Нейтринная теория света

Нейтринная теория света — это предположение, что фотон — это сложная частица, образованная нейтрино — антинейтрино парой . Он основан на идее, что испускание и поглощение фотона соответствуют рождению и уничтожению пары частица-античастица. Нейтринная теория света в настоящее время не принята как часть основной физики, поскольку согласно Стандартной модели фотон является элементарной частицей , калибровочным бозоном .

История

В прошлом многие частицы, которые когда-то считались элементарными, такие как протоны , нейтроны , пионы и каоны , оказались составными частицами. в 1932 году. Луи де Бройль предположил, что фотон может представлять собой комбинацию нейтрино и антинейтрино. В 1930-е годы большой интерес проявлялся к нейтринной теории света и Паскуалю Жордану . Ральф Крониг , Макс Борн Над теорией работали и другие.

в 1938 году. Морис Прайс остановила работу над теорией составных фотонов. Он показал, что условия, налагаемые коммутационными соотношениями Бозе–Эйнштейна для составного фотона, и связь между его спином и поляризацией несовместимы. Прайс также указал на другие возможные проблемы:

«Поскольку несостоятельность теории можно объяснить какой-либо одной причиной, справедливо будет сказать, что она заключается в том факте, что световые волны поляризованы поперечно, тогда как нейтринные «волны» поляризованы продольно».

и отсутствие вращательной инвариантности . В 1966 г. В. С. Березинский повторно проанализировал работу Прайса, дав более ясную картину раскрытой Прайсом проблемы.

Начиная с 1960-х годов работа над нейтринной теорией света возобновилась, и в последние годы к ней продолжает проявляться некоторый интерес. Были предприняты попытки решить проблему, указанную Прайсом, известную как теорема Прайса , и другие проблемы теории составных фотонов. Стимулом является видение естественного способа возникновения многих свойств фотонов на основе теории и знания о существовании некоторых проблем. с текущей моделью фотона. Однако экспериментальных подтверждений того, что фотон имеет сложную структуру, нет.

Некоторые из проблем нейтринной теории света заключаются в отсутствии безмассовых нейтрино со спином, параллельным и антипараллельным их импульсу, за пределами кручения Эйнштейна-Картана. и тот факт, что составные фотоны не являются бозонами. Попытки решения некоторых из этих проблем будут обсуждаться, но отсутствие безмассовых нейтрино за пределами кручения Эйнштейна-Картана делает это невозможным вне кручения Эйнштейна-Картана с помощью этой теории сформировать безмассовый фотон. Нейтринная теория света не считается частью основной физики.

Образование фотона из нейтрино

Из нейтрино можно получить поперечно поляризованные фотоны.

Нейтринное поле

Поле нейтрино удовлетворяет уравнению Дирака с нулевой массой:

$\gamma ^{\mu }p_{\mu }\Psi =0.$

Гамма -матрицы в базисе Вейля :

$\gamma ^{0}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right),\;\;\;\;\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{array}}\right),$

$\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{array}}\right),\;\;\;\;\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right).$

Матрица $\gamma ^{0}$ является эрмитовым, в то время как $\gamma ^{k}$ является антиэрмитовым. Они удовлетворяют антикоммутационному соотношению,

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I$

где $\eta ^{\mu \nu }$ — метрика Минковского с сигнатурой $(+---)$ и $I$ — единичная матрица.

Поле нейтрино определяется выражением:

$\Psi (x)={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }\left\{\left[a_{1}(\mathbf {k} )u_{+1}^{+1}(\mathbf {k} )+a_{2}(\mathbf {k} )u_{-1}^{+1}(\mathbf {k} )\right]e^{ikx}\right.$

$\left.+\left[c_{1}^{\dagger }(\mathbf {k} )u_{-1}^{-1}(\mathbf {-k} )+c_{2}^{\dagger }(\mathbf {k} )u_{+1}^{-1}(\mathbf {-k} )\right]e^{-ikx}\right\},$

где $kx$ означает $\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -k_{0}t$. $a_{1}$ и $c_{1}$ фермионов являются операторами уничтожения для $\nu _{1}$и ${\overline {\nu }}_{1}$ соответственно, в то время как $a_{2}$ и $c_{2}$ являются операторами уничтожения для $\nu _{2}$ и ${\overline {\nu }}_{2}$. $\nu _{1}$ является правым нейтрино и $\nu _{2}$ является левым нейтрино. $u$'s - спиноры с верхними и нижними индексами, относящимися к состояниям энергии и спиральности соответственно. Спинорные решения уравнения Дирака :

$u_{+1}^{+1}(\mathbf {p} )={\sqrt {{E+p_{3}} \over 2E}}\left({\begin{array}{c}1\\{{p_{1}+ip_{2}} \over {E+p_{3}}}\\0\\0\end{array}}\right),$

$u_{-1}^{-1}(\mathbf {p} )={\sqrt {{E+p_{3}} \over 2E}}\left({\begin{array}{c}{{-p_{1}+ip_{2}} \over {E+p_{3}}}\\1\\0\\0\end{array}}\right),$

