Прочность материалов

Область прочности материалов (также называемая механикой материалов ) обычно относится к различным методам расчета напряжений и деформаций в элементах конструкций, таких как балки, колонны и валы. Методы, используемые для прогнозирования реакции конструкции под нагрузкой и ее восприимчивости к различным режимам разрушения, учитывают такие свойства материалов, как предел текучести , предел прочности , модуль Юнга и коэффициент Пуассона . Кроме того, учитываются макроскопические свойства (геометрические свойства) механического элемента, такие как его длина, ширина, толщина, граничные ограничения и резкие изменения геометрии, такие как отверстия.

Теория началась с рассмотрения поведения одномерных и двумерных элементов конструкций, напряженные состояния которых можно аппроксимировать как двумерные, а затем была обобщена на три измерения для разработки более полной теории упругого и пластического поведения материалов. . Важным пионером-основателем механики материалов был Стефан Тимошенко .

Определение

В механике материалов прочность материала — это его способность выдерживать приложенную нагрузку без разрушения или пластической деформации . Область сопротивления материалов занимается силами и деформациями, возникающими в результате их воздействия на материал. Нагрузка, приложенная к механическому элементу, вызывает внутренние силы внутри элемента, называемые напряжениями, если эти силы выражены в единицах измерения. Напряжения, действующие на материал, вызывают различные деформации материала, вплоть до его полного разрушения. Деформация материала называется деформацией, когда эти деформации также приводятся к единице.

Напряжения и деформации, возникающие внутри механического элемента, необходимо рассчитать, чтобы оценить несущую способность этого элемента. Для этого требуется полное описание геометрии элемента, его ограничений, нагрузок, приложенных к элементу, и свойств материала, из которого он состоит. Прилагаемые нагрузки могут быть осевыми (растяжение или сжатие) или вращательными (сила сдвига). Имея полное описание нагрузки и геометрии элемента, можно рассчитать состояние напряжения и состояние деформации в любой точке элемента. Как только состояние напряжения и деформации внутри элемента станет известно, можно рассчитать прочность (несущую способность) этого элемента, его деформации (качества жесткости) и его устойчивость (способность сохранять свою первоначальную конфигурацию).

Рассчитанные напряжения затем можно сравнить с некоторыми показателями прочности элемента, такими как предел текучести материала или предел прочности. Рассчитанный прогиб элемента можно сравнить с критериями отклонения, основанными на использовании элемента. Рассчитанную нагрузку на продольный изгиб элемента можно сравнить с приложенной нагрузкой. Рассчитанная жесткость и распределение массы элемента можно использовать для расчета динамической реакции элемента, а затем сравнивать с акустической средой, в которой он будет использоваться.

Прочность материала относится к точке на инженерной кривой растяжения (предел текучести), за которой материал испытывает деформации, которые не будут полностью устранены после снятия нагрузки, и в результате элемент будет иметь постоянный прогиб. Предел прочности материала относится к максимальному значению достигнутого напряжения. Прочность на излом – это значение напряжения при разрушении (последнее зарегистрированное значение напряжения).

Виды погрузок

Поперечные нагрузки – силы, приложенные перпендикулярно продольной оси элемента. Поперечная нагрузка заставляет элемент изгибаться и отклоняться от исходного положения, при этом внутренние напряжения растяжения и сжатия сопровождают изменение кривизны элемента. ^[1] Поперечная нагрузка также вызывает силы сдвига, которые вызывают сдвиговую деформацию материала и увеличивают поперечное отклонение элемента.
Осевая нагрузка. Приложенные силы коллинеарны продольной оси элемента. Силы заставляют член либо растягиваться, либо укорачиваться. ^[2]
Крутильная нагрузка – скручивающее действие, вызываемое парой пар внешних равных и противоположно направленных сил, действующих в параллельных плоскостях, или одной внешней парой, приложенной к элементу, один конец которого зафиксирован от вращения.

Условия стресса

Одноосное напряжение выражается выражением

\sigma ={\frac {F}{A}}

где F — сила [Н], действующая на площадь A [м ²]. ^[3] Эта область может быть недеформированной или деформированной, в зависимости от того, инженерное напряжение представляет ли интерес или истинное напряжение.

