Jump to content

Арифметика

Это хорошая статья. Нажмите здесь для получения дополнительной информации.
(Перенаправлено с Компьютерная арифметика )

Схема символов арифметических операций
Основными арифметическими действиями являются сложение, вычитание, умножение и деление.

Арифметика – элементарный раздел математики , изучающий числовые операции, такие как сложение , вычитание , умножение и деление . В более широком смысле сюда также входят возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование .

Арифметические системы можно различать по типу чисел, с которыми они работают. Целочисленная арифметика ограничивается вычислениями с положительными и отрицательными целыми числами . Арифметика рациональных чисел включает в себя операции над дробями , лежащими между целыми числами. Арифметика действительных чисел включает вычисления как с рациональными , так и с иррациональными числами и охватывает всю числовую строку .

Другое различие основано на системе счисления, используемой для выполнения вычислений. Десятичная арифметика является наиболее распространенной. используются основные цифры от 0 до 9 и их комбинации Для выражения чисел . Двоичная арифметика, напротив, используется большинством компьютеров и представляет числа как комбинации основных цифр 0 и 1. Некоторые арифметические системы работают с математическими объектами, отличными от чисел, например интервальная арифметика и матричная арифметика.

Арифметические операции составляют основу многих разделов математики, таких как алгебра , исчисление и статистика . Они играют аналогичную роль в таких науках , как физика и экономика . Арифметика присутствует во многих аспектах повседневной жизни , например, для расчета сдачи во время покупок или для управления личными финансами . Это одна из самых ранних форм математического образования , с которой сталкиваются студенты. Его когнитивные и концептуальные основы изучаются психологией и философией .

Практике арифметики насчитывает по меньшей мере тысячи, а возможно, и десятки тысяч лет. Древние цивилизации, такие как египтяне и шумеры, изобрели системы счисления для решения практических арифметических задач примерно в 3000 году до нашей эры. Начиная с VII и VI веков до нашей эры, древние греки начали более абстрактное изучение чисел и ввели метод строгих математических доказательств . Древние индийцы разработали концепцию нуля и десятичной системы , которую арабские математики в дальнейшем усовершенствовали и распространили в западном мире в средневековый период. Первые механические калькуляторы были изобретены в 17 веке. В XVIII и XIX веках развивается современная теория чисел и формулируются аксиоматические основы арифметики. В 20 веке появление электронных калькуляторов и компьютеров произвело революцию в точности и скорости выполнения арифметических вычислений.

Определение, этимология и смежные поля [ править ]

Арифметика – это фундаментальный раздел математики , изучающий числа и операции с ними. В частности, он занимается численными вычислениями с использованием арифметических операций сложения , вычитания , умножения и деления . [1] В более широком смысле сюда также входят возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование . [2] Корень термина «арифметика» происходит от латинского термина « arithmetica », который происходит от древнегреческих слов ἀριθμός (арифмос), означающих «число», и ἀριθμητική τέχνη (arithmetike tekhne), означающих «искусство счета». [3]

Существуют разногласия относительно его точного определения. Согласно узкой характеристике, арифметика имеет дело только с натуральными числами . [4] Однако более распространенная точка зрения состоит в том, чтобы включать в свою область действия операции с целыми , рациональными числами , действительными числами , а иногда и с комплексными числами . [5] Некоторые определения ограничивают арифметику областью числовых вычислений. [6] В более широком смысле оно включает также изучение того, как развивалось понятие числа , анализ свойств и отношений между числами, а также рассмотрение аксиоматической структуры арифметических операций. [7]

Арифметика тесно связана с теорией чисел , и некоторые авторы используют эти термины как синонимы. [8] Однако в более конкретном смысле теория чисел ограничивается изучением целых чисел и фокусируется на их свойствах и отношениях, таких как делимость , факторизация и простота . [9] Традиционно это известно как высшая арифметика. [10]

Числа [ править ]

Числа — это математические объекты, используемые для подсчета величин и измерения величин. Они являются фундаментальными элементами арифметики, поскольку все арифметические операции выполняются над числами. Существуют разные виды чисел и разные системы счисления для их представления. [11]

Виды [ править ]

Числовая линия, показывающая различные типы чисел
Различные типы чисел на числовой прямой . Целые числа окрашены в черный цвет, рациональные числа — в синий, а иррациональные числа — в зеленый.

Основными видами чисел, используемых в арифметике, являются натуральные числа , целые числа, целые числа , рациональные числа и действительные числа . [12] Натуральные числа – это целые числа, начинающиеся с 1 и идущие до бесконечности. Они исключают 0 и отрицательные числа. Они также известны как счетные числа и могут быть выражены как . Символом натуральных чисел является . [а] Целые числа идентичны натуральным числам с той лишь разницей, что они включают 0. Их можно представить как и иметь символ . [14] [б] Некоторые математики не проводят различия между натуральными и целыми числами, включая 0 в набор натуральных чисел. [16] Набор целых чисел включает как положительные, так и отрицательные целые числа. Он имеет символ и может быть выражено как . [17]

В зависимости от того, как используются натуральные и целые числа, их можно разделить на кардинальные и порядковые числа . Кардинальные числа, такие как один, два и три, — это числа, выражающие количество объектов. Они отвечают на вопрос «сколько?». Порядковые номера, такие как первый, второй и третий, указывают порядок или размещение в серии. Они отвечают на вопрос «какая должность?». [18]

Число является рациональным, если его можно представить как отношение двух целых чисел. Например, рациональное число образуется путем деления целого числа 1, называемого числителем, на целое число 2, называемое знаменателем. Другими примерами являются и . В множество рациональных чисел входят все целые числа, являющиеся дробями со знаменателем 1. Символом рациональных чисел является . [19] Десятичные дроби , такие как 0,3 и 25,12, представляют собой особый тип рациональных чисел, поскольку их знаменатель представляет собой степень 10. Например, 0,3 равно , а 25,12 равно . [20] Каждое рациональное число соответствует конечной или повторяющейся десятичной дроби . [21] [с]

Схема прямоугольного треугольника
Иррациональные числа иногда требуются для описания величин в геометрии . Например, длина гипотенузы прямоугольного треугольника иррациональна , если длина его катетов равна 1.

Иррациональные числа – это числа, которые невозможно выразить через отношение двух целых чисел. Они часто требуются для описания геометрических величин. Например, если катет прямоугольного треугольника равен 1, то длина его гипотенузы определяется иррациональным числом. . π отношение окружности длины – еще одно иррациональное число, описывающее к ее диаметру . [22] Десятичное представление иррационального числа бесконечно без повторяющихся десятичных знаков. [23] Множество рациональных чисел вместе с множеством иррациональных чисел составляют множество действительных чисел. Символ действительных чисел . [24] Еще более широкие классы чисел включают комплексные числа и кватернионы . [25]

Системы счисления [ править ]

Цифра — это символ , обозначающий число, а системы счисления — это системы представления. [26] Обычно они имеют ограниченное количество основных цифр, которые напрямую относятся к определенным числам. Система определяет, как эти основные цифры могут быть объединены для выражения любого числа. [27] Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. Все ранние системы счисления были непозиционными. [28] Для непозиционных систем счисления значение цифры не зависит от ее положения в числительном. [29]

Диаграмма, показывающая подсчетные отметки
Фото счетных палочек
В метках и некоторых метках используется непозиционная унарная система счисления .

