Список таблиц символов для химически важных групп трехмерных точек

Здесь перечислены таблицы символов для наиболее распространенных молекулярных точечных групп, используемых при изучении молекулярной симметрии . Эти таблицы основаны на теоретико-групповой трактовке операций симметрии , присутствующих в обычных молекулах , и полезны в молекулярной спектроскопии и квантовой химии . Информацию по использованию таблиц, а также более обширные их списки можно найти в ссылках.

Обозначения

Для каждой нелинейной группы в таблицах приведены наиболее стандартные обозначения конечной группы, изоморфной точечной группе, за которой следует порядок группы (количество инвариантных операций симметрии). Используемые обозначения конечной группы: Z _n : циклическая группа порядка n , D _n : группа диэдра , изоморфная группе симметрии n -стороннего правильного многоугольника, S _n : симметричная группа на n буквах и An _: знакопеременная группа на н букв.

Затем следуют таблицы символов для всех групп. Строки таблиц символов соответствуют неприводимым представлениям группы с их условными именами, известными как символы Малликена. в левом поле. Соглашения об именах следующие:

• A и B представляют собой одновырожденные представления, причем первое преобразуется симметрично вокруг главной оси группы, а второе — асимметрично. E , T , G , H , ... являются дважды, тройным, четверным, пятерным, ... вырожденными представлениями.
• Индексы g и u обозначают симметрию и антисимметрию соответственно относительно центра инверсии. Индексы «1» и «2» обозначают симметрию и антисимметрию соответственно относительно неглавной оси вращения. Более высокие цифры обозначают дополнительные представления с такой асимметрией.
• Верхние индексы одинарного штриха ( ' ) и двойного штриха ( '' ) обозначают симметрию и антисимметрию соответственно относительно горизонтальной зеркальной плоскости σ _h , перпендикулярной главной оси вращения.

Все столбцы, кроме двух крайних правых, соответствуют операциям симметрии , инвариантным в группе. В случае наборов однотипных операций с одинаковыми символами для всех представлений они представляются одним столбцом с указанием количества таких подобных операций в заголовке.

Основная часть таблиц содержит символы соответствующих неприводимых представлений для каждой соответствующей операции симметрии или набора операций симметрии. Символ i , используемый в таблице, обозначает мнимую единицу измерения : i  ² = −1. Используемый в заголовке столбца, он обозначает операцию инверсии. Заглавная буква «C» обозначает комплексное сопряжение .

Два крайних правых столбца указывают, какие неприводимые представления описывают преобразования симметрии трех декартовых координат ( x , y и z ), вращения вокруг этих трех координат ( R _x , R _y и R _z ) и функции квадратичных членов координат. ( х ² , и ² , С ² , xy , xz и yz ).

Еще один столбец включен в некоторые таблицы, например, в таблицы Salthouse и Ware. Например,

$C_{s}$	$E$	$\sigma _{h}$
$A'$	$1$	$1$	$x$, $y$, $R_{z}$	$x^{2}$, $y^{2}$, $z^{2}$, $xy$	$zx^{2}$, $yz^{2}$, $x^{2}y$, $xy^{2}$, $x^{3}$, $y^{3}$
$A''$	$1$	$-1$	$z$, $R_{x}$, $R_{y}$	$yz$, $xz$	$z^{3}$, $xyz$, $y^{2}z$, $x^{2}z$

Последний столбец относится к кубическим функциям, которые можно использовать в приложениях, касающихся f- орбиталей в атомах.

Таблицы символов

Неосевые симметрии

Для этих групп характерно отсутствие собственной оси вращения. $C_{1}$ вращение считается тождественной операцией. Эти группы обладают инволюционной симметрией: единственная нетождественная операция, если таковая имеется, является ее собственной обратной.

В группе $C_{1}$, все функции декартовых координат и вращений вокруг них преобразуются как $A$ неприводимое представление.

Группа точек	Каноническая группа	Заказ	Таблица символов
$C_{1}$	$Z_{1}$	$1$	$E$ $A$ $1$
$C_{i}$	$Z_{2}$	2	$E$ $i$ $A_{g}$ $1$ $1$ $R_{x}$, $R_{y}$, $R_{z}$ $x^{2}$, $y^{2}$, $z^{2}$, $xy$, $xz$, $yz$ $A_{u}$ $1$ $-1$ $x$, $y$, $z$
$C_{s}$	$Z_{2}$	$2$	$E$ $\sigma _{h}$ $A'$ $1$ $1$ $x$, $y$, $R_{z}$ $x^{2}$, $y^{2}$, $z^{2}$, $xy$ $A''$ $1$ $-1$ $z$, $R_{x}$, $R_{y}$ $yz$, $xz$

Циклические симметрии

Семейства групп с такими симметриями имеют только одну ось вращения.