Сжимающее напряжение (или сжатие ) — это напряженное состояние, вызванное приложенной нагрузкой, которое приводит к уменьшению длины материала ( сжимающего элемента ) вдоль оси приложенной нагрузки. Другими словами, это напряженное состояние, вызывающее сжатие. материала. Простым случаем сжатия является одноосное сжатие, вызванное действием противоположных толкающих сил. Прочность материалов на сжатие обычно выше, чем их прочность на растяжение. Однако конструкции, нагруженные сжатием, подвержены дополнительным видам разрушения, таким как потеря устойчивости , которые зависят от геометрии элемента.
Растягивающее напряжение — это напряженное состояние, вызванное приложенной нагрузкой, которая имеет тенденцию удлинять материал вдоль оси приложенной нагрузки, другими словами, напряжение, вызванное растяжением материала. Прочность конструкций равной площади поперечного сечения, нагруженных на растяжение, не зависит от формы поперечного сечения. Материалы, нагруженные растяжением, подвержены концентрациям напряжений, таким как дефекты материала или резкие изменения геометрии. Однако материалы, демонстрирующие пластичность (например, большинство металлов), могут выдерживать некоторые дефекты, в то время как хрупкие материалы (такие как керамика) могут разрушаться значительно ниже предела прочности материала.
Напряжение сдвига — это напряженное состояние, вызванное объединенной энергией пары противоположных сил, действующих вдоль параллельных линий действия через материал, другими словами, напряжение, вызванное скольжением граней материала относительно друг друга. Пример: разрезание бумаги ножницами. ^[4] или напряжения из-за скручивающей нагрузки.

Параметры напряжения для сопротивления

Сопротивление материала может быть выражено в нескольких параметрах механического напряжения . Термин «прочность материала» используется применительно к параметрам механического напряжения . Это физические величины , размерность которых однородна давлению и силе на единицу поверхности . Таким образом, традиционной единицей измерения силы являются МПа в Международной системе единиц и фунты на квадратный дюйм между обычными единицами США . К параметрам прочности относятся: предел текучести, предел прочности, усталостная прочность, трещиностойкость и другие параметры. ^{[ нужна ссылка ]}

Предел текучести — это наименьшее напряжение, вызывающее остаточную деформацию материала. В некоторых материалах, таких как алюминиевые сплавы , точку текучести трудно определить, поэтому ее обычно определяют как напряжение, необходимое для возникновения пластической деформации 0,2%. Это называется испытательным напряжением 0,2%. ^[5]

Прочность на сжатие — это предельное состояние сжимающего напряжения , которое приводит к разрушению материала в виде пластического разрушения (бесконечный теоретический предел текучести) или хрупкого разрушения (разрыв в результате распространения трещины или скольжения по слабой плоскости — см. Прочность на сдвиг ). .
Предел прочности или предел прочности при растяжении - это предельное состояние напряжения растяжения , которое приводит к разрушению при растяжении по типу пластического разрушения (текучесть как первая стадия этого разрушения, некоторое затвердевание на второй стадии и разрушение после возможного образования «шеи»). или хрупкое разрушение (внезапное разрушение на две или более частей в состоянии низкого напряжения). Предел прочности может быть указан либо как истинное напряжение, либо как инженерное напряжение, но наиболее часто используется инженерное напряжение.
Усталостная прочность – более сложная мера прочности материала, учитывающая несколько эпизодов нагружения за период службы объекта. ^[6] и его обычно труднее оценить, чем измерения статической прочности. Усталостная прочность указана здесь как простой диапазон ( $\Delta \sigma =\sigma _{\mathrm {max} }-\sigma _{\mathrm {min} }$ ). В случае циклической нагрузки ее можно соответствующим образом выразить как амплитуду , обычно при нулевом среднем напряжении, а также количество циклов до разрушения в этом состоянии нагрузки.

