Соответствующая линейная схема

третьего порядка, 3 дБ, 4 ГГц, 50 Ом Чебышева Пример схемы соразмерной линии для фильтра нижних частот . A. Фильтр-прототип в сосредоточенных элементах, ω=1, Z ₀ =1. B. Частота и полное сопротивление фильтра масштабированы до 4 ГГц и 50 Ом; значения этих компонентов слишком малы, чтобы их можно было легко реализовать как дискретные компоненты. C. Схема прототипа преобразована в соразмерные линии с открытым проводом в результате преобразования Ричардса. D. Применение личности Куроды к прототипу для устранения последовательных индукторов. E. Масштабирование импеданса для рабочего сопротивления 50 Ом, масштабирование частоты достигается путем установки длины линии на λ/8. F. Реализация в микрополосках .

Соразмерные линейные цепи — это электрические цепи, состоящие из линий передачи одинаковой длины; обычно одна восьмая длины волны . Схемы с сосредоточенными элементами могут быть напрямую преобразованы в схемы с распределенными элементами этой формы с помощью преобразования Ричардса . Это преобразование имеет особенно простой результат; индукторы заменяются линиями передачи с короткими замыканиями, а конденсаторы заменяются линиями с разомкнутыми цепями. Теория соизмеримых линий особенно полезна для разработки фильтров с распределенными элементами для использования на микроволновых частотах.

Обычно необходимо провести дальнейшее преобразование схемы с использованием тождеств Куроды . Есть несколько причин для применения одного из преобразований Курода; Основная причина обычно заключается в исключении последовательно соединенных компонентов. В некоторых технологиях, включая широко используемые микрополосковые , последовательное соединение реализовать сложно или невозможно.

Частотная характеристика соизмеримых линейных схем, как и всех схем с распределенными элементами, будет периодически повторяться, ограничивая диапазон частот, в котором они эффективны. Схемы, спроектированные по методам Ричардса и Курода, не самые компактные. Усовершенствование методов соединения элементов вместе может привести к созданию более компактных конструкций. Тем не менее, теория соразмерных линий остается основой для многих из этих более совершенных конструкций фильтров.

Соразмерные линии

Соразмерные линии — это линии передачи , которые имеют одинаковую электрическую длину, но не обязательно имеют одинаковый характеристический импеданс ( Z ₀ ). Соразмерная линейная цепь — это электрическая цепь, состоящая только из соразмерных линий, оканчивающихся резисторами или короткими и разомкнутыми цепями. В 1948 году Пол И. Ричардс опубликовал теорию соизмеримых линейных цепей, с помощью которой пассивная схема с сосредоточенными элементами может быть преобразована в схему с распределенными элементами с точно такими же характеристиками в определенном диапазоне частот.

Длины линий в схемах с распределенными элементами для общности обычно выражаются через номинальную рабочую длину волны схемы λ. Линии заданной длины в соразмерной линейной цепи называются единичными элементами (ЕЭ). Особенно простая зависимость имеет место, если UE имеют λ/8. Каждый элемент в схеме с сосредоточенными параметрами преобразуется в соответствующее UE. Однако Z ₀ линий должно быть установлено в соответствии со значением компонента в аналогичной схеме с сосредоточенными параметрами, и это может привести к значениям Z ₀ , которые практически невозможно реализовать. Это особенно проблема с печатными технологиями, такими как микрополосковые технологии , при реализации высоких характеристических импедансов. Высокое сопротивление требует узких линий, и существует минимальный размер, который можно напечатать. С другой стороны, очень широкие линии допускают возможность нежелательных поперечных резонансных мод формирования . Для преодоления этих проблем может быть выбрана другая длина UE с другим Z ₀ .

Электрическую длину также можно выразить как изменение фазы между началом и концом линии. Фаза измеряется в угловых единицах . $\theta$, математический символ угловой переменной, используется как символ электрической длины, когда она выражается в виде угла. В этом соглашении λ представляет собой 360° или 2π радиан .

Преимущество использования соизмеримых линий заключается в том, что теория соизмеримых линий позволяет синтезировать схемы на основе заданной функции частоты. Хотя любую схему, использующую линию передачи произвольной длины, можно проанализировать для определения ее функции частоты, эту схему не обязательно легко синтезировать, исходя из функции частоты. Фундаментальная проблема заключается в том, что для использования более чем одной длины обычно требуется более одной частотной переменной. Для использования соизмеримых линий требуется только одна частотная переменная. Существует хорошо развитая теория синтеза схем с сосредоточенными элементами на основе заданной функции частоты. Любую синтезированную таким образом схему можно преобразовать в соразмерную линейную схему с использованием преобразования Ричардса и новой частотной переменной.

