Макроскопические квантовые явления

Макроскопические квантовые явления — это процессы, демонстрирующие квантовое поведение на макроскопическом уровне , а не на атомном уровне , где преобладают квантовые эффекты. Наиболее известные примеры макроскопических квантовых явлений — сверхтекучесть и сверхпроводимость ; другие примеры включают квантовый эффект Холла , эффект Джозефсона и топологический порядок . С 2000 года проводятся обширные экспериментальные работы по квантовым газам, особенно по конденсатам Бозе-Эйнштейна .

В период с 1996 по 2016 год шесть Нобелевских премий было вручено за работы, связанные с макроскопическими квантовыми явлениями. ^{[ 1 ]} Макроскопические квантовые явления можно наблюдать в сверхтекучем гелии и в сверхпроводниках . ^{[ 2 ]} но также в разбавленных квантовых газах, одетых фотонах, таких как поляритоны , и в лазерном свете. Хотя эти среды очень разные, все они схожи в том смысле, что демонстрируют макроскопическое квантовое поведение, и в этом отношении их всех можно назвать квантовыми жидкостями .

Квантовые явления обычно классифицируются как макроскопические, когда квантовые состояния заняты большим количеством частиц (порядка числа Авогадро ) или соответствующие квантовые состояния имеют макроскопические размеры (до километра в сверхпроводящих проводах). ^{[ 3 ]}

Последствия макроскопической оккупации

Понятие макроскопически занятых квантовых состояний введено Фрицем Лондоном . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} В этом разделе будет объяснено, что означает, если одно состояние занято очень большим количеством частиц. Начнем с волновой функции состояния, записанной как

\Psi =\Psi _{0}\exp(i\varphi )

( 1 )

при Ψ ₀ амплитуда и $\varphi$ фаза. Волновая функция нормирована так, что

\int \Psi \Psi ^{*}\mathrm {d} V=N_{s}.

( 2 )

Физическая интерпретация величины

\Psi \Psi ^{*}\Delta V

( 3 )

зависит от количества частиц. На рис. 1 представлен контейнер с определенным количеством частиц с небольшим контрольным объемом Δ V внутри. Время от времени проверяем, сколько частиц находится в блоке управления. Мы различаем три случая:

Есть только одна частица. В этом случае контрольный объем большую часть времени пуст. Однако существует определенный шанс найти в нем частицу, заданную уравнением (1). ( 3 ). Вероятность пропорциональна Δ V . Фактор ΨΨ ^∗ называется плотностью шансов.
Если количество частиц немного больше, обычно внутри ящика есть несколько частиц. Мы можем определить среднее значение, но фактическое количество частиц в ящике имеет относительно большие колебания вокруг этого среднего значения.
В случае очень большого количества частиц в маленьком ящике всегда будет много частиц. Число будет колебаться, но колебания вокруг среднего значения относительно невелики. Среднее число пропорционально Δ V и ΨΨ. ^∗ теперь интерпретируется как плотность частиц.

В квантовой механике плотность вероятностного потока частиц J _p (единица измерения: частиц в секунду на м ²), также называемый вероятностным током , может быть получен из уравнения Шрёдингера как

{\vec {J}}_{p}={\frac {1}{2m}}\left(\Psi \left(i{\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}-q{\vec {A}}\right)\Psi ^{*}+\mathrm {cc} \right)

( 4 )

где q заряд частицы и ${\vec {A}}$ векторный потенциал; cc означает комплексно-сопряженное выражение другого термина внутри скобок. ^{[ 6 ]} Для нейтральных частиц $q = 0$ , для сверхпроводников $q = -2 e$ (где e — элементарный заряд) заряд куперовских пар. С уравнением ( 1 )

{\vec {J}}_{p}={\frac {\Psi _{0}^{2}}{m}}\left({\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\varphi -q{\vec {A}}\right).

( 5 )

Если волновая функция макроскопически заполнена, плотность вероятностного потока частиц становится плотностью потока частиц. Введем скорость жидкости v _s через плотность массового расхода

m{\vec {J}}_{p}=\rho _{s}{\vec {v}}_{s}.

( 6 )

Плотность (масса на объем) равна

m\Psi _{0}^{2}=\rho _{s}

( 7 )

так что уравнение ( 5 ) приводит к

{\vec {v}}_{s}={\frac {1}{m}}\left({\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\varphi -q{\vec {A}}\right).

