Личность Уорда-Такахаши

В квантовой теории поля тождество Уорда -Такахаши — это тождество между корреляционными функциями , которое следует из глобальной или калибровочной симметрии теории и которое остается действительным после перенормировки .

Тождество Уорда-Такахаши в квантовой электродинамике (КЭД) первоначально использовалось Джоном Клайвом Уордом. и Ясуси Такахаси связать перенормировку волновой функции электрона ультрафиолетовой с его вершинным перенормировочным коэффициентом , гарантируя устранение расходимости во всех порядках теории возмущений . Более поздние варианты использования включают распространение доказательства теоремы Голдстоуна на все порядки теории возмущений.

В более общем смысле, тождество Уорда-Такахаши представляет собой квантовую версию классического сохранения тока, связанного с непрерывной симметрией по теореме Нётер . Такие симметрии в квантовой теории поля (почти) всегда приводят к появлению этих обобщенных тождеств Уорда – Такахаши, которые налагают симметрию на уровень квантово-механических амплитуд. Это обобщенное чувство следует различать при чтении литературы, такой как Майкла Пескина и Дэниела Шредера . учебник от оригинальной личности Уорда-Такахаши.

Подробное обсуждение ниже касается КЭД, абелевой теории , к которой применимо тождество Уорда – Такахаши. Эквивалентными тождествами для неабелевых теорий, таких как квантовая хромодинамика (КХД), являются тождества Славнова – Тейлора .

Оператор Уорда описывает, как скалярный член лагранжиана преобразуется при бесконечно малых калибровочных преобразованиях. Он тесно связан с БРСТ-оператором и играет центральную роль в обеспечении геометрического описания последовательного квантования калибровочных теорий .

Личность Уорда-Такахаши

Тождество Уорда-Такахаши применяется к корреляционным функциям в импульсном пространстве , которые не обязательно имеют все свои внешние импульсы на оболочке . Позволять

${\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})$

— КЭД, корреляционная функция включающая внешний фотон с импульсом k (где $\epsilon _{\mu }(k)$ – вектор поляризации фотона и суммирование по $\mu =0,\ldots ,3$ подразумевается), n в начальном состоянии электронов с импульсами $p_{1}\cdots p_{n}$, и n электронов в конечном состоянии с импульсами $q_{1}\cdots q_{n}$. Также определите ${\mathcal {M}}_{0}$ это более простая амплитуда , полученная удалением фотона с импульсом k из нашей исходной амплитуды. Тогда тождество Уорда-Такахаши гласит:

${\begin{aligned}k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}\right.&(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\\&\left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]\end{aligned}}$

где $e$ представляет собой заряд электрона и имеет отрицательный знак. Обратите внимание, что если ${\mathcal {M}}$ имеет внешние электроны на оболочке, то каждая амплитуда в правой части этого тождества имеет по одной внешней частице вне оболочки, и поэтому они не вносят вклада в S-матрицы элементы .

Личность прихода

Тождество Уорда представляет собой специализацию тождества Уорда-Такахаши на элементах S-матрицы , которые описывают физически возможные процессы рассеяния и, таким образом, имеют все свои внешние частицы на оболочке . Опять пусть ${\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)$ — амплитуда некоторого процесса КЭД с участием внешнего фотона с импульсом $k$, где $\epsilon _{\mu }(k)$ – вектор поляризации фотона. Затем личность Уорда гласит:

$k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0$

Физически это тождество означает, что продольная поляризация фотона, возникающая в ξ-калибровке, нефизична и исчезает из S-матрицы.

Примеры его использования включают ограничение тензорной структуры поляризации вакуума и электронной вершинной функции в КЭД.

Вывод в формулировке интеграла по путям

См. Также: Формулировка интеграла по траектории.