$u_{+1}^{-1}(\mathbf {p} )={\sqrt {{E+p_{3}} \over 2E}}\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\\{{p_{1}+ip_{2}} \over {E+p_{3}}}\end{array}}\right),$

$u_{-1}^{+1}(\mathbf {p} )={\sqrt {{E+p_{3}} \over 2E}}\left({\begin{array}{c}0\\0\\{{-p_{1}+ip_{2}} \over {E+p_{3}}}\\1\end{array}}\right).$

Спиноры нейтрино с отрицательными импульсами связаны со спинорами нейтрино с положительными импульсами соотношением:

$u_{+1}^{+1}(\mathbf {-p} )=u_{-1}^{-1}(\mathbf {p} ),$

$u_{-1}^{-1}(\mathbf {-p} )=u_{+1}^{+1}(\mathbf {p} ),$

$u_{-1}^{+1}(\mathbf {-p} )=u_{+1}^{-1}(\mathbf {p} ),$

$u_{+1}^{-1}(\mathbf {-p} )=u_{-1}^{+1}(\mathbf {p} ).$

Составное фотонное поле

Де Бройль и Крониг предложил использовать локальное взаимодействие для связывания пары нейтрино-антинейтрино. (Розен и Сингер использовали взаимодействие дельта-потенциала при формировании составного фотона.) Ферми и Ян использовал локальное взаимодействие для связывания пары фермион-антиферминон в попытке образовать пион. Четырехвекторное поле может быть создано из пары фермион-антифермион:

$\Psi ^{\dagger }\gamma _{0}\gamma _{\mu }\Psi .$

Формировать фотонное поле можно просто:

$A_{\mu }(x)=\sum _{\mathbf {p} }{-1 \over 2{\sqrt {Vp_{0}}}}\left\{\left[Q_{R}(\mathbf {p} )u_{-1}^{-1}(\mathbf {p} )^{\dagger }\gamma _{0}\gamma _{\mu }u_{+1}^{+1}(\mathbf {p} )+Q_{L}(\mathbf {p} )u_{+1}^{+1}(\mathbf {p} )^{\dagger }\gamma _{0}\gamma _{\mu }u_{-1}^{-1}(\mathbf {p} )\right]e^{ipx}\right.$

$\left.+\left[Q_{R}^{\dagger }(\mathbf {p} )u_{+1}^{+1}(\mathbf {p} )^{\dagger }\gamma _{0}\gamma _{\mu }u_{-1}^{-1}(\mathbf {p} )+Q_{L}^{\dagger }(\mathbf {p} )u_{-1}^{-1}(\mathbf {p} )^{\dagger }\gamma _{0}\gamma _{\mu }u_{+1}^{+1}(\mathbf {p} )\right]e^{-ipx}\right\},\quad \quad (1)$

где $px=\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -p_{0}t=\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -Et$.

Операторы уничтожения правых и левых фотонов, образованных парами фермион-антифермион, определяются как:

$Q_{R}(\mathbf {p} )=\sum _{\mathbf {k} }F^{\dagger }(\mathbf {k} )\left[c_{1}(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} )a_{1}(\mathbf {p} /2+\mathbf {k} )+c_{2}(\mathbf {p} /2+\mathbf {k} )a_{2}(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} )\right]$

$Q_{L}(\mathbf {p} )=\sum _{\mathbf {k} }F^{\dagger }(\mathbf {k} )\left[c_{2}(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} )a_{2}(\mathbf {p} /2+\mathbf {k} )+c_{1}(\mathbf {p} /2+\mathbf {k} )a_{1}(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} ),\right].$

$F(\mathbf {k} )$ представляет собой спектральную функцию, нормированную на $\sum _{\mathbf {k} }\left|F(\mathbf {k} )\right|^{2}=1.$

Векторы поляризации фотонов

Векторы поляризации, соответствующие комбинациям, использованным в уравнении. (1) есть,

$\epsilon _{\mu }^{1}(p)={-1 \over {\sqrt {2}}}[u_{-1}^{-1}(\mathbf {p} )]^{\dagger }\gamma _{0}\gamma _{\mu }u_{+1}^{+1}(\mathbf {p} ),$

$\epsilon _{\mu }^{2}(p)={-1 \over {\sqrt {2}}}[u_{+1}^{+1}(\mathbf {p} )]^{\dagger }\gamma _{0}\gamma _{\mu }u_{-1}^{-1}(\mathbf {p} ).$

Выполнение матричных умножений приводит к:

$\epsilon _{\mu }^{1}(p)\!=\!{1 \over {\sqrt {2}}}\left({{-ip_{1}p_{2}\!+\!E^{2}\!+\!p_{3}E\!-\!p_{1}^{2}} \over {E(E+p_{3})}},{{-p_{1}p_{2}\!+\!iE^{2}\!+\!ip_{3}E\!-\!ip_{2}^{2}} \over {E(E+p_{3})}},{{\!-p_{1}\!-\!ip_{2}} \over E},0\right),$

$\epsilon _{\mu }^{2}(p)\!=\!{1 \over {\sqrt {2}}}\left({{ip_{1}p_{2}\!+\!E^{2}\!+\!p_{3}E\!-\!p_{1}^{2}} \over {E(E+p_{3})}},{{-p_{1}p_{2}\!-\!iE^{2}\!-\!ip_{3}E\!+\!ip_{2}^{2}} \over {E(E+p_{3})}},{{\!-p_{1}\!+\!ip_{2}} \over E},0\right),\quad (2)$

где $\epsilon _{0}^{1}(p)$ и $\epsilon _{0}^{2}(p)$ были размещены справа.