Простейшей непозиционной системой счисления является унарная система счисления . Он основан на одном символе числа 1. Все более высокие числа записываются путем повторения этого символа. Например, число 7 можно представить, повторив символ 1 семь раз. Эта система затрудняет запись больших чисел, поэтому многие непозиционные системы включают дополнительные символы для непосредственного представления больших чисел. [30] Вариации унарной системы счисления используются в счетных палочках с вмятинами и в счетных метках . [31]

Схема иероглифических цифр
Иероглифические цифры от 1 до 10 000. [32]

Египетские иероглифы имели более сложную непозиционную систему счисления . У них есть дополнительные символы для чисел, таких как 10, 100, 1000 и 10 000. Эти символы можно объединить в сумму для более удобного выражения больших чисел. Например, в цифре 10 405 один раз используется символ 10 000, четыре раза — символ 100 и пять раз — символ 1. Аналогичной хорошо известной структурой является римская система счисления . В качестве основных цифр для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются символы I, V, X, L, C, D, M. [33]

Система счисления является позиционной, если положение основного числительного в сложном выражении определяет его значение. Позиционные системы счисления имеют систему счисления , которая действует как множимое различных позиций. Для каждой последующей позиции система счисления возводится в более высокую степень. В общей десятичной системе счисления, также называемой индуистско-арабской системой счисления , основание системы счисления равно 10. Это означает, что первая цифра умножается на , следующая цифра умножается на , и так далее. Например, десятичная цифра 532 означает . Из-за влияния положения цифр цифра 532 отличается от цифр 325 и 253, хотя цифры у них одинаковые. [34]

Другая позиционная система счисления, широко используемая в компьютерной арифметике, — это двоичная система счисления , имеющая основание 2. Это означает, что первая цифра умножается на , следующая цифра через , и так далее. Например, число 13 в двоичной системе записи записывается как 1101, что означает . В вычислительной технике каждая цифра двоичной записи соответствует одному биту . [35] Самая ранняя позиционная система была разработана древними вавилонянами и имела систему счисления 60. [36]

Операции [ править ]

Схема сложения
Схема деления
Арифметические операции лежат в основе многих повседневных явлений, например, когда складываются четыре яблока из одного мешка вместе с тремя яблоками из другого мешка (верхнее изображение) или когда поровну распределяются девять яблок между тремя детьми (нижнее изображение).

Арифметические операции — это способы объединения, преобразования или манипулирования числами. Это функции , которые имеют числа как на входе, так и на выходе. [37] Важнейшими операциями арифметики являются сложение , вычитание , умножение и деление . [38] Дальнейшие операции включают возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование . [39] Если эти операции выполняются над переменными, а не над числами, их иногда называют алгебраическими операциями . [40]

Двумя важными понятиями в отношении арифметических операций являются тождественные элементы и обратные элементы . Элемент идентификации или нейтральный элемент операции не вызывает никаких изменений, если он применяется к другому элементу. Например, единичным элементом сложения является 0, поскольку любая сумма числа и 0 дает одно и то же число. Инверсный элемент — это элемент, который в результате объединения с другим элементом образует идентификационный элемент. Например, аддитивное число , обратное числу 6, равно -6, поскольку их сумма равна 0. [41]

Существуют не только обратные элементы, но и обратные операции . В неформальном смысле одна операция является обратной другой операции, если она отменяет первую операцию. Например, вычитание является обратным сложению, поскольку число возвращается к исходному значению, если второе число сначала добавляется, а затем вычитается, как в . Если определить более формально, то операция " " является обратной операцией " ", если оно удовлетворяет следующему условию: тогда и только тогда, когда . [42]

Коммутативность и ассоциативность — это законы, определяющие порядок выполнения некоторых арифметических операций. Операция является коммутативной, если порядок аргументов можно изменить, не влияя на результат. Так обстоит дело, например, с добавлением то же самое, что . Ассоциативность — это правило, влияющее на порядок выполнения ряда операций. Операция называется ассоциативной, если в серии из двух операций не имеет значения, какая операция выполняется первой. Так обстоит дело, например, с умножением, поскольку то же самое, что . [43]

Сложение и вычитание [ править ]

Диаграмма, показывающая сложение
Диаграмма, показывающая вычитание
Сложение и вычитание

Сложение — это арифметическая операция, при которой два числа, называемые слагаемыми, объединяются в одно число, называемое суммой. Символом сложения является . Примеры: и . [44] Термин суммирование используется, если подряд выполняется несколько сложений. [45] Счет — это тип повторяющегося сложения, при котором непрерывно прибавляется число 1. [46]

Вычитание является обратным действием сложения. В нем одно число, называемое вычитаемым, вычитается из другого, называемого вычитаемым. Результат этой операции называется разницей. Символ вычитания . [47] Примеры: и . Вычитание часто рассматривают как частный случай сложения: вместо вычитания положительного числа можно прибавить и отрицательное число. Например . Это помогает упростить математические вычисления за счет уменьшения количества основных арифметических операций, необходимых для выполнения вычислений. [48]

Аддитивный единичный элемент равен 0, а аддитивное обратное число является отрицательным для этого числа. Например, и . Сложение бывает как коммутативным, так и ассоциативным. [49]

Умножение и деление [ править ]

Диаграмма, показывающая умножение
Диаграмма, показывающая разделение
Умножение и деление

Умножение — это арифметическая операция, при которой два числа, называемые множителем и множимым, объединяются в одно число, называемое произведением . [50] [д] Символами умножения являются , , и *. Примеры: и . Если множимое является натуральным числом, то умножение аналогично многократному сложению, как в . [52]

Деление является обратным действием умножения. В нем одно число, известное как делимое, разбивается на несколько равных частей другим числом, называемым делителем. Результат этой операции называется фактором . Символами деления являются и . Примеры: и . [53] Деление часто рассматривается как частный случай умножения: вместо деления на число можно также умножить на обратное ему число . Обратное число равно 1, разделенному на это число. Например, . [54]

Мультипликативный единичный элемент равен 1, а мультипликативное обратное число является обратным этому числу. Например, и . Умножение бывает коммутативным и ассоциативным. [55]

Возведение в степень и логарифм [ править ]

Диаграмма, показывающая возведение в степень
Диаграмма, показывающая логарифм
Возведение в степень и логарифм

Возведение в степень — это арифметическая операция, при которой число, известное как основание, возводится в степень другого числа, известного как показатель степени. Результат этой операции называется мощностью. Возведение в степень иногда выражается с помощью символа ^, но более распространенным способом является запись показателя степени в верхнем индексе сразу после основания. Примеры: и ^ . Если показатель степени является натуральным числом, то возведение в степень аналогично многократному умножению, как в . [56] [и]

