Углы между плоскостями

Понятие углов между прямыми (в плоскости или в пространстве ), между двумя плоскостями ( двугранный угол ) или между линией и плоскостью можно обобщить на произвольные измерения . Это обобщение впервые было обсуждено Камиллой Джордан . ^[1] Для любой пары плоскостей евклидова пространства произвольной размерности можно определить набор взаимных углов, инвариантных относительно изометрического преобразования евклидова пространства. Если плоскости не пересекаются, их кратчайшее расстояние является еще одним инвариантом. ^[1] Эти углы называются каноническими. ^[2] или директор . ^[3] Понятие углов можно обобщить на пары плоских поверхностей в конечномерном внутреннем пространстве над комплексными числами .

Определение Джордана [ править ]

Позволять $F$ и $G$ быть плоскими размерами $k$ и $l$ в $n$ -мерное евклидово пространство $E^{n}$ . , перевод По определению $F$ или $G$ не меняет их взаимных углов. Если $F$ и $G$ не пересекаются, они будут это делать при любом переводе $G$ который отображает некоторую точку в $G$ в какой-то момент в $F$ . Поэтому без ограничения общности можно предположить, что $F$ и $G$ пересекаться.

Джордан показывает, что декартовы координаты $x_{1},\dots ,x_{\rho },$ $y_{1},\dots ,y_{\sigma },$ $z_{1},\dots ,z_{\tau },$ $u_{1},\dots ,u_{\upsilon },$ $v_{1},\dots ,v_{\alpha },$ $w_{1},\dots ,w_{\alpha }$ в $E^{n}$ тогда можно определить так, что $F$ и $G$ описываются соответственно системами уравнений

x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,

u_{1}=0,\dots ,u_{\upsilon }=0,

v_{1}=0,\dots ,v_{\alpha }=0

и

x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,

z_{1}=0,\dots ,z_{\tau }=0,

v_{1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_{\alpha }\sin \theta _{\alpha }=0

с $0<\theta _{i}<\pi /2,i=1,\dots ,\alpha$ . Джордан называет эти координаты каноническими . По определению, углы $\theta _{i}$ это углы между $F$ и $G$ .

Неотрицательные целые числа $\rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha$ ограничены

\rho +\sigma +\tau +\upsilon +2\alpha =n,

\sigma +\tau +\alpha =k,

\sigma +\upsilon +\alpha =\ell .

Чтобы эти уравнения полностью определили пять целых неотрицательных чисел, помимо размеров $n,k$ и $\ell$ и число $\alpha$ углов $\theta _{i}$ , неотрицательное целое число $\sigma$ надо дать. Это количество координат $y_{i}$ , чьи соответствующие оси полностью лежат внутри обеих $F$ и $G$ . Целое число $\sigma$ таким образом, является размерностью $F\cap G$ . Набор углов $\theta _{i}$ может быть дополнен $\sigma$ углы $0$ чтобы указать, что $F\cap G$ имеет это измерение.

Доказательство Джордана применимо практически без изменений, когда $E^{n}$ заменяется на $n$ -мерное внутреннее пространство продукта $\mathbb {C} ^{n}$ над комплексными числами. (Для углов между подпространствами обобщение на $\mathbb {C} ^{n}$ обсуждается Галантаем и Хегедосом с точки зрения приведенной ниже вариационной характеристики . ^[4]) ^[1]

Углы между подпространствами [ править ]

Теперь позвольте $F$ и $G$ быть подпространствами $n$ -мерное пространство внутреннего продукта над действительными или комплексными числами. Геометрически, $F$ и $G$ являются плоскими, поэтому применимо определение взаимных углов, данное Джорданом. Когда для любой канонической координаты $\xi$ символ ${\hat {\xi }}$ обозначает вектор единичный $\xi$ ось, векторы ${\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },$ ${\hat {w}}_{1},\dots ,{\hat {w}}_{\alpha },$ ${\hat {z}}_{1},\dots ,{\hat {z}}_{\tau }$ образуют ортонормированный базис для $F$ и векторы ${\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },$ ${\hat {w}}'_{1},\dots ,{\hat {w}}'_{\alpha },$ ${\hat {u}}_{1},\dots ,{\hat {u}}_{\upsilon }$ образуют ортонормированный базис для $G$ , где

{\hat {w}}'_{i}={\hat {w}}_{i}\cos \theta _{i}+{\hat {v}}_{i}\sin \theta _{i},\quad i=1,\dots ,\alpha .