Для безмассовых фермионов векторы поляризации зависят только от направления $\mathbf {p}$. Позволять $\mathbf {n} =\mathbf {p} /|\mathbf {p} |$.

$\epsilon _{\mu }^{1}(n)\!=\!{1 \over {\sqrt {2}}}\left({{-in_{1}n_{2}\!+\!1\!+\!n_{3}\!-\!n_{1}^{2}} \over {1+n_{3}}},{{-n_{1}n_{2}\!+\!in_{1}^{2}\!+\!in_{3}^{2}\!+\!in_{3}} \over {1+n_{3}}},\!-n_{1}\!-\!in_{2},0\right),$

$\epsilon _{\mu }^{2}(n)\!=\!{1 \over {\sqrt {2}}}\left({{in_{1}n_{2}\!+\!1\!+\!n_{3}\!-\!n_{1}^{2}} \over {1+n_{3}}},{{-n_{1}n_{2}\!-\!in_{1}^{2}\!-\!in_{3}^{2}\!-\!in_{3}} \over {1+n_{3}}},\!-n_{1}\!+\!in_{2},0\right).$

Эти векторы поляризации удовлетворяют соотношению нормализации:

$\epsilon _{\mu }^{j}(p)\cdot \epsilon _{\mu }^{j*}(p)=1,$

$\epsilon _{\mu }^{j}(p)\cdot \epsilon _{\mu }^{k*}(p)=0\;\;{\text{for}}\;\;k\neq j.$

Лоренц-инвариантная точкапродукты внутреннего четырехимпульса $p_{\mu }$с векторами поляризации,

$p_{\mu }\epsilon _{\mu }^{1}(p)=0,$

$p_{\mu }\epsilon _{\mu }^{2}(p)=0.\quad \quad \quad \quad (3)$

В трёх измерениях,

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {\epsilon ^{1}} (\mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\epsilon ^{2}} (\mathbf {p} )=0,$

$\mathbf {\epsilon ^{1}} (\mathbf {p} )\times \mathbf {\epsilon ^{2}} (\mathbf {p} )=-i\mathbf {p} /p_{0},$

$\mathbf {p} \times \mathbf {\epsilon ^{1}} (\mathbf {p} )=-ip_{0}\mathbf {\epsilon ^{1}} (\mathbf {p} ),$

$\mathbf {p} \times \mathbf {\epsilon ^{2}} (\mathbf {p} )=ip_{0}\mathbf {\epsilon ^{2}} (\mathbf {p} ).\quad \quad \quad \quad (4)$

Составной фотон удовлетворяет уравнениям Максвелла.

В терминах векторов поляризации $A_{\mu }(x)$ становится,

$A_{\mu }(x)=\sum _{\mathbf {p} }{1 \over {\sqrt {2Vp_{0}}}}\left\{\left[Q_{R}(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{1}(\mathbf {p} )+Q_{L}(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{2}(\mathbf {p} )\right]e^{ipx}\right.$

$\left.+\left[Q_{R}^{\dagger }(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{1*}(\mathbf {p} )+Q_{L}^{\dagger }(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{2*}(\mathbf {p} )\right]e^{-ipx}\right\}.\quad \quad \quad (5)$

Электрическое поле $\mathbf {E} ~$и магнитное поле $\mathbf {H} ~$даны,

$\mathbf {E} (x)=-{\partial \mathbf {A} (x) \over \partial t},$

$\mathbf {H} (x)=\nabla \times \mathbf {A} (x).\quad \quad \quad \quad (6)$

Применяя уравнение (6) к уравнению (5), приводит к

$E_{\mu }(x)=i\sum _{\mathbf {p} }{{\sqrt {p_{0}}} \over {\sqrt {2V}}}\left\{\left[Q_{R}(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{1}(\mathbf {p} )+Q_{L}(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{2}(\mathbf {p} )\right]e^{ipx}\right.$

$\left.-\left[Q_{R}^{\dagger }(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{1*}(\mathbf {p} )+Q_{L}^{\dagger }(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{2*}(\mathbf {p} ),\right]e^{-ipx}\right\}.$

$H_{\mu }(x)=\sum _{\mathbf {p} }{{\sqrt {p_{0}}} \over {\sqrt {2V}}}\left\{\left[Q_{R}(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{1}(\mathbf {p} )-Q_{L}(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{2}(\mathbf {p} )\right]e^{ipx}\right.$

$\left.+\left[Q_{R}^{\dagger }(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{1*}(\mathbf {p} )-Q_{L}^{\dagger }(\mathbf {p} )\epsilon _{\mu }^{2*}(\mathbf {p} ),\right]e^{-ipx}\right\}.$

Уравнения Максвелла для свободного пространства получаются следующим образом:

$\partial E_{1}(x)/\partial x_{1}=i\sum _{\mathbf {p} }{{\sqrt {p_{0}}} \over {\sqrt {2V}}}\left\{\left[Q_{R}(\mathbf {p} )p_{1}\epsilon _{1}^{1}(\mathbf {p} )+Q_{L}(\mathbf {p} )p_{1}\epsilon _{1}^{2}(\mathbf {p} )\right]e^{ipx}\right.$

$\left.+\left[Q_{R}^{\dagger }(\mathbf {p} )p_{1}\epsilon _{1}^{1*}(\mathbf {p} )+Q_{L}^{\dagger }(\mathbf {p} )p_{1}\epsilon _{1}^{2*}(\mathbf {p} )\right]e^{-ipx}\right\}.$

Таким образом, $\partial E_{1}(x)/\partial x_{1}+\partial E_{2}(x)/\partial x_{2}+\partial E_{3}(x)/\partial x_{3}$ содержит термины вида $p_{1}\epsilon _{1}^{1}(\mathbf {p} )+p_{2}\epsilon _{2}^{1}(\mathbf {p} )+p_{3}\epsilon _{3}^{1}(\mathbf {p} )$ которые равны нулю по первому из уравнений. (4). Это дает,

$\nabla \cdot \mathbf {E} (x)=0,$

$\nabla \cdot \mathbf {H} (x)=0.$

как $\mathbf {H}$ содержит аналогичные термины.

Выражение $\nabla \times \mathbf {E} (x)$ содержит термины вида $\mathbf {p} \times \mathbf {\epsilon ^{1}} (\mathbf {p} )$ пока $\partial \mathbf {H} (x)/\partial t$содержит термины формы $ip_{0}\mathbf {\epsilon ^{1}} (\mathbf {p} )$. Таким образом, последние два уравнения (4) можно использовать, чтобы показать, что

$\nabla \times \mathbf {E} (x)=-\partial \mathbf {H} (x)/\partial t,$

$\nabla \times \mathbf {H} (x)=\partial \mathbf {E} (x)/\partial t.$

Хотя поле нейтрино нарушает четность и зарядспряжение, $\mathbf {E}$ и $\mathbf {H}$ трансформируем обычным способом,

$P\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)P^{-}1=-\mathbf {E} (\mathbf {-x} ,t),$

$P\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)P^{-}1=\mathbf {H} (\mathbf {-x} ,t),$

$C\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)C^{-}1=-\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t),$

$C\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)C^{-}1=-\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t).$

$A_{\mu }$ удовлетворяет условию Лоренца ,

$\partial A_{\mu }/\partial x_{\mu }=0$

что следует из уравнения (3).

Хотя многие варианты гамма-матриц могут удовлетворять уравнению Дирака, оноОчень важно использовать представление Вейля , чтобы получить правильные векторы поляризации фотонов и $\mathbf {E}$ и $\mathbf {H}$ удовлетворяющие уравнениям Максвелла . Крониг впервые это понял. В представлении Вейля четырехкомпонентные спиноры описывают два набора двухкомпонентных нейтрино. Связь между фотонным антисимметричным тензором и двухкомпонентным уравнением Вейля была отмечена также сенатором. Полученные выше результаты можно также получить, используя теорию двухкомпонентных нейтрино.

Чтобы вычислить коммутационные соотношения для фотонного поля, необходимо уравнение

$\sum _{j=1}^{2}\epsilon _{\mu }^{j}(\mathbf {p} )\epsilon _{\nu }^{j*}(\mathbf {p} )==\sum _{j==1}^{2}\epsilon _{\mu }^{j*}(\mathbf {p} )\epsilon _{\nu }^{j}(\mathbf {p} )=\delta _{\mu \nu }-{p_{\mu }p_{\nu } \over E^{2}}.$

Чтобы получить это уравнение, Крониг написал соотношение между спинорами нейтрино, которое не было вращательно-инвариантным, как указал Прайс. Однако, как Перкинс показал, что это уравнение следует непосредственно из суммирования по векторам поляризации (уравнение 1). (2), которые были получены путем явного решения спиноров нейтрино.

Если импульс направлен вдоль третьей оси, $\epsilon _{\mu }^{1}(n)$и $\epsilon _{\mu }^{2}(n)$ свести к обычным векторам поляризации для фотонов с правой и левой круговой поляризацией соответственно.

$\epsilon _{\mu }^{1}(n)={1 \over {\sqrt {2}}}(1,i,0,0),$

$\epsilon _{\mu }^{2}(n)={1 \over {\sqrt {2}}}(1,-i,0,0).$

Несоответствия

Хотя составные фотоны удовлетворяют многим свойствам реальных фотонов, у этой теории есть серьезные проблемы.

Коммутационные соотношения Бозе – Эйнштейна

Известно, что фотон – это бозон. Удовлетворяет ли составной фотон коммутационным соотношениям Бозе–Эйнштейна? Фермионы определяются как частицы, операторы рождения и уничтожения которых подчиняются антикоммутационным соотношениям.