Корни — это особый тип возведения в степень с использованием дробного показателя. Например, извлечение квадратного корня из числа — это то же самое, что возведение числа в степень. а кубический корень из числа — это то же самое, что возведение числа в степень . Примеры: и . [58]

Логарифм является обратным возведению в степень. Логарифм числа на базу является показателем , которому необходимо поднять, чтобы произвести . Например, поскольку , логарифм по основанию 10 от 1000 равен 3. Логарифм базировать обозначается как , или без скобок, , или даже без явной базы, , когда основу можно понять из контекста. Итак, предыдущий пример можно записать . [59]

Возведение в степень и логарифм не имеют общих элементов тождества и обратных элементов, таких как сложение и умножение. Нейтральный элемент возведения в степень по отношению к показателю равен 1, как в . Однако возведение в степень не имеет общего единичного элемента, поскольку 1 не является нейтральным элементом для основания. [60] Возведение в степень и логарифм не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. [61]

Типы [ править ]

В научной литературе обсуждаются различные типы арифметических систем. Они отличаются друг от друга в зависимости от того, с каким типом чисел они работают, какую систему счисления они используют для их представления и работают ли они с математическими объектами, отличными от чисел. [62]

Целочисленная арифметика [ править ]

Схема метода числовых линий
Используя метод числовых линий, вычисляем выполняется, начиная с начала числовой прямой, а затем перемещая пять единиц вправо для первого сложения. Результат достигается перемещением еще двух единиц вправо для второго слагаемого.

Целочисленная арифметика — это раздел арифметики, который занимается операцией с положительными и отрицательными целыми числами. [63] Простые операции с одной цифрой можно выполнять, следуя или запоминая таблицу, в которой представлены результаты всех возможных комбинаций, например таблицу сложения или таблицу умножения . Другими распространенными методами являются устный счет и подсчет пальцев . [64]

Таблица сложения
+ 0 1 2 3 4 ...
0 0 1 2 3 4 ...
1 1 2 3 4 5 ...
2 2 3 4 5 6 ...
3 3 4 5 6 7 ...
4 4 5 6 7 8 ...
... ... ... ... ... ... ...
Таблица умножения
× 0 1 2 3 4 ...
0 0 0 0 0 0 ...
1 0 1 2 3 4 ...
2 0 2 4 6 8 ...
3 0 3 6 9 12 ...
4 0 4 8 12 16 ...
... ... ... ... ... ... ...
Схема сложения с переносом
Пример сложения с переносом . Черные числа — это сложение, зеленое число — перенос, а синее число — сумма.

Для операций с числами, состоящими более чем из одной цифры, можно использовать различные методы для вычисления результата, используя несколько операций с одной цифрой подряд. Например, в методе сложения с переносами два числа пишутся одно над другим. Каждая пара цифр суммируется, начиная с самой правой цифры. Под ними пишется самая правая цифра суммы. Если сумма представляет собой двузначное число, то самая левая цифра, называемая «переносом», добавляется к следующей паре цифр слева. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будут добавлены все цифры. [65] Другими методами, используемыми для сложения целых чисел, являются метод числовой прямой , метод частичной суммы и метод компенсации. [66] Аналогичный метод используется для вычитания: он также начинается с самой правой цифры и использует «заимствование» или отрицательный перенос для столбца слева, если результат вычитания одной цифры отрицательный. [67]

Схема длинного умножения
Пример длинного умножения . Черные числа — это множитель и множимое. Зеленые числа — это промежуточные продукты, полученные путем умножения множителя только на одну цифру множимого. Синее число — это общий продукт, рассчитанный путем сложения промежуточных продуктов.

Базовый метод целочисленного умножения предполагает многократное сложение. Например, продукт можно рассчитать как . [68] Распространенный метод умножения больших чисел называется длинным умножением . Этот метод начинается с записи множителя над множимым. Расчет начинается с умножения множителя только на самую правую цифру множимого и записи результата ниже, начиная с крайнего правого столбца. То же самое проделывается с каждой цифрой множимого и результат в каждом случае сдвигается на одну позицию влево. На последнем этапе все отдельные продукты складываются, чтобы получить общий продукт двух многозначных чисел. [69] Другими методами, используемыми для умножения, являются метод сетки и метод решетки . [70] Информатика заинтересована в алгоритмах умножения с низкой вычислительной сложностью , позволяющих эффективно умножать очень большие целые числа, таких как алгоритм Карацубы , алгоритм Шенхаге-Штрассена и алгоритм Тума-Кука . [71] Распространенный метод деления называется длинным делением . Другие методы включают короткое деление и фрагментирование . [72]

Целочисленная арифметика не является замкнутой при делении. Это означает, что при делении одного целого числа на другое результат не всегда является целым числом. Например, 7 разделить на 2 — это не целое число, а 3,5. [73] Один из способов гарантировать, что результат является целым числом, — округлить результат до целого числа. Однако этот метод приводит к неточностям, поскольку исходное значение изменяется. [74] Другой метод — выполнить деление только частично и сохранить остаток . Например, 7 разделить на 2 — это 3 с остатком 1. Этих трудностей можно избежать с помощью арифметики рациональных чисел, которая позволяет точно представлять дроби. [75]

Простой метод вычисления возведения в степень — многократное умножение. Например, возведение в степень можно рассчитать как . [76] Более эффективный метод, используемый для больших показателей степени, — это возведение в степень возведением в квадрат . Он разбивает вычисление на ряд операций возведения в квадрат. Например, возведение в степень можно записать как . Используя преимущества повторяющихся операций возведения в квадрат, потребуется всего 7 отдельных операций, а не 64 операции, необходимые для обычного повторного умножения. [77] Методы вычисления логарифмов включают ряд Тейлора и цепные дроби . [78] Целочисленная арифметика не замкнута при логарифме и возведении в степень с отрицательными показателями, а это означает, что результат этих операций не всегда является целым числом. [79]

Теория чисел [ править ]

Теория чисел изучает структуру и свойства целых чисел, а также отношения и законы между ними. [80] Некоторые из основных разделов современной теории чисел включают элементарную теорию чисел , аналитическую теорию чисел , алгебраическую теорию чисел и геометрическую теорию чисел . [81] Элементарная теория чисел изучает аспекты целых чисел, которые можно исследовать с помощью элементарных методов. Его темы включают делимость , факторизацию и простоту . [82] Аналитическая теория чисел, напротив, опирается на методы анализа и исчисления. В нем рассматриваются такие проблемы, как распределение простых чисел и утверждение, что каждое четное число является суммой двух простых чисел . [83] Алгебраическая теория чисел использует алгебраические структуры для анализа свойств и отношений между числами. Примерами являются использование полей и колец , например, в полях алгебраических чисел, таких как кольцо целых чисел . Теория геометрических чисел использует понятия геометрии для изучения чисел. Например, он исследует, как точки решетки с целочисленными координатами ведут себя на плоскости. [84] Дальнейшие разделы теории чисел — вероятностная теория чисел , в которой используются методы теории вероятностей . [85] комбинаторная теория чисел , которая опирается на область комбинаторики , [86] вычислительная теория чисел , которая подходит к теоретико-числовым задачам с помощью вычислительных методов, [87] и прикладная теория чисел, которая исследует применение теории чисел в таких областях, как физика , биология и криптография . [88]