Циклические группы ( C _n )

обозначаются Cn _{Циклические группы} . группы характеризуются n -кратной собственной осью вращения Cn _Эти . Группа C ₁ рассматривается в разделе «Онаксиальные группы» .

Точка Группа	Канонический Группа	Заказ	Таблица символов
С 2	З 2	2	И С 2     А 1 1 Р з , з х 2 , и 2 , С 2 , ху Б 1 −1 р х , р у , х , у хз , йз
С 3	З 3	3	И С 3   С 3 2 θ = е 2π я /3 А 1 1 1 Р з , з х 2 + и 2 И 1 1 я   я С я С я   ( Р х , Р у ), ( х , у ) ( х 2 - и 2 , ху ), ( хз , yz )
С 4	З 4	4	И С 4   С 2   С 4 3   А 1 1 1 1 Р з , з х 2 + и 2 , С 2 Б 1 −1 1 −1   х 2 − и 2 , ху И 1 1 я - я −1 −1 - я я ( Р х , Р у ), ( х , у ) ( хз , yz )
С 5	ZZ5	5	И    С 5   С 5 2 С 5 3 С 5 4 θ = е 2π я /5 А 1 1 1 1 1 Р з , з х 2 + и 2 , С 2 И 1 1 1 я   я С я 2 ( я 2 ) С ( я 2 ) С я 2 я С я   ( Р х , Р у ), ( х , у ) ( хз , yz ) EЕ2 1 1 я 2 ( я 2 ) С я С я   я   я С ( я 2 ) С я 2   ( х 2 - и 2 , ху )
CС6	З 6	6	И    CС6   С 3   С 2   С 3 2 CС6 5 θ = е 2π я /6 А 1 1 1 1 1 1 Р з , з х 2 + и 2 , С 2 Б 1 −1 1 −1 1 −1     И 1 1 1 я   я С - я С - я   −1 −1 - я   - я С я С - я   ( Р х , Р у ), ( х , у ) ( хз , yz ) EЕ2 1 1 - я С - я   - я   - я С 1 1 - я С - я   - я   - я С   ( х 2 − и 2 , ху )
С 8	З 8	8	И    С 8   С 4   С 8 3 С 2   С 8 5 С 4 3 С 8 7 θ = е 2π я /8 А 1 1 1 1 1 1 1 1 Р з , з х 2 + и 2 , С 2 Б 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1     И 1 1 1 я   я С я - я - я С - я   −1 −1 - я   - я С - я я я С я   ( Р х , Р у ), ( х , у ) ( хз , yz ) EЕ2 1 1 я - я −1 −1 - я я 1 1 я - я −1 −1 - я я   ( х 2 − и 2 , ху ) Е 3 1 1 - я   - я С я - я я С я   −1 −1 я   я С - я я - я С - я

Группы отражения ( C _nh )

Группы отражения обозначаются C _nh . Эти группы характеризуются i) собственной n осью вращения -го порядка C _n ; ii) зеркальная плоскость σh _, к Cn _. нормальная Группа C _{1 h} аналогична группе C _s в разделе неаксиальных групп .

