БРСТ-квантование

В теоретической физике , формализм БРСТ или БРСТ-квантование (где БРСТ относится к фамилиям Карло Бекки , Алена Руэ , Раймона Стора и Игоря Тютина ) обозначает относительно строгий математический подход к квантованию теории поля с калибровочной симметрией . квантования Правила в более ранних рамках квантовой теории поля (КТП) больше напоминали «предписания» или «эвристики», чем доказательства, особенно в неабелевой КТП, где использование « призрачных полей » с внешне причудливыми свойствами почти неизбежно по техническим причинам, связанным с перенормировка и устранение аномалий .

BRST, Глобальная суперсимметрия введенная в середине 1970-х годов, была быстро понята как рационализация введения этих призраков Фаддеева – Попова и их исключения из «физических» асимптотических состояний при выполнении вычислений QFT. Важно отметить, что эта симметрия интеграла по путям сохраняется в петлевом порядке и, таким образом, предотвращает введение контрчленов, которые могут испортить перенормируемость калибровочных теорий. Работы других авторов несколько лет спустя связал БРСТ-оператор с существованием строгой альтернативы интегралам по путям при квантовании калибровочной теории .

Только в конце 1980-х годов, когда КТП была переформулирована на языке расслоений для применения к проблемам топологии маломерных многообразий ( топологическая квантовая теория поля ), стало очевидно, что «преобразование» БРСТ носит фундаментально геометрический характер. В этом свете «BRST-квантование» становится чем-то большим, чем просто альтернативным способом достижения подавления аномалий. Это другой взгляд на то, что представляют собой призрачные поля, почему работает метод Фаддеева–Попова и как он связан с использованием гамильтоновой механики для построения пертурбативной структуры. Связь между калибровочной инвариантностью и «БРСТ-инвариантностью» вынуждает выбрать гамильтонову систему, состояния которой состоят из «частиц» в соответствии с правилами, известными из формализма канонического квантования . Таким образом, это эзотерическое условие согласованности весьма близко подходит к объяснению того, как кванты и фермионы возникают в физике.

В некоторых случаях, особенно в гравитации и супергравитации , BRST должен быть заменен более общим формализмом, формализмом Баталина-Вилковиского .

Техническое резюме

БРСТ-квантование — это геометрический подход к выполнению последовательных, безаномальных дифференциально - пертурбативных вычислений в неабелевой калибровочной теории. Аналитическая форма «преобразования» БРСТ и ее значимость для перенормировки и устранения аномалий были описаны Карло Марией Бекки , Аленом Руэ и Раймоном Сторой в серии статей, кульминацией которых стала «Перенормировка калибровочных теорий» 1976 года. Эквивалентное преобразование и многие его свойства были независимо открыты Игорем Викторовичем Тютиным . Его значение для строгого канонического квантования теории Янга – Миллса и его правильное применение к пространству Фока мгновенных конфигураций поля были разъяснены Тайчиро Куго и Идзуми Одзима. Более поздние работы многих авторов, особенно Томаса Шюкера и Эдварда Виттена , прояснили геометрическое значение оператора BRST и связанных с ним полей и подчеркнули его важность для топологической квантовой теории поля и теории струн .

В подходе BRST выбирается безопасная для возмущений процедура фиксации калибровки для принципа действия калибровочной теории, используя дифференциальную геометрию калибровочного расслоения , на котором живет теория поля. Затем квантовают теорию , чтобы получить гамильтонову систему в картине взаимодействия таким образом, что «нефизические» поля, введенные процедурой фиксации калибровки, разрешают калибровочные аномалии , не появляясь в асимптотических состояниях теории. Результатом является набор правил Фейнмана для использования в ряд Дайсона пертурбативном разложении в S-матрицы , которые гарантируют, что она унитарна и перенормируема в каждом порядке цикла - короче говоря, метод когерентной аппроксимации для физических предсказаний результатов рассеяния. эксперименты .

Классический БРСТ

Это связано с суперсимплектическим многообразием , где чистые операторы градуированы целыми духовными числами и у нас есть BRST -когомологии .

Калибровочные преобразования в QFT

С практической точки зрения квантовая теория поля состоит из принципа действия и набора процедур для выполнения пертурбативных вычислений . Существуют и другие виды «проверок работоспособности», которые можно выполнить в отношении квантовой теории поля, чтобы определить, соответствует ли она качественным явлениям, таким как удержание кварков и асимптотическая свобода . Однако большинство прогностических успехов квантовой теории поля, от квантовой электродинамики до наших дней, были количественно оценены путем сопоставления расчетов S-матрицы с результатами экспериментов по рассеянию .

На заре КТП можно было бы сказать, что предписания квантования и перенормировки были такой же частью модели, как и плотность Лагранжа , особенно когда они опирались на мощный, но математически плохо определенный формализм интеграла по траекториям . Быстро стало ясно, что КЭД была почти «волшебной» в своей относительной гибкости и что большинство способов ее расширения, которые можно было бы себе представить, не приводят к рациональным расчетам. Однако один класс теорий поля оставался многообещающим: калибровочные теории, в которых объекты теории представляют собой классы эквивалентности физически неразличимых конфигураций поля, любые две из которых связаны калибровочным преобразованием . Это обобщает идею КЭД о локальном изменении фазы на более сложную группу Ли .

КЭД сама по себе является калибровочной теорией, как и общая теория относительности , хотя последняя до сих пор оказалась устойчивой к квантованию по причинам, связанным с перенормировкой. Другой класс калибровочных теорий с неабелевой калибровочной группой, начиная с теории Янга–Миллса, стал поддаваться квантованию в конце 1960-х — начале 1970-х годов, во многом благодаря работам Людвига Д. Фаддеева , Виктора Попова , Брайса ДеВитта и Герардус 'т Хофт . Однако работать с ними было очень сложно до появления метода БРСТ. Метод BRST предоставил методы расчетов и доказательства перенормируемости, необходимые для получения точных результатов как из «непрерывных» теорий Янга – Миллса, так и из тех, в которых механизм Хиггса приводит к спонтанному нарушению симметрии . Представители этих двух типов систем Янга–Миллса — квантовой хромодинамики и электрослабой теории — появляются в Стандартной модели физики элементарных частиц .