Влиятельные теоремы в теории чисел включают фундаментальную теорему арифметики , теорему Евклида и последнюю теорему Ферма . [89] Согласно фундаментальной теореме арифметики, каждое целое число больше 1 является либо простым числом, либо может быть представлено в виде уникального произведения простых чисел. Например, число 18 не является простым числом и его можно представить как , все из которых являются простыми числами. Число 19 , напротив, является простым числом, не имеющим другой простой факторизации. [90] Теорема Евклида утверждает, что существует бесконечно много простых чисел. [91] Последняя теорема Ферма — это утверждение, что для , , и , чтобы решить уравнение если больше, чем . [92]

Арифметика рациональных чисел [ править ]

Арифметика рациональных чисел — это раздел арифметики, который занимается манипулированием числами, которые можно выразить как отношение двух целых чисел. [93] Большинство арифметических операций над рациональными числами можно вычислить, выполнив серию целочисленных арифметических операций над числителями и знаменателями участвующих чисел. Если два рациональных числа имеют одинаковый знаменатель, то их можно сложить, сложив числители и сохранив общий знаменатель. Например, . Аналогичная процедура используется и для вычитания. Если у двух чисел разные знаменатели, их необходимо преобразовать, чтобы найти общий знаменатель. Этого можно достичь путем масштабирования первого числа со знаменателем второго числа и масштабирования второго числа со знаменателем первого числа. Например, . [94]

Два рациональных числа умножаются путем умножения их числителей и знаменателей соответственно, как в . Разделить одно рациональное число на другое можно, умножив первое число на обратное второму числу. Это означает, что числитель и знаменатель второго числа меняют положение. Например, . [95] В отличие от целочисленной арифметики, арифметика рациональных чисел замкнута относительно деления до тех пор, пока делитель не равен 0. [96]

И целочисленная арифметика, и арифметика рациональных чисел не замкнуты при возведении в степень и логарифме. [97] Один из способов вычисления возведения в степень с дробным показателем - выполнить два отдельных вычисления: одно возведение в степень с использованием числителя показателя, а затем извлечь корень n-й степени из результата на основе знаменателя показателя. Например, . Первую операцию можно выполнить, используя такие методы, как повторное умножение или возведение в степень возведением в квадрат. Один из способов получить приблизительный результат для второй операции — использовать метод Ньютона , который использует ряд шагов для постепенного уточнения первоначального предположения, пока оно не достигнет желаемого уровня точности. [98] Ряд Тейлора или метод цепных дробей можно использовать для вычисления логарифмов. [99]

Обозначение десятичной дроби — это особый способ представления рациональных чисел, знаменатель которых равен степени 10. Например, рациональные числа , , и записываются как 0,1, 3,71 и 0,0044 в формате десятичной дроби. [100] Модифицированные версии методов вычисления целых чисел, такие как сложение с переносом и длинное умножение, можно применять к вычислениям с десятичными дробями. [101] Не все рациональные числа имеют конечное представление в десятичной системе счисления. Например, рациональное число соответствует 0,333... с бесконечным числом троек. Сокращенное обозначение этого типа повторяющейся десятичной дроби 0.3 . [102] Каждая повторяющаяся десятичная дробь выражает рациональное число. [103]

Арифметика действительных чисел [ править ]

Арифметика действительных чисел — это раздел арифметики, который занимается манипулированием как рациональными, так и иррациональными числами. Иррациональные числа — это числа, которые нельзя выразить через дроби или повторяющиеся десятичные дроби, например, корень из 2 и π . [104] В отличие от арифметики рациональных чисел, арифметика действительных чисел замкнута при возведении в степень, если в качестве основы используется положительное число. То же самое верно и для логарифма положительных действительных чисел, если основание логарифма положительное, а не 1. [105]

Иррациональные числа представляют собой бесконечный неповторяющийся ряд десятичных цифр. Из-за этого часто не существует простого и точного способа выразить результаты арифметических операций, таких как или . [106] В тех случаях, когда абсолютная точность не требуется, проблему вычисления арифметических операций над действительными числами обычно решают путем усечения или округления . При усечении определенное количество крайних левых цифр сохраняется, а оставшиеся цифры отбрасываются или заменяются нулями. Например, число π имеет бесконечное количество цифр, начиная с 3,14159.... Если это число усечь до 4 десятичных знаков, результат будет 3,141. Округление — это аналогичный процесс, в котором последняя сохраненная цифра увеличивается на единицу, если следующая цифра равна 5 или больше, но остается той же, если следующая цифра меньше 5, так что округленное число является лучшим приближением заданной точности для исходный номер. Например, если число π округлить до 4 десятичных знаков, результат будет 3,142, поскольку следующая цифра — 5, поэтому 3,142 ближе к π, чем 3,141. [107] Эти методы позволяют компьютерам эффективно выполнять приблизительные вычисления с действительными числами. [108]

Приближения и ошибки [ править ]

В науке и технике числа представляют собой оценки физических величин, полученные в результате измерений или моделирования. В отличие от математически точных чисел, таких как π или , научно значимые числовые данные по своей сути неточны, что приводит к некоторой неопределенности измерений . [109] Один из основных способов выразить степень уверенности в значении каждого числа и избежать ложной точности — округлить каждое измерение до определенного количества цифр, называемых значащими цифрами , которые считаются точными. Например, рост человека, измеренный рулеткой , может быть известен только с точностью до сантиметра, поэтому его следует представлять как 1,62 метра, а не 1,6217 метра. При преобразовании в британские единицы эту величину следует округлить до 64 дюймов или 63,8 дюйма, а не до 63,7795 дюйма, чтобы четко передать точность измерения. Когда число записано с использованием обычной десятичной записи, ведущие нули не имеют значения, а конечные нули чисел, не записанных с десятичной точкой, неявно считаются незначащими. [110] Например, числа 0,056 и 1200 имеют только по 2 значащие цифры, а число 40,00 имеет 4 значащие цифры. Представление неопределенности с использованием только значащих цифр — относительно грубый метод с некоторыми неинтуитивными тонкостями; явное отслеживание оценки или верхней границы ошибки аппроксимации является более сложным подходом. [111] В этом примере рост человека может быть представлен как 1,62 ± 0,005 метра или 63,8 ± 0,2 дюйма . [112]

При выполнении расчетов с неопределенными величинами неопределенность должна распространяться на рассчитанные величины. При сложении или вычитании двух или более величин сложите абсолютные неопределенности каждого слагаемого, чтобы получить абсолютную неопределенность суммы. При умножении или делении двух или более величин сложите относительные неопределенности каждого фактора, чтобы получить относительную неопределенность продукта. [113] При представлении неопределенности значащими цифрами неопределенность может быть грубо распространена путем округления результата сложения или вычитания двух или более величин до крайнего левого последнего значащего десятичного знака среди слагаемых, а также путем округления результата умножения или деления двух или более величин до наименьшее количество значащих цифр среди факторов. [114] (См. «Значительные цифры § Арифметика ».)

