Заппа – Хороший продукт

В математике , особенно в теории групп , произведение Заппы-Сепа (также известное как произведение Заппы-Редея-Сепа , общее произведение , связанное произведение , точная факторизация или произведение с двойным скрещиванием ) описывает способ, которым группа может быть построена из двух подгрупп . Это обобщение прямого и полупрямого произведения . Он назван в честь Гвидо Заппы (1940) и Ено Сепа (1950), хотя его независимо изучали другие, в том числе Б. Х. Нейман (1935), Г. А. Миллер (1935) и Ж. А. де Сегье (1904). ^[1]

Внутренние продукты Zappa – Nice

Пусть G — группа с единицей e , и пусть H и K подгруппы G. — Следующие утверждения эквивалентны:

G = HK и H ∩ K = { e }
Для каждого g в G существует единственный h в H и единственный k в K такие, что g = hk .

одно из этих утверждений (а, следовательно, и оба) верно, то G называется внутренним произведением Заппы–Сепа H Если и K .

Примеры

Пусть G = GL( n , C ), общая линейная группа размера обратимых n × n матриц над комплексными числами . Для каждой матрицы A в G QR -разложение утверждает, что существует уникальная унитарная матрица Q и уникальная верхняя треугольная матрица R с положительными действительными элементами на главной диагонали, такие что A = QR . Таким образом, G является произведением Заппы – Сепа унитарной группы U ( n ) и группы (скажем) K верхнетреугольных матриц с положительными диагональными элементами.

Одним из наиболее важных примеров этого является теорема Филипа Холла 1937 года о существовании силовских систем разрешимых групп . Это показывает, что каждая разрешимая группа является произведением Заппы–Сепа холловской p' -подгруппы и силовской p -подгруппы, и фактически, что группа является (кратным фактором) произведением Заппы–Сепа определенного набора представителей ее Силовские подгруппы.

В 1935 году Джордж Миллер показал, что любая нерегулярная транзитивная группа подстановок с регулярной подгруппой является произведением Заппы – Сепа регулярной подгруппы и стабилизатора точки. В качестве примеров он приводит PSL(2,11) и знакопеременную группу степени 5, и, конечно же, примером является каждая знакопеременная группа простой степени. В той же статье приводится ряд примеров групп, которые не могут быть реализованы как произведения Заппы–Сепа собственных подгрупп, таких как группа кватернионов и знакопеременная группа степени 6.

Внешние продукты Zappa – Nice

Как и в случае с прямыми и полупрямыми произведениями, существует внешняя версия произведения Заппы – Сепа для групп, о которых априори не известно , что они являются подгруппами данной группы. Чтобы мотивировать это, пусть G = HK — внутреннее произведение Заппы–Сепа подгрупп H и K группы G . Для каждого k в K и каждого h в H существуют α( k , h ) в H и β( k , h ) в K такие, что kh = α( k , h ) β( k , h ). Это определяет отображения α : K × H → H и β : K × H → K , которые обладают следующими свойствами:

α( e , час ) = час и β( k , e ) знак равно k для всех h в H и k в K .
α( k ₁ k ₂ , час ) знак равно α( k ₁ , α( k ₂ , час ))
β( k , час ₁ час ₂ ) знак равно β(β( k , час ₁ ), час ₂ )
α( k , час ₁ час ₂ ) знак равно α( k , час ₁ ) α(β( k , час ₁ ), час ₂ )
β( k ₁ k ₂ , час ) знак равно β( k ₁ , α ( k ₂ , час )) β( k ₂ , час )

для всех h ₁ , h ₂ в H , k ₁ , k ₂ в K . Из них следует, что

каждого k из K отображение h ↦ α( k , h является биекцией H. Для )
Для каждого h в H отображение k ↦ β( k , h является биекцией K. )

(Действительно, предположим, что α( k , h ₁ ) = α( k , h ₂ ). Тогда h ₁ = α( k ⁻¹k , час ₁ ) знак равно α( k ⁻¹, α( k , час ₁ )) = α( k ⁻¹, α( k , час ₂ )) знак равно час ₂ . Это устанавливает инъективность, а для сюръективности используйте h = α( k , α( k ⁻¹, ч )))

Более кратко, первые три свойства, приведенные выше, утверждают, что отображение α : K × H → H является левым действием K на (основном множестве) H на (основном множестве) H и что β : K × H → K является правым действием H и что β : K × H → K является правым действием H на (основном множестве базовый набор) K . Если обозначить левое действие через h → ^кh и правильное действие по k → k ^час, то последние два свойства равны ^к( час ₁ час ₂ ) знак равно ^кчас ₁ ^{к ^{час ₁}}час ₂ и ( k ₁ k ₂ ) ^час = к ₁^{^{к ₂}час} к ₂^час.

