Частично упорядоченная группа

В абстрактной алгебре — частично упорядоченная группа это группа ( G , +), наделенная частичным порядком «≤», который является трансляционно-инвариантным ; другими словами, «≤» обладает тем свойством, что для всех a , b и g в G , если a ≤ b, то a + g ≤ b + g и g + a ≤ g + b .

Элемент x группы G называется положительным, если 0 ≤ x . Множество элементов 0 ≤ x часто обозначается G ⁺, и называется положительным конусом G .

Согласно трансляционной инвариантности, мы имеем a ≤ b тогда и только тогда, когда 0 ≤ - a + b .Таким образом, мы можем свести частичный порядок к монадическому свойству: a ≤ b тогда и только тогда, когда - a + b ∈ G. ⁺.

Для общей группы G существование положительного конуса задает порядок G. в Группа G является частично упорядочиваемой группой тогда и только тогда, когда существует подмножество H (которое есть G ⁺) группы G такая, что:

0 ∈ Н
если a € H и b € H, то a + b € H
если a ∈ H , то - x + a + x ∈ H для каждого x из G
если a ∈ H и -a ∈ H , то a = 0

Частично упорядоченная группа G с положительным конусом G ⁺ называется неперфорированным, если n · g ∈ G ⁺ для некоторого натурального числа n следует, что g ∈ G ⁺. нет «зазора». Отсутствие перфорации означает, что в положительном конусе G ⁺.

Если порядок в группе является линейным , то ее называют линейно упорядоченной группой .Если порядок в группе является решеточным порядком , то есть любые два элемента имеют наименьшую верхнюю границу, то это группа с решетчатым упорядочением (сокращенно l-group , хотя обычно набирается шрифтом l : ℓ-group).

Группа Рисса — это неперфорированная частично упорядоченная группа, обладающая свойством немного более слабым, чем свойство решеточно-упорядоченной группы. А именно, группа Рисса удовлетворяет интерполяционному свойству Рисса : если x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ являются элементами G и x _i ≤ y _j , то существует z ∈ G такой, что x _i ≤ z ≤ y _j .

Если G и H — две частично упорядоченные группы, отображение из G в H является морфизмом частично упорядоченных групп, если оно одновременно является групповым гомоморфизмом и монотонной функцией . Частично упорядоченные группы вместе с понятием морфизма образуют категорию .

группы используются при определении оценок полей Частично упорядоченные .

Примеры

Целые числа в их обычном порядке
Упорядоченное векторное пространство — это частично упорядоченная группа.
— Пространство Рисса это решеточно упорядоченная группа.
Типичным примером частично упорядоченной группы является Z ^н, где групповая операция представляет собой покомпонентное сложение, и мы пишем ( a ₁ ,..., a _n ) ≤ ( b ₁ ,..., b _n ) тогда и только тогда, когда a _i ≤ b _i (в обычном порядке целые числа) для всех i = 1,..., n .
В более общем смысле, если G — частично упорядоченная группа, а X — некоторое множество, то множество всех функций от X до G снова является частично упорядоченной группой: все операции выполняются покомпонентно. Более того, каждая подгруппа G является частично упорядоченной группой: она наследует порядок от G .
Если A — приблизительно конечномерная C*-алгебра или, в более общем смысле, если A — стабильно конечная единичная C*-алгебра, то K0 _{) —} ( A частично упорядоченная абелева группа . (Эллиотт, 1976)

Характеристики

Архимед

Архимедово свойство действительных чисел можно обобщить на частично упорядоченные группы.

Свойство: частично упорядоченная группа.

G

называется архимедовым, если для любого

a,b\in G

, если

e\leq a\leq b

и

a^{n}\leq b

для всех

n\geq 1

затем

a=e

. Эквивалентно, когда

a\neq e

, то для любого

b\in G

, есть некоторые

n\in \mathbb {Z}

такой, что

b<a^{n}

.

Полностью закрытый

Частично упорядоченная группа G называется целозамкнутой , если для всех элементов a и b из G , если a ^н ≤ b для всех натуральных n , то a ≤ 1. ^[1]

Это свойство несколько сильнее, чем тот факт, что частично упорядоченная группа является архимедовой , хотя для решеточно-упорядоченной группы быть целозамкнутой и быть архимедовой эквивалентно. ^[2]Существует теорема о том, что всякая целозамкнутая направленная группа уже абелева . Это связано с тем, что направленная группа вкладывается в полную решеточно-упорядоченную группу тогда и только тогда, когда она целозамкнута. ^[1]

См. также

Циклически упорядоченная группа - группа с циклическим порядком, соблюдаемым групповой операцией.
Линейно упорядоченная группа – группа с трансляционно-инвариантным полным порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb
Упорядоченное поле – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
Заказное кольцо — кольцо с совместимым общим порядком.
Упорядоченное топологическое векторное пространство
Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
Частично упорядоченное кольцо - Кольцо с совместимым частичным порядком.
Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.

Примечание

Ссылки

М. Андерсон и Т. Фейл, Решетчато-упорядоченные группы: введение , Д. Рейдель, 1988.
Биркгоф, Гаррет (1942). «Решетчато-упорядоченные группы» . Анналы математики . 43 (2): 313. дои : 10.2307/1968871 . ISSN 0003-486X .
М. Р. Дарнел, Теория решеточно-упорядоченных групп , Конспект лекций по чистой и прикладной математике 187, Марсель Деккер, 1995.
Л. Фукс, Частично упорядоченные алгебраические системы , Pergamon Press, 1963.
Стекло, AMW (1982). Упорядоченные группы перестановок . дои : 10.1017/CBO9780511721243 . ISBN 9780521241908 .
Стекло, AMW (1999). Частично упорядоченные группы . ISBN 981449609X .
В. М. Копытов и А. И. Кокорин (пер. Д. Лувиша), Полностью упорядоченные группы , Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
В.М. Копытов и Н.Я. Медведев, Правоупорядоченные группы , Сибирская школа алгебры и логики, Консультантское бюро, 1996.
Kopytov, V. M.; Medvedev, N. Ya. (1994). The Theory of Lattice-Ordered Groups . doi : 10.1007/978-94-015-8304-6 . ISBN 978-90-481-4474-7 .
Р.Б. Мура и А. Ремтулла, Упорядочимые группы , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике 27, Марсель Деккер, 1977.
Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Университеттекст. 2005. дои : 10.1007/b139095 . ISBN 1-85233-905-5 . , гл. 9.
Эллиотт, Джордж А. (1976). «О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр». Журнал алгебры . 38 : 29–44. дои : 10.1016/0021-8693(76)90242-8 .

Дальнейшее чтение

Эверетт, CJ; Улам, С. (1945). «Об упорядоченных группах» . Труды Американского математического общества . 57 (2): 208–216. дои : 10.2307/1990202 . JSTOR 1990202 .

Внешние ссылки

Копытов, В.М. (2001) [1994], «Частично упорядоченная группа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Копытов, В.М. (2001) [1994], "Решетчато-упорядоченная группа" , Энциклопедия Математики , EMS Press
Эта статья включает в себя материалы из упорядоченной группы PlanetMath частично , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[Glass-1] Jump up to: ^а ^б Стекло (1999)

[2] Биркгоф (1942)

[1]

[2]