( 8 )

Это важное соотношение связывает классическую концепцию скорости конденсата с фазой волновой функции — квантовомеханической концепцией.

Сверхтекучесть

При температурах ниже лямбда-точки гелий проявляет уникальное свойство сверхтекучести. Часть жидкости, образующая сверхтекучий компонент, представляет собой макроскопическую квантовую жидкость . Атом гелия является нейтральной частицей , поэтому $q = 0$ . Кроме того, при рассмотрении гелия-4 соответствующая масса частицы равна $m = m 4$ , поэтому уравнение ( 8 ) сводится к

{\vec {v}}_{s}={\frac {1}{m_{4}}}{\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\varphi .

( 9 )

Для произвольной петли в жидкости это дает

\oint {\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}={\frac {h}{2\pi m_{4}}}\oint {\vec {\nabla }}\varphi \cdot \mathrm {d} {\vec {s}}.

( 10 )

В связи с однозначным характером волновой функции

\oint {\vec {\nabla }}\varphi \cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=2\pi n

( 11а )

с $целым числом n$ мы имеем

\oint {\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}={\frac {h}{m_{4}}}n.

( 11б )

Количество

\kappa ={\frac {h}{m_{4}}}\approx 1.0\times 10^{-7}\,\mathrm {m^{2}/s}

( 12 )

есть квант обращения. Для кругового движения радиусом r

\oint {\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=2\pi v_{s}r.

( 13 )

В случае одного кванта ( $n = 1$ )

v_{s}={\frac {1}{2\pi r}}\kappa .

( 14 )

Когда сверхтекучий гелий приводится во вращение, уравнение. ( 13 ) не будет выполняться для всех контуров внутри жидкости, если вращение не организовано вокруг вихревых линий (как показано на рис. 2). Эти линии имеют вакуумное ядро диаметром около 1 Å (что меньше среднего расстояния между частицами). Сверхтекучий гелий вращается вокруг ядра с очень высокими скоростями. Непосредственно за пределами ядра ( r = 1 Å) скорость достигает 160 м/с. Ядра вихревых линий и контейнер вращаются как твердое тело вокруг осей вращения с одинаковой угловой скоростью. Количество вихревых линий увеличивается с увеличением угловой скорости (как показано в верхней половине рисунка). Обратите внимание, что оба рисунка справа содержат по шесть вихревых линий, но линии организованы в разные устойчивые структуры. ^{[ 7 ]}

Сверхпроводимость

В оригинальной статье ^{[ 8 ]} Гинзбург и Ландау наблюдали существование двух типов сверхпроводников в зависимости от от энергии границы раздела нормального и сверхпроводящего состояний. Состояние Мейсснера нарушается, когда приложенное магнитное поле слишком велико. Сверхпроводники можно разделить на два класса в зависимости от того, как происходит этот пробой. В сверхпроводниках I рода когда напряженность приложенного поля превышает критическое значение Hc _{сверхпроводимость резко разрушается ,} . В зависимости от геометрии образца можно получить промежуточное состояние ^{[ 9 ]} состоящий из узора в стиле барокко ^{[ 10 ]} областей нормального материала, несущего магнитное поле, смешанного с областями сверхпроводящего материала, не содержащего поля. В сверхпроводниках типа II увеличение приложенного поля выше критического значения H _{c 1} приводит к смешанному состоянию (также известному как вихревое состояние), в котором все большее количество магнитного потока проникает в материал, но не остается сопротивления потоку электрический ток, пока ток не слишком велик. При второй критической напряженности поля H _{c 2} сверхпроводимость разрушается. Смешанное состояние на самом деле вызвано вихрями в электронной сверхтекучей жидкости, иногда называемыми флаксонами, поскольку поток, переносимый этими вихрями, квантован . Большинство чистых элементарных сверхпроводников, за исключением ниобия и углеродных нанотрубок , относятся к типу I, тогда как почти все примесные и составные сверхпроводники относятся к типу II.

