Jump to content

Наследственное кольцо

(Перенаправлено с Полунаследственное кольцо )

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория модулей , кольцо R называется наследственным, если все подмодули проективных модулей над R снова проективны. Если это требуется только для конечно порожденных подмодулей, его называют полунаследственным .

Для некоммутативного кольца R термины «левый наследственный» и «левый полунаследственный» , а также их правые версии используются для различения свойства на одной стороне кольца. Чтобы быть (полу)наследственными слева, все (конечно порожденные) подмодули проективных левых R -модулей должны быть проективными, и аналогично, чтобы быть (полу)наследственными справа, все (конечно порожденные) подмодули проективных правых R -модулей должны быть проективными. . Кольцо может быть левым (полу)наследственным, но не правосторонним (полу)наследственным, и наоборот.

Эквивалентные определения

[ редактировать ]
  • Полупростые кольца наследственны слева и справа посредством эквивалентных определений: все левые и правые идеалы являются слагаемыми R и, следовательно, проективны. Аналогичным образом, в регулярном кольце фон Неймана каждый конечно порожденный левый и правый идеал является прямым слагаемым кольца R , и поэтому регулярные кольца фон Неймана полунаследственны слева и справа.
  • Для любого ненулевого элемента x в области R , через карту . Следовательно, в любой области главный правый идеал свободен и, следовательно, проективен. Это отражает тот факт, что домены являются правыми кольцами Рикарта . Отсюда следует, что если R — правая область Безу , так что конечно порожденные правые идеалы являются главными, то R имеет все конечно порожденные правые идеалы проективными, и, следовательно, R полунаследственно справа. Наконец, если R предполагается, что является областью главных правых идеалов , то все правые идеалы проективны, а R наследственна справа.
  • Коммутативная наследственная область целостности называется областью Дедекинда . Коммутативная полунаследственная область целостности называется областью Прюфера .
  • Важным примером (левого) наследственного кольца является путей колчана алгебра . Это следствие существования стандартной резольвенты (длины 1) для модулей над алгеброй путей.
  • Треугольное матричное кольцо является наследственным справа и полунаследственным слева, но не наследственным слева.
  • Если S — регулярное кольцо фон Неймана с идеалом I, не являющимся прямым слагаемым, то кольцо треугольных матриц является полунаследственным слева, но не полунаследственным справа.

Характеристики

[ редактировать ]
  • Для наследственного слева кольца R каждый подмодуль свободного левого R -модуля изоморфен прямой сумме левых идеалов кольца R и, следовательно, проективен. [2]
  • Кроули-Бови, Уильям , Заметки о представлении колчана (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 2 мая 2003 г.
  • Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98428-5 , МР   1653294 , Збл   0911.16001
  • Осборн, М. Скотт (2000), Основная гомологическая алгебра , Тексты для аспирантов по математике, том. 196, Шпрингер-Верлаг, ISBN  0-387-98934-Х , Збл   0948.18001
  • Райнер И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 28, Издательство Оксфордского университета , ISBN  0-19-852673-3 , Збл   1024.16008
  • Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 38, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-43500-5 , Збл   0797.18001


Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ac1162646b3c5722f64d3dc1803a6e7d__1689347460
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ac/7d/ac1162646b3c5722f64d3dc1803a6e7d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Hereditary ring - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)