АХ Лайтстоун

Альберт Гарольд Лайтстоун (1926–1976) ^[1] был канадским математиком. Он был одним из пионеров нестандартного анализа , докторантом Абрахама Робинсона , а позже соавтором вместе с Робинсоном книги «Неархимедовы поля и асимптотические расширения» . ^[2]

Биография

Лайтстоун получил докторскую степень в Университете Торонто в 1955 году под руководством Абрахама Робинсона; его диссертация называлась « Вклад в теорию количественной оценки» . ^[3] Он был профессором математики в Карлтонском университете. ^[4] и Королевский университет . ^[5]

Исследовать

Десятичные гиперреальные числа

В своей статье «Бесконечно малые» в American Mathematical Monthly в 1972 г. ^[6] Лайтстоун описал расширенную десятичную систему записи гиперреальности . Здесь есть цифра для каждого сверхъестественного ранга, а не просто цифра для каждого ранга, заданного натуральным числом. Такая гипердействительная десятичная дробь записывается как

a.a_{1}a_{2}\ldots ;\ldots a_{H-1}a_{H}a_{H+1}\ldots \,.

Вот цифра $a_{H}$ появляется в ранге $H$ , что является типичным бесконечным сверхъестественным. Точка с запятой отделяет цифры конечных рангов от цифр бесконечных рангов. Таким образом, число 0,000...;...01 с цифрой «1» бесконечного ранга H соответствует бесконечно малому $10^{-H}$ .

Разница 1 - 0,000...;...01 равна 0,999...;...9 с бесконечным сверхъестественным числом цифр 9. Альтернативное обозначение для последнего:

0.\underbrace {999\ldots 9} _{H}\,

где H — бесконечное сверхъестественное. Расширенная десятичная запись обеспечивает строгую математическую реализацию студенческих представлений о бесконечно малых формах 0,000...01. Подобные студенческие интуиции и их полезность в изучении исчисления бесконечно малых были проанализированы в исследовании 2010 года Робертом Эли в журнале исследований в области математического образования . ^[7]

Другие исследования

Основной вклад Лайтстоуна в исследования был связан с нестандартным анализом . Он также написал статьи по трисекции углов . ^[4] инверсия матрицы , ^[8] и приложения теории групп к формальной логике . ^[9]

Книги

Лайтстоун был автором или соавтором нескольких книг по математике:

Аксиоматический метод: введение в математическую логику (Прентис Холл, 1964). Этот вводный учебник разделен на две части: одна дает неформальное введение в булеву логику , а вторая использует формальные методы для доказательства непротиворечивости и полноты исчисления предикатов . ^[10] Он предназначен для студентов, которые уже немного знакомы с абстрактной алгеброй , и одной из его тем является алгебраический взгляд на математические доказательства в логике. ^[11]
Концепции исчисления (Харпер и Роу, 1965). Это учебник по исчислению действительных функций одной переменной. Рецензент Д. Р. Дикинсон написал, что он «содержит много нового и интересного материала»; однако он также жаловался на педантичное избегание переменных (с использованием тождественных функций вместо них), ненужную настойчивость в рассмотрении только функций, производная которых имеет ту же область действия, что и сама функция, а также на «скучные и длительные обсуждения элементарных тем». ^[12]
- Концепции исчисления, том. 2 (Харпер и Роу, 1966)
- Решения к упражнениям по понятиям исчисления (Харпер и Роу, 1966).
Основы линейной алгебры (Эпплтон-Сентьюри-Крофтс, 1969, ISBN 0-390-56050-2 )
Символическая логика и действительная система счисления: введение в основы числовых систем (Харпер и Роу, 1965). Эта книга представляет собой курс построения действительных чисел на основе формальной логики . ^[13] Его цель — показать, как действительные числа могут быть получены из более простых понятий арифметики, и продемонстрировать влияние логики на остальную часть математики. ^[14] Помимо охвата заглавных тем, он также содержит длинный раздел, посвященный аксиомам для нескольких алгебраических структур: групп , колец , полей и булевых алгебр . ^[15] Одна из особенностей заключается в том, что вместо аксиоматизации действительных чисел с использованием разрезов Дедекинда или последовательностей Коши , он основывает свою аксиоматизацию на последовательностях десятичных чисел. ^[13]^[14]^[15]
Неархимедовы поля и асимптотические разложения (совместно с Абрахамом Робинсоном, Северная Голландия, 1975). Переиздание ПБК, 2016 год . Это вводный учебник, в котором делается попытка сделать материал из монографии Робинсона « Нестандартный анализ» 1966 года более доступным. ^[16] и продемонстрировать полезность нестандартного анализа при изучении асимптотических разложений . ^[17] Он был основан на первоначальном проекте Робинсона и закончен посмертно Лайтстоуном, который сам вскоре умер. ^[16]^[17] Он начинается с введения в неархимедовы поля с множеством полезных примеров, содержит необходимые инструменты математической логики, включая сверхстепени , две главы посвящены описанию того, как проводить нестандартный анализ с использованием поля Леви-Чивита , и заканчивается тремя главами, посвященными асимптотические разложения. ^[16]
Математическая логика: введение в теорию моделей (Математические концепции и методы в науке и технике, т. 9, Plenum Press, 1978, ISBN 0-306-30894-0 ). Эта книга была опубликована посмертно под редакцией Герберта Эндертона . Он состоит из трех частей: одна посвящена исчислению высказываний , вторая часть посвящена формальной семантике и третья часть посвящена приложениям теории моделей, включая нестандартный анализ и теорию множеств . ^[18] Однако его критиковали за медленный темп первого раздела и общее отсутствие математической строгости. ^[18]^[19]