Преобразование Ричардса

Преобразование Ричардса преобразует переменную угловой частоты ω согласно:

$\omega \to \tan(k\omega )$

или, что более полезно для дальнейшего анализа, в терминах комплексной частотной переменной s ,

$s\to \tanh(ks)$

где k — произвольная константа, связанная с длиной UE, θ, и некоторой выбранной проектировщиком опорной частотой ω _c по формуле

$k\omega _{c}=\theta .$

k имеет единицы времени и фактически представляет собой фазовую задержку, вносимую UE.

это преобразование с выражениями для импеданса ведущей точки шлейфов Сравнивая , оконченных соответственно коротким замыканием и разомкнутой цепью,

${\begin{aligned}Z_{\mathrm {SC} }&=jZ_{0}\tan(k\omega )\\Z_{\mathrm {OC} }&=-jZ_{0}\cot(k\omega )\\\end{aligned}}$

видно, что (при θ < π/2) шлейф короткого замыкания имеет полное сопротивление сосредоточенной индуктивности , а шлейф разомкнутой цепи имеет полное сопротивление сосредоточенной емкости . Преобразование Ричардса заменяет индукторы короткозамкнутыми UE и конденсаторы UE с разомкнутой цепью.

Когда длина равна λ/8 (или θ=π/4), это упрощается до:

${\begin{aligned}Z_{\mathrm {SC} }&=jZ_{0}\\Z_{\mathrm {OC} }&=-jZ_{0}\\\end{aligned}}$

Часто это пишут так:

${\begin{aligned}Z_{\mathrm {SC} }&=jL\\Z_{\mathrm {OC} }&={1 \over jC}\\\end{aligned}}$

L и C традиционно являются символами индуктивности и емкости, но здесь они обозначают соответственно характеристическое сопротивление индуктивного шлейфа и характеристическую проводимость емкостного шлейфа. Это соглашение используется многими авторами и далее в этой статье.

Омега-домен

Частотная характеристика фильтра Чебышева пятого порядка (вверху) и того же фильтра после применения преобразования Ричардса

Преобразование Ричардса можно рассматривать как преобразование из представления s-домена в новую область, называемую Ω-доменом, где:

$\Omega =\tan(k\omega )$

Если Ω нормализована так, что Ω=1 при ω=ωc _, то требуется, чтобы

$k\omega _{c}=\theta ={\pi \over 4}$

а длина в единицах расстояния становится

$\ell ={\lambda \over 8}$

Любая схема, состоящая из дискретных, линейных, сосредоточенных компонентов, будет иметь передаточную функцию H ( s ), которая является рациональной функцией по s . Схема, состоящая из UE линий передачи, полученная из схемы с сосредоточенными параметрами посредством преобразования Ричардса, будет иметь передаточную функцию H ( j Ω), которая является рациональной функцией точно той же формы, что и H ( s ). То есть форма частотной характеристики схемы с сосредоточенными параметрами в зависимости от частотной переменной s будет точно такой же, как форма частотной характеристики цепи линии передачи в зависимости от частотной переменной j Ω, и схема будет функционально такой же.

Однако бесконечность в области Ω преобразуется в ω=π/4 k в области s . Вся частотная характеристика сжимается до этого конечного интервала. Выше этой частоты один и тот же ответ повторяется через одни и те же интервалы, попеременно в обратном порядке. Это является следствием периодической природы касательной функции . Этот результат с несколькими полосами пропускания является общей особенностью всех схем с распределенными элементами, а не только тех, которые получены посредством преобразования Ричардса.

Каскадный элемент

UE, подключенное каскадно, представляет собой двухполюсную сеть , не имеющую точно соответствующей схемы в сосредоточенных элементах. Функционально это фиксированная задержка. Существуют схемы с сосредоточенными элементами, которые могут аппроксимировать фиксированную задержку, например фильтр Бесселя , но они работают только в пределах заданной полосы пропускания , даже с идеальными компонентами. с сосредоточенными элементами В качестве альтернативы можно сконструировать всепроходные фильтры , которые пропускают все частоты (с идеальными компонентами), но имеют постоянную задержку только в узком диапазоне частот. Примерами являются решетчатый фазовый эквалайзер и мостовой эквалайзер T-задержки .