Точка Группа	Канонический группа	Заказ	Таблица символов
С 2 ч.	З 2 × З 2	4	И С 2   я σ ч     AМистер 1 1 1 1 Р з х 2 , и 2 , С 2 , ху Б г 1 −1 1 −1 Р х , Р у хз , йз AВ 1 1 −1 −1 С   Б ты 1 −1 −1 1 х , у
С 3 ч.	З 6	6	И С 3   С 3 2 σ ч   С 3   С 3 5 θ = е 2π я /3 А' 1 1 1 1 1 1 Р з х 2 + и 2 , С 2 И' 1 1 я   я С я С я   1 1 я   я С я С я   ( х , у ) ( х 2 − и 2 , ху ) А'' 1 1 1 −1 −1 −1 С   И'' 1 1 я   я С я С я   −1 −1 - я   - я С - я С - я   ( р х , р у ) ( хз , yz )
С 4 ч.	З 2 × З 4	8	И С 4   С 2   С 4 3 я С 4 3 σ ч   С 4     AМистер 1 1 1 1 1 1 1 1 Р з х 2 + и 2 , С 2 Б г 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1   х 2 − и 2 , ху г например 1 1 я - я −1 −1 - я я 1 1 я - я −1 −1 - я я ( р х , р у ) ( хз , yz ) AВ 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 С   Б ты 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1     Евросоюз ​ 1 1 я - я −1 −1 - я я −1 −1 - я я 1 1 я - я ( х , у )
С 5 ч	З 10	10	И    С 5   С 5 2 С 5 3 С 5 4 σ ч   С 5   С 5 7 С 5 3 С 5 9 θ = е 2π я /5 А' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Р з х 2 + и 2 , С 2 Е 1 ' 1 1 я   я С я 2 ( я 2 ) С ( я 2 ) С я 2 я С я   1 1 я   я С я 2 ( я 2 ) С ( я 2 ) С я 2 я С я   ( х , у )   Е2 ' 1 1 я 2 ( я 2 ) С я С я   я   я С ( я 2 ) С я 2 1 1 я 2 ( я 2 ) С я С я   я   я С ( я 2 ) С я 2   ( х 2 - и 2 , ху ) А'' 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 С   Е 1 '' 1 1 я   я С я 2 ( я 2 ) С ( я 2 ) С я 2 я С я   −1 −1 - я   - я С - я 2 −( я 2 ) С −( я 2 ) С - я 2 - я С - я   ( р х , р у ) ( хз , yz ) Е2 ' ' 1 1 я 2 ( я 2 ) С я С я   я   я С ( я 2 ) С я 2 −1 −1 - я 2 −( я 2 ) С - я С - я   - я   - я С −( я 2 ) С - я 2
С 6 ч.	З 2 × З 6	12	И    CС6   С 3   С 2   С 3 2 CС6 5 я С 3 5 SS6 5 σ ч   SS6   С 3   θ = е 2π я /6 AМистер 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Р з х 2 + и 2 , С 2 Б г 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1     Е 1г 1 1 я   я С - я С - я   −1 −1 - я   - я С я С я   1 1 я   я С - я С - я   −1 −1 - я   - я С я С я   ( р х , р у ) ( хз , yz ) Е 2г 1 1 - я С - я   - я   - я С 1 1 - я С - я   - я   - я С 1 1 - я С - я   - я   - я С 1 1 - я С - я   - я   - я С   ( х 2 − и 2 , ху ) AВ 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 С   Б ты 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1     это 1 ю 1 1 я   я С - я С - я   −1 −1 - я   - я С я С я   −1 −1 - я   - я С я С я   1 1 я   я С - я С - я   ( х , у )   Е 2у 1 1 - я С - я   - я   - я С 1 1 - я С - я   - я   - я С −1 −1 я С я   я   я С −1 −1 я С я   я   я С

Пирамидальные группы ( C _nv )

Пирамидальные группы обозначаются C _nv . Эти группы характеризуются i) собственной n осью вращения -го порядка C _n ; ii) n зеркальных плоскостей σ _v, содержащих C _n . Группа C _{1 v} аналогична группе C _s в разделе неаксиальных групп .