Будучи связанными с каноническими координатами, эти базисные векторы можно назвать каноническими .

Когда $a_{i},i=1,\dots ,k$ обозначим канонические базисные векторы для $F$ и $b_{i},i=1,\dots ,l$ канонические базисные векторы для $G$ тогда внутренний продукт $\langle a_{i},b_{j}\rangle$ исчезает для любой пары $i$ и $j$ кроме следующих.

{\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma ,\\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}

При указанном выше порядке основных векторов матрица скалярных произведений $\langle a_{i},b_{j}\rangle$ таким образом, диагональ . Другими словами, если $(a'_{i},i=1,\dots ,k)$ и $(b'_{i},i=1,\dots ,\ell )$ являются произвольными ортонормированными базисами в $F$ и $G$ тогда вещественные, ортогональные или унитарные преобразования из базиса $(a'_{i})$ к основе $(a_{i})$ и от основы $(b'_{i})$ к основе $(b_{i})$ реализовать разложение по сингулярным значениям матрицы внутренних продуктов $\langle a'_{i},b'_{j}\rangle$ . Диагональные матричные элементы $\langle a_{i},b_{i}\rangle$ являются сингулярными значениями последней матрицы. В силу единственности разложения по сингулярным числам векторы ${\hat {y}}_{i}$ тогда уникальны с точностью до действительного, ортогонального или унитарного преобразования между ними, а векторы ${\hat {w}}_{i}$ и ${\hat {w}}'_{i}$ (и, следовательно, ${\hat {v}}_{i}$ ) уникальны с точностью до равных вещественных, ортогональных или унитарных преобразований, применяемых одновременно к наборам векторов ${\hat {w}}_{i}$ связаны с общей ценностью $\theta _{i}$ и соответствующим наборам векторов ${\hat {w}}'_{i}$ (и, следовательно, к соответствующим множествам ${\hat {v}}_{i}$ ).

Единственное значение $1$ можно интерпретировать как $\cos \,0$ соответствующие углам $0$ представленный выше и связанный с $F\cap G$ и единственное значение $0$ можно интерпретировать как $\cos \pi /2$ соответствующие прямым углам между ортогональными пространствами $F\cap G^{\bot }$ и $F^{\bot }\cap G$ , где верхний индекс $\bot$ обозначает ортогональное дополнение .

Вариационная характеристика [ править ]

Вариационная характеристика сингулярных значений и векторов в частном случае подразумевает вариационную характеристику углов между подпространствами и связанными с ними каноническими векторами. Эта характеристика включает в себя углы $0$ и $\pi /2$ введенный выше, и упорядочивает углы по возрастанию значения. Ему можно придать форму приведенного ниже альтернативного определения. В этом контексте принято говорить о главных углах и векторах. ^[3]

Определение [ править ]

Позволять $V$ быть внутренним пространством продукта. Учитывая два подпространства ${\mathcal {U}},{\mathcal {W}}$ с $\dim({\mathcal {U}})=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=\ell$ , тогда существует последовательность $k$ углы $0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \cdots \leq \theta _{k}\leq \pi /2$ называются главными углами, первый из которых определяется как

\theta _{1}:=\min \left\{\arccos \left(\left.{\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},w\in {\mathcal {W}}\right\}=\angle (u_{1},w_{1}),

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является внутренним продуктом и $\|\cdot \|$ индуцированная норма . Векторы $u_{1}$ и $w_{1}$ — соответствующие главные векторы.