Следовательно, не существует цепи с сосредоточенными параметрами, которую преобразование Ричарда могло бы преобразовать в линию с каскадным соединением, и для этого элемента не существует обратного преобразования. Таким образом, теория соразмерных линий вводит новый элемент задержки , или длины . Два или более UE, соединенных каскадом с одним и тем же Z _0, эквивалентны одной, более длинной линии передачи. Таким образом, строки длины n θ для целых n допустимы в соизмеримых схемах. Некоторые схемы могут быть реализованы полностью как каскад UE: согласования импеданса могут быть реализованы таким образом, как и большинство фильтров. например, сети

Личности Курода

Личности Курода

Тождества Куроды представляют собой набор из четырех эквивалентных схем, которые преодолевают определенные трудности с непосредственным применением преобразований Ричардса. На рисунке показаны четыре основных преобразования. Здесь символы конденсаторов и катушек индуктивности используются для обозначения шлейфов разомкнутой цепи и короткого замыкания. Аналогично, символы C и L здесь обозначают, соответственно, точную проводимость шлейфа разомкнутой цепи и реактивное сопротивление шлейфа короткого замыкания, которые при θ=λ/8 соответственно равны характеристическому адмиттансу и характеристическому полному сопротивлению шлейфа. Рамки с толстыми линиями представляют собой каскадно соединенные отрезки линии соразмерной длины с отмеченным характеристическим сопротивлением.

Первая решенная трудность заключается в том, что все UE должны быть соединены вместе в одной точке. Это возникает потому, что модель сосредоточенных элементов предполагает, что все элементы занимают нулевое пространство (или не занимают существенного места) и что между элементами нет задержки в сигналах. Применение преобразования Ричардса для преобразования схемы с сосредоточенными параметрами в распределенную цепь позволяет элементу теперь занимать конечное пространство (его длину), но не устраняет требование нулевого расстояния между соединениями. Повторно применяя первые два идентификатора Курода, длины линий UE, подходящих к портам схемы , можно перемещать между компонентами схемы, чтобы физически разделить их.

Вторая трудность, которую могут преодолеть личности Куроды, заключается в том, что последовательно соединенные линии не всегда практичны. Хотя последовательное соединение линий можно легко выполнить, например, с помощью коаксиальной технологии , это невозможно при широко используемой микрополосковой технологии и других планарных технологиях. В схемах фильтров часто используется лестничная топология с чередующимися последовательными и шунтирующими элементами. Такие схемы можно преобразовать во все шунтирующие компоненты за один и тот же шаг, который используется для размещения компонентов с первыми двумя идентификаторами.

Третье и четвертое тождества позволяют уменьшать или увеличивать характеристические импедансы соответственно. Они могут быть полезны для преобразования импедансов, реализовать которые непрактично. Однако у них есть тот недостаток, что требуется добавление идеального трансформатора с коэффициентом трансформации, равным масштабному коэффициенту.

История

В течение десятилетия после публикации Ричардса успехи в теории распределенных цепей происходили в основном в Японии. К. Курода опубликовал эти тождества в 1955 г. в своей докторской диссертации. Однако на английском языке они появились только в 1958 году в статье Одзаки и Исии о полосковых фильтрах.

Дальнейшие усовершенствования

Одним из основных приложений теории соизмеримых линий является разработка фильтров с распределенными элементами . Такие фильтры, построенные непосредственно по методу Ричардса и Куроды, не очень компактны. Это может быть важным фактором при проектировании, особенно в мобильных устройствах. Заглушки торчат в сторону от основной лески и пространство между ними не делает ничего полезного. В идеале заглушки должны выступать с разных сторон. чтобы они не сцеплялись друг с другом и не занимали дополнительное пространство, хотя это не всегда делается из соображений экономии места. Более того, элементы каскадного соединения, соединяющие шлейфы, не вносят никакого вклада в функцию частоты, они предназначены только для преобразования шлейфов в необходимое сопротивление. Другими словами, порядок частотной функции определяется исключительно количеством шлейфов, а не общим количеством UE (вообще говоря, чем выше порядок, тем лучше фильтр). Более сложные методы синтеза могут создавать фильтры, в которых вносят свой вклад все элементы.

Каскадно соединенные секции λ/8 цепей Курода являются примером трансформаторов импеданса, архетипическим примером таких схем является трансформатор импеданса λ/4 . Хотя эта длина в два раза превышает длину линии λ/8, она обладает тем полезным свойством, что ее можно преобразовать из фильтра нижних частот в фильтр верхних частот, заменив шлейфы разомкнутой цепи шлейфами короткого замыкания. Оба фильтра точно согласованы, имеют одинаковую частоту среза и зеркально-симметричные характеристики. Поэтому он идеально подходит для использования в диплексерах . Трансформатор λ/4 обладает свойством инвариантности при преобразовании нижних частот в высокочастотные, поскольку это не просто трансформатор импеданса, а особый случай трансформатора — инвертор импеданса . То есть он преобразует любую сеть импеданса на одном порту в обратный импеданс или двойной импеданс на другом порту. Однако длина одной линии передачи может составлять только ровно λ/4 на ее резонансной частоте, и, следовательно, существует ограничение на полосу пропускания , в которой она будет работать. Существуют более сложные виды инверторных схем, которые более точно инвертируют импедансы. Существует два класса инверторов: J -инвертор, который преобразует параллельную проводимость в последовательный импеданс, и K -инвертор, который выполняет обратное преобразование. Коэффициенты J и K представляют собой соответственно масштабирующий адмиттанс и импеданс преобразователя.