оказалось гораздо труднее Доказать существование неабелевой квантовой теории поля в строгом смысле , чем получить точные предсказания с использованием полуэвристических схем вычислений. Это связано с тем, что анализ квантовой теории поля требует двух математически взаимосвязанных точек зрения: лагранжевой системы , основанной на функционале действия, состоящей из полей с различными значениями в каждой точке пространства-времени и локальных операторов, которые на них действуют, и гамильтоновой системы в картине Дирака. , состоящее из состояний , которые характеризуют всю систему в данный момент времени, и операторов полей , которые на них действуют. Что делает это таким трудным в калибровочной теории, так это то, что объектами теории на самом деле не являются локальные поля в пространстве-времени; они являются правоинвариантными локальными полями в главном калибровочном расслоении, и различные локальные сечения части калибровочного расслоения, связанные пассивными преобразованиями, создают разные картины Дирака.

Более того, описание системы в целом через набор полей содержит множество избыточных степеней свободы; отдельные конфигурации теории представляют собой классы эквивалентности конфигураций поля, так что два описания, связанные друг с другом калибровочным преобразованием, также в действительности представляют собой одну и ту же физическую конфигурацию. «Решения» квантованной калибровочной теории существуют не в простом пространстве полей со значениями в каждой точке пространства-времени, а в фактор-пространстве (или когомологиях), элементы которого являются классами эквивалентности полевых конфигураций. В формализме БРСТ скрывается система параметризации вариаций, связанных со всеми возможными активными калибровочными преобразованиями, и корректного учета их физической нерелевантности при преобразовании лагранжевой системы в гамильтонову.

Фиксация калибра и теория возмущений

Принцип калибровочной инвариантности важен для построения работоспособной квантовой теории поля. Но, как правило, невозможно выполнить пертурбативные вычисления в калибровочной теории без предварительного «фиксирования калибровки» — добавления членов к лагранжевой плотности принципа действия, которые «нарушают калибровочную симметрию», чтобы подавить эти «нефизические» степени свободы. Идея фиксации калибровки восходит к калибровочному подходу Лоренца к электромагнетизму, который подавляет большинство избыточных степеней свободы в четырехпотенциале , сохраняя при этом явную лоренц-инвариантность . Калибровка Лоренца представляет собой большое упрощение по сравнению с подходом Максвелла к классической электродинамике , основанным на напряженности поля , и иллюстрирует, почему полезно иметь дело с избыточными степенями свободы в представлении объектов в теории на лагранжевой стадии, прежде чем переходить к гамильтоновой стадии. механика посредством преобразования Лежандра .

Плотность гамильтониана связана с производной Ли плотности лагранжиана по единичному времениподобному горизонтальному векторному полю на калибровочном расслоении. В квантовомеханическом контексте его обычно масштабируют с помощью коэффициента $i\hbar$. Интегрирование его по частям по пространственноподобному сечению восстанавливает форму подынтегральной функции, знакомую из канонического квантования . Поскольку определение гамильтониана включает векторное поле в единицу времени в базовом пространстве, горизонтальный лифт в пространство расслоения и пространственноподобную поверхность, «нормальную» (в метрике Минковского ) к векторному полю в единицу времени в каждой точке базы. многообразии, оно зависит как от связности , так и от выбора системы Лоренца и далеко не глобально определено. Но это существенный компонент пертурбативной структуры квантовой теории поля, в которую квантованный гамильтониан входит через ряд Дайсона .

В пертурбативных целях мы собираем конфигурацию всех полей нашей теории на всем трехмерном горизонтальном пространственноподобном сечении P в один объект ( состояние Фока ), а затем описываем «эволюцию» этого состояния во времени, используя картинка взаимодействия . Пространство Фока охватывает многочастичные собственные состояния «невозмущенной» или «невзаимодействующей» части. ${\mathcal {H}}_{0}$ гамильтониана ​ ${\mathcal {H}}$. Следовательно, мгновенное описание любого состояния Фока представляет собой взвешенную по комплексной амплитуде сумму собственных состояний ${\mathcal {H}}_{0}$. В картине взаимодействия мы связываем состояния Фока в разное время, предписывая, что каждое собственное состояние невозмущенного гамильтониана испытывает постоянную скорость вращения фазы, пропорциональную его энергии (соответствующему собственному значению невозмущенного гамильтониана).

Следовательно, в нулевом приближении набор весов, характеризующих фоковское состояние, со временем не меняется, а соответствующая конфигурация поля. В более высоких приближениях веса также меняются; на коллайдере Эксперименты в физике высоких энергий сводятся к измерениям скорости изменения этих весов (или, скорее, их интегралов по распределениям, представляющим неопределенность в начальных и конечных условиях события рассеяния). Серия Дайсона отражает эффект несоответствия между ${\mathcal {H}}_{0}$ и истинный гамильтониан ${\mathcal {H}}$, в виде степенного ряда по константе связи g ; это основной инструмент для количественных предсказаний на основе квантовой теории поля.

Чтобы использовать ряд Дайсона для расчета чего-либо, нужно нечто большее, чем просто калибровочно-инвариантная лагранжева плотность; нужны также рецепты квантования и фиксации калибровки, которые входят в правила Фейнмана теории. Ряд Дайсона дает бесконечные интегралы различных видов при применении к гамильтониану конкретной КТП. Частично это связано с тем, что все применимые на сегодняшний день квантовые теории поля следует считать эффективными теориями поля , описывающими только взаимодействия в определенном диапазоне энергетических масштабов, которые мы можем экспериментально исследовать и, следовательно, уязвимые для ультрафиолетовых расходимостей . С ними можно справиться, если с ними можно справиться с помощью стандартных методов перенормировки ; они не столь терпимы, когда приводят к бесконечной серии бесконечных перенормировок или, что еще хуже, к явно нефизическому предсказанию, такому как несократимая калибровочная аномалия . Существует глубокая связь между перенормируемостью и калибровочной инвариантностью, которую легко потерять в ходе попыток получить послушные правила Фейнмана путем фиксации калибровки.