$\{a(\mathbf {k} ),a(\mathbf {l} )\}=0,$

$\{a^{\dagger }(\mathbf {k} ),a^{\dagger }(\mathbf {l} )\}=0,$

$\{a(\mathbf {k} ),a^{\dagger }(\mathbf {l} )\}=\delta (\mathbf {k} -\mathbf {l} ),$

а бозоны определяются как частицы, подчиняющиеся коммутационным соотношениям

$\left[b(\mathbf {k} ),b(\mathbf {l} )\right]=0,$

$\left[b^{\dagger }(\mathbf {k} ),b^{\dagger }(\mathbf {l} )\right]=0,$

$\left[b(\mathbf {k} ),b^{\dagger }(\mathbf {l} )\right]=\delta (\mathbf {k} -\mathbf {l} ).\quad \quad (7)$

Операторы рождения и уничтожения составных частиц, образованных из фермионных пар, подчиняются коммутационным соотношениям вида

$\left[Q(\mathbf {k} ),Q(\mathbf {l} )\right]=0,$

$\left[Q^{\dagger }(\mathbf {k} ),Q^{\dagger }(\mathbf {l} )\right]=0,$

$\left[Q(\mathbf {k} ),Q^{\dagger }(\mathbf {l} )\right]=\delta (\mathbf {k} -\mathbf {l} )-\Delta (\mathbf {k} ,\mathbf {l} ).\quad \quad (8)$

с

$\Delta (\mathbf {p} ^{\prime },\mathbf {p} )=\sum _{\mathbf {k} }F^{\dagger }(\mathbf {k} )\left[F(\mathbf {p} ^{\prime }/2-\mathbf {p} /2+\mathbf {k} )a^{\dagger }(\mathbf {p} -\mathbf {p} ^{\prime }/2-\mathbf {k} )a(\mathbf {p} ^{\prime }/2-\mathbf {k} )\right.$

$\left.+F(\mathbf {p} /2-\mathbf {p} ^{\prime }/2+\mathbf {k} )c^{\dagger }(\mathbf {p} -\mathbf {p} ^{\prime }/2+\mathbf {k} )c(\mathbf {p} ^{\prime }/2+\mathbf {k} )\right].\quad \quad (9)$

Для куперовских электронных пар « a » и « c » обозначают разные направления вращения. Для пар нуклонов ( дейтрона ) « a » и « c » обозначают протон и нейтрон. Для пар нейтрино-антинейтрино: «а» и «в» обозначают нейтрино и антинейтрино. Размер отклонений от чистого бозевского поведения,

$\Delta (\mathbf {p} ^{\prime },\mathbf {p} ),$

зависит от степени перекрытия волновых функций фермионов и ограничений принципа Паули .

Если состояние имеет вид

$|\Phi \rangle =a^{\dagger }(\mathbf {k_{1}} )a^{\dagger }(\mathbf {k_{2}} )...a^{\dagger }(\mathbf {k_{n}} )c^{\dagger }(\mathbf {q_{1}} )c^{\dagger }(\mathbf {q_{2}} )...c^{\dagger }(\mathbf {q_{m}} )|0\rangle$

тогда математическое ожидание уравнения. (9) исчезает при $\mathbf {p} ^{\prime }\neq \mathbf {p}$и выражение для $\Delta (\mathbf {p} ^{\prime },\mathbf {p} )$ может быть аппроксимировано

$\Delta (\mathbf {p} ^{\prime },\mathbf {p} )=\delta (\mathbf {p} ^{\prime }-\mathbf {p} )\sum _{\mathbf {k} }\left|F(\mathbf {k} )\right|^{2}\left[a^{\dagger }(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} )a(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} )\right.$

$\left.+c^{\dagger }(\mathbf {p} /2+\mathbf {k} )c(\mathbf {p} /2+\mathbf {k} )\right].$

Использование операторов фермионных чисел $n_{a}(\mathbf {k} )$ и $n_{c}(\mathbf {k} )$, это можно записать,

$\Delta (\mathbf {p} ^{\prime },\mathbf {p} )=\delta (\mathbf {p} ^{\prime }-\mathbf {p} )\sum _{\mathbf {k} }\left|F(\mathbf {k} )\right|^{2}\left[n_{a}(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} )+n_{c}(\mathbf {p} /2+\mathbf {k} )\right]$

$=\delta (\mathbf {p} ^{\prime }-\mathbf {p} )\sum _{\mathbf {k} }\left[\left|F(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} )\right|^{2}n_{a}(\mathbf {k} )+\left|F(\mathbf {k} -\mathbf {p} /2)\right|^{2}n_{c}(\mathbf {k} )\right]$

$=\delta (\mathbf {p} ^{\prime }-\mathbf {p} ){\overline {\Delta }}(\mathbf {p} ,\mathbf {p} )$

показывая, что это среднее количество фермионов в определенном состоянии $\mathbf {k}$ усредненныйпо всем штатам с весовыми коэффициентами $F(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} )$ и $F(\mathbf {k} -\mathbf {p} /2)$.