Шлейфы можно удлинить, чтобы перейти от разомкнутой цепи к шлейфу короткого замыкания и наоборот. Фильтры нижних частот обычно состоят из последовательных индукторов и шунтирующих конденсаторов. Применение идентификаторов Куроды преобразует их во все шунтирующие конденсаторы, которые представляют собой шлейфы разомкнутой цепи. Шлейфы с открытой цепью предпочтительнее в печатных технологиях, потому что их легче реализовать, и эту технологию можно найти в потребительских товарах. Однако это не относится к другим технологиям, таким как коаксиальная линия или двухпроводная линия , где короткое замыкание действительно может быть полезно для механической поддержки конструкции. Короткие замыкания также имеют небольшое преимущество, заключающееся в том, что они обычно имеют более точное положение, чем разомкнутые цепи. Если цепь необходимо далее преобразовать в волноводную среду, то об разомкнутых цепях не может быть и речи, поскольку из образовавшейся таким образом апертуры будет выходить излучение. Для фильтра верхних частот применимо обратное: применение Курода естественным образом приведет к коротким замыканиям, и может быть желательно преобразовать печатную конструкцию в разомкнутые цепи. Например, шлейф разомкнутой цепи λ/8 можно заменить шлейфом короткого замыкания 3λ/8 с тем же характеристическим сопротивлением без функционального изменения схемы.

Соединение элементов связи вместе с линиями трансформаторов сопротивления – не самая компактная конструкция. Были разработаны и другие методы связи, особенно для полосовых фильтров гораздо более компактных . К ним относятся фильтры с параллельными линиями , встречно-штыревые фильтры , шпильковые фильтры с полусосредоточенной конструкцией и гребенчатые фильтры .

Библиография

• Бессер, Лес ; Гилмор, Роуэн, Практическое проектирование радиочастотных схем для современных беспроводных систем: Том 1: Пассивные схемы и системы , Artech House, 2002 г. ISBN   1580536751 .
• Бхат, Бхарати; Коул, Шибан К., Полосковые линии передачи для микроволновых интегральных схем , New Age International, 1989. ISBN   8122400523 .
• Ду, Кэ-Лин; Свами, MNS, Системы беспроводной связи , Cambridge University Press, 2010 г. ISBN   1139485768 .
• Гарднер, Марк А.; Викерт, Дэвид В., «Проектирование микроволнового фильтра с использованием шлейфов радиальной линии» , 1988 г., Конференция IEEE региона 5: охват пиков электротехнологии , стр. 68-72, IEEE, март 1988 г.
• Хельсайн, Джозеф, Синтез сосредоточенных элементов, распределенные и плоские фильтры , McGraw-Hill, 1990. ISBN   0077071662 .
• Хантер, Ян К., Теория и проектирование микроволновых фильтров , IET, 2001 г. ISBN   0852967772 .
• Кумар, Нарендра; Гребенников Андрей; Усилители распределенной мощности для ВЧ и СВЧ связи , Artech House, 2015 ISBN   1608078329 .
• Ли, Томас Х., Планарная микроволновая техника , том. 1, Издательство Кембриджского университета, 2004 г. ISBN   0521835267 .
• Леви, Ральф; Кон, Сеймур Б., «История исследований, проектирования и разработки микроволновых фильтров» , Транзакции IEEE по теории и методам микроволнового излучения , том. 32, вып. 9, стр. 1055–1067, сентябрь 1984 г.
• Малорацкий, Лео, Пассивные ВЧ и СВЧ интегральные схемы , Elsevier, 2003 г. ISBN   0080492053 .
• Маттеи, Джордж Л.; Янг, Лео; Джонс, СВЧ-фильтры ЕМТ, сети согласования импеданса и структуры связи МакГроу-Хилл, 1964 г. ОСЛК   282667 .
• Одзаки, Х.; Исии, Дж., «Синтез класса полосковых фильтров» , IRE Transactions on Circuit Theory , vol. 5, вып. 2, стр. 104–109. Июнь 1958 года.
• Ричардс, Пол И., «Резисторно-линейные цепи» , Труды IRE , том. 36, вып. 2, стр. 217–220, 1948.
• Сисодиа, М.Л., Микроволновые печи: введение в схемы, устройства и антенны , New Age International, 2007 г. ISBN   8122413382 .
• Вэнь, Гейи, Основы радиочастотной инженерии , World Scientific, 2015 г. ISBN   981457872X .
• Вик, Мартин, Стандартный словарь волоконной оптики , Springer, 1997 г. ISBN   0412122413 .