Сферический колпачок

Пример сферической крышки синего цвета (и еще одной красной)

В геометрии или сферическая шапка сферический купол — это часть сферы или шара , отрезанная плоскостью . Это также сферический сегмент одного основания, т. е. ограниченный одной плоскостью. Если плоскость проходит через центр сферы (образуя большой круг ), так что высота шапки равна радиусу сферы , то сферическая шапка называется полусферой .

Объем и площадь поверхности

Объем комбинации сферической шапки и площадь изогнутой поверхности можно рассчитать, используя

• Радиус $r$ сферы
• Радиус $a$ от основания шапки
• Высота $h$ из кепки
• Полярный угол $\theta$ между лучами, идущими от центра сферы к вершине шапки (полюсу) и краем диска, образующего основание шапки.

Эти переменные связаны между собой формулами $a=r\sin \theta$, $h=r(1-\cos \theta )$, $2hr=a^{2}+h^{2}$, и $2ha=(a^{2}+h^{2})\sin \theta$.

	С использованием $r$ и $h$	С использованием $a$ и $h$	С использованием $r$ и $\theta$
Объем	$V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)$	$V={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})$	$V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(2+\cos \theta )(1-\cos \theta )^{2}$
Область	$A=2\pi rh$	$A=\pi (a^{2}+h^{2})$	$A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )$
Ограничения	$0\leq h\leq 2r$	$0\leq a,\;0\leq h$	$0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq r$

Если $\phi$ обозначает широту в географических координатах , тогда $\theta +\phi =\pi /2=90^{\circ }\,$, и $\cos \theta =\sin \phi$.

Интуитивное определение площади поверхности из объема сферического сектора

Обратите внимание, что помимо приведенного ниже аргумента, основанного на исчислении, площадь сферической шапки может быть получена из объема $V_{sec}$ сферического сектора , по интуитивному доводу, как

$A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.$

Интуитивный аргумент основан на суммировании общего объема сектора с объемом бесконечно малых треугольных пирамид . Используя объема пирамиды (или конуса) формулу $V={\frac {1}{3}}bh'$, где $b$ - бесконечно малая площадь каждого основания пирамиды (расположенного на поверхности сферы) и $h'$ — высота каждой пирамиды от основания до вершины (в центре сферы). Поскольку каждый $h'$, в пределе постоянно и эквивалентно радиусу $r$ сферы, сумма бесконечно малых оснований пирамид будет равна площади сферического сектора, и:

$V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A$

Вычисление объема и площади поверхности с помощью математического анализа

Вращение зеленой области создает сферическую шапку высотой $h$ и радиус сферы $r$.

Формулы объема и площади можно вывести, исследуя вращение функции

$f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}$

для $x\in [0,h]$, используя формулы поверхность вращения для площади и тело вращения для объема. Район

$A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx$

Производная от $f$ является

$f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

и, следовательно,

$1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}$

Следовательно, формула площади имеет вид

$A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh$

Объем

$V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)$

Приложения

Объемы объединения и пересечения двух пересекающихся сфер

Объем объединения двух пересекающихся сфер радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$ является

$V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,$

где

$V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}$

представляет собой сумму объемов двух изолированных сфер, а

$V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})$

сумма объемов двух сферических шапок, образующих их пересечение. Если $d\leq r_{1}+r_{2}$ это расстояние между двумя центрами сферы, исключение переменных $h_{1}$ и $h_{2}$ ведет к

$V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.$

Объем сферической шапки с изогнутым основанием

Объем сферической шапки с изогнутым основанием можно рассчитать, рассматривая две сферы радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$, разделенные некоторым расстоянием $d$, и для которого их поверхности пересекаются при $x=h$. То есть кривизна основания происходит от сферы 2. Таким образом, объем представляет собой разницу между крышкой сферы 2 (с высотой $(r_{2}-r_{1})-(d-h)$) и шапка сферы 1 (с высотой $h$),

${\begin{aligned}V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi [(r_{2}-r_{1})-(d-h)]^{2}}{3}}[3r_{2}-((r_{2}-r_{1})-(d-h))]\,,\\V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi }{3}}(d-h)^{3}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{d-h}}-1\right)^{2}\left[{\frac {2r_{2}+r_{1}}{d-h}}+1\right]\,.\end{aligned}}$

Эта формула справедлива только для конфигураций, удовлетворяющих $0<d<r_{2}$ и $d-(r_{2}-r_{1})<h\leq r_{1}$. Если сфера 2 очень велика, так что $r_{2}\gg r_{1}$, следовательно $d\gg h$ и $r_{2}\approx d$, что имеет место для сферической крышки с основанием, имеющим незначительную кривизну, приведенное выше уравнение равно объему сферической крышки с плоским основанием, как и ожидалось.