Точка Группа	Канонический группа	Заказ	Таблица символов
С 2 в	З 2 × З 2 (= Д2 )	4	И С 2   с в   s v '     А 1 1 1 1 1 С х 2 , и 2 , С 2 AА2 1 1 −1 −1 Р з ху Б 1 1 −1 1 −1 Р у , х хз BБ2 1 −1 −1 1 р х , у да
С 3 в	Д 3	6	И 2 С 3   3 с в     А 1 1 1 1 С х 2 + и 2 , С 2 AА2 1 1 −1 Р з   И 2 −1 0 ( р Икс , Р y ), ( Икс , y ) ( х 2 − и 2 , ху ), ( хz , yz )
С 4 с	Д 4	8	И 2 С 4   С 2   2 с в   2 п д     А 1 1 1 1 1 1 С х 2 + и 2 , С 2 AА2 1 1 1 −1 −1 Р з   Б 1 1 −1 1 1 −1   х 2 − и 2 BБ2 1 −1 1 −1 1   ху И 2 0 −2 0 0 ( р Икс , Р y ), ( Икс , y ) ( хз , yz )
С 5 В	Д 5	10	И    2 С 5   2 С 5 2 5 с в   θ = 2π/5 А 1 1 1 1 1 С х 2 + и 2 , С 2 AА2 1 1 1 −1 Р з   И 1 2 2 потому что ( θ ) 2 соз(2 θ ) 0 ( р Икс , Р y ), ( Икс , y ) ( хз , yz ) EЕ2 2 2 соз(2 θ ) 2 потому что ( θ ) 0   ( х 2 − и 2 , ху )
С 6 в	Д 6	12	И    2 С 6   2 С 3   С 2   3 с в   3 п д     А 1 1 1 1 1 1 1 С х 2 + и 2 , С 2 AА2 1 1 1 1 −1 −1 Р з   Б 1 1 −1 1 −1 1 −1     BБ2 1 −1 1 −1 −1 1     И 1 2 1 −1 −2 0 0 ( р Икс , Р y ), ( Икс , y ) ( хз , yz ) EЕ2 2 −1 −1 2 0 0   ( х 2 − и 2 , ху )

Группы несобственных вращений ( S _n )

Группы несобственных вращений обозначаются S _n . группы характеризуются n -кратной несобственной осью вращения Sn _n , где Эти обязательно четно. Группа S ₂ аналогична группе C _i в разделе неаксиальных групп . Sn _Группы с нечетным значением n идентичны группам C _{n h} с тем же n и поэтому здесь не рассматриваются (в частности, S ₁ идентична C _s ).

Таблица S8 _. отражает обнаружение в 2007 году ошибок в старых ссылках В частности, ( R _x , R _y ) преобразуются не как E ₁ , а скорее как E ₃ .

Точка Группа	Канонический группа	Заказ	Таблица символов
С 4	З 4	4	И С 4   С 2   С 4 3   А 1 1 1 1 Р з ,  х 2 + и 2 , С 2 Б 1 −1 1 −1 С х 2 − и 2 , ху И 1 1 я - я −1 −1 - я я ( Р х , Р у ), ( х , у ) ( хз , yz )
SS6	З 6	6	И    SS6   С 3   я С 3 2 SS6 5 θ = е 2π я /6 AМистер 1 1 1 1 1 1 Р з х 2 + и 2 , С 2 г например 1 1 я С я   я   я С 1 1 я С я   я   я С ( р х , р у ) ( х 2 − и 2 , ху ), ( хз , yz ) AВ 1 −1 1 −1 1 −1 С   Евросоюз ​ 1 1 - я С - я   я   я С −1 −1 я С я   - я   - я С ( х , у )
С 8	З 8	8	И    С 8   С 4   С 8 3 я С 8 5 С 4 2 С 8 7 θ = е 2π я /8 А 1 1 1 1 1 1 1 1 Р з х 2 + и 2 , С 2 Б 1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 С   И 1 1 1 я   я С я - я - я С - я   −1 −1 - я   - я С - я я я С я   ( х , у ) ( хз , yz ) EЕ2 1 1 я - я −1 −1 - я я 1 1 я - я −1 −1 - я я   ( х 2 − и 2 , ху ) Е 3 1 1 - я С - я   - я я я   я С −1 −1 я С я   я - я - я - я С ( р х , р у ) ( хз , yz )

Двугранные симметрии

Семейства групп с этими симметриями характеризуются собственными осями вращения 2-го порядка, нормальными к главной оси вращения.

Группы диэдра ( D _n )

Группы диэдра обозначаются D _n . Эти группы характеризуются i) собственной n осью вращения -го порядка C _n ; ii) n 2-кратных собственных осей вращения C _{2 ,} нормальных к C _n . Группа D ₁ аналогична группе C ₂ в разделе циклических групп .