Более сложные методы работы с неопределенными значениями включают интервальную арифметику и аффинную арифметику . Интервальная арифметика описывает операции с интервалами . Интервалы можно использовать для представления диапазона значений, если точная величина неизвестна, например, из-за ошибок измерения . Интервальная арифметика включает в себя такие операции, как сложение и умножение интервалов, например и . [115] Она тесно связана с аффинной арифметикой, целью которой является получение более точных результатов путем выполнения вычислений над аффинными формами, а не над интервалами. Аффинная форма — это число вместе с погрешностями, которые описывают, как число может отклоняться от фактической величины. [116]

Точность числовых величин можно выразить единообразно, используя нормализованную экспоненциальную запись , которая также удобна для краткого представления чисел, которые намного больше или меньше 1. Используя экспоненциальную запись, число разлагается на произведение числа от 1 до 10, называется мантиссой , а 10 возводится в некоторую целочисленную степень, называемую экспонентой . Мантисса состоит из значащих цифр числа и записывается в виде первой цифры 1–9, за которой следует десятичная точка и последовательность цифр 0–9. Например, нормализованное научное обозначение числа 8276000 имеет вид с мантиссой 8,276 и показателем 6, а нормализованное научное обозначение числа 0,00735 равно с мантиссой 7,35 и показателем -3. [117] В отличие от обычной десятичной записи, где конечные нули больших чисел неявно считаются несущественными, в научной записи каждая цифра мантиссы считается значимой, а добавление конечных нулей указывает на более высокую точность. Например, хотя число 1200 неявно имеет только 2 значащие цифры, число явно имеет 3. [118]

Распространенный метод, используемый компьютерами для аппроксимации арифметики действительных чисел, называется арифметикой с плавающей запятой . Он представляет действительные числа, аналогичные научным обозначениям, через три числа: мантиссу, основание и показатель степени. [119] Точность мантиссы ограничена количеством битов, выделенных для ее представления. Если в результате арифметической операции получается число, для которого требуется больше бит, чем доступно, компьютер округляет результат до ближайшего представимого числа. Это приводит к ошибкам округления . [120] Следствием такого поведения является то, что некоторые законы арифметики нарушаются арифметикой с плавающей запятой. Например, сложение чисел с плавающей запятой не является ассоциативным, поскольку вносимые ошибки округления могут зависеть от порядка сложения. Это означает, что результат иногда отличается от результата . [121] Самый распространенный технический стандарт, используемый для арифметики с плавающей запятой, называется IEEE 754 . Помимо прочего, он определяет, как представляются числа, как выполняются арифметические операции и округления, а также как обрабатываются ошибки и исключения. [122] В случаях, когда скорость вычислений не является ограничивающим фактором, можно использовать арифметику произвольной точности , для которой точность вычислений ограничивается только памятью компьютера. [123]

Использование инструмента [ править ]

Картина учеников, занимающихся ментальной арифметикой.
Вычисления в ментальной арифметике производятся исключительно в уме, не опираясь на внешние средства.

Формы арифметики также можно отличить по инструментам, используемым для выполнения вычислений, и включают в себя множество подходов, помимо регулярного использования ручки и бумаги. Ментальная арифметика опирается исключительно на разум без внешних инструментов. Вместо этого он использует визуализацию, запоминание и определенные методы вычислений для решения арифметических задач. [124] Одним из таких методов является метод компенсации, который заключается в изменении чисел, чтобы упростить расчет, а затем в корректировке результата. Например, вместо вычисления , вычисляется что проще, поскольку используется круглое число. На следующем этапе добавляется к результату, чтобы компенсировать предыдущую настройку. [125] Ментальную арифметику часто преподают в начальной школе для тренировки числовых способностей учащихся. [126]

Человеческое тело также можно использовать в качестве арифметического инструмента. с использованием рук при счете пальцев, Маленьких детей часто знакомят чтобы научить их цифрам и простым расчетам. В самой базовой форме количество вытянутых пальцев соответствует представленному количеству, а арифметические операции, такие как сложение и вычитание, выполняются путем вытягивания или втягивания пальцев. Эта система ограничена небольшими числами, в то время как более продвинутые системы используют другие подходы и для представления больших количеств. [127] Человеческий голос используется в качестве арифметического средства при словесном счете. [128]

Фото китайских счетов
Счеты – это инструменты для выполнения арифметических операций путем перемещения бусинок.

Метки представляют собой простую систему, основанную на внешних инструментах, отличных от тела. Он основан на штрихах, нарисованных на поверхности, или насечках на деревянной палочке, чтобы отслеживать количество. В некоторых формах меток штрихи располагаются группами по пять, чтобы их было легче читать. [129] Счеты — это более совершенный инструмент для представления чисел и выполнения вычислений. Счеты обычно состоят из ряда стержней, на каждой из которых находится несколько бусин . Каждая бусина представляет собой количество, которое засчитывается, если бусину переместить от одного конца стержня к другому. Расчеты происходят путем изменения положения бусинок до тех пор, пока окончательный рисунок бусинок не покажет результат. [130] Сопутствующие вспомогательные средства включают в себя счетные доски , на которых используются жетоны, ценность которых зависит от области на доске, на которой они размещены. [131] и счетные стержни , которые расположены горизонтально и вертикально для обозначения разных чисел. [132] [ф] Секторы и логарифмические линейки — это более совершенные вычислительные инструменты, которые основаны на геометрических отношениях между различными масштабами для выполнения как основных, так и сложных арифметических операций. [134] [г] Печатные таблицы были особенно полезны для поиска результатов таких операций, как логарифмирование и тригонометрические функции . [136]

Механические калькуляторы автоматизируют процессы ручных вычислений. Они предоставляют пользователю некое устройство ввода для ввода чисел, поворачивая циферблаты или нажимая клавиши. Они включают в себя внутренний механизм, обычно состоящий из шестерен , рычагов и колес для выполнения вычислений и отображения результатов. [137] Для электронных калькуляторов и компьютеров эта процедура дополнительно уточняется путем замены механических компонентов электронными схемами , такими как процессоры , которые объединяют и преобразуют электрические сигналы для выполнения вычислений. [138]

Другие [ править ]

Схема модульной арифметики с использованием часов
Пример модульной арифметики с использованием часов: после прибавления 4 часов к 9 часам стрелка снова начинается сначала и указывает на 1 час.

