Вращение осей в двух измерениях

В математике вращение осей в двух измерениях представляет собой отображение от системы координат XY - картезиатской координат в систему координат x'y ′ -картаса, в которой источник сохраняется фиксированным, а оси x ′ и y ′ получают путем вращения x и y -оси против часовой стрелки по углу $\theta$ Полем Точка P имеет координаты ( x , y ) по отношению к исходной системе и координаты ( x ′ , y ′ ) относительно новой системы. ^{[ 1 ]} В новой системе координат точка P , по -видимому, будет повернута в противоположном направлении, то есть по часовой стрелке через угол $\theta$ Полем Вращение осей в более чем двух измерениях определяется аналогичным образом. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Вращение осей является линейной картой ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} и жесткое преобразование .

Мотивация

Системы координат необходимы для изучения уравнений кривых с использованием методов аналитической геометрии . Чтобы использовать метод геометрии координат, оси расположены в удобном положении относительно рассматриваемой кривой. Например, для изучения уравнений эллипсов и гиперболов , фокусы обычно расположены на одной из оси и расположены симметрично относительно происхождения. Если кривая (гипербола, парабола , эллипс и т. Д.) Не расположена удобно по отношению к осям, система координат следует изменить, чтобы поместить кривую в удобное и знакомое место и ориентацию. Процесс внесения этого изменения называется трансформацией координат . ^{[ 6 ]}

Решения многих задач могут быть упрощены путем вращения осей координат, чтобы получить новые оси через одно и то же происхождение.

Вывод

Уравнения, определяющие преобразование в двух измерениях, которые поворачивают оси XY против часовой стрелки по углу $\theta$ в оси x'y ′ , получены следующим образом.

В системе XY , пусть точка P имеет полярные координаты $(r,\alpha )$ Полем Затем в X'y ′ системе P будет иметь полярные координаты $(r,\alpha -\theta )$ .

Используя тригонометрические функции , у нас есть

x=r\cos \alpha

( 1 )

y=r\sin \alpha

( 2 )

и используя стандартные тригонометрические формулы для различий, у нас есть

x'=r\cos(\alpha -\theta )=r\cos \alpha \cos \theta +r\sin \alpha \sin \theta

( 3 )

y'=r\sin(\alpha -\theta )=r\sin \alpha \cos \theta -r\cos \alpha \sin \theta .

( 4 )

Заменить уравнения ( 1 ) и ( 2 ) в уравнения ( 3 ) и ( 4 ), мы получаем ^{[ 7 ]}

x'=x\cos \theta +y\sin \theta

( 5 )

y'=-x\sin \theta +y\cos \theta .

( 6 )

Уравнения ( 5 ) и ( 6 ) могут быть представлены в форме матрицы как ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$

которое является стандартным матричным уравнением вращения осей в двух измерениях. ^{[ 8 ]}

Обратное преобразование ^{[ 9 ]}

x=x'\cos \theta -y'\sin \theta

( 7 )

y=x'\sin \theta +y'\cos \theta ,

( 8 )

или ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}.$

Примеры в двух измерениях

Пример 1

Найти координаты точки $P_{1}=(x,y)=({\sqrt {3}},1)$ После того, как оси были повернуты через угол $\theta _{1}=\pi /6$ , или 30 °.

Решение: $x'={\sqrt {3}}\cos(\pi /6)+1\sin(\pi /6)=({\sqrt {3}})({\sqrt {3}}/2)+(1)(1/2)=2$ $y'=1\cos(\pi /6)-{\sqrt {3}}\sin(\pi /6)=(1)({\sqrt {3}}/2)-({\sqrt {3}})(1/2)=0.$

Оси были повернуты против часовой стрелки через угол $\theta _{1}=\pi /6$ и новые координаты $P_{1}=(x',y')=(2,0)$ Полем Обратите внимание, что точка, по -видимому, была повернута по часовой стрелке через $\pi /6$ Что касается фиксированных оси, так что теперь это совпадает с (новой) оси X ′ .

Пример 2

Найти координаты точки $P_{2}=(x,y)=(7,7)$ После того, как оси были повернуты по часовой стрелке 90 °, то есть через угол $\theta _{2}=-\pi /2$ , или -90 °.

Решение: ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(-\pi /2)&\sin(-\pi /2)\\-\sin(-\pi /2)&\cos(-\pi /2)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-7\\7\end{bmatrix}}.$

Оси были повернуты через угол $\theta _{2}=-\pi /2$ , который находится в направлении по часовой стрелке, а новые координаты $P_{2}=(x',y')=(-7,7)$ Полем Опять же, обратите внимание, что точка, по -видимому, была повернута против часовой стрелки через $\pi /2$ в отношении фиксированных оси.

