Теорема Кутты – Жуковского

Теорема Кутты-Жуковского — фундаментальная теорема аэродинамики, используемая для расчета подъемной силы аэродинамического профиля ( и любого двумерного тела, включая круглые цилиндры), перемещающегося в однородной жидкости с постоянной скоростью, настолько большой, что поток, видимый в теле, фиксированная рама устойчива и неразделима . Теорема связывает подъемную силу, создаваемую аэродинамическим профилем, со скоростью крыла в жидкости, плотностью жидкости и циркуляцией вокруг аэродинамического профиля. Циркуляция определяется как интеграл по замкнутому контуру, охватывающему профиль составляющей скорости жидкости, касательной к контуру. Он назван в честь Мартина Кутты и Николая Жуковского (или Жуковского), которые впервые разработали его ключевые идеи в начале 20 века. Теорема Кутты-Жуковского представляет собой невязкую теорию , но она является хорошим приближением реального вязкого течения в типичных аэродинамических приложениях.

Теорема Кутты-Жуковского связывает подъемную силу с циркуляцией так же, как эффект Магнуса связывает боковую силу (называемую силой Магнуса) с вращением. Однако циркуляция здесь не вызывается вращением профиля. Течение жидкости при наличии профиля можно рассматривать как суперпозицию поступательного и вращающегося потоков. Этот вращающийся поток вызван эффектом развала , угла атаки и острой задней кромки профиля. Его не следует путать с вихрем, похожим на торнадо, окружающим профиль крыла. На большом расстоянии от профиля вращающийся поток можно рассматривать как индуцированный линией вихря (с вращающейся линией, перпендикулярной двумерной плоскости). При выводе теоремы Кутты-Жуковского профиль обычно отображается в круглый цилиндр. Во многих учебниках теорема доказана для круглого цилиндра и профиля Жуковского , но она справедлива и для профилей общего назначения.

Формула подъемной силы

Теорема применима к двумерному обтеканию неподвижного профиля (или любой формы с бесконечным размахом ). Лифт на единицу пролета $L'\,$профиля определяется выражением

$L^{\prime }=\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma ,$ ( 1 )

где $\rho _{\infty }$ и $V_{\infty }$ - плотность жидкости и скорость жидкости далеко вверх по потоку от профиля, и $\Gamma$ — циркуляция, определяемая как линейный интеграл

$\Gamma =\oint _{C}V\cdot d\mathbf {s} =\oint _{C}V\cos \theta \,ds$

вокруг замкнутого контура $C$ охватывающую аэродинамический профиль, и следовала в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Как поясняется ниже, этот путь должен находиться в области потенциального потока , а не в пограничном слое цилиндра. Подынтегральная функция $V\cos \theta$ – составляющая локальной скорости жидкости в направлении, касательно кривой $C$, и $ds$ - бесконечно малая длина на кривой $C$. Уравнение (1) является формой теоремы Кутты–Жуковского .

Кюте и Шетцер формулируют теорему Кутты – Жуковского следующим образом:

Сила на единицу длины, действующая на правый цилиндр любого поперечного сечения, равна $\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma$ и перпендикулярен направлению $V_{\infty }.$

Кровообращение и состояние Кутты

Основная статья: Состояние Кутты

создающий подъемную силу, Аэродинамический профиль, либо имеет выпуклость, либо работает под положительным углом атаки - углом между линией хорды и потоком жидкости далеко вверх по потоку от аэродинамического профиля. Кроме того, профиль должен иметь острую заднюю кромку.

Любая реальная жидкость является вязкой, а это означает, что скорость жидкости на профиле равна нулю. Прандтль показал, что для большого числа Рейнольдса , определяемого как ${\mathord {\text{Re}}}={\frac {\rho V_{\infty }c_{A}}{\mu }}\,$При малом угле атаки обтекание тонкого профиля состоит из узкой вязкой области, называемой пограничным слоем вблизи тела, и области невязкого течения снаружи. При применении теоремы Кутты-Жуковского петля должна выбираться вне этого пограничного слоя. (Например, циркуляция, рассчитанная с использованием контура, соответствующего поверхности аэродинамического профиля, будет равна нулю для вязкой жидкости.)