Есть много других видов арифметики. Модульная арифметика оперирует конечным набором чисел. Если в результате операции получится число, выходящее за пределы этого конечного набора, то это число возвращается обратно в набор, подобно тому, как стрелки часов снова начинают сначала после завершения одного цикла. Число, при котором происходит эта регулировка, называется модулем. Например, обычные часы имеют модуль 12. В случае прибавления 4 к 9 это означает, что результатом будет не 13, а 1. Тот же принцип применим и к другим операциям, таким как вычитание, умножение и деление. [139]

Некоторые формы арифметики связаны с операциями, выполняемыми над математическими объектами, отличными от чисел. Интервальная арифметика описывает операции с интервалами. [140] Векторная арифметика и матричная арифметика описывают арифметические операции над векторами и матрицами , такие как сложение векторов и умножение матриц . [141]

Арифметические системы можно классифицировать в зависимости от системы счисления, на которой они основаны. Например, десятичная арифметика описывает арифметические операции в десятичной системе. Другими примерами являются двоичная арифметика, восьмеричная арифметика и шестнадцатеричная арифметика. [142]

Арифметика составных единиц описывает арифметические операции, выполняемые над величинами с составными единицами. Он включает в себя дополнительные операции для управления преобразованием между количествами отдельных единиц и составных единиц. Например, операция редукции используется для преобразования составного количества 1 час 90 минут в единичное количество 150 минут. [143]

Недиофантова арифметика — это арифметические системы, которые нарушают традиционную арифметическую интуицию и включают такие уравнения, как и . [144] Их можно использовать для представления некоторых реальных ситуаций в современной физике и повседневной жизни. Например, уравнение может использоваться для описания наблюдения о том, что если одну каплю дождя добавить к другой капле дождя, они не останутся двумя отдельными сущностями, а станут одним целым. [145]

Аксиоматические основы [ править ]

Аксиоматические основы арифметики пытаются обеспечить небольшой набор законов, называемых аксиомами , из которых могут быть выведены все фундаментальные свойства чисел и операции над числами. Они представляют собой логически последовательные и систематические основы, которые можно использовать для формулировки математических доказательств строгой . Двумя хорошо известными подходами являются аксиомы Дедекинда – Пеано и теоретико-множественные конструкции. [146]

Аксиомы Дедекинда – Пеано обеспечивают аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Их основные принципы были впервые сформулированы Рихардом Дедекиндом , а позднее уточнены Джузеппе Пеано . Они полагаются лишь на небольшое количество примитивных математических понятий, таких как 0, натуральное число и преемник . [час] Аксиомы Пеано определяют, как эти понятия связаны друг с другом. Все остальные арифметические понятия затем могут быть определены в терминах этих примитивных понятий. [147]

  1. 0 – натуральное число.
  2. У каждого натурального числа есть преемник, который также является натуральным числом.
  3. Последователи двух разных натуральных чисел никогда не бывают идентичными.
  4. 0 не является преемником натурального числа.
  5. Если набор содержит 0 и всех его преемников, то он содержит все натуральные числа. [148] [я]

Числа больше 0 выражаются повторным применением функции-преемника. . Например, является и является . Арифметические операции можно определить как механизмы, влияющие на применение функции-преемника. Например, чтобы добавить к любому числу — это то же самое, что дважды применить функцию-преемник к этому числу. [150]

Различные аксиоматизации арифметики опираются на теорию множеств. Они охватывают натуральные числа, но также могут быть распространены на целые, рациональные и действительные числа. Каждое натуральное число представлено уникальным набором. 0 обычно определяется как пустой набор . Каждое последующее число можно определить как объединение предыдущего числа с множеством, содержащим предыдущее число. Например, , , и . [151] Целые числа можно определить как упорядоченные пары натуральных чисел, в которых второе число вычитается из первого. Например, пара (9, 0) представляет число 9, а пара (0, 9) представляет число -9. [152] Рациональные числа определяются как пары целых чисел, где первое число представляет собой числитель, а второе число представляет собой знаменатель. Например, пара (3, 7) представляет рациональное число . [153] Один из способов построения действительных чисел основан на концепции дедекиндовых сокращений . Согласно этому подходу, каждое действительное число представляется разделением всех рациональных чисел на два набора: один для всех чисел ниже представленного действительного числа, а другой для остальных. [154] Арифметические операции определяются как функции, которые выполняют различные теоретико-множественные преобразования над множествами, представляющими входные числа, для получения набора, представляющего результат. [155]

История [ править ]

Фотография кости Ишанго
Некоторые историки интерпретируют кость Ишанго как один из самых ранних арифметических артефактов.

Самые ранние формы арифметики иногда восходят к счету и счетным меткам, используемым для учета количества. Некоторые историки предполагают, что кость Лебомбо (датированная примерно 43 000 лет назад) и кость Ишанго (датированная примерно 22 000–30 000 лет назад) являются древнейшими арифметическими артефактами, но эта интерпретация оспаривается. [156] Однако базовое чувство чисел могло предшествовать этим открытиям и могло даже существовать до развития языка. [157]

Лишь с появлением древних цивилизаций , начиная примерно с 3000 г. до н. э., начал развиваться более сложный и структурированный подход к арифметике. Это стало необходимым из-за возросшей необходимости отслеживать хранящиеся предметы, управлять землевладением и организовывать обмены. [158] Все основные древние цивилизации разработали непозиционные системы счисления для облегчения представления чисел. У них также были символы для таких операций, как сложение и вычитание, и они знали дроби. Примерами являются египетские иероглифы , а также системы счисления, изобретенные в Шумере , Китае и Индии . [159] Первая позиционная система счисления была разработана вавилонянами примерно в 1800 году до нашей эры. Это было значительным улучшением по сравнению с более ранними системами счисления, поскольку делало представление больших чисел и вычисления над ними более эффективными. [160] Счеты использовались как ручные вычислительные инструменты с древних времен как эффективное средство для выполнения сложных вычислений. [161]

Ранние цивилизации в основном использовали числа для конкретных практических целей, таких как коммерческая деятельность и налоговый учет, но у них не было абстрактной концепции самого числа. [162] Ситуация изменилась с появлением древнегреческих математиков , которые начали исследовать абстрактную природу чисел, а не изучать, как они применяются к конкретным задачам. [163] Еще одной новой особенностью было использование доказательств для установления математических истин и подтверждения теорий. [164] Еще одним вкладом стало различие различных классов чисел, таких как четные , нечетные и простые числа . [165] Это включало открытие того, что числа для определенных геометрических длин иррациональны и поэтому не могут быть выражены в виде дроби. [166] Работы Фалеса Милетского и Пифагора VII и VI веков до нашей эры часто считаются началом греческой математики. [167] Диофант был влиятельной фигурой в греческой арифметике в III веке до нашей эры благодаря его многочисленным вкладам в теорию чисел и исследованию применения арифметических операций к алгебраическим уравнениям . [168]

