]

Аллегории отношений в регулярных категориях [ править ]

В категории $C$ отношение . между объектами $X$ и $Y$ представляет собой совокупность морфизмов $X\gets R\to Y$ это совместно моник . Два таких пролета $X\gets S\to Y$ и $X\gets T\to Y$ считаются эквивалентными, когда существует изоморфизм между $S$ и $T$ , который заставляет все коммутировать; строго говоря, отношения определяются только с точностью до эквивалентности (это можно формализовать либо с помощью классов эквивалентности , либо с помощью бикатегорий ). Если в категории $C$ есть произведения, отношение между $X$ и $Y$ — это то же самое, что мономорфизм в $X \times Y$ (или его класс эквивалентности). При наличии откатов и правильной системы факторизации можно определить состав отношений. Состав $X\gets R\to Y\gets S\to Z$ находится, сначала оттянув коспан $R\to Y\gets S$ а затем берем совместно-монический образ полученного пролета $X\gets R\gets \bullet \to S\to Z.$

Композиция отношений будет ассоциативной, если система факторизации достаточно устойчива. В этом случае можно рассмотреть категорию $Rel(C)$ с теми же объектами, что и $C$ , но где морфизмы — это отношения между объектами. Тождественные отношения представляют собой диагонали $X\to X\times X.$

Регулярная категория (категория с конечными пределами и образами, в которых покрытия устойчивы при возврате) имеет устойчивую регулярную эпи/моно-систему факторизации. Категория отношений для регулярной категории всегда является аллегорией. Антиинволюция определяется поворотом источника/цели отношения, а пересечения — это пересечения подобъектов , вычисляемые путем отката.

Карты в аллегориях и таблицах [ править ]

Морфизм $R$ в аллегории $A$ называется отображением , если он целочисленный. $(1\subseteq R^{\circ }R)$ и детерминированный $(RR^{\circ }\subseteq 1).$ Другими словами, карта — это морфизм, который имеет правый сопряженный элемент в $A,$ когда $A$ рассматривается, используя структуру локального порядка, как 2-категория . Карты в аллегории замкнуты по идентичности и композиции. Таким образом, существует подкатегория $Map(A)$ категории $A$ с теми же объектами, но только с картами как морфизмами. Для регулярной категории $C$ существует изоморфизм категорий $C\cong \operatorname {Map} (\operatorname {Rel} (C)).$ В частности, морфизм в $Map(Rel(Set))$ — это обычная функция множества .

В аллегории морфизм $R\colon X\to Y$ табулируется карт парой $f\colon Z\to X$ и $g\colon Z\to Y$ если $gf^{\circ }=R$ и $f^{\circ }f\cap g^{\circ }g=1.$ Аллегория называется табличной, если каждый морфизм имеет табуляцию. Для регулярной категории $C$ аллегория $Rel(C)$ всегда таблична. С другой стороны, для любой табличной аллегории $A$ категория $карт Map(A)$ является локально регулярной категорией: она имеет откаты, эквалайзеры и изображения, устойчивые при откате. Этого достаточно для изучения отношений в $Map(A)$ , и в этой ситуации $A\cong \operatorname {Rel} (\operatorname {Map} (A)).$

Единые аллегории и регулярные категории карт [ править ]

Единицей , в аллегории является объект $U$ для которого тождество является наибольшим морфизмом. $U\to U,$ что любой другой объект имеет полное отношение к $U.$ и такой , Аллегория с единицей называется единицей . Учитывая табличную аллегорию $A$ , категория $Map(A)$ является регулярной категорией (она имеет терминальный объект ) тогда и только тогда, когда $A$ унитальна.

Более сложные виды аллегорий [ править ]

Дополнительные свойства аллегорий можно аксиоматизировать. Дистрибутивные аллегории имеют операцию, подобную объединению , которая ведет себя достаточно хорошо, а аллегории деления имеют обобщение операции деления алгебры отношений . Аллегории власти - это аллегории распределительного деления с дополнительной набору власти структурой, подобной . Связь между аллегориями и регулярными категориями может быть развита в связь между аллегориями власти и топосами .

Ссылки [ править ]

Питер Фрейд , Андре Щедров (1990). Категории, Аллегории . Математическая библиотека Том 39. Северная Голландия . ISBN 978-0-444-70368-2 .
Питер Джонстон (2003). Зарисовки слона: сборник теории топоса . Оксфордские научные публикации. ОУП . ISBN 0-19-852496-Х .