Подходы к установке датчиков до БРСТ

Традиционные рецепты фиксации калибровки электродинамики сплошной среды выбирают уникального представителя из каждого класса эквивалентности, связанного с калибровочным преобразованием, с использованием уравнения ограничения, такого как калибровка Лоренца. $\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$. Такого рода рецепты могут быть применены к абелевой калибровочной теории, такой как КЭД , хотя это приводит к некоторым трудностям в объяснении того, почему тождества Уорда классической теории переносятся в квантовую теорию - другими словами, почему диаграммы Фейнмана содержат внутренние продольно поляризованные виртуальные фотоны не участвуют в вычислениях S-матрицы . Этот подход также плохо обобщается на неабелевы калибровочные группы, такие как SU(2)xU(1) электрослабой теории Янга – Миллса и SU(3) квантовой хромодинамики. Он страдает грибовской двусмысленностью и трудностью определения ограничения на фиксацию калибровки, которое в некотором смысле «ортогонально» физически значимым изменениям в конфигурации поля.

Более сложные подходы не пытаются применить ограничение дельта-функции к степеням свободы калибровочного преобразования. Вместо того, чтобы «прикреплять» калибровку к определенной «поверхности ограничений» в конфигурационном пространстве, можно нарушить калибровочную свободу с помощью дополнительного, не калибровочно-инвариантного члена, добавленного к лагранжевой плотности. Чтобы воспроизвести успехи фиксации калибровки, этот член выбирается минимальным при выборе калибра, соответствующего искомому ограничению, и квадратично зависящим от отклонения калибра от поверхности ограничения. Согласно приближению стационарной фазы, на котором основан интеграл по траекториям Фейнмана , основной вклад в пертурбативные вычисления будет вносить конфигурации поля в окрестности поверхности ограничений.

Пертурбативное разложение, связанное с этим лагранжианом с использованием метода функционального квантования , обычно называют калибровкой R _ξ . В случае абелевой U(1)-калибровки оно сводится к тому же набору правил Фейнмана , который получается в методе канонического квантования . Но есть важное отличие: нарушенная калибровочная свобода появляется в функциональном интеграле как дополнительный фактор общей нормировки. Этот фактор можно исключить из пертурбативного разложения (и игнорировать) только тогда, когда вклад в лагранжиан возмущения вдоль калибровочных степеней свободы не зависит от конкретной «физической» конфигурации поля. Это условие не выполняется для неабелевых калибровочных групп. Если игнорировать проблему и попытаться использовать правила Фейнмана, полученные в результате «наивного» функционального квантования, то обнаружат, что ваши расчеты содержат неустранимые аномалии.

Проблема пертурбативных вычислений в КХД была решена путем введения дополнительных полей, известных как призраки Фаддеева–Попова, чей вклад в лагранжиан с фиксированной калибровкой компенсирует аномалию, вносимую взаимодействием «физических» и «нефизических» возмущений неабелевой калибровки. поле. С точки зрения функционального квантования «нефизические» возмущения конфигурации поля (калибровочные преобразования) образуют подпространство пространства всех (бесконечно малых) возмущений; в неабелевом случае вложение этого подпространства в большее пространство зависит от конфигурации, вокруг которой происходит возмущение. Призрачный член в лагранжиане представляет собой функциональный определитель якобиана меру этого вложения, а свойства призрачного поля определяются желаемым показателем степени определителя, чтобы исправить функциональную на остальных «физических» осях возмущения.

Калибровочные пучки и вертикальный идеал

Интуитивное понимание формализма BRST достигается путем его геометрического описания в условиях расслоений . Эта геометрическая установка контрастирует и освещает более старую традиционную картину алгебраическизначных полей в пространстве Минковского , представленную в (более ранних) текстах по квантовой теории поля.

В этом случае калибровочное поле можно понимать одним из двух разных способов. В одном калибровочное поле представляет собой локальное сечение расслоения. В другом случае калибровочное поле представляет собой немногим больше, чем соединение между соседними волокнами, определенное по всей длине волокна. В соответствии с этими двумя пониманиями существует два способа взглянуть на калибровочное преобразование. В первом случае калибровочное преобразование представляет собой всего лишь замену местного сечения. В общей теории относительности это называется пассивным преобразованием . Во втором представлении калибровочное преобразование — это замена координат вдоль всего слоя (возникающая в результате умножения на элемент группы g ), индуцирующая вертикальный диффеоморфизм главного расслоения .

Эта вторая точка зрения обеспечивает геометрическую основу метода BRST. В отличие от пассивного преобразования, оно четко определено глобально на главном расслоении с любой структурной группой над произвольным многообразием. То есть формализм БРСТ можно разработать для описания квантования любого принципиального расслоения на любом многообразии. Для большей конкретности и соответствия традиционной КТП большая часть этой статьи посвящена случаю главного калибровочного расслоения с компактным слоем над 4-мерным пространством Минковского.

Главное калибровочное расслоение P над 4-многообразием M локально изоморфно U × F , где U ⊂ R ⁴ и слой F изоморфен группе Ли G , калибровочной группе нет специальной поверхности, теории поля (это изоморфизм структур многообразия, а не групповых структур; в P соответствующей 1 в G , поэтому он более уместно сказать, что слой F является G - торсором ). Самым основным свойством расслоения является «проекция на базовое пространство» π : P → M , которая определяет вертикальные направления на P (те, которые лежат внутри слоя π ⁻¹ ( p ) по каждой точке p в M ). Как калибровочное расслоение, оно имеет левое действие G G на P , которое сохраняет структуру слоя, а как главное расслоение оно также имеет действие правое которое на P, также учитывает структуру слоя и коммутирует с левым действием.

Левое действие структурной группы G на P соответствует смене системы координат на отдельном слое. (Глобальное) правое действие Rg _{каждого слоя и, следовательно ,} : P → P для фиксированного g в G соответствует фактическому автоморфизму отображению P в себя. Чтобы P можно было квалифицировать как главное G -расслоение, глобальное правое действие каждого g в G должно быть автоморфизмом относительно структуры многообразия P с гладкой зависимостью от g , то есть диффеоморфизмом P × G → П. ​

Существование глобального правого действия структурной группы выделяет особый класс правоинвариантных геометрических объектов на P — тех, которые не изменяются, когда их оттягивают назад вдоль R _g для всех значений g в G . Наиболее важными правоинвариантными объектами на главном расслоении являются правоинвариантные векторные поля , которые образуют идеал. ${\mathfrak {E}}$ алгебры Ли инфинитезимальных диффеоморфизмов на P . Те векторные поля на P , которые одновременно правоинвариантны и вертикальны, образуют идеал. $V{\mathfrak {E}}$ из ${\mathfrak {E}}$, который имеет отношение ко всему расслоению P, аналогичное отношению алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ калибровочной группы G к отдельному G -торсорному слою F .