Самый важный вывод теории Гинзбурга-Ландау был сделан Алексеем Абрикосовым в 1957 году. Он использовал теорию Гинзбурга-Ландау для объяснения экспериментов со сверхпроводящими сплавами и тонкими пленками. Он обнаружил, что в сверхпроводнике II рода в сильном магнитном поле поле проникает в треугольную решетку квантованных трубок вихрей потока . За эту и смежные работы он был удостоен Нобелевской премии в 2003 году вместе с Гинзбургом и Леггеттом . ^{[ 11 ]}

Квантование флюксоида

В сверхпроводниках бозонами являются так называемые куперовские пары , которые представляют собой квазичастицы, образованные двумя электронами. ^{[ 12 ]} Следовательно, m = 2 m _e и q = −2 e, где m _e и e — масса электрона и элементарный заряд. Это следует из уравнения. ( 8 ) что

2m_{e}{\vec {v}}_{s}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\varphi +2e{\vec {A}}.

( 15 )

Интегрируя уравнение ( 15 ) по замкнутому контуру дает

2m_{e}\oint {\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\oint \left({\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\varphi +2e{\vec {A}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}

( 16 )

Как и в случае с гелием, определим силу вихря

\oint {\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\kappa

( 17 )

и использовать общее соотношение

\oint {\vec {A}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\Phi

( 18 )

где Φ — магнитный поток, охватываемый петлей. Так называемый флюксоид определяется формулой

\Phi _{v}=\Phi -{\frac {2m_{e}}{2e}}\kappa .

( 19 )

В общем случае значения κ и Φ зависят от выбора петли. В связи с однозначным характером волновой функции и уравнения. ( 16 ) флюксоид квантуется

\Phi _{v}=n{\frac {h}{2e}}.

( 20 )

Единица квантования называется квантом потока.

\Phi _{0}={\frac {h}{2e}}=2.067833758(46)\times 10^{-15}\,\mathrm {Wb} .

( 21 )

Квант потока играет очень важную роль в сверхпроводимости. Магнитное поле Земли очень мало (около 50 мкТл), но оно генерирует один квант потока на площади 6 на 6 мкм. Итак, квант потока очень мал. Тем не менее, оно было измерено с точностью до 9 цифр, как показано в уравнении. ( 21 ). В настоящее время значение, данное уравнением. ( 21 ) является точным по определению.

На рис. 3 изображены две ситуации сверхпроводящих колец во внешнем магнитном поле. В одном случае кольцо толстостенное, в другом кольцо тоже толстостенное, но прерывается слабым звеном. В последнем случае мы встретим знаменитые соотношения Джозефсона . В обоих случаях мы рассматриваем петлю внутри материала. Обычно в материале течет сверхпроводящий циркуляционный ток. Полный магнитный поток в контуре представляет собой сумму приложенного потока Φ _a и самоиндуцированного потока Φ _s, индуцированного циркуляционным током.

\Phi =\Phi _{a}+\Phi _{s}.

( 22 )

Толстое кольцо

Первый случай — толстое кольцо во внешнем магнитном поле (рис. 3а). Токи в сверхпроводнике текут только в тонком слое на поверхности. Толщина этого слоя определяется так называемой лондонской глубиной проникновения . Его размер составляет мкм или меньше. Рассмотрим петлю, расположенную далеко от поверхности, так что v _s = 0 везде, поэтому κ = 0. В этом случае флюксоид равен магнитному потоку (Φ _v = Φ). Если v _s = 0 уравнение. ( 15 ) сводится к

0={\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}{\varphi }+2e{\vec {A}}.

( 23 )

Вращение дает

0={\frac {h}{2\pi }}{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\varphi +2e{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}.

( 24 )

Используя известные соотношения ${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\varphi =0$ и ${\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}$ показывает, что магнитное поле в объеме сверхпроводника также равно нулю. Так, для толстых колец полный магнитный поток в контуре квантуется по закону

\Phi =n\Phi _{0}.

( 25 )

Прерванное кольцо, слабые звенья

Слабые связи играют очень важную роль в современной сверхпроводимости. В большинстве случаев слабыми связями являются оксидные барьеры между двумя тонкими сверхпроводящими пленками, но это может быть и граница кристалла (в случае ВТСП ). Схематическое изображение представлено на рис. 4. Теперь рассмотрим кольцо, которое толстое везде, за исключением небольшого участка, где кольцо замыкается слабым звеном (рис. 3б). Скорость равна нулю, за исключением области слабого звена. В этих областях вклад скорости в общее изменение фазы в контуре определяется выражением (по уравнению ( 15 ))

\Delta \varphi ^{*}=-{\frac {2\pi }{h}}2m_{e}\int _{\delta }{\vec {v}}_{s}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}.