Вращение конических срезов

Самое общее уравнение второй степени имеет форму

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0

(

A,B,C

не все ноль). ^{[ 10 ]}

( 9 )

Благодаря изменению координат (вращение осей и трансляцию осей ), уравнение ( 9 ) может быть помещено в стандартную форму , с которой обычно легче работать. Всегда можно повернуть координаты под определенным углом, чтобы устранить термин X'Y . Заменить уравнения ( 7 ) и ( 8 ) в уравнение ( 9 ), мы получаем

A'x'^{2}+B'x'y'+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F'=0,

( 10 )

где

$A'=A\cos ^{2}\theta +B\sin \theta \cos \theta +C\sin ^{2}\theta ,$
$B'=2(C-A)\sin \theta \cos \theta +B(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ),$
$C'=A\sin ^{2}\theta -B\sin \theta \cos \theta +C\cos ^{2}\theta ,$
$D'=D\cos \theta +E\sin \theta ,$
$E'=-D\sin \theta +E\cos \theta ,$
$F'=F.$

( 11 )

Если $\theta$ выбирается так, чтобы $\cot 2\theta =(A-C)/B$ У нас будет $B'=0$ и ′ ′ -термин в уравнении ( 10 ) исчезнет. ^{[ 11 ]}

Когда возникает проблема с B , D и E, все отличаются от нуля, их можно устранить, выполнив подряд вращение (исключая B ) и перевод (исключение терминов D и E ). ^{[ 12 ]}

Определение вращающихся конических срезов

с дегенерацией Конический раздел, не связанный $B^{2}-4AC$ Полем Коническая секция: ^{[ 13 ]}

эллипс или круг, если $B^{2}-4AC<0$ ;
Парабола, если $B^{2}-4AC=0$ ;
Гипербола, если $B^{2}-4AC>0$ .

Обобщение в нескольких измерениях

Предположим, что прямоугольная система xyz -координата вращается вокруг своей оси z против часовой стрелки (глядя вниз на положительную ось Z ) через угол $\theta$ То есть положительная ось x вращается сразу же в положительную Y. ось Координата z каждой точки не изменилась, а координаты X и Y преобразуются, как указано выше. Старые координаты ( x , y , z ) точки Q связаны с его новыми координатами ( x ′ , y ′ , z ' ) ^{[ 14 ]} ${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.$

Обобщение до любого конечного количества измерений, матрицы вращения $A$ является ортогональной матрицей , которая отличается от матрицы идентичности не более четырех элементов. Эти четыре элемента имеют форму

a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta

и

a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,

для некоторых $\theta$ и некоторые я ≠ j . ^{[ 15 ]}

Пример в нескольких измерениях

Пример 3

Найти координаты точки $P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)$ после того, как положительная ось w была повернута через угол $\theta _{3}=\pi /12$ , или 15 °, в положительную ось z .

Решение: ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\\[4pt]&\approx {\begin{bmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Смотрите также

Примечания

^ Protter & Morrey (1970 , p. 320)
^ Антон (1987 , стр. 231)
^ Burden & Faires (1993 , p. 532)
^ Антон (1987 , стр. 247)
^ Beaugeard & Faleigh (1973 , P. 266)
^ Protter & Morrey (1970 , с. 314-315)
^ Protter & Morrey (1970 , с. 320-321)
^ Антон (1987 , стр. 230)
^ Protter & Morrey (1970 , p. 320)
^ Protter & Morrey (1970 , стр. 316)
^ Protter & Morrey (1970 , с. 321-322)
^ Protter & Morrey (1970 , p. 324)
^ Protter & Morrey (1970 , p. 326)
^ Антон (1987 , стр. 231)
^ Burden & Faires (1993 , p. 532)

Ссылки

Антон, Ховард (1987), элементарная линейная алгебра (5 -е изд.), Нью -Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), первый курс по линейной алгебре: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-х
Берден, Ричард Л.; Faires, J. Douglas (1993), Численное анализ (5 -е изд.), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт , ISBN 0-534-93219-3
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN 76087042

[1] Protter & Morrey (1970 , p. 320)

[2] Антон (1987 , стр. 231)

[3] Burden & Faires (1993 , p. 532)

[4] Антон (1987 , стр. 247)

[5] Beaugeard & Faleigh (1973 , P. 266)

[6] Protter & Morrey (1970 , с. 314-315)

[7] Protter & Morrey (1970 , с. 320-321)

[8] Антон (1987 , стр. 230)

[9] Protter & Morrey (1970 , p. 320)

[10] Protter & Morrey (1970 , стр. 316)

[11] Protter & Morrey (1970 , с. 321-322)

[12] Protter & Morrey (1970 , p. 324)

[13] Protter & Morrey (1970 , p. 326)

[14] Антон (1987 , стр. 231)

[15] Burden & Faires (1993 , p. 532)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]