Интересующая «теория поля» определяется в терминах набора «полей» (гладких отображений в различные векторные пространства), определенных на главном калибровочном расслоении P . Различные поля несут разные представления калибровочной группы G и, возможно, других групп симметрии многообразия, таких как группа Пуанкаре . Можно определить пространство $Pl$ локальных полиномов в этих полях и их производных. Предполагается, что фундаментальная лагранжева плотность теории лежит в подпространстве $Pl_{0}$ полиномов, которые вещественны и инвариантны относительно любых непрерывных некалибровочных групп симметрии. Предполагается также, что он инвариантен не только относительно левого действия (пассивные преобразования координат) и глобального правого действия калибровочной группы, но и относительно локальных калибровочных преобразований — обратного хода вдоль бесконечно малого диффеоморфизма, связанного с произвольным выбором правоинвариантного вертикального вектора. поле $\epsilon \in V{\mathfrak {E}}$.

Отождествление локальных калибровочных преобразований с конкретным подпространством векторных полей на многообразии P обеспечивает лучшую основу для работы с бесконечномерными бесконечно малыми числами: дифференциальной геометрией и внешним исчислением . Изменение скалярного поля при обратном пути вдоль бесконечно малого автоморфизма фиксируется производной Ли , а идея сохранения только члена, линейного в векторном поле, реализуется путем разделения его на внутреннюю производную и внешнюю производную . В этом контексте «формы» и внешнее исчисление относятся исключительно к степеням свободы, которые двойственны векторным полям на калибровочном расслоении , а не к степеням свободы, выраженным в (греческих) тензорных индексах на базовом многообразии или (римских) матричных индексах. по калибровочной алгебре.

Производная Ли на многообразии является глобально четко определенной операцией, в отличие от частной производной . Правильное обобщение теоремы Клеро на нетривиальную структуру многообразия P дается скобкой Ли векторных полей и нильпотентностью внешней производной . Это обеспечивает важный инструмент для вычислений: обобщенную теорему Стокса , которая позволяет интегрировать по частям, а затем исключить поверхностный член, при условии, что подынтегральное выражение спадает достаточно быстро в направлениях, где есть открытая граница. (Это нетривиальное предположение, но с ним можно справиться с помощью методов перенормировки , таких как размерная регуляризация, при условии, что поверхностный член можно сделать калибровочно-инвариантным.)

БРСТ-оператор и асимптотическое пространство Фока

Центральным элементом формализма BRST является оператор BRST. $s_{B}$, определяемый как касательная к оператору Уорда $W(\delta \lambda )$. Оператор Уорда в каждом поле может быть отождествлен (с точностью до соглашения о знаках) с производной Ли вдоль вертикального векторного поля, связанного с локальным калибровочным преобразованием. $\delta \lambda$ появляется как параметр оператора Ward. Оператор БРСТ $s_{B}$ по полям напоминает внешнюю производную на калибровочном расслоении или, скорее, ее ограничение на приведенное пространство знакопеременных форм , определенных только на вертикальных векторных полях. Операторы Уорда и BRST связаны (с точностью до фазового соглашения, введенного Куго и Одзимой, чьим обозначениям мы будем следовать при рассмотрении векторов состояния ниже) соотношением $W(\delta \lambda )X=\delta \lambda \;s_{B}X$. Здесь, $X\in {Pl}_{0}$ является нулевой формой (скаляром). Пространство ${Pl}_{0}$ — это пространство вещественных многочленов от полей и их производных, инвариантных относительно любых (ненарушенных) некалибровочных групп симметрии.

Как и внешняя производная, BRST-оператор нильпотентен степени 2, т.е. $(s_{B})^{2}=0$. Вариация любой «БРСТ- точной формы » $s_{B}X$ относительно локального калибровочного преобразования $\delta \lambda$ задается внутренней производной $\iota _{\delta \lambda }.$ Это

${\begin{aligned}\left[\iota _{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X&=\iota _{\delta \lambda }(s_{B}s_{B}X)+s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\\&=s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\end{aligned}}$

Обратите внимание, что это также точно.

Гамильтонов пертурбативный формализм осуществляется не на расслоении, а на локальном сечении. В этом формализме добавление BRST-точного члена к калибровочно-инвариантной лагранжевой плотности сохраняет соотношение $s_{B}X=0.$ Это означает, что существует связанный оператор $Q_{B}$ на пространстве состояний, для которого $[Q_{B},{\mathcal {H}}]=0.$ То есть БРСТ-оператор на состояниях Фока является сохраняющимся зарядом гамильтоновой системы . Это означает, что оператор эволюции во времени в расчете ряда Дайсона не будет развивать конфигурацию поля, подчиняющуюся $Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0$ в более позднюю конфигурацию с $Q_{B}|\Psi _{f}\rangle \neq 0$ (или наоборот).

Нильпотентность БРСТ-оператора можно понимать так: его образ (пространство точных БРСТ-форм ) целиком лежит внутри его ядра (пространства замкнутых БРСТ-форм ). «Истинный» лагранжиан, предположительно инвариантный относительно локальных калибровочных преобразований, находится в ядре БРСТ-оператора, а не в его образе. Это означает, что вселенная начальных и конечных условий может быть ограничена асимптотическими «состояниями» или конфигурациями полей на времениподобной бесконечности, где лагранжиан взаимодействия «выключен». Эти состояния лежат в основе $Q_{B},$ но поскольку конструкция инвариантна, матрица рассеяния остается унитарной. BRST-замкнутые и точные состояния определяются аналогично BRST-замкнутым и точным полям; закрытые государства уничтожаются $Q_{B},$ тогда как точные состояния — это состояния, которые можно получить, применяя $Q_{B}$ к некоторой произвольной конфигурации поля.