Попытка Джордана решить проблему

Де Бройль не затронул проблему статистики составного фотона. Однако «Джордан считал, что основная часть проблемы заключается в построении амплитуд Бозе – Эйнштейна из амплитуд Ферми – Дирака», как сказал Прайс. отмеченный. Иордания «Предположил, что не взаимодействие между нейтрино и антинейтрино связывает их вместе в фотоны, а скорее способ, которым они взаимодействуют с заряженными частицами, приводит к упрощенному описанию света в терминах фотонов».

Гипотеза Джордана устранила необходимость теоретизировать неизвестное взаимодействие, но его гипотеза о том, что нейтрино и антинейтрино испускаются точно в одном направлении, кажется довольно искусственной, как заметил Фок. Его сильное желание получить точные коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна для составного фотона привело его к работе со скалярным или продольно поляризованным фотоном. Гринберг и Вайтман указали, почему одномерный случай работает, а трехмерный — нет.

В 1928 году Джордан заметил, что коммутационные соотношения для пар фермионов аналогичны коммутационным соотношениям для бозонов. Сравните уравнение. (7) с уравнением (8). С 1935 по 1937 год Джордан, Крониг и другие. пытался получить точные коммутационные соотношения Бозе–Эйнштейна для составного фотона. Члены были добавлены к коммутационным отношениям, чтобы исключить дельта-член в уравнении. (8). Эти термины соответствовали «моделированным фотонам». Например, поглощение фотона с импульсом $\mathbf {p}$ можно смоделировать с помощью эффекта Рамана , при котором нейтрино с импульсом $\mathbf {p+k}$ поглощается, в то время как другой другого с противоположным спином и импульсом $\mathbf {k}$ излучается. (Сейчас известно, что одиночные нейтрино или антинейтрино взаимодействуют настолько слабо, что не могут имитировать фотоны.)

Теорема Прайса

В 1938 году Прайс показали, что из пар нейтрино-антинейтрино невозможно получить как статистику Бозе-Эйнштейна , так и поперечно поляризованные фотоны. Создание поперечно поляризованных фотонов не является проблемой. Как Березинский отметил: «Единственная реальная трудность состоит в том, что построение поперечного четырехвектора несовместимо с требованиями статистики». В некотором смысле Березинский дает более ясную картину проблемы. Простая версия доказательства такова:

Ожидаемые значения коммутационных соотношений для составных правых и левых фотонов:

$\left[Q_{R}(\mathbf {p} ^{\prime }),Q_{R}(\mathbf {p} )\right]=0,\;\left[Q_{L}(\mathbf {p} ^{\prime }),Q_{L}(\mathbf {p} )\right]=0,$

$\left[Q_{R}(\mathbf {p} ^{\prime }),Q_{R}^{\dagger }(\mathbf {p} )\right]=\delta (\mathbf {p} ^{\prime }-\mathbf {p} )(1-{{\overline {\Delta }}_{12}}(\mathbf {p} ,\mathbf {p} )),$

$\left[Q_{L}(\mathbf {p} ^{\prime }),Q_{L}^{\dagger }(\mathbf {p} )\right]=\delta (\mathbf {p} ^{\prime }-\mathbf {p} )(1-{{\overline {\Delta }}_{21}}(\mathbf {p} ,\mathbf {p} )),$

$\left[Q_{R}(\mathbf {p} ^{\prime }),Q_{L}(\mathbf {p} )\right]=0,\;\left[Q_{R}(\mathbf {p} ^{\prime }),Q_{L}^{\dagger }(\mathbf {p} )\right]=0,\quad \quad \quad \quad (10)$

где

${{\overline {\Delta }}_{12}}(\mathbf {p} ,\mathbf {p} )=\sum _{\mathbf {k} }\left[\left|F(\mathbf {k} -\mathbf {p} /2)\right|^{2}(n_{a1}(\mathbf {k} )+n_{c2}(\mathbf {k} ))\right.$

$\left.+\left|F(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} )\right|^{2}(n_{c1}(\mathbf {k} )+n_{a2}(\mathbf {k} ))\right].\quad \quad \quad \quad (11)$

Отклонение от статистики Бозе-Эйнштейна вызвано ${\overline {\Delta }}_{12}(\mathbf {p} ,\mathbf {p} )$ и ${\overline {\Delta }}_{21}(\mathbf {p} ,\mathbf {p} )$, которые являются функциями операторов чисел нейтрино.

Операторы фотонов с линейной поляризацией определяются формулами

$\xi (\mathbf {p} )={1 \over {\sqrt {2}}}\left[Q_{L}(\mathbf {p} )+Q_{R}(\mathbf {p} )\right],$

$\eta (\mathbf {p} )={i \over {\sqrt {2}}}\left[Q_{L}(\mathbf {p} )-Q_{R}(\mathbf {p} )\right].\quad \quad \quad \quad (12)$

Особенно интересное коммутационное соотношение:

$[\xi (\mathbf {p} ^{\prime }),\eta ^{\dagger }(\mathbf {p} )]={i \over 2}\delta (\mathbf {p} ^{\prime }-\mathbf {p} )[{\overline {\Delta }}_{21}(\mathbf {p} ,\mathbf {p} )-{\overline {\Delta }}_{12}(\mathbf {p} ,\mathbf {p} )],\quad \quad (13)$

что следует из (10) и (12).