Требование острой задней кромки физически соответствует потоку, в котором жидкость, движущаяся вдоль нижней и верхней поверхностей профиля, плавно встречается, без движения жидкости вокруг задней кромки профиля. Это известно как состояние Кутты .

Кутта и Жуковский показали, что для расчета давления и подъемной силы тонкого профиля для течения при большом числе Рейнольдса и малом угле атаки поток можно считать невязким во всей области за пределами профиля при условии выполнения условия Кутты. Это известно как теория потенциального потока и прекрасно работает на практике.

Вывод

Ниже представлены два вывода. Первый — это эвристический аргумент, основанный на физическом понимании. Второй — формальный и технический, требующий базового векторного анализа и комплексного анализа .

Эвристический аргумент

В качестве эвристического аргумента рассмотрим тонкий профиль хорды. $c$ и бесконечный размах, двигаясь сквозь воздух плотности $\rho$. Пусть профиль будет наклонен к набегающему потоку, чтобы создать скорость воздуха $V$ на одной стороне профиля, а скорость воздуха $V+v$ с другой стороны. Тогда циркуляция

$\Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.\,$

Разница в давлении $\Delta P$ между двумя сторонами профиля можно найти, применив уравнение Бернулли :

${\begin{aligned}{\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)&={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,\\{\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P&={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,\\\Delta P&=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,\end{aligned}}$

поэтому нисходящая сила, действующая на воздух на единицу пролета, равна

$L'=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma \,$

а восходящая сила (подъемная сила) на аэродинамический профиль равна $\rho V\Gamma .\,$

Дифференциальная теории версия этой теоремы применяется к каждому элементу пластины и является основой тонкого профиля .

Формальный вывод

Формальный вывод теоремы Кутты – Жуковского.

Прежде всего рассчитывается сила, действующая на каждую единицу длины цилиндра произвольного сечения. Пусть эта сила на единицу длины (далее называемая просто силой) равна $\mathbf {F}$. Тогда полная сила равна:

$\mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,$

где C обозначает границу цилиндра, $p$ – статическое давление жидкости, $\mathbf {n} \,$ – единичный вектор нормали к цилиндру, ds – дуговой элемент границы сечения. Теперь позвольте $\phi$ — угол между вектором нормали и вертикалью. Тогда составляющими указанной силы будут:

$F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\,,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.$

Теперь наступает решающий шаг: рассмотрим используемое двумерное пространство как комплексную плоскость . Таким образом, каждый вектор можно представить как комплексное число , где его первый компонент равен действительной части, а второй компонент равен мнимой части комплексного числа. Тогда силу можно представить как:

$F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.$

Следующий шаг — взять комплексно-сопряженное значение силы $F$ и проделайте некоторые манипуляции:

${\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.$

Отрезки поверхности ds связаны с изменениями dz вдоль них соотношением:

${\begin{aligned}dz&=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\\{}\Rightarrow d{\bar {z}}&=e^{-i\phi }ds.\end{aligned}}$

Подключая это обратно к интегралу, получаем:

${\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.$

Теперь используется уравнение Бернулли , чтобы убрать давление из интеграла. На протяжении всего анализа предполагается, что внешнего силового поля нет. Массовая плотность потока $\rho .$ Затем давление $p$ связано со скоростью $v=v_{x}+iv_{y}$ к:

$p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.$

При этом сила $F$ становится:

${\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.$

Остался сделать только один шаг: представить $w=f(z),$ комплексный потенциал потока. Это связано с компонентами скорости как $w'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}},$ где апостроф означает дифференцирование по комплексной переменной z . Скорость касается границы C , поэтому это означает, что $v=\pm |v|e^{i\phi }.$ Поэтому, $v^{2}d{\bar {z}}=|v|^{2}dz,$ и получаем искомое выражение для силы:

${\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,$

которая называется теоремой Блазиуса .