Области пересекающихся сфер

Рассмотрим две пересекающиеся сферы радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$, их центры разделены расстоянием $d$. Они пересекаются, если

$|r_{1}-r_{2}|\leq d\leq r_{1}+r_{2}$

По закону косинусов полярный угол сферической шапки на сфере радиуса $r_{1}$ является

$\cos \theta ={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2r_{1}d}}$

Используя это, площадь поверхности сферической шапки на сфере радиуса $r_{1}$ является

$A_{1}=2\pi r_{1}^{2}\left(1+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}-d^{2}}{2r_{1}d}}\right)$

Площадь поверхности, ограниченная параллельными дисками

Площадь изогнутой поверхности сферического сегмента, ограниченного двумя параллельными дисками, представляет собой разность площадей поверхностей соответствующих сферических колпачков. Для сферы радиуса $r$, и заглавные буквы с высотами $h_{1}$ и $h_{2}$, площадь

$A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,$

или, используя географические координаты с широтой $\phi _{1}$ и $\phi _{2}$,

$A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,$

Например, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 6371 км, площадь поверхности Арктики (к северу от Полярного круга, на широте 66,56 ° по состоянию на август 2016 г.) ) равно 2 π   ⋅   6371 ²  | грех 90° − грех 66,56° | = 21,04 млн км ² (8,12 млн квадратных миль), или 0,5   ⋅   | грех 90° − грех 66,56° | = 4,125% от общей площади поверхности Земли.

Эту формулу также можно использовать, чтобы продемонстрировать, что половина площади поверхности Земли находится между 30 ° южной широты и 30 ° северной широты в сферической зоне, охватывающей все тропики .

Обобщения

Сечения других твердых тел

Сфероидальный купол получается путем отделения части сфероида так , чтобы полученный купол был кругово-симметричным (имеющим ось вращения), а эллипсоидный купол получается из эллипсоида .

Гиперсферический колпачок

Как правило, $n$-размерный объем гиперсферической шапки высотой $h$ и радиус $r$ в $n$-мерное евклидово пространство задается формулой: $$V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(\theta )\,\mathrm {d} \theta$$ где $\Gamma$ ( гамма-функция ) определяется выражением $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$.

Формула для $V$ может быть выражено через объем единичного n-шара ${\textstyle C_{n}=\pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}$ и гипергеометрическая функция ${}_{2}F_{1}$ или регуляризованная неполная бета-функция $I_{x}(a,b)$ как $$V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),$$

и формула площади $A$ может быть выражено через площадь единичного n-шара ${\textstyle A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$ как $$A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),$$ где $0\leq h\leq r$.

A. Chudnov вывел следующие формулы: $$A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q),$$ где $$q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2,$$ $$G_{n}(q)=\int _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.$$

Для нечетных $n=2k+1$: $$G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}.$$

Асимптотика

Если $n\to \infty$ и $q{\sqrt {n}}={\text{const.}}$, затем $p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})$ где $F()$ является интегралом стандартного нормального распределения .

Более количественная граница $A/A_{n}=n^{\Theta (1)}\cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}$. Для больших шапок (то есть когда $(1-h/r)^{4}\cdot n=O(1)$ как $n\to \infty$), оценка упрощается до $n^{\Theta (1)}\cdot e^{-(1-h/r)^{2}n/2}$.

См. также

• Круговой сегмент — аналог 2D объекта
• Телесный угол — содержит формулу для колпачков n-сфер.
• Сферический сегмент
• Сферический сектор
• Сферический клин

Дальнейшее чтение

• Ричмонд, Тимоти Дж. (1984). «Доступная для растворителя площадь поверхности и исключенный объем в белках: аналитическое уравнение для перекрывающихся сфер и влияние на гидрофобный эффект». Журнал молекулярной биологии . 178 (1): 63–89. дои : 10.1016/0022-2836(84)90231-6 . ПМИД   6548264 .
• Люстиг, Рольф (1986). «Геометрия четырех твердосплавленных сфер в произвольной пространственной конфигурации». Молекулярная физика . 59 (2): 195–207. Бибкод : 1986МолФ..59..195Л . дои : 10.1080/00268978600102011 .
• Гибсон, К.Д.; Шерага, Гарольд А. (1987). «Объем пересечения трех сфер неодинаковой величины: упрощенная формула». Журнал физической химии . 91 (15): 4121–4122. дои : 10.1021/j100299a035 .
• Гибсон, К.Д.; Шерага, Гарольд А. (1987). «Точный расчет объема и площади поверхности сросшихся молекул твердых сфер с неравными атомными радиусами». Молекулярная физика . 62 (5): 1247–1265. Бибкод : 1987МолФ..62.1247Г . дои : 10.1080/00268978700102951 .
• Петижан, Мишель (1994). «Об аналитическом расчете поверхностей и объемов Ван дер Ваальса: некоторые численные аспекты». Журнал вычислительной химии . 15 (5): 507–523. дои : 10.1002/jcc.540150504 .
• Грант, Дж.А.; Пикап, БТ (1995). «Гауссово описание формы молекулы». Журнал физической химии . 99 (11): 3503–3510. дои : 10.1021/j100011a016 .
• Буса, Ян; Дзурина, Юзеф; Айрян, Эдик; Айрян, Шура (2005). «ARVO: пакет фортрана для расчета площади поверхности, доступной растворителю, и исключенного объема перекрывающихся сфер с помощью аналитических уравнений». Компьютерная физика. Коммуникации . 165 (1): 59–96. Бибкод : 2005CoPhC.165...59B . дои : 10.1016/j.cpc.2004.08.002 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая шапка» . Математический мир . Вывод и некоторые дополнительные формулы.
• Онлайн калькулятор объема и площади сферической крышки .
• Сводка сферических формул .