Чтобы составной фотон подчинялся коммутационным соотношениям Бозе-Эйнштейна, по крайней мере,

$[\xi (\mathbf {p} ^{\prime }),\eta ^{\dagger }(\mathbf {p} )]=0\quad \quad \quad \quad (14)$

- отметил Прайс. Из уравнения. (11) и уравнение. (13) требование состоит в том, чтобы

$\sum _{\mathbf {k} }\left[\left|F(\mathbf {k} -\mathbf {p} /2)\right|^{2}(n_{a1}(\mathbf {k} )+n_{c2}(\mathbf {k} )-n_{a2}(\mathbf {k} )-n_{c1}(\mathbf {k} ))\right.$

$\left.+\left|F(\mathbf {p} /2-\mathbf {k} )\right|^{2}(n_{c1}(\mathbf {k} )+n_{a2}(\mathbf {k} )-n_{c2}(\mathbf {k} )-n_{a1}(\mathbf {k} ))\right]$

дает ноль при применении к любому вектору состояния. Таким образом, все коэффициенты $n_{a1}(\mathbf {k} )$ и $n_{c1}(\mathbf {k} )$,и т. д. должны исчезнуть отдельно. Это означает $F(\mathbf {k} )=0$, и составного фотона не существует, завершение доказательства.

Попытка Перкинса решить проблему

Перкинс пришли к выводу, что фотон не должен подчиняться коммутационным соотношениям Бозе-Эйнштейна, потому что небозевские члены малы и могут не вызывать каких-либо обнаруживаемых эффектов. Перкинс отметил: «Как представлено во многих текстах по квантовой механике, может показаться, что статистика Бозе следует из основных принципов, но на самом деле она вытекает из классического канонического формализма. Это ненадежная процедура, о чем свидетельствует тот факт, что она дает совершенно неправильный результат для Частицы со спином 1/2». Более того, «большинство частиц с целым спином (легкие мезоны, странные мезоны и т. д.) представляют собой составные частицы, образованные из кварков . Из-за своей базовой фермионной структуры эти частицы с целым спином являются не фундаментальными бозонами, а составными квазибозонами. Однако в асимптотическом пределе , что обычно применимо, они по существу являются бозонами. Для этих частиц бозе-коммутационные соотношения являются лишь приближением, хотя и очень хорошим. Есть некоторые различия, если сблизить две такие составные частицы, что приведет к переходу их идентичных фермионов в возбужденное состояние. заявляет из-за принципа исключения Паули ».

Бжезинский, подтверждая теорему Прайса, утверждает, что коммутационное соотношение (14) необходимо для того, чтобы фотон был действительно нейтральным. Однако Перкинс показал, что нейтральный фотон в обычном смысле можно получить без коммутационных соотношений Бозе–Эйнштейна.

Числовой оператор для составного фотона определяется как

$N(\mathbf {p} )=Q^{\dagger }(\mathbf {p} )Q(\mathbf {p} ).$

Липкин предложил для грубой оценки предположитьчто $F(\mathbf {k} )=1/\Omega$ где $\Omega$ — константа, равная числу состояний, используемых для построения волнового пакета .

Перкинс показали, что эффект составного фотоначисловой оператор, действующий на состояние $m$ составные фотоны - это,

$N(\mathbf {p} )(Q^{\dagger }(\mathbf {p} ))^{m}|0\rangle \;=\left(m-{m(m-1) \over \Omega }\right)(Q^{\dagger }(\mathbf {p} ))^{m}|0\rangle ,$

с использованием $N(\mathbf {p} )|0\rangle =0$. Этот результат отличается от обычногоодин из-за второго члена, который мал для больших $\Omega$. Нормализация вобычная манера,

$Q^{\dagger }(\mathbf {p} )|n_{\mathbf {p} }\rangle \;={\sqrt {(n_{\mathbf {p} }+1)\left(1-{n_{\mathbf {p} } \over \Omega }\right)}}|n_{\mathbf {p} }+1\rangle ,$

$Q(\mathbf {p} )|n_{\mathbf {p} }\rangle \;={\sqrt {n_{\mathbf {p} }\left(1-{(n_{\mathbf {p} }-1) \over \Omega }\right)}}|n_{\mathbf {p} }-1\rangle ,\quad \quad \quad \quad (15)$

где $|n_{\mathbf {p} }\rangle$ это состояние $n_{\mathbf {p} }$составные фотоны, имеющие импульс $\mathbf {p}$ который создается путем применения $Q^{\dagger }(\mathbf {p} )$ на вакууме $n_{\mathbf {p} }$ раз. Обратите внимание, что,

$Q^{\dagger }(\mathbf {p} )|0\rangle =|1_{\mathbf {p} }\rangle ,$

$Q(\mathbf {p} )|1_{\mathbf {p} }\rangle =|0\rangle ,$

что является тем же результатом, что и полученный с бозонными операторами. Формулы в уравнении (15)аналогичны обычным с поправочными коэффициентами, приближающимися к нулю при больших $\Omega$.