( 26 )

Линейный интеграл проводится по контакту от одной стороны к другой таким образом, что конечные точки линии находятся глубоко внутри объема сверхпроводника, где $v s = 0$ . Таким образом, значение линейного интеграла четко определено (например, независимо от выбора конечных точек). С уравнениями. ( 19 ), ( 22 ) и ( 26 )

\Phi _{a}+\Phi _{s}+\Phi _{0}{\frac {\Delta \varphi ^{*}}{2\pi }}=n\Phi _{0}.

( 27 )

Без доказательства мы утверждаем, что сверхток через слабую связь определяется так называемым соотношением Джозефсона постоянного тока. ^{[ 13 ]}

i_{s}=i_{1}\sin(\Delta \varphi ^{*}).

( 28 )

Напряжение на контакте определяется соотношением AC Джозефсона

V={\frac {1}{2\pi }}{\frac {h}{2e}}{\frac {\mathrm {d} \Delta \varphi ^{*}}{\mathrm {d} t}}.

( 29 )

Названия этих отношений (отношения постоянного и переменного тока) вводят в заблуждение, поскольку они оба справедливы в ситуациях постоянного и переменного тока. В установившемся режиме (постоянная $\Delta \varphi ^{*}$ ) Уравнение. ( 29 ) показывает, что V =0, пока через переход протекает ненулевой ток. В случае постоянного приложенного напряжения (напряжения смещения) уравнение. ( 29 ) легко интегрируется и дает

\Delta \varphi ^{*}=2\pi {\frac {2eV}{h}}t.

( 30 )

Замена в уравнении ( 28 ) дает

i_{s}=i_{1}\sin \left(2\pi {\frac {2eV}{h}}t\right).

( 31 )

Это переменный ток. Частота

\nu ={\frac {2eV}{h}}={\frac {V}{\Phi _{0}}}

( 32 )

называется частотой Джозефсона. Один мкВ дает частоту около 500 МГц. Используя уравнение ( 32 ) квант потока определяется с высокой точностью, как указано в уравнении. ( 21 ).

одной стороны контакта на другую, равна $ΔE Разность энергий куперовской пары, движущейся с = 2эВ$ . С помощью этого выражения уравнение ( 32 ) можно записать как $Δ E = hν$ , что представляет собой соотношение для энергии фотона с частотой ν .

Соотношение AC Джозефсона (уравнение ( 29 )) можно легко понять с точки зрения закона Ньютона (или одного из уравнений Лондона ). ^{[ 14 ]}). Начнем с закона Ньютона

{\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{s}}{\mathrm {d} t}}.

Подставляя выражение для силы Лоренца

{\vec {F}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}_{s}\times {\vec {B}}\right)

и используя общее выражение для сопутствующей производной по времени

{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{s}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\vec {v}}_{s}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}v_{s}^{2}-{\vec {v}}_{s}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}\right)

дает

{\frac {q}{m}}\left({\vec {E}}+{\vec {v}}_{s}\times {\vec {B}}\right)={\frac {\partial {\vec {v}}_{s}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}v_{s}^{2}-{\vec {v}}_{s}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}\right).

уравнение ( 8 ) дает

0={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}+{\frac {q}{m}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}+{\frac {q}{m}}{\vec {B}}

так

{\frac {q}{m}}{\vec {E}}={\frac {\partial {\vec {v}}_{s}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}v_{s}^{2}.

Возьмите прямой интеграл этого выражения. В конечных точках скорости равны нулю, поэтому ∇ v ² термин не дает никакого вклада. С использованием

\int {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=-V

и уравнение. ( 26 ) с

q = -2 e

и

m = 2 m e

дает уравнение (26). ( 29 ).

Кальмар постоянного тока

На рис. 5 показан так называемый DC SQUID . Он состоит из двух сверхпроводников, соединенных двумя слабыми связями. Флюксоидное квантование петли, проходящей через два объемных сверхпроводника и две слабые связи, требует

\Delta \varphi _{a}^{*}=\Delta \varphi _{b}^{*}+2\pi {\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}+2\pi n.

( 33 )

Если самоиндукцией контура можно пренебречь, то магнитный поток в контуре Φ равен приложенному потоку

\Phi =\Phi _{a}=BA

( 34 )

где B - магнитное поле, приложенное перпендикулярно поверхности, а A - площадь поверхности петли. Полный сверхток определяется выражением

i_{s}=i_{1}\sin(\Delta \varphi _{a}^{*})+i_{1}\sin(\Delta \varphi _{b}^{*}).

