Стандартные гипотезы об алгебраических циклах

В математике стандартными гипотезами об алгебраических циклах являются несколько гипотез, описывающих взаимосвязь алгебраических циклов и теорий когомологий Вейля . Одним из первоначальных применений этих гипотез, предложенных Александром Гротендиком , было доказательство того, что его конструкция чистых мотивов дает абелеву категорию полупростую . Более того, как он указывал, стандартные гипотезы подразумевают и самую сложную часть гипотез Вейля , а именно гипотезу «гипотезы Римана», которая оставалась открытой в конце 1960-х годов и была доказана позже Пьером Делинем ; подробнее о связи между Вейлем и стандартными гипотезами см. Клейман (1968) . Стандартные гипотезы остаются открытыми проблемами, поэтому их применение дает лишь условные доказательства результатов. Во многих случаях, включая случай гипотез Вейля, были найдены другие методы, позволяющие безоговорочно доказать такие результаты.

Классические формулировки стандартных гипотез включают фиксированную теорию когомологий Вейля $H$ . Все гипотезы касаются «алгебраических» классов когомологий, что означает морфизм когомологий гладкого проективного многообразия.

ЧАС * (Икс) \to ЧАС * (Х)

индуцированный алгебраическим циклом с рациональными коэффициентами в произведении $X \times X$ через отображение классов циклов , которое является частью структуры теории когомологий Вейля.

Гипотеза А эквивалентна гипотезе Б (см. Гротендик (1969) , стр. 196), поэтому не указана в списке.

Стандартная гипотеза типа Лефшеца (гипотеза B)

Одной из аксиом теории Вейля является так называемая жесткая теорема (или аксиома) Лефшеца :

Начните с фиксированного гладкого гиперплоского сечения.

W знак равно ЧАС \cap Икс

,

где $X$ — заданное гладкое проективное многообразие в объемлющем проективном пространстве $P Н$ и $H$ — гиперплоскость. Тогда для $i ⩽ n = dim(X)$ оператор Лефшеца

Л : Ч я (Икс) \to ЧАС я +2 (Х)

,

который определяется пересечением классов когомологий с $W$ , дает изоморфизм

л п - я : Ч я (Икс) \to ЧАС 2 п - я (Х)

.

Теперь для $i \leq n$ определим:

Λ = (L п - я +2) -1 \circ Л \circ (Л п - я) : Ч я (Икс) \to ЧАС я -2 (Х)

Λ = (L п - я) \circ Л \circ (Л п - я +2) -1 : Ч 2 п - я +2 (Икс) \to ЧАС 2 п - я (Х)

Гипотеза утверждает, что оператор Лефшеца ( $Λ$ ) индуцируется алгебраическим циклом.

Стандартная гипотеза типа Кюннета (гипотеза C)

Предполагается, что проекторы

ЧАС * (Икс) ↠ Ч я (Икс) ↣ ЧАС * (Х)

алгебраичны, т.е. индуцированы циклом $π я \subset X \times X$ с рациональными коэффициентами. Это означает, что мотив любой гладкой проективной разновидности (и, вообще, всякий чистый мотив ) распадается как

h(X)=\bigoplus _{i=0}^{2dim(X)}h^{i}(X).

Мотивы $h^{0}(X)$ и $h^{2dim(X)}$ всегда можно разделить на прямые слагаемые. Поэтому для кривых гипотеза сразу же справедлива. Для поверхностей это было доказано Мурре (1990) . Кац и Мессинг (1974) использовали гипотезу Вейля , чтобы доказать гипотезу для алгебраических многообразий, определенных над конечными полями в произвольной размерности.

Шерменев (1974) доказал разложение Кюннета для абелевых многообразий A . Денингер и Мурре (1991) уточнили этот результат, продемонстрировав функториальное разложение Кюннета мотива Чоу A , такое, что n -умножение абелева многообразия действует как $n^{i}$ по i -му слагаемому $h^{i}(A)$ . де Катальдо и Мильорини (2002) доказали разложение Кюннета для схемы Гильберта точек на гладкой поверхности.

Гипотеза D (числовая эквивалентность против гомологической эквивалентности)

Гипотеза D утверждает, что числовая и гомологическая эквивалентность согласуются. (Это означает, в частности, что последнее не зависит от выбора теории когомологий Вейля). Из этой гипотезы следует гипотеза Лефшеца. Если стандартная гипотеза Ходжа верна, то гипотеза Лефшеца и гипотеза D эквивалентны.

Эта гипотеза была доказана Либерманом для многообразий размерности не выше 4 и для абелевых многообразий . ^[1]

Стандартная гипотеза Ходжа

Стандартная гипотеза Ходжа моделируется на основе теоремы об индексе Ходжа . Он утверждает определенность (положительную или отрицательную, в зависимости от размерности) спаривания произведений чашки на классах примитивных алгебраических когомологий. Если она верна, то из гипотезы Лефшеца следует гипотеза D. В нулевой характеристике справедлива стандартная гипотеза Ходжа, являющаяся следствием теории Ходжа . В положительной характеристике стандартная гипотеза Ходжа известна для поверхностей ( Гротендик (1958) ) и абелевых многообразий размерности 4 ( Анкона (2020) ).