Награды и почести

Королевский университет ежегодно присуждает стипендию Альберта Гарольда Лайтстоуна, названную в честь Лайтстоуна, студентам четвертого курса бакалавриата по специальности математика или статистика. ^[20]^[21] Стипендия была учреждена женой Лайтстоуна после его смерти. ^[22]

Ссылки

^ « Математические концепции и методы в науке и технике » . www.faqs.org: Пленум . Проверено 31 марта 2011 г.
^ Неархимедовы поля и асимптотические разложения . Лайтстоун, А.Х. и Робинсон, Авраам. Северо-Голландский паб. Co. (Амстердам и Нью-Йорк), 1975 г.
^ Альберт Гарольд Лайтстоун в проекте «Математическая генеалогия»
^ Jump up to: ^а ^б Лайтстоун, AH (1962), «Конструкция для трисекции угла», Mathematics Magazine , 35 (2): 99–102, doi : 10.1080/0025570X.1962.11975312 , JSTOR 2688331 , MR 1571175
↑ Академический календарь, математика и статистика Королевского университета. Архивировано 27 марта 2010 г. в Wayback Machine , получено 31 марта 2011 г.
^ Лайтстоун, AH (март 1972 г.), «Бесконечные малые», American Mathematical Monthly , 79 (3): 242–251, doi : 10.2307/2316619 , JSTOR 2316619 , MR 0300889
^ Эли, Роберт (2010), «Нестандартные представления студентов о бесконечно малых величинах» (PDF) , Журнал исследований в области математического образования , 41 (2): 117–146 . Эта статья представляет собой практическое исследование с участием студентки, которая разработала теорию бесконечно малых в стиле Лейбница, чтобы помочь ей понять исчисление и, в частности, объяснить, почему «0,999...» не соответствует 1 на бесконечно малые 0,000...1.
^ Лайтстоун, AH (1968), «Два метода обращения матриц», Delta , 41 (1), Университет Висконсина: 1–7, doi : 10.2307/2687951 , JSTOR 2687951 , MR 0231832
^ Лайтстоун, АХ (1968), «Теория групп и принцип двойственности», Canadian Mathematical Bulletin , 11 : 43–50, doi : 10.4153/cmb-1968-006-9 , MR 0229507
^ Обзор аксиоматического метода , Р. Л. Гудстейна Математические обзоры , MR 0163834 .
^ Обзор аксиоматического метода Питера Эндрюса (1966), Журнал символической логики 31 (1): 106–108, JSTOR 2270630 .
^ Обзор концепций исчисления Д. Р. Дикинсона (1966), Mathematical Gazette 50 (373): 329–330, JSTOR 3614713 .
^ Jump up to: ^а ^б Хант, Берроуз (1969). «Символическая логика и действительная система счисления». Американский математический ежемесячник . 76 (6): 716. дои : 10.2307/2316722 . JSTOR 2316722 . .
^ Jump up to: ^а ^б Уэббер, Г. Катберт (1966). «Обзор символической логики ». Наука . 153 (3735): 519. Бибкод : 1966Sci...153..519L . дои : 10.1126/science.153.3735.519 . JSTOR 1719891 .
^ Jump up to: ^а ^б Гудштейн, Р.Л. (1967). «Обзор символической логики ». Математический вестник . 51 (375): 78. дои : 10.2307/3613659 . JSTOR 3613660 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Обзор неархимедовых полей И. Феньо, Математические обзоры , MR 0414354 .
^ Jump up to: ^а ^б Леб, Питер А. (1977). «Обзор неархимедовых полей » . Бюллетень Американского математического общества . 83 (2): 231–235. дои : 10.1090/S0002-9904-1977-14277-8 .
^ Jump up to: ^а ^б Обзор математической логики Дж. М. Плоткина (1980), Mathematical Reviews , MR 0497355 )
^ Кроссли, Дж. Н. (1979). «Обзор математической логики » . Бюллетень Американского математического общества . 1 (6): 1003–1005. дои : 10.1090/S0273-0979-1979-14718-9 .
^ « Стипендия Альберта Гарольда Лайтстоуна » . www.canadian-universities.net. 2010 . Проверено 31 марта 2011 г.
^ « Специальные награды в области математики и статистики » . www.queensu.ca: Королевский университет. Архивировано из оригинала 29 марта 2012 года . Проверено 31 марта 2011 г.
^ « Стипендия Альберта Гарольда Лайтстоуна » . www.queensu.ca: Королевский университет. Архивировано из оригинала 24 декабря 2010 года . Проверено 31 марта 2011 г.