Ударная вязкость – это способность материала выдерживать внезапно приложенную нагрузку, которая выражается в энергии. Часто измеряется с помощью теста на ударную вязкость по Изоду или теста на удар по Шарпи , оба из которых измеряют энергию удара, необходимую для разрушения образца. Объем, модуль упругости , распределение сил и предел текучести влияют на ударную вязкость материала. Чтобы материал или объект имел высокую ударную вязкость, напряжения должны распределяться равномерно по всему объекту. Он также должен иметь большой объем с низким модулем упругости и высоким пределом текучести материала. ^[7]

Параметры деформации по сопротивлению

Деформация материала — это изменение геометрии, возникающее при приложении напряжения (в результате приложенных сил, гравитационных полей, ускорений, теплового расширения и т. д.). Деформация выражается полем смещения материала. ^[8]
Деформация или уменьшенная деформация — это математический термин, который выражает тенденцию изменения деформации в материальном поле. Деформация – это деформация на единицу длины. ^[9] В случае одноосного нагружения смещение образца (например, стержневого элемента) приводит к расчету деформации, выраженной как частное смещения и исходной длины образца. Для трехмерных полей смещений оно выражается как производные функций смещения через тензор второго порядка (с 6 независимыми элементами).
Прогиб – это термин, описывающий величину, на которую смещается элемент конструкции под действием приложенной нагрузки. ^[10]

Отношения напряжение-деформация

Эластичность – это способность материала возвращаться к своей прежней форме после снятия напряжения. Во многих материалах связь между приложенным напряжением прямо пропорциональна результирующей деформации (до определенного предела), и график, представляющий эти две величины, представляет собой прямую линию.

Наклон этой линии известен как модуль Юнга или «модуль упругости». Модуль упругости можно использовать для определения зависимости напряжение-деформация на линейно-упругой части кривой напряжение-деформация. Линейно-упругая область находится либо ниже предела текучести, либо, если предел текучести нелегко определить на графике растяжения-деформации, он определяется как область деформации от 0 до 0,2% и определяется как область деформации, в которой нет происходит текучесть (остаточная деформация). ^[11]

Пластичность или пластическая деформация является противоположностью упругой деформации и определяется как невосстановимая деформация. Пластическая деформация сохраняется после снятия приложенного напряжения. Большинство материалов линейно-упругой категории обычно способны к пластической деформации. Хрупкие материалы, такие как керамика, не подвергаются пластической деформации и разрушаются при относительно небольших нагрузках, в то время как пластичные материалы, такие как металлы, свинец или полимеры, пластически деформируются гораздо сильнее до начала разрушения.

Рассмотрим разницу между морковкой и жевательной резинкой. Морковь очень немного растянется, прежде чем сломается. С другой стороны, жевательная резинка будет сильно пластически деформироваться, прежде чем окончательно сломаться.

Условия проектирования

Предельная прочность — это атрибут, относящийся к материалу, а не просто к конкретному образцу, изготовленному из материала, и поэтому она выражается как сила на единицу площади поперечного сечения (Н/м). ²). Предельная прочность — это максимальное напряжение, которое материал может выдержать, прежде чем он сломается или ослабнет. ^[12] Например, предел прочности на разрыв (UTS) стали AISI 1018 составляет 440 МПа . В британских единицах единицей напряжения является фунт-сила/дюйм. ² или фунт-сила на квадратный дюйм . Эту единицу часто сокращают до psi . Одна тысяча фунтов на квадратный дюйм сокращенно кси .

Фактор безопасности — это критерии проектирования, которым должен соответствовать проектируемый компонент или конструкция. $FS=UTS/R$ , где FS: коэффициент запаса прочности, R: приложенное напряжение и UTS: предельное напряжение (фунт на квадратный дюйм или Н/м). ²) ^[13]

Запас прочности также иногда используется в качестве критерия проектирования. Оно определяется MS = нагрузка при отказе/(коэффициент запаса прочности × прогнозируемая нагрузка) − 1.

Например, для достижения коэффициента запаса прочности 4 допустимое напряжение в стальном компоненте AISI 1018 можно рассчитать как $R=UTS/FS$ = 440/4 = 110 МПа, или $R$ = 110×10 ⁶ Н/м ². Такие допустимые напряжения также известны как «расчетные напряжения» или «рабочие напряжения».

