Лондонские уравнения

Когда материал падает ниже критической температуры сверхпроводимости, магнитные поля внутри материала вытесняются за счет эффекта Мейснера . Уравнения Лондона дают количественное объяснение этого эффекта.

Лондонские уравнения, разработанные братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами в 1935 году, являются определяющими соотношениями для сверхпроводника, связывающими его сверхпроводящий ток с электромагнитными полями внутри и вокруг него. В то время как закон Ома является простейшим определяющим соотношением для обычного проводника , уравнения Лондона являются простейшим содержательным описанием явлений сверхпроводимости и формируют основу практически любого современного вводного текста по этому предмету. Главным триумфом уравнений является их способность объяснить эффект Мейсснера . при этом материал экспоненциально вытесняет все внутренние магнитные поля при пересечении порога сверхпроводимости.

Описание

Есть два уравнения Лондона, выраженные через измеримые поля:

${\frac {\partial \mathbf {j} _{\rm {s}}}{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .$

Здесь ${\mathbf {j} }_{\rm {s}}$ — плотность (сверхпроводящего) тока , E и B — соответственно электрическое и магнитное поля внутри сверхпроводника, $e\,$ - заряд электрона или протона, $m\,$ - масса электрона, а $n_{\rm {s}}\,$ — феноменологическая константа, слабо связанная с плотностью сверхпроводящих носителей.

Два уравнения можно объединить в одно «Лондонское уравнение». в терминах конкретного векторного потенциала $\mathbf {A} _{\rm {s}}$ которого был манометр привязан к «лондонскому калибру», что дает:

$\mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}.$

В лондонской калибровке векторный потенциал удовлетворяет следующим требованиям, гарантирующим, что его можно интерпретировать как плотность тока:

• $\nabla \cdot \mathbf {A} _{\rm {s}}=0,$
• $\mathbf {A} _{\rm {s}}=0$ в объеме сверхпроводника,
• $\mathbf {A} _{\rm {s}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=0,$ где ${\hat {\mathbf {n} }}$ – вектор нормали к поверхности сверхпроводника.

Первое требование, также известное как кулоновское калибровочное условие, приводит к постоянной плотности сверхпроводящих электронов. ${\dot {\rho }}_{\rm {s}}=0$ как и ожидалось из уравнения непрерывности. Второе требование согласуется с тем, что вблизи поверхности течет сверхток. Третье требование обеспечивает отсутствие накопления сверхпроводящих электронов на поверхности. Эти требования устраняют всю калибровочную свободу и однозначно определяют векторный потенциал. Можно также записать уравнение Лондона в терминах произвольной калибровки $\mathbf {A}$ просто определив $\mathbf {A} _{\rm {s}}=(\mathbf {A} +\nabla \phi )$, где $\phi$ является скалярной функцией и $\nabla \phi$ - это изменение калибровки, которое переводит произвольную калибровку в лондонскую калибровку.Выражение векторного потенциала справедливо для магнитных полей, медленно меняющихся в пространстве.

Глубина проникновения Лондона

Основная статья: Глубина проникновения Лондона

Если вторым уравнением Лондона манипулировать, применяя закон Ампера ,

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j}$,

то его можно превратить в уравнение Гельмгольца для магнитного поля:

$\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B}$

где обратное собственному значению Лапласа :

$\lambda _{\rm {s}}\equiv {\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}$

– характерный масштаб длины, $\lambda _{\rm {s}}$, над которой экспоненциально подавляются внешние магнитные поля: она называется лондонской глубиной проникновения : типичные значения от 50 до 500 нм .

Например, рассмотрим сверхпроводник в свободном пространстве, где магнитное поле вне сверхпроводника имеет постоянную величину, направленную параллельно плоскости границы сверхпроводимости в направлении z . Если x ведет перпендикулярно границе, то можно показать, что решение внутри сверхпроводника имеет вид

$B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,$

Отсюда, пожалуй, легче всего понять физический смысл глубины проникновения в Лондон.