Древние индийцы были первыми, кто разработал концепцию нуля как числа, используемого в вычислениях. Точные правила его работы были записаны Брахмагуптой примерно в 628 году нашей эры. [169] Понятие «ноль или ничего» существовало задолго до этого, но оно не считалось объектом арифметических операций. [170] Брахмагупта далее подробно обсудил вычисления с отрицательными числами и их применение к таким проблемам, как кредит и долг. [171] Сама концепция отрицательных чисел значительно старше и впервые была исследована в китайской математике в первом тысячелетии до нашей эры. [172]

Индийские математики также разработали позиционную десятичную систему, используемую сегодня, в частности концепцию нулевой цифры вместо пустых или недостающих позиций. [173] Например, подробное описание его деятельности было предоставлено Арьябхатой примерно на рубеже VI века нашей эры. [174] Индийская десятичная система была дополнительно усовершенствована и расширена до нецелых чисел во время Золотого века ислама арабскими математиками, такими как Аль-Хорезми . Его работа оказала влияние на внедрение десятичной системы счисления в западный мир, который в то время опирался на римскую систему счисления . [175] Там ее популяризировали такие математики, как Леонардо Фибоначчи , который жил в 12 и 13 веках и также разработал последовательность Фибоначчи . [176] В средние века и эпоху Возрождения было опубликовано множество популярных учебников, посвященных практическим расчетам в торговле. В этот период также стало широко распространено использование счетов. [177] В 16 веке математик Джероламо Кардано придумал концепцию комплексных чисел как способ решения кубических уравнений . [178]

Фотография ступенчатого счетчика Лейбница.
Лейбница Ступенчатый счётчик был первым калькулятором, который мог выполнять все четыре арифметических действия. [179]

Первые механические калькуляторы были разработаны в 17 веке и значительно облегчили сложные математические вычисления, такие как Блеза Паскаля и калькулятор ступенчатый Готфрида Вильгельма Лейбница счётчик . [180] открыл логарифм Непер В 17 веке Джон . [181]

В XVIII и XIX веках такие математики, как Леонард Эйлер и Карл Фридрих Гаусс, заложили основы современной теории чисел. [182] Еще одно событие этого периода касалось работ по формализации и основам арифметики, таких как Георга Кантора и теория множеств аксиомы Дедекинда-Пеано, используемые в качестве аксиоматизации арифметики натуральных чисел. [183] Компьютеры и электронные калькуляторы были впервые разработаны в 20 веке. Их широкое использование произвело революцию как в точности, так и в скорости, с которой могут быть выполнены даже сложные арифметические вычисления. [184]

В различных областях [ править ]

Образование [ править ]

Обучение арифметике является частью начального образования . Это одна из первых форм математического образования , с которой сталкиваются дети. Цель элементарной арифметики — дать учащимся базовое представление о числах и познакомить их с фундаментальными числовыми операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. [185] Обычно его вводят в отношении конкретных сценариев, таких как подсчет бусинок , разделение класса на группы детей одинакового размера и расчет сдачи при покупке товаров. Обычными инструментами раннего арифметического обучения являются числовые линии , таблицы сложения и умножения, счетные кубики и счеты. [186]

На более поздних этапах основное внимание уделяется более абстрактному пониманию и знакомству учащихся с различными типами чисел, такими как отрицательные числа, дроби, действительные числа и комплексные числа. Кроме того, они охватывают более сложные числовые операции, такие как возведение в степень, извлечение корней и логарифм. [187] Они также показывают, как арифметические операции используются в других разделах математики, например, их применение для описания геометрических фигур и использование переменных в алгебре. Другой аспект — научить учащихся использовать алгоритмы и калькуляторы для решения сложных арифметических задач. [188]

Психология [ править ]

Психология . арифметики интересуется тем, как люди и животные изучают числа, представляют их и используют для вычислений Он исследует, как понимаются и решаются математические задачи и как арифметические способности связаны с восприятием , памятью , суждением и принятием решений . [189] Например, он исследует, как наборы конкретных предметов сначала встречаются в восприятии, а затем связываются с числами. [190] Дальнейшая область исследований касается связи между числовыми вычислениями и использованием языка для формирования представлений. [191] Психология также исследует биологическое происхождение арифметики как врожденной способности. Это касается довербальных и досимволических когнитивных процессов, реализующих арифметические операции, необходимые для успешного представления мира и выполнения таких задач, как пространственная навигация. [192]

Одним из понятий, изучаемых психологией, является умение считать , то есть способность понимать числовые понятия, применять их к конкретным ситуациям и рассуждать с их помощью. Оно включает в себя фундаментальное чувство чисел, а также способность оценивать и сравнивать количества. Кроме того, он включает в себя способности символически представлять числа в системах счисления, интерпретировать числовые данные и оценивать арифметические вычисления. [193] Умение считать является ключевым навыком во многих академических областях. Отсутствие навыков счета может препятствовать успеху в учебе и привести к неверным экономическим решениям в повседневной жизни, например, из-за неправильного понимания планов ипотеки и страховых полисов . [194]

Философия [ править ]

Философия арифметики изучает фундаментальные концепции и принципы, лежащие в основе чисел и арифметических операций. Он исследует природу и онтологический статус чисел, связь арифметики с языком и логикой , а также способы приобретения арифметических знаний . [195]

Согласно платонизму , числа существуют независимо от разума: они существуют как абстрактные объекты вне пространства-времени и без причинных сил. [196] [Дж] Эта точка зрения отвергается интуиционистами , которые утверждают, что математические объекты являются мысленными конструкциями. [198] Дальнейшими теориями являются логицизм , который утверждает, что математические истины сводимы к логическим истинам . [199] и формализм , который утверждает, что математические принципы — это правила манипулирования символами, не утверждая, что они соответствуют сущностям вне деятельности, управляемой правилами. [200]

Традиционно доминирующая точка зрения в эпистемологии арифметики состоит в том, что арифметические истины познаваемы априорно . Это означает, что их можно познать только путем мышления, без необходимости полагаться на чувственный опыт . [201] Некоторые сторонники этой точки зрения утверждают, что арифметические знания являются врожденными, в то время как другие утверждают, что существует некая форма рациональной интуиции, с помощью которой можно постичь математические истины. [202] Более поздняя альтернативная точка зрения была предложена философами -натуралистами, такими как Уиллард Ван Орман Куайн , которые утверждают, что математические принципы являются обобщениями высокого уровня, которые в конечном итоге основаны на чувственном мире, описанном эмпирическими науками. [203]

Другие [ править ]

Арифметика актуальна для многих областей. В повседневной жизни требуется рассчитывать сдачу при покупках, управлять личными финансами , корректировать рецепт приготовления на разное количество порций. Предприятия используют арифметику для расчета прибылей и убытков и анализа рыночных тенденций . В области машиностроения его используют для измерения величин, расчета нагрузок и сил, а также проектирования конструкций. [204] Криптография опирается на арифметические операции для защиты конфиденциальной информации путем шифрования данных и сообщений. [205]

