Тест Дирихле – Жордана

«Условия Дирихле» перенаправляется сюда. Не путать с граничным условием Дирихле .

В математике тест Дирихле -Жордана дает достаточные условия для того чтобы вещественная , периодическая функция f была равна сумме ее ряда Фурье в точке непрерывности. Кроме того, определяется поведение ряда Фурье в точках разрыва (это середина значений разрыва). Это одно из многих условий сходимости рядов Фурье .

Оригинальный тест был разработан Питером Густавом Леженом Дирихле в 1829 году. для кусочно- монотонных функций (функций с конечным числом сечений за период, каждое из которых монотонно). распространила его В конце 19 века Камилла Жордан на функции ограниченной вариации в каждом периоде (любая функция ограниченной вариации представляет собой разность двух монотонно возрастающих функций).

Критерий Дирихле – Жордана для ряда Фурье

Тест Дирихле-Жордана гласит: что если периодическая функция $f(x)$ имеет ограниченную вариацию периода, то ряд Фурье $S_{n}f(x)$ сходится, так как $n\to \infty$, в каждой точке области до $$\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{2}}.$$ В частности, если $f$ является непрерывным в $x$, то ряд Фурье сходится к $f(x)$. Более того, если $f$ всюду непрерывна, то сходимость равномерная.

Коэффициенты ряда Фурье, выраженные в терминах периодической функции периода 2π, определяются как $$a_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx,$$ а частичные суммы ряда Фурье равны $$S_{n}f(x)=\sum _{k=-n}^{n}a_{k}e^{ikx}$$

Аналогичное утверждение справедливо независимо от того, каков период f и какая версия ряда Фурье выбрана.

Существует также точечный вариант теста: если $f$ является периодической функцией в $L^{1}$, и имеет ограниченную вариацию в окрестности $x$, то ряд Фурье при $x$ сходится к пределу, как указано выше $$\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{2}}.$$

Жордановый тест для интегралов Фурье

Для преобразования Фурье на реальной линии также существует версия теста. Предположим, что $f(x)$ находится в $L^{1}(-\infty ,\infty )$ и ограниченной вариации в окрестности точки $x$. Затем $${\frac {1}{\pi }}\lim _{M\to \infty }\int _{0}^{M}du\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos u(x-t)\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{2}}.$$ Если $f$ непрерывна на отрезке, то интеграл в левой части сходится равномерно на отрезке, а предел в правой части равен $f(x)$.

Эта версия теста (хотя и не удовлетворяющая современным требованиям строгости) исторически предшествует Дирихле и принадлежит Жозефу Фурье .

Условия Дирихле при обработке сигналов

При обработке сигналов тест часто сохраняется в исходном виде благодаря Дирихле: кусочно-монотонная ограниченная периодическая функция $f$ (имеющая конечное число монотонных интервалов на период) имеет сходящийся ряд Фурье, значение которого в каждой точке является средним арифметическим левого и правого пределов функции. Условие кусочной монотонности предполагает наличие лишь конечного числа локальных экстремумов за период, т. е. функция меняет свою вариацию лишь конечное число раз. Это можно назвать функцией «конечной вариации», в отличие от ограниченной вариации. Конечная вариация подразумевает ограниченную вариацию, но обратное неверно. (Кроме того, Дирихле требовал, чтобы функция имела лишь конечное число разрывов, но это ограничение излишне строгое. ) Любой сигнал, который можно физически получить в лаборатории, удовлетворяет этим условиям.

Как и в поточечном случае критерия Жордана, условие ограниченности можно ослабить, если предположить, что функция абсолютно интегрируема (т. е. $L^{1}$) в течение периода при условии, что он удовлетворяет другим условиям теста в окрестности точки $x$ где взят предел.

См. также

• религиозный тест

Внешние ссылки

• «Условия Дирихле» . ПланетаМатематика .