Функционал Латтинджера – Уорда

В физике твердого тела Латтинджера -Уорда функционал предложенный Хоакином Маздаком Латтинджером и Джоном Клайвом Уордом в 1960 году, — скалярный функционал затравочного электрон-электронного взаимодействия и перенормированного одночастичного пропагатора . В терминах диаграмм Фейнмана функционал Латтинджера-Уорда представляет собой сумму всех замкнутых, выделенных жирным шрифтом, двухчастичных неприводимых диаграмм, т. е. всех диаграмм без входящих или выходящих частиц, которые не распадаются, если удалить две линии распространения. Обычно его записывают как $\Phi [G]$ или $\Phi [G,U]$, где $G$ - одночастичная функция Грина и $U$ это голое взаимодействие.

Функционал Латтинджера–Уорда не имеет прямого физического смысла, но полезен при доказательстве законов сохранения .

Функционал тесно связан с функционалом Байма – Каданова, построенным независимо Гордоном Баймом и Лео Кадановым в 1961 году. Некоторые авторы используют эти термины как взаимозаменяемые; если провести различие, то функционал Байма–Каданова идентичен двухчастичному неприводимому эффективному действию $\Gamma [G]$, который отличается от функционала Латтинджера–Уорда тривиальным членом.

Строительство

Дана система, характеризующаяся действием $S[c,{\bar {c}}]$ в терминах полей Грассмана $c_{i},{\bar {c}}_{i}$, статистическая сумма может быть выражена как интеграл по пути :

$Z[J]=\int \mathrm {D} [c,{\bar {c}}]\exp \!{\Big (}-S[c,{\bar {c}}]+\sum _{ij}{\bar {c}}_{i}J_{ij}c_{j}{\Big )}$,

где $J$ является двоичным исходным полем. Разложив в ряд Дайсона , можно обнаружить, что $Z=Z[J=0]$ представляет собой сумму всех (возможно, несвязных) замкнутых диаграмм Фейнмана. $Z[J]$ в свою очередь является производящим функционалом N-частичной функции Грина:

$G_{i_{1}j_{1}\ldots i_{N}j_{N}}=-\langle c_{i_{1}}{\bar {c}}_{j_{1}}\cdots c_{i_{N}}{\bar {c}}_{j_{N}}\rangle ={\frac {-1}{Z[0]}}\left.{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{j_{1}i_{1}}\cdots \delta J_{j_{N}i_{N}}}}\right|_{J=0}$

Теорема о связанных кластерах утверждает, что эффективное действие $W=-\log Z$ представляет собой сумму всех замкнутых, связанных, голых диаграмм. $W[J]=-\log Z[J]$ в свою очередь является производящим функционалом для связной функции Грина. Например, функция Грина, соединяющая две частицы, гласит:

$G_{ijkl}^{\mathrm {conn} }=-\langle c_{i}{\bar {c}}_{j}c_{k}{\bar {c}}_{l}\rangle +\langle c_{i}{\bar {c}}_{j}\rangle \langle c_{k}{\bar {c}}_{l}\rangle -\langle c_{i}{\bar {c}}_{l}\rangle \langle c_{k}{\bar {c}}_{j}\rangle =\left.{\frac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J_{ji}\delta J_{lk}}}\right|_{J=0}$

Чтобы перейти к двухчастичному неприводимому (2PI) эффективному действию, необходимо выполнить преобразование Лежандра $W[J]$ в новое поле двоичного источника. Выбирается, на данный момент произвольный, выпуклый $G_{ij}$ в качестве источника и получает функционал 2PI, также известный как функционал Байма – Каданова:

$\Gamma [G]={\Big [}W[J]-\sum _{ij}J_{ij}G_{ij}{\Big ]}_{J=J[G]}$ с $G_{ij}=-{\frac {\delta W[J]}{\delta J_{ij}}}$.

