Интерьерное изделие
В математике внутренний продукт (также известный как внутренняя производная , внутреннее умножение , внутреннее умножение , внутренняя производная , оператор вставки или внутренний вывод ) представляет собой степени -1 (анти)вывод на внешней алгебре дифференциальных форм на гладком многообразии . Внутренний продукт, названный в противоположность внешнему продукту , не следует путать с внутренним продуктом . Продукт для интерьера иногда пишется как [1]
Определение
[ редактировать ]Внутренний продукт определяется как сжатие дифференциальной формы с векторным полем . Таким образом, если векторное поле на многообразии затем это карта , которая отправляет -форма к -форма определяется свойством, которое для любых векторных полей
Внутреннее произведение — это единственный первообразователь степени −1 на внешней алгебре такой, что на одноформах где это дуальное соединение между и вектор Явно, если это -форма и это -форма, то Приведенное выше соотношение говорит о том, что продукт интерьера подчиняется градуированному правилу Лейбница . Операция, удовлетворяющая линейности и правилу Лейбница, называется выводом.
Характеристики
[ редактировать ]Если в местных координатах векторное поле дается
тогда внутреннее произведение определяется выражением где - это форма, полученная опусканием от .
По антисимметрии форм, и так Это можно сравнить с внешней производной который имеет свойство
Внутреннее произведение связывает внешнюю производную и производную Ли дифференциальных форм формулой Картана (также известной как тождество Картана , формула гомотопии Картана [2] или волшебная формула Картана ) :
где антикоммутатор использовался . Это тождество определяет двойственность между внешними и внутренними производными. Тождество Картана важно в симплектической геометрии и общей теории относительности : см. карту моментов . [3] Гомотопическая формула Картана названа в честь Эли Картана . [4]
Внутреннее произведение относительно коммутатора двух векторных полей удовлетворяет тождеству
См. также
[ редактировать ]- Продукт Cap - Метод в алгебраической топологии
- Внутренний продукт – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств.
- Тензорное сжатие - операция в математике и физике
Примечания
[ редактировать ]- ^ Символ ⨼ — это U+2A3C ИНТЕРЬЕРНЫЙ ПРОДУКТ в Юникоде.
- ^ Вт, раздел 20.5.
- ^ Существует еще одна формула, называемая «формула Картана». См. алгебру Стинрода .
- ^ Создана ли «волшебная формула Картана» Эли или Анри? , MathOverflow , 21 сентября 2010 г. , получено 25 июня 2018 г.
Ссылки
[ редактировать ]- Теодор Франкель, Геометрия физики: введение ; Издательство Кембриджского университета, 3-е изд. 2011 г.
- Лоринг В. Ту, Введение в многообразия , 2e, Springer. 2011. дои : 10.1007/978-1-4419-7400-6