При определении асимптотических состояний рассматриваются состояния, лежащие внутри образа $Q_{B}$ также можно подавить, но аргументация немного тоньше. Постулировав, что «истинный» лагранжиан теории является калибровочно-инвариантным, истинные «состояния» гамильтоновой системы представляют собой классы эквивалентности при локальном калибровочном преобразовании; другими словами, два начальных или конечных состояния гамильтоновой картины, отличающиеся только BRST-точным состоянием, физически эквивалентны. Однако использование BRST-точного рецепта нарушения калибровки не гарантирует, что гамильтониан взаимодействия сохранит какое-либо конкретное подпространство конфигураций замкнутого поля, ортогональных пространству точных конфигураций. Это важнейший момент, который часто неправильно освещается в учебниках QFT. Не существует априорного внутреннего продукта в конфигурациях полей, встроенного в принцип действия; такой внутренний продукт строится как часть гамильтонова пертурбативного аппарата.

Рецепт квантования в картине взаимодействия состоит в том, чтобы построить векторное пространство BRST-замкнутых конфигураций в определенный момент времени так, чтобы его можно было преобразовать в пространство Фока промежуточных состояний, подходящее для гамильтоновых возмущений. Как обычно для вторичного квантования , пространство Фока снабжено лестничными операторами для собственных конфигураций энергии-импульса (частиц) каждого поля, дополненными соответствующими правилами (анти)коммутации, а также положительным полуопределенным внутренним продуктом . От внутреннего произведения требуется, чтобы оно было сингулярным исключительно вдоль направлений, соответствующих BRST-точным собственным состояниям невозмущенного гамильтониана. Это гарантирует, что любая пара BRST-замкнутых фоковских состояний может быть свободно выбрана из двух классов эквивалентности асимптотических конфигураций поля, соответствующих конкретным начальному и конечному собственным состояниям (неразрывного) гамильтониана свободного поля.

Желаемые предписания квантования обеспечивают факторпространство Фока, изоморфное BRST-когомологиям , в котором каждый BRST-замкнутый класс эквивалентности промежуточных состояний (отличающихся только точным состоянием) представлен ровно одним состоянием, не содержащим квантов BRST-точных полей. . Это подходящее пространство Фока для асимптотических состояний теории. Сингулярность скалярного произведения вдоль BRST-точных степеней свободы гарантирует, что физическая матрица рассеяния содержит только физические поля. Это контрастирует с (наивной, фиксированной калибровкой) лагранжевой динамикой, в которой нефизические частицы переходят в асимптотические состояния. Работая в когомологиях, каждое асимптотическое состояние гарантированно имеет одно (и только одно) соответствующее физическое состояние (без призраков).

Оператор $Q_{B}$ эрмитово . и ненулевое, но его квадрат равен нулю Это означает, что пространство Фока всех состояний до когомологической редукции имеет неопределенную норму и поэтому не является гильбертовым пространством. Для этого необходимо, чтобы пространство Крейна для BRST-замкнутых промежуточных фоковских состояний, где оператор обращения времени играл роль «фундаментальной симметрии», связывающей лоренц-инвариантные и положительные полуопределенные скалярные произведения. Тогда асимптотическое пространство состояний представляет собой гильбертово пространство, полученное факторизацией BRST-точных состояний из пространства Крейна.

Подведем итог: ни одно поле, введенное как часть процедуры фиксации калибровки BRST, не появится в асимптотических состояниях теории с фиксированной калибровкой. Однако это не означает, что эти «нефизические» поля отсутствуют в промежуточных состояниях пертурбативного расчета! выполняются пертурбативные вычисления Это происходит потому, что в картине взаимодействия . Они неявно включают начальное и конечное состояния гамильтониана невзаимодействия. ${\mathcal {H}}_{0}$, постепенно преобразующихся в состояния полного гамильтониана в соответствии с адиабатической теоремой путем «включения» гамильтониана взаимодействия (калибровочной связи). Разложение ряда Дайсона с помощью диаграмм Фейнмана будет включать вершины, связывающие «физические» частицы (те, которые могут появляться в асимптотических состояниях свободного гамильтониана) с «нефизическими» частицами (состояниями полей, живущими ядра вне $s_{B}$ или изображения внутри $s_{B}$) и вершины, соединяющие «нефизические» частицы друг с другом.

Ответ Куго-Одзимы на вопросы унитарности

Т. Куго и И. Одзима обычно приписывают открытие основного критерия ограничения цвета КХД . Их роль в получении правильной версии БРСТ-формализма в рамках лагранжа, по-видимому, не так широко оценена. Полезно рассмотреть их вариант БРСТ-преобразования, подчеркивающий эрмитовые свойства вновь введенных полей, прежде чем переходить к нему с чисто геометрической точки зрения.

The ${\mathfrak {g}}$-значные условия крепления манометра принимаются равными $G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu },$ где $\xi$ – положительное число, определяющее калибр. Существуют и другие возможные крепления манометров, но они выходят за рамки настоящей статьи. Поля, встречающиеся в лагранжиане:

• Цветовое поле КХД, т.е. ${\mathfrak {g}}$-значная форма соединения $A_{\mu }.$
• Призрак Фаддеева -Попова. $c^{i}$, который представляет собой ${\mathfrak {g}}$-значное скалярное поле с фермионной статистикой.
• Антипризрак $b_{i}={\bar {c}}_{i}$, также ${\mathfrak {g}}$-значное скалярное поле с фермионной статистикой.
• Вспомогательное поле $B_{i}$ который представляет собой ${\mathfrak {g}}$-значное скалярное поле с бозонной статистикой.

Поле $c$ используется для работы с калибровочными преобразованиями, тогда как $b$ и $B$ разобраться с креплениями манометров. На самом деле есть некоторые тонкости, связанные с фиксацией калибра из-за неясностей Грибова, но они здесь не будут рассмотрены.