Чтобы прийти к формуле Жуковского, необходимо вычислить этот интеграл. Из комплексного анализа известно, что голоморфную функцию можно представить в виде ряда Лорана . Из физики задачи следует, что производная комплексного потенциала $w$ будет выглядеть так:

$w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\cdots .$

Функция не содержит членов более высокого порядка, поскольку скорость остается конечной на бесконечности. Так $a_{0}\,$ представляет собой производную комплексного потенциала на бесконечности: $a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,$. Следующая задача – выяснить значение $a_{1}\,$. Используя теорему о вычетах для приведенного выше ряда:

$a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.$

Теперь выполните вышеуказанную интеграцию:

${\begin{aligned}\oint _{C}w'(z)\,dz&=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)\\&=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)\\&=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).\end{aligned}}$

Первым интегралом признается циркуляция , обозначаемая $\Gamma .$ Второй интеграл можно вычислить после некоторых манипуляций:

$\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.$

Здесь $\psi \,$ — это функция потока . Поскольку граница С цилиндра сама является линией тока, функция тока на ней не меняется, и $d\psi =0\,$. Следовательно, приведенный выше интеграл равен нулю. Как результат:

$a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.$

Возьмем квадрат ряда:

$w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\cdots .$

Подключаем это обратно к формуле Блазиуса – Чаплыгина и выполняем интегрирование с использованием теоремы о вычетах:

${\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.$

Итак, формула Кутты-Жуковского выглядит следующим образом:

${\begin{aligned}F_{x}&=\rho \Gamma v_{y\infty }\,,&F_{y}&=-\rho \Gamma v_{x\infty }.\end{aligned}}$

Подъёмная сила для более сложных ситуаций

Подъемная сила, предсказанная теоремой Кутты-Жуковского в рамках теории невязкого потенциального течения, вполне точна даже для реального вязкого течения, при условии, что течение устойчиво и неразделено. При выводе теоремы Кутты–Жуковского использовалось предположение о безвихревом течении. При наличии свободных вихрей вне тела, как это может быть в случае большого числа нестационарных течений, течение является вращательным. Когда поток вращательный, для определения подъемной силы следует использовать более сложные теории. Ниже приведены несколько важных примеров.

Импульсивно начавшийся поток при малом угле атаки

Для импульсивно начавшегося потока, например, полученного в результате внезапного ускорения профиля или установки угла атаки, вихревой слой на задней кромке постоянно образуется , а подъемная сила является нестационарной или зависит от времени. При малом угле атаки пускового потока вихревая полоса движется по плоской траектории, а кривая коэффициента подъемной силы как функция времени определяется функцией Вагнера. В этом случае начальный подъем составляет половину окончательного подъема, определяемого формулой Кутты – Жуковского. Подъемная сила достигает 90% от своего установившегося значения, когда крыло проходит расстояние около семи хорд.

Импульсивно начавшийся поток при большом угле атаки

Когда угол атаки достаточно велик, вихревой лист задней кромки изначально имеет спиральную форму, а подъемная сила в начальный момент времени сингулярна (бесконечно велика). Подъемная сила падает на очень короткий период времени, прежде чем достигается обычно предполагаемая монотонно возрастающая кривая подъемной силы.

Стартовый поток при большом угле атаки для крыльев с острыми передними кромками

Если, как у плоской пластины, передняя кромка также острая, то на передней кромке также опадают вихри, и роль вихрей передней кромки двоякая: 1) они увеличивают подъемную силу, когда они все еще находятся близко к передней кромке. , так что они повышают кривую подъемной силы Вагнера, и 2) они вредны для подъемной силы, когда они конвектируются к задней кромке, вызывая новую вихревую спираль задней кромки, движущуюся в направлении уменьшения подъемной силы. Для этого типа потока карта вихревой силовой линии (VFL) может использоваться для понимания эффекта различных вихрей в различных ситуациях (включая больше ситуаций, чем начальный поток) и может использоваться для улучшения управления вихрями для увеличения или уменьшения подъемной силы. Карта вихревых силовых линий представляет собой двухмерную карту, на которой отображаются вихревые силовые линии. Для вихря в любой точке потока его вклад в подъемную силу пропорционален его скорости, его циркуляции и косинусу угла между линией тока и силовой линией вихря. Следовательно, карта линий вихревых сил четко показывает, вызывает ли данный вихрь подъемную силу или вредит ей.