( 35 )

Замена уравнения ( 33 ) в ( 35 ) дает

i_{s}=i_{1}\sin \left(\Delta \varphi _{b}^{*}+2\pi {\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}\right)+i_{1}\sin(\Delta \varphi _{b}^{*}).

( 36 )

Используя известную геометрическую формулу, получаем

i_{s}=2i_{1}\sin \left(\Delta \varphi _{b}^{*}+\pi {\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}\right)\cos(\pi {\frac {\Phi _{a}}{\Phi _{0}}}).

( 37 )

Поскольку функция sin может изменяться только в пределах от −1 до +1, устойчивое решение возможно только в том случае, если приложенный ток ниже критического тока, определяемого формулой

i_{c}=2i_{1}\left|\cos \left(\pi {\frac {\Phi _{a}}{\Phi _{0}}}\right)\right|.

( 38 )

Обратите внимание, что критический ток является периодическим по приложенному потоку с периодом $Φ 0$ . Зависимость критического тока от приложенного потока изображена на рис. 6. Она очень похожа на интерференционную картину, генерируемую лазерным лучом за двойной щелью. На практике критический ток не равен нулю при полуцелых значениях кванта приложенного потока. Это связано с тем, что пренебрегать самоиндукцией контура нельзя. ^{[ 15 ]}

Сверхпроводимость второго типа

Сверхпроводимость второго рода характеризуется двумя критическими полями, называемыми B _c1 и B _c2 . При магнитном поле B _c1 приложенное магнитное поле начинает проникать в образец, но образец все еще остается сверхпроводящим. Лишь в поле B _c2 образец совершенно нормальный. Для полей между B _c1 и B _c2 магнитный поток проникает в сверхпроводник по хорошо организованным структурам, так называемой вихревой решетке Абрикосова, подобной структуре, показанной на рис. 2. ^{[ 16 ]} Поперечное сечение сверхпроводящей пластины показано на рис. 7. Вдали от пластины поле однородно, но в материале текут сверхпроводящие токи, сжимающие поле в пучки ровно по одному кванту потока. Типичное поле в ядре составляет 1 тесла. Токи вокруг ядра вихря текут в слое толщиной около 50 нм с плотностями тока порядка 15 × 10 ¹² Являюсь ². Это соответствует 15 миллионам ампер в проводе диаметром один миллиметр. ².

Разбавленные квантовые газы

Классические типы квантовых систем — сверхпроводники и сверхтекучий гелий — были открыты в начале XX века. Ближе к концу 20-го века ученые открыли, как создавать очень разбавленные атомарные или молекулярные газы, охлаждаемые сначала лазерным охлаждением , а затем испарительным охлаждением . ^{[ 17 ]} Они улавливаются с помощью магнитных полей или оптических дипольных потенциалов в камерах сверхвысокого вакуума. Использованные изотопы включают рубидий (Rb-87 и Rb-85), стронций (Sr-87, Sr-86 и Sr-84), калий (K-39 и K-40), натрий (Na-23), литий (Li-7 и Li-6) и водород (H-1). Температуры, до которых их можно охладить, составляют всего несколько нанокельвинов. За последние несколько лет события развивались очень быстро. Команде НИСТ и Университета Колорадо удалось создать и наблюдать квантование вихрей в этих системах. ^{[ 18 ]} Концентрация вихрей увеличивается с увеличением угловой скорости вращения, аналогично случаю сверхтекучего гелия и сверхпроводимости.