BRST Лагранжианская плотность равна

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\textrm {matter}}(\psi ,\,A_{\mu }^{a})-{1 \over 4g^{2}}\operatorname {Tr} [F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }]+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr} [BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr} [BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr} [\partial ^{\mu }bD_{\mu }c]$

Здесь, $D_{\mu }$ – ковариантная производная по калибровочному полю (связности) $A_{\mu }.$ Поле призраков Фаддеева–Попова. $c$ имеет геометрическую интерпретацию как вариант формы Маурера–Картана на $V{\mathfrak {E}}$, которое связывает каждое правоинвариантное вертикальное векторное поле $\delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}$ к его представлению (с точностью до фазы) как ${\mathfrak {g}}$-значное поле. Это поле должно входить в формулы бесконечно малых калибровочных преобразований объектов (таких как фермионы $\psi$, калибровочные бозоны $A_{\mu }$, и призрак $c$ сама по себе), которые несут нетривиальное представление калибровочной группы.

Хотя лагранжева плотность не является BRST-инвариантом, ее интеграл по всему пространству-времени является инвариантным действием. Преобразование полей при бесконечно малом калибровочном преобразовании $\delta \lambda$ дается

${\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu }&=\delta \lambda D_{\mu }c\\\delta c&=\delta \lambda {\tfrac {i}{2}}[c,c]\\\delta b=\delta {\bar {c}}&=\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}}$

Обратите внимание, что $[\cdot ,\cdot ]$ это скобка Ли , а НЕ коммутатор . Их можно записать в эквивалентной форме, используя оператор заряда $Q_{B}$ вместо $\delta \lambda$. Оператор заряда БРСТ $Q_{B}$ определяется как

$Q_{B}=c^{i}\left(L_{i}-{\frac {1}{2}}{{f_{i}}^{j}}_{k}b_{j}c^{k}\right)$

где $L_{i}$ — бесконечно малые генераторы группы Ли , а $f_{ij}{}^{k}$ являются его структурными константами . Используя это, преобразование задается как

${\begin{aligned}Q_{B}A_{\mu }&=D_{\mu }c\\Q_{B}c&={i \over 2}[c,c]\\Q_{B}b&=B\\Q_{B}B&=0\end{aligned}}$

Детали сектора материи $\psi$ не указаны, так как на нем оставлена ​​форма оператора Ward; они не важны до тех пор, пока представление калибровочной алгебры в полях материи совместимо с их связью с $\delta A_{\mu }$. Свойства других полей в основном аналитические, а не геометрические. Предвзятость в сторону связей с $\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$ зависит от калибра и не имеет особого геометрического значения. Антипризрак $b={\bar {c}}$ есть не что иное, как множитель Лагранжа для члена, фиксирующего калибровку, и свойств скалярного поля $B$ полностью определяются отношениями $\delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B$. Все эти поля являются эрмитовыми в соглашениях Куго – Одзимы, но параметр $\delta \lambda$ является антиэрмитовым «антикоммутирующим c -числом ». Это приводит к некоторой ненужной неловкости в отношении фаз и передачи бесконечно малых параметров через операторы; это можно решить путем изменения соглашений.

Из связи БРСТ-оператора с внешней производной и призрака Фаддеева–Попова с формой Маурера–Картана мы уже знаем, что призрак $c$ соответствует (с точностью до фазы) ${\mathfrak {g}}$-значная 1-форма на $V{\mathfrak {E}}$. Чтобы интегрировать такой термин, как $-i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c$ чтобы иметь смысл, анти-призрак ${\bar {c}}$ должен нести представления этих двух алгебр Ли — вертикальный идеал $V{\mathfrak {E}}$ и калибровочная алгебра ${\mathfrak {g}}$— двойные к тем, что несет призрак. В геометрическом плане ${\bar {c}}$ должен быть послойно двойственным к ${\mathfrak {g}}$ и на один ранг меньше, чем лучший в классе $V{\mathfrak {E}}$. Аналогично, вспомогательное поле $B$ должно нести такое же представление ${\mathfrak {g}}$ (до фазы) как ${\bar {c}}$, а также представление $V{\mathfrak {E}}$ двойственное его тривиальному представлению на $A_{\mu }.$ То есть, $B$ представляет собой поволоконную структуру ${\mathfrak {g}}$-двойная верхняя форма включена $V{\mathfrak {E}}$.

Одночастичные состояния теории обсуждаются в адиабатически разделенном пределе g → 0. В пространстве Фока гамильтониана с фиксированной калибровкой существуют два типа квантов, полностью лежащих вне ядра БРСТ-оператора: кванты Фаддеева –Попов антипризрак ${\bar {c}}$ и переднеполяризованный калибровочный бозон. Это связано с тем, что никакая комбинация полей, содержащих ${\bar {c}}$ уничтожается $s_{B}$ и лагранжиан имеет калибровочный член, равный с точностью до расходимости

$s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial ^{\mu }A_{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\xi s_{B}{\bar {c}}\right)\right).$

Аналогично, есть два вида квантов, которые целиком лежат в образе БРСТ-оператора: кванты Фаддеева–Попова $c$ и скалярное поле $B$, который «съедается» путем заполнения квадрата в функциональном интеграле и становится обратно поляризованным калибровочным бозоном. Это четыре типа «нефизических» квантов, которые не появляются в асимптотических состояниях пертурбативного расчета.

Антипризрак считается скаляром Лоренца ради инвариантности Пуанкаре в $-i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c$. Однако его (анти)коммутационный закон относительно $c$ т.е. его рецепт квантования, который игнорирует теорему о спин-статистике , давая статистику Ферми-Дирака частице со спином 0, будет задаваться требованием, чтобы скалярное произведение в нашем пространстве Фока асимптотических состояний было сингулярным вдоль направлений, соответствующих возрастанию и понижающие операторы некоторой комбинации незамкнутых BRST и точных BRST полей. Это последнее утверждение является ключом к «BRST-квантованию», в отличие от простой «BRST-симметрии» или «BRST-преобразования».

(Необходимо заполнить на языке BRST-когомологий со ссылкой на трактовку асимптотического пространства Фока Куго – Одзимы.)

Математический подход к БРСТ

Этот раздел относится только к классическим калибровочным теориям. т.е. те, которые можно описать ограничениями первого класса . Более общий формализм описывается с помощью формализма Баталина–Вилковиского .