В формулировке интеграла по путям тождества Уорда – Такахаши являются отражением инвариантности функциональной меры относительно калибровочного преобразования . Точнее, если $\delta _{\varepsilon }$ представляет собой калибровочное преобразование с помощью $\varepsilon$ (и это справедливо даже в том случае, когда физическая симметрия системы глобальна или даже отсутствует; нас здесь беспокоит только инвариантность функциональной меры ), тогда

$\int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =0$

выражает инвариантность функциональной меры, где $S$ это действие и ${\mathcal {F}}$ является функционалом полей ​ . Если калибровочное преобразование соответствует глобальной симметрии теории, то

$\delta _{\varepsilon }S=\int \left(\partial _{\mu }\varepsilon \right)J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x=-\int \varepsilon \partial _{\mu }J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x$

для некоторого " текущего " J (как функционала от полей $\phi$) после интегрирования по частям и предположения, что поверхностными членами можно пренебречь.

Тогда тождества Уорда-Такахаши станут

$\langle \delta _{\varepsilon }{\mathcal {F}}\rangle -i\int \varepsilon \langle {\mathcal {F}}\partial _{\mu }J^{\mu }\rangle \mathrm {d} ^{d}x=0$

Это КТП-аналог уравнения неразрывности Нётер. $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$.

Если калибровочное преобразование соответствует фактической калибровочной симметрии , то

$\int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right){\mathcal {D}}\phi =0$

где $S$ – калибровочно-инвариантное действие и $S_{\mathrm {gf} }$ — некалибровочно-инвариантный термин , фиксирующий калибровку . Условия фиксации калибровки необходимы для того, чтобы иметь возможность выполнить вторичное квантование классической калибровочной теории. Формулировка квантовой теории поля с интегралом по путям (лагранжева) не полностью устраняет необходимость фиксации калибровки, поскольку все еще существует необходимость вычисления асимптотических состояний матрицы рассеяния ( например, в картине взаимодействия ). Короче говоря, калибровка -фиксация необходима, но она нарушает общую калибровочную инвариантность теории. Тогда тождества Уорда-Такахаши точно описывают, как все различные поля связаны друг с другом при бесконечно малом калибровочном преобразовании. Эти тождества Уорда – Такахаши генерируются оператором Уорда; в линеаризованной форме оператор Уорда является БРСТ-оператором . Соответствующий заряд – это заряд БРСТ . Когда калибровочная теория формулируется на расслоении , тождества Уорда – Такахаши соответствуют (глобальному) правому действию в главном расслоении : они порождаются производной Ли на вертикальном пучке .

Когда функциональная мера не является калибровочно-инвариантной, но удовлетворяет

$\int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =\int \varepsilon \lambda {\mathcal {F}}e^{iS}\mathrm {d} ^{d}x$

с $\lambda$ это некоторый функционал полей $\phi$, соответствующее соотношение дает аномальное тождество Уорда–Такахаши . Традиционным примером является киральная аномалия . Этот пример является ярким примером сигма-модели теории ядерных сил . В этой теории нейтрон и протон в изоспиновом дублете испытывают силы, передаваемые пионами в изоспиновом триплете. Эта теория имеет не одну, а две различные глобальные симметрии: вектор ${\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\psi$ и аксиальный вектор ${\overline {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\psi$ симметрии; эквивалентно, левая и правая киральные симметрии . Соответствующие токи — это изовекторный ток ( ро-мезон ) и аксиально-векторный ток . Невозможно квантовать оба одновременно (из-за аномальной идентичности Уорда-Такахаши); по соглашению векторная симметрия квантуется так, что векторный ток сохраняется, а аксиальный векторный ток не сохраняется. Ро - мезон тогда интерпретируется как калибровочный бозон векторной симметрии, тогда как осевая симметрия спонтанно нарушается . Нарушение происходит из-за квантования, то есть из-за аномального тождества Уорда-Такахаши (а не из-за потенциала мексиканской шляпы Хиггса, который приводит к совершенно другому типу нарушения симметрии). Расходимость аксиального тока связывает пион-нуклонное взаимодействие с пионным распадом, фиксируя $g_{A}\approx 1.267$ как константа осевой связи . Соотношение Гольдбергера -Треймана $f_{\pi }g_{\pi N{\overline {N}}}\simeq g_{A}m_{N}$ относится $g_{A}$ к константе распада пиона $f_{\pi }$. Таким образом, киральная аномалия обеспечивает каноническое описание пион-ядерного взаимодействия.