IP-набор
 | В этой статье нечеткий стиль цитирования . ( сентябрь 2009 г. ) |
В математике набор IP — это набор натуральных чисел , который содержит все конечные суммы некоторого бесконечного набора .
Конечные суммы множества натуральных чисел D , которые можно получить сложением элементов некоторого конечного непустого подмножества D. это все числа — Множество всех конечных сумм над D часто обозначается как FS( D ). В более общем смысле, для последовательности натуральных чисел ( n i ) можно рассматривать набор конечных сумм FS(( n i )), состоящий из сумм всех подпоследовательностей конечной длины из ( n i ).
Набор натуральных чисел A является набором IP, если существует бесконечное множество D такое, что FS( D ) является подмножеством A . Эквивалентно, можно потребовать, чтобы A суммы FS(( ni ) ) последовательности ( ni содержал все конечные ).
Некоторые авторы дают несколько иное определение наборов IP: они требуют, чтобы FS( D ) равнялся A, а не был просто подмножеством.
Термин «множество IP» был придуман Гиллелем Фюрстенбергом и Бенджамином Вайсом. [1] [2] сокращенно бесконечномерный параллелепипед » « . По счастливой случайности аббревиатуру IP также можно расширить до « i dempotent » . [3] (множество является IP тогда и только тогда, когда оно является членом идемпотентного ультрафильтра ).
Теорема Хиндмана [ править ]
Если представляет собой набор IP-адресов и , то хотя бы один это набор IP.Это известно как теорема Хиндмана или теорема о конечных суммах . [4] [5] Другими словами, теорема Хиндмана утверждает, что класс множеств IP является регулярным по разделам .
Поскольку набор натуральных чисел сам по себе является набором IP, а разбиения также можно рассматривать как раскраски, можно переформулировать частный случай теоремы Хиндмана в более привычных терминах: предположим, что натуральные числа «раскрашены» в n различных цветов; каждому натуральному числу соответствует один и только один цвет. Тогда существует цвет c и бесконечное множество D натуральных чисел, окрашенных в цвет c , такие, что каждая конечная сумма по D также имеет цвет c .
Теорема Хиндмана названа в честь математика Нила Хиндмана , который доказал ее в 1974 году. [4] Теорема Милликена-Тейлора является общим обобщением теоремы Хиндмана и теоремы Рэмси .
Полугруппы [ править ]
Определение IP было расширено за счет подмножеств специальной полугруппы натуральных чисел с добавлением подмножеств полугрупп и частичных полугрупп в целом. Вариант теоремы Хиндмана верен для произвольных полугрупп. [6] [7]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Фюрстенберг, Х. ; Вайс, Б. (1978). «Топологическая динамика и комбинаторная теория чисел» . Журнал Математического Анализа . 34 : 61–85. дои : 10.1007/BF02790008 .
- ^ Гарри, Фюрстенберг (июль 2014 г.). Рекуррентность в эргодической теории и комбинаторной теории чисел . Принстон, Нью-Джерси. ISBN 9780691615363 . OCLC 889248822 .
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) - ^ Бергельсон, В.; Лейбман, А. (2016). «Наборы больших значений корреляционных функций для полиномиальных кубических конфигураций». Эргодическая теория и динамические системы . 38 (2): 499–522. дои : 10.1017/etds.2016.49 . ISSN 0143-3857 . S2CID 31083478 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Хиндман, Нил (1974). «Конечные суммы из последовательностей внутри ячеек раздела N» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 17 (1): 1–11. дои : 10.1016/0097-3165(74)90023-5 . hdl : 10338.dmlcz/127803 .
- ^ Баумгартнер, Джеймс Э. (1974). «Краткое доказательство теоремы Хиндмана» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 17 (3): 384–386. дои : 10.1016/0097-3165(74)90103-4 .
- ^ Голаны, Гили; Цабан, Вооз (2013). «Теорема Хиндмана о раскраске в произвольных полугруппах» . Журнал алгебры . 395 : 111–120. arXiv : 1303.3600 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2013.08.007 . S2CID 11437903 .
- ^ Хиндман, Нил ; Штраус, Дона (1998). Алгебра в компактификации Стоуна-Чеха: теория и приложения . Нью-Йорк: Уолтер де Грюйтер. ISBN 311015420X . OCLC 39368501 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Виталий Бергельсон , И. Дж. Кнутсон, Р. Маккатчеон « Одновременное диофантовое приближение и VIP-системы. Архивировано 18 июля 2006 г. в Wayback Machine » Acta Arith. 116 , Academia Scientiarum Polona, (2005), 13-23.
- Виталий Бергельсон , « Минимальные идемпотенты и эргодическая теория Рамсея ». Темы динамики и эргодической теории 8–39, London Math. Соц. Лекции серии 310 , Кембриджский университет. Пресс, Кембридж (2003 г.)
- Бергельсон, Виталий ; Хиндман, Нил (2001). «Регулярные структуры разделов, содержащиеся в больших наборах, многочисленны» (PDF) . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 93 (1): 18–36. дои : 10.1006/jcta.2000.3061 . Проверено 18 сентября 2022 г.
- Дж. МакЛеод, « Некоторые понятия размера в частичных полугруппах », Topology Proceedings , Vol. 25 (2000), стр. 317–332.