Строительство БРСТ применимо к ситуации гамильтонова действия калибровочной группы $G$ в фазовом пространстве $M$. Позволять ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли $G$ и $0\in {\mathfrak {g}}^{*}$ регулярное значение карты момента $\Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$. Позволять $M_{0}=\Phi ^{-1}(0)$. Предположим, $G$-действие на $M_{0}$ является свободным и правильным, и рассмотрим пространство ${\tilde {M}}$ из $G$- вращается по $M_{0}$.

калибровочной Гамильтонова механика теории описывается формулой $r$ ограничения первого класса $\Phi _{i}$ действуя на симплектическое пространство $M$. $M_{0}$ — подмногообразие, удовлетворяющее ограничениям первого класса. Действие разбиений калибровочной симметрии $M_{0}$ на калибровочные орбиты . Симплектическая редукция – это частное $M_{0}$ по калибровочным орбитам.

Согласно алгебраической геометрии , множество гладких функций в пространстве представляет собой кольцо. Комплекс Кошуля-Тейта (ограничения первого класса вообще не являются регулярными) описывает алгебру, связанную с симплектической редукцией, в терминах алгебры $C^{\infty }(M)$.

Во-первых, используя уравнения, определяющие $M_{0}$ внутри $M$, построить комплекс Кошуля

$...\to K^{1}(\Phi )\to C^{\infty }(M)\to 0$

так что $H^{0}(K(\Phi ))=C^{\infty }(M_{0})$ и $H^{p}(K(\Phi ))=0$ для $p\neq 0$.

Тогда для расслоения $M_{0}\to {\tilde {M}}$ рассматривается комплекс вертикальных внешних форм $(\Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0}),d_{vert})$. Локально, $\Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0})$ изоморфен $\Lambda ^{\cdot }V^{*}\otimes C^{\infty }({\tilde {M}})$, где $\Lambda ^{\cdot }V^{*}$ - внешняя алгебра двойственного векторного пространства $V$. Используя резолюцию Кошуля, определенную ранее, можно получить биградуированный комплекс

$K^{i,j}=\Lambda ^{i}V^{*}\otimes \Lambda ^{j}V\otimes C^{\infty }(M).$

Наконец (и это самый нетривиальный шаг) дифференциал $s_{B}$ определяется на $K=\oplus _{i,j}K^{i,j}$ который поднимает $d_{vert}$ к $K$ и такое, что $(s_{B})^{2}=0$ и

$H_{s_{B}}^{0}=C^{\infty }({\tilde {M}})$

относительно классификации по призрачному числу : $K^{n}=\oplus _{i-j=n}K^{i,j}$.

Таким образом, БРСТ-оператор или БРСТ-дифференциал $s_{B}$ выполняет на уровне функций то же, что симплектическая редукция делает на уровне многообразий.

Имеются два первообразных, $\delta$ и $d$ которые антикоммутируют друг с другом. БРСТ-антидеривация $s_{B}$ дается $\delta +d+\mathrm {more}$. Оператор $s_{B}$ нильпотентен ​ ; $s^{2}=(\delta +d)^{2}=\delta ^{2}+d^{2}+(\delta d+d\delta )=0$

Рассмотрим суперкоммутативную алгебру, порожденную $C^{\infty }(M)$ и Грассмана генераторы нечетных чисел ${\mathcal {P}}_{i}$, т.е. тензорное произведение алгебры Грассмана и $C^{\infty }(M)$. Существует уникальная первообразная $\delta$ удовлетворяющий $\delta {\mathcal {P}}_{i}=-\Phi _{i}$ и $\delta f=0$ для всех $f\in C^{\infty }(M)$. Нулевая гомология определяется выражением $C^{\infty }(M_{0})$.

Продольное векторное поле на $M_{0}$ является векторным полем над $M_{0}$ которая всюду касается калибровочных орбит. Скобка Ли двух продольных векторных полей сама по себе является еще одним продольным векторным полем. Продольный $p$-формы двойственны внешней алгебре $p$-векторы. $d$ по существу является продольной внешней производной, определяемой формулой

${\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=&\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})\end{aligned}}$

Нулевые когомологии продольной внешней производной представляют собой алгебру калибровочно-инвариантных функций.

когда имеется гамильтоново действие компактной . связной Конструкция BRST применяется , группы Ли $G$ в фазовом пространстве $M$. Позволять ${\mathfrak {g}}$ — Ли алгебра $G$ (через соответствие группа Ли–алгебра Ли ) и $0\in {\mathfrak {g}}^{*}$ ( двойник ​ ${\mathfrak {g}})$ регулярное значение карты импульса $\Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$. Позволять $M_{0}=\Phi ^{-1}(0)$. Предположим, $G$-действие на $M_{0}$ является свободным и правильным, и рассмотрим пространство ${\widetilde {M}}=M_{0}/G$ из $G$- вращается по $M_{0}$, который также известен как симплектической редукции коэффициент ${\widetilde {M}}=M/\!\!/G$.

Во-первых, используя регулярную последовательность функций, определяющих $M_{0}$ внутри $M$, построить комплекс Кошуля

$\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).$

Дифференциал ​ , $\delta$, на этом комплексе это странно $C^{\infty }(M)$-линейный дифференциальная алгебра) градуированных вывод ( $C^{\infty }(M)$-алгебра $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$. Этот нечетный вывод определяется расширением гомоморфизма алгебры Ли ${\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)$ действия Гамильтона. Полученный комплекс Кошуля представляет собой комплекс Кошуля $S({\mathfrak {g}})$-модуль $C^{\infty }(M)$, где $S({\mathfrak {g}})$ является симметрической алгеброй ${\mathfrak {g}}$, а структура модуля возникает из кольцевого гомоморфизма $S({\mathfrak {g}})\to C^{\infty }(M)$ индуцированное гамильтоновым действием ${\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)$.

Этот Кошульский комплекс является резолюцией $S({\mathfrak {g}})$-модуль $C^{\infty }(M_{0})$, то есть,

$H^{j}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M),\delta )={\begin{cases}C^{\infty }(M_{0})&j=0\\0&j\neq 0\end{cases}}$

Затем рассмотрим комплекс Шевалле–Эйленберга для комплекса Кошуля $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$ рассматривается как дифференциально-градуированный модуль над алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$:

$K^{\bullet ,\bullet }=C^{\bullet }\left({\mathfrak {g}},\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).$

«Горизонтальный» дифференциал $d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }$ определяется коэффициентами

$\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$

действием ${\mathfrak {g}}$ и дальше $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}$ как внешняя производная правоинвариантных дифференциальных на форм группе Ли $G$, чья алгебра Ли есть ${\mathfrak {g}}$.