См. также

Ссылки и сноски

^ Эти Нобелевские премии были вручены за открытие сверхтекучести в гелии-3 (1996 г.), за открытие дробного квантового эффекта Холла (1998 г.), за демонстрацию конденсации Бозе-Эйнштейна (2001 г.), за вклад в теорию сверхпроводимости и сверхтекучести (2003 г.), за открытие гигантского магнитосопротивления (2007 г.) и за теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз материи (2016 г.).
^ Д. Р. Тилли и Дж. Тилли, Сверхтекучесть и сверхпроводимость , Адам Хилгер, Бристоль и Нью-Йорк, 1990.
^ Джагер, Грегг (сентябрь 2014 г.). «Что в (квантовом) мире является макроскопическим?». Американский журнал физики . 82 (9): 896–905. Бибкод : 2014AmJPh..82..896J . дои : 10.1119/1.4878358 .
^ Фриц Лондон Суперфлюидс (Лондон, Уайли, 1954–1964)
^ Гавроглу, К.; Гударулис, Ю. (1988). «Понимание макроскопических квантовых явлений: история сверхтекучести 1941–1955». Анналы науки . 45 (4): 367. дои : 10.1080/00033798800200291 .
^ «Лекции Фейнмана по физике, том III, глава 21: Уравнение Шредингера в классическом контексте: семинар по сверхпроводимости, раздел 21-5: Сверхпроводимость» . feynmanlectures.caltech.edu . Проверено 12 января 2020 г.
^ Э. Дж. Ярмчук и Р. Э. Паккард (1982). «Фотографические исследования квантованных вихревых линий». J. Низкая температура. Физ . 46 (5–6): 479. Бибкод : 1982JLTP...46..479Y . дои : 10.1007/BF00683912 . S2CID 120018419 .
^ Landau, Lev Davidovich; Ginzburg, Vitaly L (1950). "On the theory of superconductivity" . Zh. Eksp. Teor. Fiz . 20 .
^ Лев Д. Ландау; Евгений Михайлович Лифшиц (1984). Электродинамика сплошных сред . Курс теоретической физики . Том. 8. Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-7506-2634-7 .
^ Дэвид Дж. Э. Каллауэй (1990). «О замечательной структуре сверхпроводящего промежуточного состояния». Ядерная физика Б . 344 (3): 627–645. Бибкод : 1990НуФБ.344..627С . дои : 10.1016/0550-3213(90)90672-Z .
^ Абрикосов, Алексей А. (19 июля 2004 г.). «Сверхпроводники типа H и вихревая решетка» . ХимияФизХим . 5 (7): 924–929. дои : 10.1002/cphc.200400138 . ISSN 1439-4235 . ПМИД 15298378 .
^ М. Тинкхэм (1975). Введение в сверхпроводимость . МакГроу-Хилл.
^ Б. Д. Джозефсон (1962). «Возможные новые эффекты в сверхпроводящем туннелировании». Физ. Летт . 1 (7): 251–253. Бибкод : 1962PhL.....1..251J . дои : 10.1016/0031-9163(62)91369-0 .
^ Лондон, Ф .; Лондон, Х. (1935). «Электромагнитные уравнения сверхпроводника» . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 149 (866): 71. Бибкод : 1935РСПСА.149...71Л . дои : 10.1098/rspa.1935.0048 .
^ ATHAM де Вале и Р. де Брюин Уботер (1969). «Квантовые интерференционные явления в точечных контактах двух сверхпроводников». Физика . 41 (2): 225–254. Бибкод : 1969Phy....41..225D . дои : 10.1016/0031-8914(69)90116-5 .
^ Эссманн, У.; Трёбле, Х. (1967). «Прямое наблюдение отдельных линий потока в сверхпроводниках II рода». Буквы по физике А. 24 (10): 526. Бибкод : 1967PhLA...24..526E . дои : 10.1016/0375-9601(67)90819-5 .
^ Андерсон, Миннесота; Эншер, младший; Мэтьюз, MR; Виман, CE; Корнелл, Э.А. (1995). «Наблюдение бозе-эйнштейновской конденсации в разбавленном атомном паре» . Наука . 269 (5221): 198–201. Бибкод : 1995Sci...269..198A . дои : 10.1126/science.269.5221.198 . ПМИД 17789847 .
^ Швейхард, В.; Коддингтон, И.; Энгельс, П.; Тунг, С.; Корнелл, Э.А. (2004). «Динамика вихревой решетки во вращающихся спинорных конденсатах Бозе-Эйнштейна». Физ. Преподобный Летт . 93 (3): 210403. Бибкод : 2004PhRvL..93c0403N . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.030403 . hdl : 2433/39923 . ПМИД 15323808 .

[1] Эти Нобелевские премии были вручены за открытие сверхтекучести в гелии-3 (1996 г.), за открытие дробного квантового эффекта Холла (1998 г.), за демонстрацию конденсации Бозе-Эйнштейна (2001 г.), за вклад в теорию сверхпроводимости и сверхтекучести (2003 г.), за открытие гигантского магнитосопротивления (2007 г.) и за теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз материи (2016 г.).