Расчетные напряжения, определенные по значениям пределов текучести или предела текучести материалов, дают безопасные и надежные результаты только для случая статического нагружения. Многие детали машин выходят из строя при воздействии нестационарных и непрерывно меняющихся нагрузок, даже если возникающие напряжения ниже предела текучести. Такие отказы называются усталостными. Разрушение происходит из-за перелома, который кажется хрупким, практически без видимых признаков податливости. Однако, когда напряжение поддерживается ниже «усталостного напряжения» или «предельного напряжения выносливости», деталь будет выдерживать неопределенное время. Чисто реверсивное или циклическое напряжение — это напряжение, при котором в течение каждого цикла работы чередуются равные положительные и отрицательные пиковые напряжения. При чисто циклическом напряжении среднее напряжение равно нулю. Когда деталь подвергается циклическому напряжению, также известному как диапазон напряжений (Sr), было замечено, что разрушение детали происходит после ряда изменений напряжения (N), даже если величина диапазона напряжений ниже допустимого. предел текучести материала. Как правило, чем выше диапазон стресса, тем меньшее количество разворотов необходимо для неудачи.

Теории неудач

Существует четыре теории разрушения: теория максимального напряжения сдвига, теория максимального нормального напряжения, теория максимальной энергии деформации и теория максимальной энергии искажения. Из этих четырех теорий разрушения теория максимального нормального напряжения применима только для хрупких материалов, а остальные три теории применимы для пластичных материалов. Из последних трех теория энергии искажения дает наиболее точные результаты в большинстве стрессовых условий. Теория энергии деформации требует значения коэффициента Пуассона материала детали, который часто недоступен. Теория максимального напряжения сдвига консервативна. Для простых однонаправленных нормальных напряжений все теории эквивалентны, а это означает, что все теории дадут один и тот же результат.

Теория максимального напряжения сдвига . Эта теория постулирует, что разрушение произойдет, если величина максимального напряжения сдвига в детали превысит прочность на сдвиг материала, определенную в результате одноосных испытаний.
Теория максимального нормального напряжения . Эта теория постулирует, что разрушение произойдет, если максимальное нормальное напряжение в детали превысит предельное растягивающее напряжение материала, определенное в результате одноосных испытаний. Эта теория имеет дело только с хрупкими материалами. Максимальное растягивающее напряжение должно быть меньше или равно предельному растягивающему напряжению, разделенному на коэффициент запаса прочности. Величина максимального напряжения сжатия должна быть меньше предельного напряжения сжатия, деленного на коэффициент запаса прочности.
Теория максимальной энергии деформации . Эта теория постулирует, что разрушение произойдет, когда энергия деформации на единицу объема из-за приложенных напряжений в детали равна энергии деформации на единицу объема в пределе текучести при одноосных испытаниях.
Теория максимальной энергии искажения . Эта теория также известна как теория энергии сдвига или теория фон Мизеса-Хенки . Эта теория постулирует, что отказ произойдет, когда энергия деформации на единицу объема из-за приложенных напряжений в детали равна энергии деформации на единицу объема в пределе текучести при одноосных испытаниях. Полную упругую энергию деформации можно разделить на две части: одна часть вызывает изменение объема, а другая часть вызывает изменение формы. Энергия искажения — это количество энергии, необходимое для изменения формы.
Механика разрушения была создана Аланом Арнольдом Гриффитом и Джорджем Рэнкином Ирвином . Эта важная теория также известна как числовое преобразование вязкости материала в случае наличия трещины.