Остальные главные углы и векторы затем определяются рекурсивно через

\theta _{i}:=\min \left\{\left.\arccos \left({\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.

Это означает, что главные углы $(\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})$ образуют набор минимизированных углов между двумя подпространствами, а главные векторы в каждом подпространстве ортогональны друг другу.

Примеры [ править ]

Геометрический пример [ править ]

Геометрически подпространства представляют собой плоскости (точки, линии, плоскости и т. д.), включающие начало координат, поэтому любые два подпространства пересекаются хотя бы в начале координат. Два двумерных подпространства ${\mathcal {U}}$ и ${\mathcal {W}}$ создать набор из двух углов. В трехмерном евклидовом пространстве подпространства ${\mathcal {U}}$ и ${\mathcal {W}}$ либо одинаковы, либо их пересечение образует линию. В первом случае оба $\theta _{1}=\theta _{2}=0$ . В последнем случае только $\theta _{1}=0$ , где векторы $u_{1}$ и $w_{1}$ находятся на линии пересечения ${\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}$ и имеют одно и то же направление. Угол $\theta _{2}>0$ будет угол между подпространствами ${\mathcal {U}}$ и ${\mathcal {W}}$ в ортогональном дополнении к ${\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}$ . Представляя угол между двумя плоскостями в 3D, человек интуитивно думает о наибольшем угле, $\theta _{2}>0$ .

Алгебраический пример [ править ]

В 4-мерном реальном координатном пространстве R ⁴, пусть двумерное подпространство ${\mathcal {U}}$ быть охватываемый $u_{1}=(1,0,0,0)$ и $u_{2}=(0,1,0,0)$ , и пусть двумерное подпространство ${\mathcal {W}}$ быть охватываемый $w_{1}=(1,0,0,a)/{\sqrt {1+a^{2}}}$ и $w_{2}=(0,1,b,0)/{\sqrt {1+b^{2}}}$ с некоторыми реальными $a$ и $b$ такой, что $|a|<|b|$ . Затем $u_{1}$ и $w_{1}$ фактически являются парой главных векторов, соответствующих углу $\theta _{1}$ с $\cos(\theta _{1})=1/{\sqrt {1+a^{2}}}$ , и $u_{2}$ и $w_{2}$ – главные векторы, соответствующие углу $\theta _{2}$ с $\cos(\theta _{2})=1/{\sqrt {1+b^{2}}}.$

Чтобы построить пару подпространств с любым заданным набором $k$ углы $\theta _{1},\ldots ,\theta _{k}$ в $2k$ (или большего) размерного евклидова пространства , возьмем подпространство ${\mathcal {U}}$ с ортонормированным базисом $(e_{1},\ldots ,e_{k})$ и доведем его до ортонормированного базиса $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ евклидова пространства, где $n\geq 2k$ . Тогда ортонормированный базис другого подпространства ${\mathcal {W}}$ это, например,

(\cos(\theta _{1})e_{1}+\sin(\theta _{1})e_{k+1},\ldots ,\cos(\theta _{k})e_{k}+\sin(\theta _{k})e_{2k}).

Основные свойства [ править ]

Если наибольший угол равен нулю, одно подпространство является подмножеством другого.
Если наибольший угол $\pi /2$ , в одном подпространстве существует хотя бы один вектор, перпендикулярный другому подпространству.
Если наименьший угол равен нулю, подпространства пересекаются хотя бы по прямой.
Если наименьший угол $\pi /2$ , подпространства ортогональны.
Число углов, равное нулю, является размерностью пространства, в котором пересекаются два подпространства.