Обратно, предположим, что H и K — группы (и пусть e обозначает единичный элемент каждой группы) и предположим, что существуют отображения α : K × H → H и β : K × H → K, удовлетворяющие указанным выше свойствам. На декартовом произведении H × K определим отображение умножения и инверсии соответственно:

( час ₁ , k ₁ ) ( час ₂ , k ₂ ) знак равно ( час ₁ α( k ₁ , час ₂ ), β( k ₁ , час ₂ ) k ₂ )
( час , к ) ⁻¹ = (α( k ⁻¹, ч ⁻¹), b( k ⁻¹, ч ⁻¹))

Тогда H × K — группа, называемая внешним Заппы–Сепа групп H и K. произведением Подмножества K H × { } и { e } × K являются подгруппами изоморфными , H и K соответственно, а H × e фактически является внутренним произведением Заппы–Сепа групп H × { e } и { e } × K. .

Отношение к полупрямым и прямым продуктам

Пусть G = HK — внутреннее произведение Заппы–Сепа подгрупп H и K . Если H нормальна = в G , то отображения α и β имеют вид соответственно α( k , h ) khk ^{− 1} и β( k , час ) знак равно k . Это легко увидеть, потому что $(h_{1}k_{1})(h_{2}k_{2})=(h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1})(k_{1}k_{2})$ и $h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H$ поскольку по нормальности $H$ , $k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H$ . В этом случае G является внутренним полупрямым H и K. произведением

Если, кроме того, K нормален в G , то α( k , h ) = h . В этом случае G является внутренним прямым H и K. произведением

Ссылки

^ Мартин В. Либек ; Шерил Э. Прегер; Ян Саксл (2010). Регулярные подгруппы примитивных групп перестановок . Американское математическое соц. стр. 1–2. ISBN 978-0-8218-4654-4 .

Хупперт, Б. (1967), Конечные группы (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2 , МР 0224703 , OCLC 527050 , гл. VI, §4.
Михор, П.В. (1989), «Вязаные произведения градуированных алгебр и групп Ли», Труды Зимней школы по геометрии и физике, Срни , Suppl. Rendiconti Circolo Matematico di Palermo, Ser. II, 22 : 171–175, arXiv : math/9204220 , Bibcode : 1992math......4220M .
Миллер, Джорджия (1935), «Группы, являющиеся произведениями двух перестановочных собственных подгрупп», Proceedings of the National Academy of Sciences , 21 (7): 469–472, Bibcode : 1935PNAS...21..469M , doi : 10.1073/pnas.21.7.469 , PMC 1076628 , PMID 16588002
Сеп, Дж. (1950), «О структуре групп, которые можно представить в виде произведения двух подгрупп», Acta Sci. Математика. Сегед , 12 : 57–61 .
Такеучи, М. (1981), "Совпадающие пары групп и бисмаш-произведения алгебр Хопфа", Comm. Алгебра , 9 (8): 841–882, doi : 10.1080/00927878108822621 .
Заппа, Г. (1940), «О построении групп произведений двух данных подгрупп, перестановочных между собой», Труды Второго конгресса. Мэтт. Итальянский , Болонья {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) ; Edizioni Cremonense, Рим, (1942) 119–125.
Агор, Алабама; Чирваситу, А.; Ион, Б.; Милитару, Г. (2007), Проблемы факторизации для конечных групп , arXiv : math/0703471 , Bibcode : 2007math......3471A , doi : 10.1007/s10468-009-9145-6 , S2CID 18024087 .
Брин, МГ (2005). «О продукте Заппы-Сзепа». Связь в алгебре . 33 (2): 393–424. arXiv : math/0406044 . дои : 10.1081/AGB-200047404 . S2CID 15169734 .

[LiebeckPraeger2010-1] Мартин В. Либек ; Шерил Э. Прегер; Ян Саксл (2010). Регулярные подгруппы примитивных групп перестановок . Американское математическое соц. стр. 1–2. ISBN 978-0-8218-4654-4 .

[1]