Прочность материала зависит от его микроструктуры . Инженерные процессы, которым подвергается материал, могут изменить эту микроструктуру. Разнообразие механизмов упрочнения , которые изменяют прочность материала, включает нагартование , упрочнение твердого раствора , дисперсионное твердение и упрочнение границ зерен и может быть объяснено количественно и качественно. Механизмы усиления сопровождаются оговоркой о том, что некоторые другие механические свойства материала могут ухудшиться в попытке сделать материал более прочным. Например, при упрочнении границ зерен, хотя предел текучести максимизируется с уменьшением размера зерна, в конечном итоге очень маленькие размеры зерен делают материал хрупким. В общем, предел текучести материала является адекватным показателем механической прочности материала. Учитывая тот факт, что предел текучести является параметром, который прогнозирует пластическую деформацию материала, можно принимать обоснованные решения о том, как повысить прочность материала, в зависимости от его микроструктурных свойств и желаемого конечного эффекта. Прочность выражается через предельные значения сжимающее напряжение , растягивающее напряжение и касательное напряжение , которые могут привести к разрушению. Эффекты динамической нагрузки, вероятно, являются наиболее важным практическим аспектом прочности материалов, особенно проблемы усталости . Повторяющиеся нагрузки часто вызывают хрупкие трещины, которые растут до тех пор, пока не произойдет разрушение. Трещины всегда возникают при концентрациях напряжений , особенно при изменениях поперечного сечения изделия, вблизи отверстий и углов, при номинальных уровнях напряжения, намного меньших, чем те, которые указаны для прочности материала.

См. также

Ползучесть (деформация) – тенденция твердого материала медленно двигаться или постоянно деформироваться под действием механического напряжения.
Карта механизма деформации - микроскопические процессы, ответственные за изменения в структуре, форме и объеме материала.
Динамика — описание физики больших объектов.
Усталость (материала) . Возникновение и распространение трещин в материале из-за циклического нагружения.
Криминалистическая экспертиза – Расследование отказов, связанных с юридическим вмешательством.
Механика разрушения - Исследование распространения трещин в материалах.
Вязкость разрушения - коэффициент интенсивности напряжений, при котором распространение трещины резко увеличивается.
Список свойств материалов § Механические свойства
Выбор материала – шаг в процессе проектирования физических объектов.
Молекулярная диффузия - тепловое движение частиц жидкости или газа при температурах выше абсолютного нуля.
Удельная прочность - отношение прочности к массе материала.
Статика - раздел механики, изучающий баланс сил в неподвижных системах.
Универсальная испытательная машина - тип оборудования для определения прочности материала на растяжение или сжатие.

Ссылки

^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 210. ИСБН 978-0-07-352938-7 .
^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 7. ISBN 978-0-07-352938-7 .
^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 5. ISBN 978-0-07-352938-7 .
^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 9–10. ISBN 978-0-07-352938-7 .
^ Пиво, Фердинанд Пьер; Джонстон, Элвуд Рассел; Девольф, Джон Т. (2009). Механика материалов (5-е изд.). п. 52. ИСБН 978-0-07-352938-7 .
^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 60. ИСБН 978-0-07-352938-7 .
^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 693–696. ISBN 978-0-07-352938-7 .
^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 47. ИСБН 978-0-07-352938-7 .
^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 49. ИСБН 978-0-07-352938-7 .
^ Р. К. Хиббелер (2009). Структурный анализ (7-е изд.). Пирсон Прентис Холл. п. 305. ИСБН 978-0-13-602060-8 .
^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 53–56. ISBN 978-0-07-352938-7 .
^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 27–28. ISBN 978-0-07-352938-7 .
^ Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 28. ISBN 978-0-07-352938-7 .