Обоснование

Оригинальные аргументы

Хотя важно отметить, что приведенные выше уравнения не могут быть выведены формально, Лондонцы действительно следовали определенной интуитивной логике при формулировании своей теории. Вещества в невероятно широком диапазоне составов ведут себя примерно в соответствии с законом Ома , который гласит, что ток пропорционален электрическому полю. Однако такая линейная зависимость невозможна в сверхпроводнике, поскольку электроны в сверхпроводнике текут почти по определению без какого-либо сопротивления. Для этого братья Лондон представляли электроны как свободные электроны, находящиеся под действием однородного внешнего электрического поля. По закону сил Лоренца

$\mathbf {F} =m{\dot {\mathbf {v} }}=-e\mathbf {E} -e\mathbf {v} \times \mathbf {B}$

эти электроны должны столкнуться с однородной силой и, таким образом, они фактически должны ускоряться равномерно. Предположим, что электроны в сверхпроводнике теперь движутся электрическим полем, тогда по определению плотности тока $\mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}$мы должны иметь

${\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}=-n_{\rm {s}}e{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E}$

Это первое уравнение Лондона. Чтобы получить второе уравнение, возьмите ротор первого уравнения Лондона и примените закон Фарадея :

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$,

чтобы получить

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} \right)=0.$

В его нынешнем виде это уравнение допускает как постоянные, так и экспоненциально затухающие решения. На основании эффекта Мейснера Лондоны осознали, что постоянные ненулевые решения нефизичны, и таким образом постулировали, что не только производная по времени приведенного выше выражения равна нулю, но также и то, что выражение в скобках должно быть тождественно нулю:

$\nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0$

Это приводит ко второму уравнению Лондона и $\mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}$ (с точностью до калибровочного преобразования, которое фиксируется выбором «Лондонской калибровки»), поскольку магнитное поле определяется через $B=\nabla \times A_{\rm {s}}.$

Кроме того, по закону Ампера $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}$ , можно вывести, что: $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \times \mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .$

С другой стороны, поскольку $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$, у нас есть $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B}$, что приводит к тому, что пространственное распределение магнитного поля подчиняется:

$\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B}$

с глубиной проникновения $\lambda _{\rm {s}}={\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}$. В одном измерении такое уравнение Гельмгольца имеет вид решения $B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,$

Внутри сверхпроводника $(x>0)$, магнитное поле экспоненциально затухает, что хорошо объясняет эффект Мейснера. Зная распределение магнитного поля, мы можем воспользоваться законом Ампера. $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}$ снова увидеть, что сверхток $\mathbf {j} _{\rm {s}}$также течет вблизи поверхности сверхпроводника, как и ожидалось из требований интерпретации $\mathbf {j} _{\rm {s}}$как физический ток.

Хотя приведенное выше обоснование справедливо для сверхпроводника, можно аналогичным образом рассуждать и об идеальном проводнике. Однако одним важным фактом, который отличает сверхпроводник от идеального проводника, является то, что идеальный проводник не проявляет эффекта Мейснера для $T<T_{c}$. Фактически постулат $\nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0$ не выполняется для идеального проводника. Вместо этого производная по времени должна сохраняться и не может быть просто удалена. Это приводит к тому, что производная по времени $\mathbf {B}$ поле (вместо $\mathbf {B}$ поле) подчиняется:

$\nabla ^{2}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Для $T<T_{c}$, глубоко внутри у нас есть идеальный проводник ${\dot {\mathbf {B} }}=0$ скорее, чем $\mathbf {B} =0$ как сверхпроводник. Следовательно, исчезнет ли магнитный поток внутри идеального проводника, зависит от начального состояния (охлаждается ли он в нулевом поле или нет).

Аргументы канонического импульса

Уравнения Лондона можно обосновать и другими способами. Плотность тока определяется по уравнению

$\mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}.$

Переведя это выражение из классического описания в квантовомеханическое, мы должны заменить значения $\mathbf {j} _{\rm {s}}$ и $\mathbf {v} _{\rm {s}}$ ожидаемыми значениями их операторов. Оператор скорости

$\mathbf {v} _{\rm {s}}={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} +e\mathbf {A} _{\rm {s}}\right)$

определяется путем деления калибровочно-инвариантного кинематического оператора импульса на массу частицы m . Обратите внимание, что мы используем $-e$ как заряд электрона.Затем мы можем сделать эту замену в приведенном выше уравнении. Однако важное предположение микроскопической теории сверхпроводимости состоит в том, что сверхпроводящее состояние системы является основным состоянием, и согласно теореме Блоха, в таком состоянии канонический импульс p равен нулю. Это оставляет

$\mathbf {j} =-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}},$

которое представляет собой уравнение Лондона согласно второй формулировке, приведенной выше.