Дифференциальный инвариант

В математике дифференциальный инвариант это инвариант действия группы Ли — в пространстве, который включает в себя производные графиков функций в этом пространстве. Дифференциальные инварианты являются фундаментальными в проективной дифференциальной геометрии , и кривизна часто изучается с этой точки зрения. ^[1] Дифференциальные инварианты были введены в особых случаях Софусом Ли изучались Жоржем Анри Халфеном в начале 1880-х годов и в то же время . Ли (1884) был первой общей работой по дифференциальным инвариантам и установил связь между дифференциальными инвариантами, инвариантными дифференциальными уравнениями и инвариантными дифференциальными операторами .

Дифференциальные инварианты противопоставляются геометрическим инвариантам. В то время как дифференциальные инварианты могут включать в себя особый выбор независимых переменных (или параметризацию), геометрические инварианты этого не делают. Эли Картана представляет Метод движущихся систем отсчета собой усовершенствование, которое, хотя и менее общее, чем методы дифференциальных инвариантов Ли, всегда дает инварианты геометрического типа.

Определение

Самый простой случай - дифференциальные инварианты для одной независимой переменной x и одной зависимой переменной y . Пусть G — группа Ли, действующая на R ². Тогда G также действует локально на пространстве всех графов вида y = ƒ ( x ). Грубо говоря, дифференциальный инвариант k -го порядка — это функция

I\left(x,y,{\frac {dy}{dx}},\dots ,{\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\right)

зависящий от y и его первых k производных по x , инвариантный относительно действия группы.

Группа может действовать на производные более высокого порядка нетривиальным образом, что требует вычисления продолжения действия группы. действие G Например, на первую производную таково, что правило цепочки продолжает выполняться: если

({\overline {x}},{\overline {y}})=g\cdot (x,y),

затем

g\cdot \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right){\stackrel {\text{def}}{=}}\left({\overline {x}},{\overline {y}},{\frac {d{\overline {y}}}{d{\overline {x}}}}\right).

Аналогичные соображения применимы и к вычислению более высоких продолжений. Однако этот метод вычисления продолжения непрактичен, и гораздо проще работать бесконечно мало на уровне алгебр Ли и производной Ли вдоль G. действия

В более общем смысле, дифференциальные инварианты можно рассматривать для отображений любого гладкого многообразия X в другое гладкое многообразие Y для группы Ли, действующей на декартово произведение X × Y . График отображения X → Y — это подмногообразие X × Y всюду трансверсальное слоям над X. , Группа G действует локально на пространстве таких графов и индуцирует действие на k -м продолжении Y ^{( к )} состоящий из графов, проходящих через каждую точку по модулю отношения контакта k -го порядка. Дифференциальный инвариант — это функция на Y ^{( к )} инвариантный относительно продолжения действия группы.

Приложения

Решение проблем эквивалентности
Дифференциальные инварианты могут быть применены к изучению систем уравнений в частных производных : поиск решений подобия , инвариантных относительно действия определенной группы, может уменьшить размерность проблемы (т.е. дать «редуцированную систему»). ^[2]
Теорема Нётер подразумевает существование дифференциальных инвариантов, соответствующих каждой дифференцируемой симметрии вариационной задачи .
Характеристики потока с использованием компьютерного зрения ^[3]
Геометрическая интеграция

См. также

Метод эквивалентности Картана

Примечания

^ Гуггенхаймер 1977
^ Олвер 1995 , Глава 3
^ Олвер, Питер; Сапиро, Гильермо; Танненбаум, Аллен (1994), «Дифференциальные инвариантные сигнатуры и потоки в компьютерном зрении: подход группы симметрии», Геометрически-управляемая диффузия в компьютерном зрении , Computational Imaging and Vision, vol. 1, Дордрехт: Springer, стр. 255–306, doi : 10.1007/978-94-017-1699-4_11 , hdl : 1721.1/3348 , ISBN 90-481-4461-2

Ссылки

Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63433-3 .
Ли, Софус (1884), «О дифференциальных инвариантах», Сборник книг , том. 6, Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, стр. 95–138 ; Английский перевод: Акерман, М; Герман, Р. (1975), Статья Софуса Лия о дифференциальных инвариантах 1884 года , Бруклин, Массачусетс: Math Sci Press .
Олвер, Питер Дж. (1993), Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94007-6 .
Олвер, Питер Дж. (1995), Эквивалентность, инварианты и симметрия , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-47811-3 .
Мэнсфилд, Элизабет Луиза (2010), Практическое руководство по инвариантному исчислению , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-85701-7

Внешние ссылки

Проблемы инвариантной вариации

[1] Гуггенхаймер 1977

[2] Олвер 1995 , Глава 3

[3] Олвер, Питер; Сапиро, Гильермо; Танненбаум, Аллен (1994), «Дифференциальные инвариантные сигнатуры и потоки в компьютерном зрении: подход группы симметрии», Геометрически-управляемая диффузия в компьютерном зрении , Computational Imaging and Vision, vol. 1, Дордрехт: Springer, стр. 255–306, doi : 10.1007/978-94-017-1699-4_11 , hdl : 1721.1/3348 , ISBN 90-481-4461-2

[1]

[2]

[3]