Стандартную гипотезу Ходжа не следует путать с гипотезой Ходжа , которая утверждает, что для гладких проективных многообразий над $C$ каждый рациональный $(p, p)$ -класс алгебраичен. Из гипотезы Ходжа вытекают гипотезы Лефшеца и Кюннета, а также гипотеза D для многообразий над полями нулевой характеристики. следует Из гипотезы Тейта гипотеза Лефшеца, Кюннета и D для ℓ-адических когомологий над всеми полями.

Свойства постоянства стандартных гипотез

многообразий X и Y , 2006) ввёл условие Y мотивировано что X. Для двух алгебраических Арапура ( Точным условием является то, что мотив Y (в категории мотивов Андре) выразим, начиная с мотива X, посредством сумм, слагаемых и произведений. Например, Y мотивирован, если существует сюръективный морфизм $X^{n}\to Y$ . ^[2] Если Y не найден в категории, он немотивирован в этом контексте. Для гладких проективных комплексных алгебраических многообразий X и Y , таких что Y мотивировано X , стандартные гипотезы D (гомологическая эквивалентность равна числовой), B (Лефшеца), гипотеза Ходжа , а также обобщенная гипотеза Ходжа верны для Y, если они верны для степени X. все ^[3] Этот факт можно применить, чтобы показать, например, гипотезу Лефшеца для схемы Гильберта точек на алгебраической поверхности .

Связь с другими гипотезами

Бейлинсон (2012) показал, что (предположительное) существование так называемой мотивной t-структуры в триангулированной категории мотивов подразумевает стандартные гипотезы Лефшеца и Кюннета B и C.

Ссылки

^ Либерман, Дэвид И. (1968), «Численная и гомологическая эквивалентность алгебраических циклов на многообразиях Ходжа», Amer. Дж. Математика. , 90 (2): 366–374, номер документа : 10.2307/2373533 , JSTOR 2373533.
^ Арапура (2006 , Кор. 1.2)
^ Арапура (2006 , Лемма 4.2)

Анкона, Джузеппе (2020), «Стандартные гипотезы для абелевых четырехмерных многообразий», Invent. Математика. , arXiv : 1806.03216 , doi : 10.1007/s00222-020-00990-7 , S2CID 119579196

Арапура, Дону (2006), «Мотивация циклов Ходжа», « Достижения в области математики » , 207 (2): 762–781, arXiv : math/0501348 , doi : 10.1016/j.aim.2006.01.005 , MR 2271985 , S2CID 1389723 9

Бейлинсон, А. (2012), «Замечания по поводу стандартных гипотез Гротендика», Regulators , Contemp. Матем., вып. 571, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, стр. 25–32, arXiv : 1006.1116 , doi : 10.1090/conm/571/11319 , ISBN. 9780821853221 , МР 2953406 , S2CID 119687821

де Катальдо, Марк Андреа А .; Мильорини, Лука (2002), «Группы Чоу и мотив схемы точек Гильберта на поверхности», Journal of Algebra , 251 (2): 824–848, arXiv : math/0005249 , doi : 10.1006/jabr. 2001.9105 , МР 1919155 , S2CID 16431761

Денингер, Кристофер; Мурре, Джейкоб (1991), «Мотивное разложение абелевых схем и преобразование Фурье», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 422 : 201–219, МР 1133323

Гротендик, А. (1969), «Стандартные гипотезы об алгебраических циклах», Алгебраическая геометрия (Международный разговор, Tata Inst. Fund. Res., Бомбей, 1968) (PDF) , Oxford University Press, стр. 193–199, МР 0268189 .

Гротендик, А. (1958), «Sur une note de Mattuck-Tate», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 1958 (200): 208–215, doi : 10.1515/crll.1958.200.208 , MR 0136607 , S2CID 115548848

Кац, Николас М .; Мессинг, Уильям (1974), «Некоторые следствия гипотезы Римана для многообразий над конечными полями», Inventiones Mathematicae , 23 : 73–77, Bibcode : 1974InMat..23...73K , doi : 10.1007/BF01405203 , MR 0332791 , S2CID 121989640
Клейман, Стивен Л. (1968), «Алгебраические циклы и гипотезы Вейля», Десять лекций по когомологиям схем , Амстердам: Северная Голландия, стр. 359–386, МР 0292838 .

Мурре, JP (1990), «По мотивам алгебраической поверхности», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 1990 (409): 190–204, doi : 10.1515/crll.1990.409.190 , MR 1061525 , S2CID 117483201

Клейман, Стивен Л. (1994), «Стандартные гипотезы», Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 55, Американское математическое общество, стр. 3–20, MR 1265519 .

Шерменев А.М. (1974), "Мотив абелевой разновидности", Funckcional. Анальный. И Приложен , 8 (1): 55–61, МР 0335523

Внешние ссылки

Прогресс в стандартных гипотезах об алгебраических циклах
Кэлеровы аналоги некоторых гипотез Вейля. Ж.-П. Серр (отрывок из письма А. Вейлю от 9 ноября 1959 г.) скан

[1] Либерман, Дэвид И. (1968), «Численная и гомологическая эквивалентность алгебраических циклов на многообразиях Ходжа», Amer. Дж. Математика. , 90 (2): 366–374, номер документа : 10.2307/2373533 , JSTOR 2373533.

[2] Арапура (2006 , Кор. 1.2)

[3] Арапура (2006 , Лемма 4.2)

[1]

[2]

[3]