Арифметика тесно связана со многими разделами математики, которые зависят от числовых операций. Алгебра опирается на арифметические принципы для решения уравнений с использованием переменных. Эти принципы также играют ключевую роль в исчислении в попытках определить скорость изменений и площади под кривыми . Геометрия использует арифметические операции для измерения свойств фигур, а статистика использует их для анализа числовых данных. [206] Из-за актуальности арифметических операций в математике влияние арифметики распространяется на большинство наук, таких как физика , информатика и экономика . Эти операции используются в расчетах, решении проблем , анализе данных и алгоритмах, что делает их неотъемлемой частью научных исследований, технологических разработок и экономического моделирования. [207]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Другие символы натуральных чисел включают , , , и . [13]
  2. ^ Другие символы для целых чисел включают , , и . [15]
  3. ^ Повторяющаяся десятичная дробь — это десятичная дробь с бесконечным количеством повторяющихся цифр, например 0,111..., которая выражает рациональное число. .
  4. ^ Некоторые авторы используют другую терминологию и называют первое число множимым, а второе число - множителем. [51]
  5. ^ Если показатель степени равен 0, то результат равен 1, как в . Единственным исключением является , который не определен. [57]
  6. ^ Некоторые системы счетных стержней имеют разные цвета для обозначения как положительных, так и отрицательных чисел. [133]
  7. ^ Некоторые ученые-компьютерщики рассматривают логарифмические линейки как первый тип аналогового компьютера . [135]
  8. ^ Преемником натурального числа является число, идущее после него. Например, 4 является преемником 3.
  9. ^ Существуют разные версии точной формулировки и количества аксиом. Например, некоторые формулировки начинаются с 1 вместо 0 в первой аксиоме. [149]
  10. Влиятельный аргумент в пользу платонизма, впервые сформулированный Уиллардом Ван Орманом Куайном и Хилари Патнэм , утверждает, что числа существуют, потому что они необходимы для лучших научных теорий. [197]

Цитаты [ править ]

  1. ^
  2. ^
  3. ^
  4. ^
  5. ^
  6. ^ Софиан 2017 , с. 84
  7. ^
  8. ^
  9. ^
  10. ^
  11. ^
  12. ^
  13. ^
  14. ^
  15. ^
  16. ^
  17. ^
  18. ^
  19. ^
  20. ^
  21. ^ Массер, Петерсон и Бургер 2013 , с. 358
  22. ^
  23. ^
  24. ^
  25. ^
  26. ^
  27. ^
  28. ^
  29. ^
  30. ^
  31. ^
  32. ^ Руда 1948 , с. 10
  33. ^
  34. ^
  35. ^
  36. ^ Стахов 2020 , с. 74
  37. ^
  38. ^
  39. ^
  40. ^
  41. ^
  42. ^
  43. ^
  44. ^
  45. ^ Бургин 2022 , с. 25
  46. ^ Конфри 1994 , с. 308
  47. ^
  48. ^
  49. ^
  50. ^
  51. ^ Кавана 2017 , с. 275
  52. ^
  53. ^
  54. ^
  55. ^
  56. ^
  57. ^ Массер, Петерсон и Бургер 2013 , с. 120
  58. ^
  59. ^
  60. ^
  61. ^
  62. ^
  63. ^
  64. ^
  65. ^
  66. ^
  67. ^ Сперлинг и Стюарт 1981 , с. 7
  68. ^ Сперлинг и Стюарт 1981 , с. 8
  69. ^
  70. ^ Муни и др. 2014 , с. 148
  71. ^
  72. ^ Дэвис, Гулдинг и Саггейт, 2017 , стр. 11–12.
  73. ^ Хейлок и Кокберн 2008 , с. 49
  74. ^
  75. ^ Кепф 2021 , с. 49
  76. ^ Гудштейн 2014 , с. 33
  77. ^
  78. ^
  79. ^
  80. ^
  81. ^
  82. ^
  83. ^
  84. ^
  85. ^ Kubilyus 2018
  86. ^ Померанс и Саркози 1995 , с. 969
  87. ^ Померанс 2010
  88. ^
  89. ^
  90. ^
  91. ^
  92. ^
  93. ^
  94. ^
  95. ^ Геллерт и др. 2012 , стр. 32–33
  96. ^ Геллерт и др. 2012 , с. 33
  97. ^ Клозе 2014 , с. 107
  98. ^
  99. ^
  100. ^
  101. ^
  102. ^
  103. ^ Массер, Петерсон и Бургер 2013 , с. 358
  104. ^
  105. ^
  106. ^
  107. ^
  108. ^ Корен 2018 , с. 71
  109. ^ Дросг 2007 , стр. 1–5.
  110. ^ Bohacek 2009 , стр. 18–19.
  111. ^
  112. ^ Bohacek 2009 , стр. 18–19.
  113. ^ Бохачек 2009 , стр. 23–30.
  114. ^ Гриффин 1935 г.
  115. ^
  116. ^
  117. ^
  118. ^ Люстик 1997
  119. ^ Мюллер и др. 2009 , стр. 13–16
  120. ^
  121. ^
  122. ^
  123. ^ Даффи 2018 , с. 1225
  124. ^
  125. ^
  126. ^
  127. ^
  128. ^
  129. ^
  130. ^
  131. ^ Бадд и Сангвин 2001 , с. 209
  132. ^
  133. ^
  134. ^
  135. ^
  136. ^ Кэмпбелл-Келли и др. 2007 , с. 2
  137. ^
  138. ^
  139. ^
  140. ^
  141. ^
  142. ^
  143. ^ Бургин 2022 , стр. 92–93.
  144. ^
  145. ^
  146. ^
  147. ^
  148. ^
  149. ^ Тейлор 2012 , с. 8
  150. ^
  151. ^
  152. ^
  153. ^
  154. ^
  155. ^ Каннингем 2016 , стр. 95–96.
  156. ^
  157. ^
  158. ^
  159. ^
  160. ^
  161. ^
  162. ^
  163. ^
  164. ^
  165. ^
  166. ^
  167. ^
  168. ^
  169. ^
  170. ^
  171. ^
  172. ^
  173. ^
  174. ^
  175. ^
  176. ^
  177. ^
  178. ^
  179. ^ Хочу 2020 , с. 140
  180. ^
  181. ^
  182. ^
  183. ^
  184. ^
  185. ^
  186. ^
  187. ^
  188. ^
  189. ^
  190. ^ Де Круз, Нет и Шлимм 2010 , стр. 60–62
  191. ^ Де Круз, Нет и Шлимм 2010 , стр. 63
  192. ^ Грайс и др. 2023 , Аннотация
  193. ^
  194. ^
  195. ^
  196. ^
  197. ^ Коливан 2023 , Ведущий раздел.
  198. ^ Хорстен 2023 , § 2.2 Интуиционизм
  199. ^
  200. ^ Weir 2022 , Ведущий раздел
  201. ^
  202. ^
  203. ^
  204. ^
  205. ^
  206. ^
  207. ^

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 6f385bbb2820ed4a34d4eec29fa8b757__1718634060
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/6f/57/6f385bbb2820ed4a34d4eec29fa8b757.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Arithmetic - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)