В отличие от связного случая, для получения производящего функционала из двухчастичного неприводимого эффективного действия требуется еще один шаг $\Gamma$ из-за наличия невзаимодействующей части. Вычитая его, получаем функционал Латтинджера–Уорда:

$\Phi [G]=\Gamma [G]-\Gamma _{0}[G]=\Gamma [G]-\mathrm {tr} \log(-G)-\mathrm {tr} (\Sigma G)$,

где $\Sigma$ это собственная энергия . По аналогии с доказательством теоремы о связанном кластере можно показать, что это производящий функционал для двухчастичных неприводимых пропагаторов.

Характеристики

Схематически функционал Латтинджера-Уорда представляет собой сумму всех замкнутых, жирных, двухчастичных неприводимых диаграмм Фейнмана (также известных как «каркасные» диаграммы):

Диаграммы замкнуты, поскольку у них нет внешних ножек, т. е. частиц, входящих в диаграмму или выходящих из нее. Они «жирные», потому что сформулированы в терминах взаимодействующего или жирного распространителя, а не невзаимодействующего. Они двухчастичные неприводимые, поскольку не становятся несвязными, если разорвать до двух фермионных линий.

Функционал Латтинджера-Уорда связан с большим потенциалом $\Omega$ системы:

$\Omega =\mathrm {tr} \log(-G)+\mathrm {tr} (\Sigma G)+\Phi \left[G\right]$

$\Phi$ является производящим функционалом для неприводимых вершинных величин: первая функциональная производная по $G$ дает собственную энергию , а вторая производная дает частично двухчастичную неприводимую четырехточечную вершину:

$\Sigma _{ij}={\frac {\delta \Phi }{\delta G_{ij}}}$;   $\Gamma _{ijkl}={\frac {\delta ^{2}\Phi }{\delta G_{ij}\delta G_{kl}}}$

Хотя функционал Латтинджера-Уорда существует, можно показать, что он не уникален для моделей типа Хаббарда . В частности, неприводимые вершинные функции демонстрируют набор расхождений, из-за чего собственная энергия разделяется на физическое и нефизическое решение.

Байм и Каданов показали, что закону сохранения можно удовлетворить для любого функционала. $\Phi \left[G\right]$, благодаря теореме Нётер. Отсюда следует, что уравнение движения $G$ реакция на одночастичные внешние поля, по-видимому, удовлетворяет пространственно-временной трансляционной симметрии, а также абелевой калибровочной симметрии (фазовой симметрии), пока уравнение движения задается с производной $\Phi \left[G\right]$. Обратите внимание, что верно и обратное. На основе диаграммного анализа Байм обнаружил, что ${\frac {\delta \Sigma (1,\left[G\right])}{\delta G(2)}}={\frac {\delta \Sigma (2,\left[G\right])}{\delta G(1)}}$ необходимо для выполнения закона сохранения. Это не что иное, как вполне интегрируемое условие, предполагающее существование из $\Phi \left[G\right]$ такой, что $\Sigma \left[G\right]={\frac {\delta \Phi \left[G\right]}{\delta G}}$ (напомним условие вполне интегрируемости для $df=A(x,y)dx+B(x,y)dy$).

Таким образом, остающаяся проблема заключается в том, как определить $\Phi \left[G\right]$ примерно. Такие приближения называются сохраняющими приближениями . Несколько примеров:

• (Полностью самосогласованное) приближение GW эквивалентно усечению $\Phi$ к так называемым кольцевым диаграммам: $\Phi [G]\approx GUG+GUGGUG+\ldots$ (Кольцевая диаграмма состоит из поляризационных пузырей, соединенных линиями взаимодействия).
• Динамическая теория среднего поля эквивалентна учету только чисто локальных диаграмм: $\Phi [G_{ij},U_{ijkl}]$$\approx \Phi [G_{ii},U_{iiii}]$, где $i,j,k,l$ – индексы узлов решетки.

См. также

• Теорема Латтинджера
• Личность прихода