[1] « Математические концепции и методы в науке и технике » . www.faqs.org: Пленум . Проверено 31 марта 2011 г.

[2] Неархимедовы поля и асимптотические разложения . Лайтстоун, А.Х. и Робинсон, Авраам. Северо-Голландский паб. Co. (Амстердам и Нью-Йорк), 1975 г.

[3] Альберт Гарольд Лайтстоун в проекте «Математическая генеалогия»

[trisect-4] Jump up to: ^а ^б Лайтстоун, AH (1962), «Конструкция для трисекции угла», Mathematics Magazine , 35 (2): 99–102, doi : 10.1080/0025570X.1962.11975312 , JSTOR 2688331 , MR 1571175

[cal-5] Академический календарь, математика и статистика Королевского университета. Архивировано 27 марта 2010 г. в Wayback Machine , получено 31 марта 2011 г.

[6] Лайтстоун, AH (март 1972 г.), «Бесконечные малые», American Mathematical Monthly , 79 (3): 242–251, doi : 10.2307/2316619 , JSTOR 2316619 , MR 0300889

[7] Эли, Роберт (2010), «Нестандартные представления студентов о бесконечно малых величинах» (PDF) , Журнал исследований в области математического образования , 41 (2): 117–146 . Эта статья представляет собой практическое исследование с участием студентки, которая разработала теорию бесконечно малых в стиле Лейбница, чтобы помочь ей понять исчисление и, в частности, объяснить, почему «0,999...» не соответствует 1 на бесконечно малые 0,000...1.

[8] Лайтстоун, AH (1968), «Два метода обращения матриц», Delta , 41 (1), Университет Висконсина: 1–7, doi : 10.2307/2687951 , JSTOR 2687951 , MR 0231832

[9] Лайтстоун, АХ (1968), «Теория групп и принцип двойственности», Canadian Mathematical Bulletin , 11 : 43–50, doi : 10.4153/cmb-1968-006-9 , MR 0229507

[10] Обзор аксиоматического метода , Р. Л. Гудстейна Математические обзоры , MR 0163834 .

[11] Обзор аксиоматического метода Питера Эндрюса (1966), Журнал символической логики 31 (1): 106–108, JSTOR 2270630 .

[12] Обзор концепций исчисления Д. Р. Дикинсона (1966), Mathematical Gazette 50 (373): 329–330, JSTOR 3614713 .

[hunt-13] Jump up to: ^а ^б Хант, Берроуз (1969). «Символическая логика и действительная система счисления». Американский математический ежемесячник . 76 (6): 716. дои : 10.2307/2316722 . JSTOR 2316722 . .

[gcw-14] Jump up to: ^а ^б Уэббер, Г. Катберт (1966). «Обзор символической логики ». Наука . 153 (3735): 519. Бибкод : 1966Sci...153..519L . дои : 10.1126/science.153.3735.519 . JSTOR 1719891 .

[goodstein-15] Jump up to: ^а ^б Гудштейн, Р.Л. (1967). «Обзор символической логики ». Математический вестник . 51 (375): 78. дои : 10.2307/3613659 . JSTOR 3613660 .

[fenyo-16] Jump up to: ^а ^б ^с Обзор неархимедовых полей И. Феньо, Математические обзоры , MR 0414354 .

[loeb-17] Jump up to: ^а ^б Леб, Питер А. (1977). «Обзор неархимедовых полей » . Бюллетень Американского математического общества . 83 (2): 231–235. дои : 10.1090/S0002-9904-1977-14277-8 .

[plotkin-18] Jump up to: ^а ^б Обзор математической логики Дж. М. Плоткина (1980), Mathematical Reviews , MR 0497355 )

[19] Кроссли, Дж. Н. (1979). «Обзор математической логики » . Бюллетень Американского математического общества . 1 (6): 1003–1005. дои : 10.1090/S0273-0979-1979-14718-9 .

[20] « Стипендия Альберта Гарольда Лайтстоуна » . www.canadian-universities.net. 2010 . Проверено 31 марта 2011 г.

[21] « Специальные награды в области математики и статистики » . www.queensu.ca: Королевский университет. Архивировано из оригинала 29 марта 2012 года . Проверено 31 марта 2011 г.

[22] « Стипендия Альберта Гарольда Лайтстоуна » . www.queensu.ca: Королевский университет. Архивировано из оригинала 24 декабря 2010 года . Проверено 31 марта 2011 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

Базы данных авторитетного контроля
Международный	ЯВЛЯЮТСЯ ВИАФ
Национальный	Израиль
академики	MathSciNet Проект математической генеалогии zbMATH
Другой	ИдРеф