Геометрия чисел

Геометрия чисел — раздел теории чисел , использующий геометрию для изучения алгебраических чисел . Обычно кольцо целых алгебраических чисел рассматривается как решетка в $\mathbb {R} ^{n},$ и изучение этих решеток дает фундаментальную информацию об алгебраических числах. Геометрию чисел положил начало Герману Минковскому ( 1910 ).

Наилучшие рациональные приближения для π (зеленый круг), e (синий ромб), φ (розовый овал), (√3)/2 (серый шестиугольник), 1/√2 (красный восьмиугольник) и 1/√3 (оранжевый треугольник) рассчитанные на основе их разложений в непрерывные дроби, представленные в виде наклонов y / x с ошибками относительно их истинных значений (черные штрихи)

Геометрия чисел имеет тесную связь с другими областями математики, особенно с функциональным анализом и диофантовой аппроксимацией , проблемой поиска рациональных чисел , аппроксимирующих иррациональную величину .

Результаты Минковского

Основная статья: теорема Минковского

Предположим, что $\Gamma$ представляет собой решетку в $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ и $K$ представляет собой выпуклое центрально-симметричное тело. Теорема Минковского , иногда называемая первой теоремой Минковского, утверждает, что если $\operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )$, затем $K$ содержит ненулевой вектор в $\Gamma$.

Основная статья: вторая теорема Минковского

Последующий минимум $\lambda _{k}$ определяется как inf чисел $\lambda$ такой, что $\lambda K$ содержит $k$ линейно независимые векторы $\Gamma$.Теорема Минковского о последовательных минимумах , иногда называемая второй теоремой Минковского , является усилением его первой теоремы и утверждает, что

$\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).$

Более поздние исследования в области геометрии чисел

В 1930–1960 годах исследования по геометрии чисел проводились многими теоретиками чисел (в том числе Луи Морделлом , Гарольдом Дэвенпортом и Карлом Людвигом Сигелем ). В последние годы Ленстра, Брион и Барвинок разработали комбинаторные теории, перечисляющие точки решетки в некоторых выпуклых телах.

Шмидта

Основная статья: Теорема о подпространстве

См. также: лемма Зигеля , объём (математика) , определитель и параллелепипед.

В геометрии чисел теорема о подпространстве была получена Вольфгангом М. Шмидтом в 1972 году. Он утверждает, что если n — целое положительное число, а L ₁ ,..., L _n — линейно независимые линейные формы от n переменных с алгебраическими коэффициентами и если ε>0 — любое заданное действительное число, то ненулевые целые точки x в n координатах с

$|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }$

лежат в конечном числе подпространств Q собственных ^н .

Влияние на функциональный анализ

Основная статья: нормированное векторное пространство

См. Также: Банахово пространство и F-пространство.

Геометрия чисел Минковского оказала глубокое влияние на функциональный анализ . Минковский доказал, что симметричные выпуклые тела индуцируют нормы в конечномерных векторных пространствах. Теорема Минковского была обобщена на топологические векторные пространства Колмогоровым , чья теорема утверждает, что симметричные выпуклые множества, замкнутые и ограниченные , порождают топологию банахового пространства .

Исследователи продолжают изучать обобщения на звездообразные множества и другие невыпуклые множества .

Библиография

• Маттиас Бек, Синай Робинс. Дискретное вычисление непрерывного: целочисленное перечисление точек в многогранниках , Тексты для студентов по математике , Springer, 2007.
• Генри Бомбьери ; Ваалер, Дж. (февраль 1983 г.). «О лемме Сигела» изобретения Математические 73 (1): 11–3 Бибкод : 1983InMat..73... 11B дои : 10.1007/BF01393823 . S2CID   121274024 .
• Энрико Бомбьери и Уолтер Гублер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Кембриджский университет
• JWS Кассельс . Введение в геометрию чисел . Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (перепечатка выпусков Springer-Verlag 1959 и 1971 годов).
• Джон Хортон Конвей и NJA Слоан , Сферические упаковки, решетки и группы , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 3-е изд., 1998.
• Р. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, 1995. Второе издание: 2006 г.
• П. М. Грубер , Выпуклая и дискретная геометрия, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2007.
• П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Том. А.Б., Северная Голландия, Амстердам, 1993 г.
• М. Гретшель , Ловас, Л. , А. Шрейвер : Геометрические алгоритмы и комбинаторная оптимизация , Springer, 1988 г.
• Хэнкок, Харрис (1939). Развитие геометрии чисел Минковского . Макмиллан. (Переиздано в 1964 году в Дувре.)
• Эдмунд Главка , Йоханнес Шойсенгайер, Рудольф Ташнер. Геометрическая и аналитическая теория чисел . Университеттекст. Спрингер-Верлаг, 1991.
• Калтон, Найджел Дж .; Пек, Н. Тенни; Робертс, Джеймс В. (1984), Сэмплер F-пространства , Серия лекций Лондонского математического общества, 89, Кембридж: Cambridge University Press, стр. xii + 240, ISBN  0-521-27585-7 , МР   0808777
• КГ Леккеркереркер . Геометрия чисел . Уолтерс-Нордхофф, Северная Голландия, Уайли. 1969.
• Ленстра, АК ; Ленстра, Х.В. младший ; Ловас, Л. (1982). «Факторизация полиномов с рациональными коэффициентами» (PDF) . Математические Аннален . 261 (4): 515–534. дои : 10.1007/BF01457454 . HDL : 1887/3810 . МР   0682664 . S2CID   5701340 .
• Ловас, Л .: Алгоритмическая теория чисел, графов и выпуклости , Серия региональных конференций CBMS-NSF по прикладной математике 50, SIAM, Филадельфия, Пенсильвания, 1986 г.
• Малышев, А.В. (2001) [1994], «Геометрия чисел» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Минковский, Герман (1910), Геометрия чисел , Лейпциг и Берлин: Р.Г. Тойбнер, JFM   41.0239.03 , MR   0249269 , получено 28 февраля 2016 г.
• Вольфганг М. Шмидт . Диофантово приближение . Конспект лекций по математике 785. Спрингер. (1980 г. [1996 г. с небольшими исправлениями])
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. Том. 1467 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-54058-Х . Збл   0754.11020 .
• Сигел, Карл Людвиг (1989). Лекции по геометрии чисел . Спрингер-Верлаг .
• Рольф Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993.
• Энтони К. Томпсон, геометрия Минковского, издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1996.
• Герман Вейль . Теория редукции арифметической эквивалентности. Пер. амер. Математика. Соц. 48 (1940) 126–164. два : 10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
• Герман Вейль. Теория редукции арифметической эквивалентности. II. Пер. амер. Математика. Соц. 51 (1942) 203–231. дои : 10.2307/1989946