Излучение черного тела

Основное свидетельство того, что фотоны являются бозонами, получено в экспериментах по излучению черного тела , которые согласуются с распределением Планка. Перкинс рассчитал распределение фотонов для излучения черного тела, используя метод второго квантования , но с составным фотоном.

Атомы в стенках полости считаются двухуровневой системой, в которой фотоны испускаются с верхнего уровня β и поглощаются на нижнем уровне α. Вероятность перехода для испускания фотона увеличивается, когда n _p присутствует фотонов,

$w_{\alpha \beta }(n_{\mathbf {p} }+1\leftarrow n_{\mathbf {p} })=(n_{\mathbf {p} }+1)\left(1-{n_{\mathbf {p} } \over \Omega }\right)w_{\alpha \beta }(1_{\mathbf {p} }\leftarrow 0),\quad (16)$

где использовано первое из (15). Поглощение усиливается меньше, поскольку используется второе из (15):

$w_{\beta \alpha }(n_{\mathbf {p} }-1\leftarrow n_{\mathbf {p} })=n_{\mathbf {p} }\left(1-{n_{\mathbf {p} }-1 \over \Omega }\right)w_{\beta \alpha }(0\leftarrow 1_{\mathbf {p} }).\quad (17)$

Используя равенство,

$w_{\beta \alpha }(0\leftarrow 1_{\mathbf {p} })=w_{\alpha \beta }(1_{\mathbf {p} }\leftarrow 0),$

скоростей перехода, уравнения. (16) и (17) в совокупности дают:

${w_{\alpha \beta }(n_{\mathbf {p} }+1\leftarrow n_{\mathbf {p} }) \over w_{\beta \alpha }(n_{\mathbf {p} }-1\leftarrow n_{\mathbf {p} })}={(n_{\mathbf {p} }+1)\left(1-{n_{\mathbf {p} } \over \Omega }\right) \over n_{\mathbf {p} }\left(1-{(n_{\mathbf {p} }-1) \over \Omega }\right)}.$

Вероятность найти систему с энергией E пропорциональна e ^−E/kT по закону распределения Больцмана. Таким образом, равновесие между излучением и поглощением требует, чтобы

$w_{\alpha \beta }(n_{\mathbf {p} }+1\leftarrow n_{\mathbf {p} })e^{-E_{\beta }/kT}=w_{\beta \alpha }(n_{\mathbf {p} }-1\leftarrow n_{\mathbf {p} })e^{-E_{\alpha }/kT},$

с энергией фотона $\omega _{p}=E_{\beta }-E_{\alpha }$. Объединение последних двух уравнений дает:

$n_{\mathbf {p} }={2 \over u+(u+2)/\Omega +{\sqrt {u^{2}(1+2/\Omega )+(u+2)^{2}/\Omega ^{2}}}},$

с $u=e^{\omega _{p}/kT}-1$. Для $\Omega (\omega _{p}/kT)\gg 1$, это сводится к

$n_{\mathbf {p} }={1 \over e^{\omega _{p}/kT}\left(1+{1 \over \Omega }\right)-1}.$

Это уравнение отличается от закона Планка тем, что $1/\Omega$ срок. Для условий, использованных в экспериментах по излучению черного тела У. В. Кобленца, По оценкам Перкинса, 1 / Ω < 10 ⁻⁹ , а максимальное отклонение от закона Планка составляет менее одной части из 10 ⁻⁸ , который слишком мал, чтобы его можно было обнаружить.

Существуют только левые нейтрино.

Результаты экспериментов показывают, что только левые нейтриносуществуют и правые антинейтрино. Три набора нейтринобыли замечены, тот, который связан с электронами, один с мюонами и третий с тау-лептонами.

В стандартной модели режимы распада пиона и мюона следующие:

п +	→	м +	+	н м
м +	→	и +	+	н и	+	н м

Для образования фотона, удовлетворяющего условиям четности и зарядового сопряжения, необходимы два набора двухкомпонентных нейтрино (т. е. правые и левые нейтрино). Перкинса (см. раздел VI работы). ) попытался решить эту проблему, отметив, что необходимые два набора двухкомпонентных нейтрино будут существовать, если положительный мюон будет идентифицирован как частица, а отрицательный мюон — как античастица. Рассуждение следующее: пусть
н
₁ — правое нейтрино и
н
₂ левое нейтрино с соответствующими ему антинейтрино (с противоположной спиральностью). Нейтрино, участвующие в бета-распаде,
н
₂ и
н
₂ , а для π–μ-распада
н
₁ и
н
₁ . В этой схеме режимы распада пиона и мюона следующие:

п +	→	м +	+	н 1
м +	→	и +	+	н 2	+	н 1

Отсутствие безмассовых нейтрино

Существуют убедительные доказательства того, что нейтрино имеют массу. В экспериментах исследователей СуперКамиоканде открыли нейтринные осцилляции, при которых один сорт нейтрино переходил в другой. Это означает, что нейтрино имеют ненулевую массу вне кручения Эйнштейна-Картана . Поскольку для образования безмассового фотона необходимы безмассовые нейтрино, составной фотон невозможен вне кручения Эйнштейна-Картана .

Внешние ссылки

• Л. де Бройль «Новая концепция света» (английский перевод)