Дискретное время и непрерывное время

В математической динамике дискретное время и непрерывное время представляют собой две альтернативные основы, в которых переменные моделируются , меняющиеся во времени.

Дискретное время

Дискретное время рассматривает значения переменных как происходящие в отдельные отдельные «моменты времени» или, что то же самое, как неизменяющиеся в каждом ненулевом регионе времени («период времени»), то есть время рассматривается как дискретная переменная . Таким образом, невременная переменная переходит от одного значения к другому по мере того, как время перемещается от одного периода времени к другому. Такое представление времени соответствует цифровым часам, которые какое-то время показывают фиксированное значение 10:37, а затем переходят к новому фиксированному показанию 10:38 и т. д. В этой системе каждая интересующая переменная измеряется один раз в каждый момент времени. период времени. Число измерений между любыми двумя периодами времени конечно. Измерения обычно производятся при последовательных целочисленных значениях переменной «время».

или Дискретный сигнал сигнал дискретного времени представляет собой временной ряд, состоящий из последовательности величин.

В отличие от сигнала непрерывного времени, сигнал дискретного времени не является функцией непрерывного аргумента; однако он мог быть получен путем выборки сигнала непрерывного времени. Когда сигнал дискретного времени получается путем выборки последовательности через равные промежутки времени, он имеет соответствующую частоту дискретизации .

Сигналы дискретного времени могут иметь несколько источников происхождения, но обычно их можно отнести к одной из двух групп: ^[1]

Путем получения значений аналогового сигнала с постоянной или переменной скоростью. Этот процесс называется выборкой . ^[2]
Путем наблюдения за процессом, который по сути своей дискретен во времени, например, за еженедельным пиковым значением определенного экономического индикатора.

Непрерывное время

Напротив, непрерывное время рассматривает переменные как имеющие определенное значение только в течение бесконечно малого промежутка времени. Между любыми двумя моментами времени существует бесконечное число других моментов времени. Переменная «время» варьируется по всей линии действительных чисел или, в зависимости от контекста, по некоторому ее подмножеству, например, по неотрицательным действительным числам. Таким образом, время рассматривается как непрерывная переменная .

или Непрерывный сигнал непрерывный по времени сигнал — это изменяющаяся величина ( сигнал ). чья область, часто время, представляет собой континуум (например, связный интервал действительности . ) То есть областью определения функции является несчетное множество . Сама функция не обязательно должна быть непрерывной . Напротив, сигнал дискретного времени имеет счетную область, как и натуральные числа .

Сигнал непрерывной амплитуды и времени известен как сигнал непрерывного времени или аналоговый сигнал . Это ( сигнал ) будет иметь некоторое значение в каждый момент времени. Электрические сигналы, получаемые пропорционально физическим величинам, таким как температура, давление, звук и т. д., обычно являются непрерывными сигналами. Другими примерами непрерывных сигналов являются синусоидальная волна, косинусоидальная волна, треугольная волна и т. д.

Сигнал определяется в области, которая может быть конечной, а может и не быть конечной, и существует функциональное отображение области значений на значение сигнала. Непрерывность временной переменной в связи с законом плотности действительных чисел означает, что значение сигнала можно найти в любой произвольный момент времени.

Типичный пример сигнала бесконечной длительности:

f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R}

Аналогом вышеуказанного сигнала с конечной длительностью может быть:

f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]

и

f(t)=0

в противном случае.

Значение сигнала конечной (или бесконечной) длительности может быть конечным или не быть конечным. Например,

f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]

и

f(t)=0

в противном случае,

сигнал конечной длительности, но он принимает бесконечное значение для $t=0\,$ .

Во многих дисциплинах принято считать, что непрерывный сигнал всегда должен иметь конечное значение, что имеет больше смысла в случае физических сигналов.

Для некоторых целей бесконечные особенности приемлемы, пока сигнал интегрируется на любом конечном интервале (например, $t^{-1}$ сигнал не интегрируем на бесконечности, но $t^{-2}$ является).

Любой аналоговый сигнал по своей природе непрерывен. Сигналы дискретного времени , используемые в цифровой обработке сигналов , могут быть получены путем дискретизации и квантования непрерывных сигналов.