Пусть Tot( K ) — комплекс такой, что

$\operatorname {Tot} (K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}$

с дифференциалом D = d + δ. Группы когомологий (Tot( K ), D ) вычисляются с использованием спектральной последовательности, связанной с двойным комплексом $(K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )$.

Первый член спектральной последовательности вычисляет когомологии «вертикального» дифференциала. $\delta$:

$E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})$, если j = 0 и ноль в противном случае.

Первый член спектральной последовательности можно интерпретировать как комплекс вертикальных дифференциальных форм

$(\Omega ^{\bullet }{\operatorname {vert} }(M_{0}),d_{\operatorname {vert} })$

для пучка волокон $M_{0}\to {\widetilde {M}}$.

Второй член спектральной последовательности вычисляет когомологии «горизонтального» дифференциала. $d$ на $E_{1}^{\bullet ,\bullet }$:

$E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\bullet ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})$, если $i=j=0$ и ноль в противном случае.

Спектральная последовательность схлопывается на втором члене, так что $E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}$, который сосредоточен в нулевой степени.

Поэтому,

$H^{p}(\operatorname {Tot} (K),D)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})$, если p = 0 и 0 в противном случае.

См. также

• Формализм Баталина–Вилковиского.
• Квантовая хромодинамика

Ссылки

Лечение по учебникам

• Глава 16 «Пескин и Шредер» ( ISBN   0-201-50397-2 или ISBN   0-201-50934-2 ) применяет «BRST-симметрию» для объяснения отмены аномалии в лагранжиане Фаддеева – Попова. Это хорошее начало для неспециалистов в КТП, хотя связи с геометрией опущены, а рассмотрение асимптотического пространства Фока представляет собой лишь набросок.
• Глава 12 М. Гёкелера и Т. Шюкера ( ISBN   0-521-37821-4 или ISBN   0-521-32960-4 ) обсуждает связь между формализмом BRST и геометрией калибровочных расслоений. Она по существу похожа на статью Шюкера 1987 года.

Математическая обработка

• Фигероа-О'Фаррил, JM; Кимура, Т. (1991). «Геометрическое БРСТ-квантование I. Предварительное квантование» . Коммун. Математика. Физ . 136 (2). Спрингер-Верлаг : 209–229. Бибкод : 1991CMaPh.136..209F . дои : 10.1007/BF02100022 . ISSN   0010-3616 . МР   1096113 . S2CID   120119621 .
• Костант, Б.; Штернберг, С. (1987). «Симплектическая редукция, когомологии BRS и бесконечномерные алгебры Клиффорда». Энн. Физ . 176 (1). Эльзевир : 49–113. Бибкод : 1987АнФиз.176...49К . дои : 10.1016/0003-4916(87)90178-3 .

Первичная литература

Оригинальные документы БРСТ:

• Брандт, Фридеманн; Барнич, Гленн; Хенно, Марк (2000), «Локальные BRST-когомологии в калибровочных теориях», Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode : 2000PhR...338..439B , doi : 10.1016 /S0370-1573(00)00049-1 , ISSN   0370-1573 , MR   1792979 , S2CID   119420167
• Бекки, К.; Руэ, А.; Стора, Р. (1974). «Абелева модель Хиггса Киббла, унитарность S-оператора». Буквы по физике Б. 52 (3). Эльзевир Б.В.: 344–346. Бибкод : 1974PhLB...52..344B . дои : 10.1016/0370-2693(74)90058-6 . ISSN   0370-2693 .
• Бекки, К.; Руэ, А.; Стора, Р. (1975). «Перенормировка абелевой модели Хиггса-Киббла» . Связь в математической физике . 42 (2). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 127–162. Бибкод : 1975CMaPh..42..127B . дои : 10.1007/bf01614158 . ISSN   0010-3616 . S2CID   120552882 .
• Бекки, К; Руэ, А; Стора, Р. (1976). «Перенормировка калибровочных теорий» . Анналы физики . 98 (2). Эльзевир Б.В.: 287–321. Бибкод : 1976AnPhy..98..287B . дои : 10.1016/0003-4916(76)90156-1 . ISSN   0003-4916 .
• И. В. Тютин, "Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической физике в операторном формализме" , препринт ФИАН № 39 (1975), arXiv:0812.0580.
• Куго, Тайчиро; Одзима, Идзуми (1979). «Локальный ковариантный операторный формализм неабелевых калибровочных теорий и проблема удержания кварков» . Приложение «Прогресс теоретической физики» . 66 . Издательство Оксфордского университета (OUP): 1–130. Бибкод : 1979ПТПС..66....1К . дои : 10.1143/ptps.66.1 . ISSN   0375-9687 .
• Более доступная версия Куго-Одзимы доступна в Интернете в серии статей, начиная с: Куго, Т.; Одзима, И. (1 декабря 1978 г.). «Явно ковариантная каноническая формулировка теорий поля Янга-Миллса. I: — Общий формализм —» . Успехи теоретической физики . 60 (6). Издательство Оксфордского университета (OUP): 1869–1889. Бибкод : 1978PThPh..60.1869K . дои : 10.1143/ptp.60.1869 . ISSN   0033-068X . Вероятно, это единственный лучший справочник по БРСТ-квантованию на квантовомеханическом (в отличие от геометрического) языке.
• Много информации о взаимосвязи между топологическими инвариантами и БРСТ-оператором можно найти в: Виттен Э., «Топологическая квантовая теория поля» , Commun. Математика. Физ. 117, 3 (1988), стр. 353–386.

Альтернативные точки зрения

• БРСТ-системы кратко анализируются с точки зрения теории операторов в: С. С. Хоружий, А. В. Воронин, «Замечания о математической структуре БРСТ-теорий» , сообщение. Математика. Физ. 123, 4 (1989), стр. 677–685.
• Теоретико-мерный взгляд на метод BRST можно найти в конспектах лекций Карло Бекки 1996 года .

Внешние ссылки

• Брст когомологии на arxiv.org