Теорема Лагалли

Когда источник (массы) закреплен вне тела, поправка силы, вызванная этим источником, может быть выражена как произведение силы внешнего источника и скорости, вызванной в этом источнике всеми причинами, кроме этого источника. Это известно как теорема Лагалли. Для двумерного невязкого течения классическая теорема Кутты Жуковского предсказывает нулевое сопротивление. Однако когда вне тела существует вихрь, возникает сопротивление, вызванное вихрем, по форме аналогичное вызванной подъемной силе.

Обобщенная теорема Лагалли

Для свободных вихрей и других тел вне одного тела без связанной завихренности и образования вихрей справедлива обобщенная теорема Лагалли: с помощью которого силы выражаются как произведения силы внутренних сингулярностей (вихрей изображений, источников и дублетов внутри каждого тела) и скорости, индуцированной в этих сингулярностях всеми причинами, кроме тех, которые находятся внутри этого тела. Вклад каждой внутренней сингулярности суммируется и дает общую силу. Движение внешних сингулярностей также вносит вклад в силы, и составляющая силы, обусловленная этим вкладом, пропорциональна скорости сингулярности.

Индивидуальная сила каждого тела при многочастичном вращательном потоке

Когда в дополнение к множественным свободным вихрям и множественным телам на поверхности тела существуют связанные вихри и образование вихрей, обобщенная теорема Лагалли по-прежнему справедлива, но существует сила, возникающая из-за образования вихрей. Эта сила производства вихрей пропорциональна скорости образования вихрей и расстоянию между образующейся парой вихрей. При таком подходе для каждого тела индивидуально для каждого тела справедлива явная и алгебраическая формула силы, учитывающая все причины (внутренние особенности, внешние вихри и тела, движение всех особенностей и тел, образование вихрей). с ролью других тел, представленных дополнительными особенностями. Следовательно, возможно силовое разложение по телам.

Общее трехмерное вязкое течение

Для общего трехмерного вязкого и нестационарного течения формулы сил выражаются в интегральных формах. Интегрирование по объему некоторых величин потока, таких как моменты завихрения, связано с силами. Различные формы интегрального подхода теперь доступны для неограниченной области. и для искусственно усеченного домена. Теорема Кутты Жуковского может быть восстановлена ​​на основе этих подходов применительно к двумерному профилю крыла и когда поток устойчив и неразделен.

Теория подъемной линии для крыльев, вихрей на законцовках крыла и вынужденного сопротивления

Крыло имеет конечный размах, и циркуляция в любой секции крыла меняется в зависимости от направления размаха. Это изменение компенсируется высвобождением продольных вихрей, называемых висячими вихрями , из-за сохранения завихренности или теоремы Кельвина о сохранении циркуляции. Эти продольные вихри сливаются в две сильные спирали, вращающиеся в противоположных направлениях, разделенные расстоянием, близким к размаху крыльев, и их ядра могут быть видны, если относительная влажность высока. Рассмотрение следящих вихрей как серии полубесконечных прямолинейных вихрей приводит к хорошо известной теории подъемных линий. Согласно этой теории, крыло имеет подъемную силу меньшую, чем предсказывает чисто двумерная теория с использованием теоремы Кутты-Жуковского. Это происходит из-за воздействия дополнительных нисходящих потоков вихрей на угол атаки крыла. Это уменьшает эффективный угол атаки крыла, уменьшая подъемную силу, создаваемую при данном угле атаки, и требует более высокого угла атаки для восстановления этой потерянной подъемной силы. При этом новом, более высоком угле атаки также увеличилось сопротивление. Индуцированное сопротивление эффективно уменьшает наклон кривой подъемной силы двумерного профиля и увеличивает угол атаки. $C_{L_{\max }}$ (при этом также уменьшая значение $C_{L_{\max }}$).

См. также

• Подковообразный вихрь

Библиография

• Милн-Томсон, LM (1973) Теоретическая аэродинамика , Dover Publications Inc, Нью-Йорк