Непрерывный сигнал также может быть определен по независимой переменной, отличной от времени. Другая очень распространенная независимая переменная — пространство, которая особенно полезна при обработке изображений , где используются два измерения пространства.

Соответствующие контексты

Дискретное время часто используется при эмпирических измерениях , поскольку обычно измерять переменные можно только последовательно. Например, хотя экономическая деятельность на самом деле происходит непрерывно и не существует момента, когда экономика полностью остановилась, экономическую активность можно измерить только дискретно. По этой причине опубликованные данные, например, о валовом внутреннем продукте, будут отражать последовательность квартальных значений.

Когда кто-то пытается эмпирически объяснить такие переменные с точки зрения других переменных и/или их собственных предшествующих значений, он использует методы временных рядов или регрессии, в которых переменные индексируются с нижним индексом, указывающим период времени, в котором произошло наблюдение. Например, y _t может относиться к стоимости дохода, наблюдаемой в неопределенный период времени t , y ₃ — к стоимости дохода, наблюдаемой в третий период времени, и т. д.

Более того, когда исследователь пытается разработать теорию, объясняющую то, что наблюдается в дискретное время, часто сама теория выражается в дискретном времени, чтобы облегчить разработку временного ряда или модели регрессии.

С другой стороны, зачастую более математически проще построить теоретические модели в непрерывном времени, и часто в таких областях, как физика, точное описание требует использования непрерывного времени. В контексте непрерывного времени значение переменной y в неопределенный момент времени обозначается как y ( t ) или, если смысл ясен, просто как y .

Типы уравнений

Дискретное время

Дискретное время использует разностные уравнения , также известные как рекуррентные соотношения. Примером, известным как логистическая карта или логистическое уравнение, является

x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),

в котором r — параметр в диапазоне от 2 до 4 включительно, а x — переменная в диапазоне от 0 до 1 включительно, значение которой в периоде t нелинейно влияет на ее значение в следующем периоде t +1. Например, если $r=4$ и $x_{1}=1/3$ , то при t =1 имеем $x_{2}=4(1/3)(2/3)=8/9$ , а для t =2 имеем $x_{3}=4(8/9)(1/9)=32/81$ .

Другой пример моделирует корректировку цены P в ответ на ненулевой избыточный спрос на продукт как

P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t},...)

где $\delta$ - положительный параметр скорости регулировки, который меньше или равен 1, и где $f$ – функция избыточного спроса .

Непрерывное время

В непрерывном времени используются дифференциальные уравнения . Например, корректировку цены P в ответ на ненулевой избыточный спрос на продукт можно смоделировать в непрерывном времени как

{\frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...)

где левая часть — это первая производная цены по времени (т. е. скорость изменения цены), $\lambda$ - параметр скорости регулировки, который может быть любым положительным конечным числом, и $f$ – это снова функция избыточного спроса.

Графическое изображение

Переменная, измеренная в дискретное время, может быть изображена как ступенчатая функция соответствует область , в которой каждому периоду времени на горизонтальной оси той же длины, что и любой другой период времени, а измеряемая переменная отображается как высота, которая остается постоянной на протяжении всего периода времени. регион временного периода. В этом графическом методе график выглядит как последовательность горизонтальных ступеней. Альтернативно, каждый период времени можно рассматривать как отдельный момент времени, обычно имеющий целое значение на горизонтальной оси, а измеряемая переменная отображается как высота над этой точкой оси времени. В этом методе график выглядит как набор точек.

Значения переменной, измеренные в непрерывном времени, отображаются как непрерывная функция , поскольку областью времени считается вся действительная ось или, по крайней мере, некоторая связанная ее часть.

См. также

Ссылки

^ «Цифровая обработка сигналов», Прентис Холл - страницы 11–12.
^ «Цифровая обработка сигналов: мгновенный доступ», Баттерворт-Хайнеманн - страница 8

Гершенфельд, Нил А. (1999). Природа математического моделирования . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-57095-6 .

Вагнер, Томас Чарльз Гордон (1959). Аналитические переходные процессы . Уайли.

[1] «Цифровая обработка сигналов», Прентис Холл - страницы 11–12.

[2] «Цифровая обработка сигналов: мгновенный доступ», Баттерворт-Хайнеманн - страница 8

[1]

[2]