Расширенные свойства [ править ]

Нетривиальный (отличается от $0$ и $\pi /2$ ^[5]) углы между двумя подпространствами такие же, как нетривиальные углы между их ортогональными дополнениями. ^[6]^[7]
Нетривиальные углы между подпространствами ${\mathcal {U}}$ и ${\mathcal {W}}$ и соответствующие нетривиальные углы между подпространствами ${\mathcal {U}}$ и ${\mathcal {W}}^{\perp }$ суммировать до $\pi /2$ . ^[6]^[7]
Углы между подпространствами удовлетворяют неравенству треугольника с точки зрения мажорирования и, таким образом, могут использоваться для определения расстояния на множестве всех подпространств, превращающих набор в метрическое пространство . ^[8]
Синус и, таким углов между подпространствами удовлетворяет неравенству треугольника с точки зрения мажорирования образом, может использоваться для определения расстояния на множестве всех подпространств, превращающих набор в метрическое пространство . ^[6] Например, синус наибольшего угла известен как разрыв между подпространствами . ^[9]

Расширения [ править ]

Понятие углов и некоторых вариационных свойств можно естественным образом распространить на произвольные скалярные произведения. ^[10] и подпространства с бесконечными размерностями . ^[7]

Расчет [ править ]

Исторически сложилось так, что главные углы и векторы впервые появляются в контексте канонической корреляции и первоначально вычислялись с использованием SVD соответствующих ковариационных матриц. Однако, как впервые было замечено в ^[3] Каноническая корреляция связана с косинусом главных углов, который плохо обусловлен для малых углов, что приводит к очень неточным вычислениям сильно коррелированных главных векторов в конечной точности компьютерной арифметике . Синусоидальный алгоритм ^[3] устраняет эту проблему, но создает новую проблему очень неточного расчета сильно некоррелированных главных векторов, поскольку синуса функция плохо обусловлена для углов, близких к $π$ /2. Чтобы получить точные главные векторы в компьютерной арифметике для всего диапазона главных углов, используется комбинированный метод. ^[10] сначала вычислите все главные углы и векторы, используя классический подход на основе косинуса , а затем повторно вычислите главные углы, меньшие, чем $π$ /4 , и соответствующие главные векторы, используя подход на основе синуса . ^[3] Комбинированная техника ^[10] реализован в с открытым исходным кодом библиотеках Octave ^[11] и SciPy ^[12] и внес свой вклад ^[13] и ^[14] в МАТЛАБ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Джордан, К. (1875). «Сочинение по геометрии. $n$ Размеры» . Бюлл. Соц. Матем. Франция . 3 : 103.
^ Африат, С.Н. (1957). «Ортогональные и наклонные проекторы и характеризация пар векторных пространств». Математика. Учеб. Кембриджская философия. Соц . 53 (4): 800. doi : 10.1017/S0305004100032916 . S2CID 122049149 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Бьорк, О.; Голуб, Г.Х. (1973). «Численные методы вычисления углов между линейными подпространствами». Математика. Комп . 27 (123): 579. дои : 10.2307/2005662 . JSTOR 2005662 .
^ Галантаи, А.; Хегедос, Кс. Дж. (2006). «Главные углы Джордана в комплексных векторных пространствах». Число. Приложение линейной алгебры . 13 (7): 589–598. CiteSeerX 10.1.1.329.7525 . дои : 10.1002/nla.491 . S2CID 13107400 .
^ Халмош, PR (1969), «Два подпространства», Пер. амер. Математика. Соц. , 144 : 381–389, doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251519-5
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Князев А.В.; Арджентати, Мэн (2006), «Мажоризация изменений углов между подпространствами, значениями Ритца и графическими лапласовскими спектрами», SIAM J. Matrix Anal. Прил. , 29 (1): 15–32, CiteSeerX 10.1.1.331.9770 , doi : 10.1137/060649070 , S2CID 16987402
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Князев А.В.; Джуджунашвили А.; Арджентати, МЭ (2010), «Углы между бесконечномерными подпространствами с применением к методам Рэлея-Ритца и попеременных проекторов», Journal of Functional Analysis , 259 (6): 1323–1345, arXiv : 0705.1023 , doi : 10.1016/j. jfa.2010.05.018 , S2CID 5570062
^ Цю, Л.; Чжан, Ю.; Лизать. (2005), «Унитарно-инвариантные метрики в пространстве Грассмана» (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 27 (2): 507–531, doi : 10.1137/040607605
^ Като, Д.Т. (1996), Теория возмущений для линейных операторов , Спрингер, Нью-Йорк
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Князев А.В.; Арджентати, Мэн (2002), «Основные углы между подпространствами в скалярном произведении на основе A: алгоритмы и оценки возмущений», SIAM Journal on Scientific Computing , 23 (6): 2009–2041, Bibcode : 2002SJSC...23.2008K , CiteSeerX 10.1.1.73.2914 , номер doi : 10.1137/S1064827500377332
^ Подпространство октавной функции
^ Функция линейной алгебры SciPy subspace_angles
^ Подпространство функции MATLAB FileExchange
^ Подпространство функции MATLAB FileExchangea

