Кусочно-синдетический набор

В математике — кусочная синдетичность это понятие размера подмножеств натуральных чисел .

Набор $S\subset \mathbb {N}$ называется кусочно-синдетическим, если существует конечное подмножество G из $\mathbb {N}$ такой, что для любого конечного подмножества F из $\mathbb {N}$ существует $x\in \mathbb {N}$ такой, что

x+F\subset \bigcup _{n\in G}(S-n)

где $S-n=\{m\in \mathbb {N} :m+n\in S\}$ . Эквивалентно, S является кусочно-синдетическим, если существует константа b такая, что существуют сколь угодно интервалы длинные $\mathbb {N}$ где пробелы в S ограничены b .

Характеристики

Множество является кусочно-синдетическим тогда и только тогда, когда оно является пересечением синдетического множества и толстого множества .
Если S кусочно-синдетично, то S содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии .
Множество S является кусочно-синдетическим тогда и только тогда, когда существует некоторый ультрафильтр U , содержащий S , и U находится в наименьшем двустороннем идеале множества S. $\beta \mathbb {N}$ , компактификация Стоуна-Чеха натуральных чисел.
Регулярность разбиения : если $S$ является кусочно-синдетическим и $S=C_{1}\cup C_{2}\cup \dots \cup C_{n}$ , то для некоторых $i\leq n$ , $C_{i}$ содержит кусочно-синдетическое множество. (Браун, 1968)
Если A и B являются подмножествами $\mathbb {N}$ с положительной верхней банаховой плотностью , то $A+B=\{a+b:a\in A,\,b\in B\}$ является кусочно-синдетическим. ^[1]