[2] Д. Р. Тилли и Дж. Тилли, Сверхтекучесть и сверхпроводимость , Адам Хилгер, Бристоль и Нью-Йорк, 1990.

[3] Джагер, Грегг (сентябрь 2014 г.). «Что в (квантовом) мире является макроскопическим?». Американский журнал физики . 82 (9): 896–905. Бибкод : 2014AmJPh..82..896J . дои : 10.1119/1.4878358 .

[4] Фриц Лондон Суперфлюидс (Лондон, Уайли, 1954–1964)

[5] Гавроглу, К.; Гударулис, Ю. (1988). «Понимание макроскопических квантовых явлений: история сверхтекучести 1941–1955». Анналы науки . 45 (4): 367. дои : 10.1080/00033798800200291 .

[6] «Лекции Фейнмана по физике, том III, глава 21: Уравнение Шредингера в классическом контексте: семинар по сверхпроводимости, раздел 21-5: Сверхпроводимость» . feynmanlectures.caltech.edu . Проверено 12 января 2020 г.

[7] Э. Дж. Ярмчук и Р. Э. Паккард (1982). «Фотографические исследования квантованных вихревых линий». J. Низкая температура. Физ . 46 (5–6): 479. Бибкод : 1982JLTP...46..479Y . дои : 10.1007/BF00683912 . S2CID 120018419 .

[8] Landau, Lev Davidovich; Ginzburg, Vitaly L (1950). "On the theory of superconductivity" . Zh. Eksp. Teor. Fiz . 20 .

[9] Лев Д. Ландау; Евгений Михайлович Лифшиц (1984). Электродинамика сплошных сред . Курс теоретической физики . Том. 8. Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-7506-2634-7 .

[10] Дэвид Дж. Э. Каллауэй (1990). «О замечательной структуре сверхпроводящего промежуточного состояния». Ядерная физика Б . 344 (3): 627–645. Бибкод : 1990НуФБ.344..627С . дои : 10.1016/0550-3213(90)90672-Z .

[11] Абрикосов, Алексей А. (19 июля 2004 г.). «Сверхпроводники типа H и вихревая решетка» . ХимияФизХим . 5 (7): 924–929. дои : 10.1002/cphc.200400138 . ISSN 1439-4235 . ПМИД 15298378 .

[12] М. Тинкхэм (1975). Введение в сверхпроводимость . МакГроу-Хилл.

[13] Б. Д. Джозефсон (1962). «Возможные новые эффекты в сверхпроводящем туннелировании». Физ. Летт . 1 (7): 251–253. Бибкод : 1962PhL.....1..251J . дои : 10.1016/0031-9163(62)91369-0 .

[14] Лондон, Ф .; Лондон, Х. (1935). «Электромагнитные уравнения сверхпроводника» . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 149 (866): 71. Бибкод : 1935РСПСА.149...71Л . дои : 10.1098/rspa.1935.0048 .

[15] ATHAM де Вале и Р. де Брюин Уботер (1969). «Квантовые интерференционные явления в точечных контактах двух сверхпроводников». Физика . 41 (2): 225–254. Бибкод : 1969Phy....41..225D . дои : 10.1016/0031-8914(69)90116-5 .

[16] Эссманн, У.; Трёбле, Х. (1967). «Прямое наблюдение отдельных линий потока в сверхпроводниках II рода». Буквы по физике А. 24 (10): 526. Бибкод : 1967PhLA...24..526E . дои : 10.1016/0375-9601(67)90819-5 .

[17] Андерсон, Миннесота; Эншер, младший; Мэтьюз, MR; Виман, CE; Корнелл, Э.А. (1995). «Наблюдение бозе-эйнштейновской конденсации в разбавленном атомном паре» . Наука . 269 (5221): 198–201. Бибкод : 1995Sci...269..198A . дои : 10.1126/science.269.5221.198 . ПМИД 17789847 .

[18] Швейхард, В.; Коддингтон, И.; Энгельс, П.; Тунг, С.; Корнелл, Э.А. (2004). «Динамика вихревой решетки во вращающихся спинорных конденсатах Бозе-Эйнштейна». Физ. Преподобный Летт . 93 (3): 210403. Бибкод : 2004PhRvL..93c0403N . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.030403 . hdl : 2433/39923 . ПМИД 15323808 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]