[jordan-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Джордан, К. (1875). «Сочинение по геометрии. $n$ Размеры» . Бюлл. Соц. Матем. Франция . 3 : 103.

[afriat-2] Африат, С.Н. (1957). «Ортогональные и наклонные проекторы и характеризация пар векторных пространств». Математика. Учеб. Кембриджская философия. Соц . 53 (4): 800. doi : 10.1017/S0305004100032916 . S2CID 122049149 .

[bjoerck-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Бьорк, О.; Голуб, Г.Х. (1973). «Численные методы вычисления углов между линейными подпространствами». Математика. Комп . 27 (123): 579. дои : 10.2307/2005662 . JSTOR 2005662 .

[galantai-4] Галантаи, А.; Хегедос, Кс. Дж. (2006). «Главные углы Джордана в комплексных векторных пространствах». Число. Приложение линейной алгебры . 13 (7): 589–598. CiteSeerX 10.1.1.329.7525 . дои : 10.1002/nla.491 . S2CID 13107400 .

[Halmos-5] Халмош, PR (1969), «Два подпространства», Пер. амер. Математика. Соц. , 144 : 381–389, doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251519-5

[KA06-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с Князев А.В.; Арджентати, Мэн (2006), «Мажоризация изменений углов между подпространствами, значениями Ритца и графическими лапласовскими спектрами», SIAM J. Matrix Anal. Прил. , 29 (1): 15–32, CiteSeerX 10.1.1.331.9770 , doi : 10.1137/060649070 , S2CID 16987402

[KJA-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с Князев А.В.; Джуджунашвили А.; Арджентати, МЭ (2010), «Углы между бесконечномерными подпространствами с применением к методам Рэлея-Ритца и попеременных проекторов», Journal of Functional Analysis , 259 (6): 1323–1345, arXiv : 0705.1023 , doi : 10.1016/j. jfa.2010.05.018 , S2CID 5570062

[QZL-8] Цю, Л.; Чжан, Ю.; Лизать. (2005), «Унитарно-инвариантные метрики в пространстве Грассмана» (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 27 (2): 507–531, doi : 10.1137/040607605

[Kato-9] Като, Д.Т. (1996), Теория возмущений для линейных операторов , Спрингер, Нью-Йорк

[KA02-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с Князев А.В.; Арджентати, Мэн (2002), «Основные углы между подпространствами в скалярном произведении на основе A: алгоритмы и оценки возмущений», SIAM Journal on Scientific Computing , 23 (6): 2009–2041, Bibcode : 2002SJSC...23.2008K , CiteSeerX 10.1.1.73.2914 , номер doi : 10.1137/S1064827500377332

[11] Подпространство октавной функции

[12] Функция линейной алгебры SciPy subspace_angles

[13] Подпространство функции MATLAB FileExchange

[14] Подпространство функции MATLAB FileExchangea

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]