Дальнейшее чтение

Фа-Хва Ченг, инициалы. (1997). Прочность материала. Огайо: МакГроу-Хилл
Механика материалов, Э.Дж. Хирн
Альфиревич, Иво. Сопротивление материалов И. Техническая книга, 1995. ISBN 953-172-010-Х .
Альфиревич, Иво. Сопротивление материалов II . Техническая книга, 1999. ISBN 953-6168-85-5 .
Эшби, М.Ф. Выбор материалов в дизайне . Пергамон, 1992 год.
Бир, Ф.П., Э.Р. Джонстон и др. Механика материалов , 3-е изд. МакГроу-Хилл, 2001. ISBN 0-07-248673-2
Коттрелл, А.Х. Механические свойства материи . Уайли, Нью-Йорк, 1964 год.
Ден Хартог, Джейкоб П. Сопротивление материалов . Dover Publications, Inc., 1961 г., ISBN 0-486-60755-0 .
Друкер, Д.К. Введение в механику деформируемого твердого тела . МакГроу-Хилл, 1967 год.
Гордон, Дж. Э. Новая наука о прочных материалах . Принстон, 1984 год.
Грувер, Микелл П. Основы современного производства , 2-е издание. Джон Вили и сыновья, Inc., 2002. ISBN 0-471-40051-3 .
Хашеми, Джавад и Уильям Ф. Смит. Основы материаловедения и инженерии , 4-е издание. МакГроу-Хилл, 2006. ISBN 0-07-125690-3 .
Хиббелер, RC Статика и механика материалов , издание SI. Прентис-Холл, 2004. ISBN 0-13-129011-8 .
Лебедев, Леонид П. и Майкл Дж. Клауд. Приближение к совершенству: путешествие математика в мир механики . Издательство Принстонского университета, 2004. ISBN 0-691-11726-8 .
Глава 10 – Прочность эластомеров , AN Gent, WV Mars, В: Джеймс Э. Марк, Бурак Эрман и Майк Роланд, редактор(ы), The Science and Technology of Rubber (четвертое издание), Academic Press, Бостон, 2013, страницы 473–516, ISBN 9780123945846 , 10.1016/B978-0-12-394584-6.00010-8
Мотт, Роберт Л. Прикладное сопротивление материалов , 4-е издание. Прентис-Холл, 2002. ISBN 0-13-088578-9 .
Попов Егор П. Инженерная механика твердого тела . Прентис Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1990 год. ISBN 0-13-279258-3 .
Рамамрутам, С. Сопротивление материалов .
Шеймс, И.Х. и Ф.А. Коццарелли. Анализ упругих и неупругих напряжений . Прентис-Холл, 1991. ISBN 1-56032-686-7 .
Тимошенко С. Сопротивление материалов , 3-е изд. Издательская компания Кригера, 1976 г., ISBN 0-88275-420-3 .
Тимошенко, С.П. и Д.Х. Янг. Элементы сопротивления материалов , 5-е изд. (Система МКС)
Дэвидж, Р.В., Механическое поведение керамики, Кембриджская серия по науке о твердом теле, (1979)
Лоун, БР, Разрушение хрупких твердых тел, Кембриджская серия по науке о твердом теле, 2-е изд. (1993)
Грин, Д., Введение в механические свойства керамики, Кембриджская серия по науке о твердом теле, под ред. Кларк, Д.Р., Суреш, С., Уорд, И.М.Бабу Том.К. (1998)

Внешние ссылки

[1] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 210. ИСБН 978-0-07-352938-7 .

[2] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 7. ISBN 978-0-07-352938-7 .

[3] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 5. ISBN 978-0-07-352938-7 .

[4] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 9–10. ISBN 978-0-07-352938-7 .

[5] Пиво, Фердинанд Пьер; Джонстон, Элвуд Рассел; Девольф, Джон Т. (2009). Механика материалов (5-е изд.). п. 52. ИСБН 978-0-07-352938-7 .

[6] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 60. ИСБН 978-0-07-352938-7 .

[7] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 693–696. ISBN 978-0-07-352938-7 .

[8] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 47. ИСБН 978-0-07-352938-7 .

[9] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 49. ИСБН 978-0-07-352938-7 .

[10] Р. К. Хиббелер (2009). Структурный анализ (7-е изд.). Пирсон Прентис Холл. п. 305. ИСБН 978-0-13-602060-8 .

[11] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 53–56. ISBN 978-0-07-352938-7 .

[12] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 27–28. ISBN 978-0-07-352938-7 .

[13] Бир и Джонстон (2006). Механика материалов (5-е изд.). МакГроу Хилл. п. 28. ISBN 978-0-07-352938-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Базы данных авторитетного контроля
Национальный	Испания Франция Данные БнФ Германия Израиль Соединенные Штаты Япония Чешская Республика
Другой	НАРА