Точка Группа	Канонический группа	Заказ	Таблица символов
DД2	З 2 × З 2 (= Д2 )	4	И С 2  ( С ) С 2  ( х ) С 2  ( и )   А 1 1 1 1   х 2 , и 2 , С 2 Б 1 1 1 −1 −1 Р з , з ху BБ2 1 −1 −1 1 Р й , й хз BБ3 1 −1 1 −1 р х , х да
Д 3	Д 3	6	И 2 С 3   3 С' 2     А 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 AА2 1 1 −1 Р з , з   И 2 −1 0 ( р Икс , Р y ), ( Икс , y ) ( х 2 − и 2 , ху ), ( хz , yz )
Д 4	Д 4	8	И 2 С 4   С 2   2 С 2 '   2 С 2 ''     А 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 AА2 1 1 1 −1 −1 Р з , з   Б 1 1 −1 1 1 −1   х 2 − и 2 BБ2 1 −1 1 −1 1   ху И 2 0 −2 0 0 ( р Икс , Р y ), ( Икс , y ) ( хз , yz )
Д 5	Д 5	10	И    2 С 5   2 С 5 2 5 С 2   θ = 2π/5 А 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 AА2 1 1 1 −1 Р з , з   И 1 2 2 потому что ( θ ) 2 соз(2 θ ) 0 ( р Икс , Р y ), ( Икс , y ) ( хз , yz ) EЕ2 2 2 соз(2 θ ) 2 потому что ( θ ) 0   ( х 2 − и 2 , ху )
Д 6	Д 6	12	И    2 С 6   2 С 3   С 2   3 С 2 '   3 С 2 ''     А 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 AА2 1 1 1 1 −1 −1 Р з , з   Б 1 1 −1 1 −1 1 −1     BБ2 1 −1 1 −1 −1 1     И 1 2 1 −1 −2 0 0 ( р Икс , Р y ), ( Икс , y ) ( хз , yz ) EЕ2 2 −1 −1 2 0 0   ( х 2 − и 2 , ху )

Призматические группы ( D _nh )

Призматические группы обозначаются D _nh . Эти группы характеризуются i) собственной n осью вращения -го порядка C _n ; ii) n 2-кратных собственных осей вращения C _{2 ,} нормальных к C _n ; iii) зеркальная плоскость σ _h, нормальная к C _n и содержащая C ₂ s. Группа D _{1 h} аналогична группе C _{2 v} в разделе пирамидальных групп .

Таблица D _{8 h} отражает обнаружение в 2007 году ошибок в старых источниках. В частности, заголовки столбцов 2S ₈ и 2S _{8 операции симметрии.} ³ в старых ссылках были перевернуты.

Точка Группа	Канонический группа	Заказ	Таблица символов
Д 2 часа	Z 2 ×Z 2 ×Z 2 (=Z 2 ×D 2 )	8	И С 2   С 2  (х) С 2  (и) я σ(ху)    σ(xz)    σ(yz)      AМистер 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 , и 2 , С 2 Б 1г 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 Р з ху Б 2г 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 Р й хз Б 3г 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 Р х да AВ 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1     Б 1у 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 С   Б 2у 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 и   BБ3у 1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 х
Д 3 ч.	Д 6	12	И 2 С 3   3 С 2   σ ч   2 С 3   3 с в     А 1 ' 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 2 ​ ' 1 1 −1 1 1 −1 Р з   И' 2 −1 0 2 −1 0 ( х , у ) ( х 2 − и 2 , ху ) 1 ' ' 1 1 1 −1 −1 −1     2 ​ дюйма 1 1 −1 −1 −1 1 С   И'' 2 −1 0 −2 1 0 ( р х , р у ) ( хз , yz )
Д 4 часа	Z 2 ×D 4	16	И 2 С 4   С 2   2 С 2 '   2 С 2 ''   я 2 С 4   σ ч   2 с в   2 п д     1 г 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 2г ​ 1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 Р з   Б 1г 1 −1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1   х 2 − и 2 Б 2г 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1 1   ху г например 2 0 −2 0 0 2 0 −2 0 0 ( р х , р у ) ( хз , yz ) В 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1     А 2у 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 1 1 С   Б 1у 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1     Б 2у 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1     Евросоюз ​ 2 0 −2 0 0 −2 0 2 0 0 ( х , у )
Д 5 ч.	Д 10	20	И    2 С 5   2 С 5 2 5 С 2   σ ч   2 С 5   2 С 5 3 5 с в   θ = 2π/5 А 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 2 ​ ' 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Р з   Е 1 ' 2 2 потому что ( θ ) 2 соз(2 θ ) 0 2 2 потому что ( θ ) 2 соз(2 θ ) 0 ( х , у )   Е2 ' 2 2 соз(2 θ ) 2 потому что ( θ ) 0 2 2 соз(2 θ ) 2 потому что ( θ ) 0   ( х 2 − и 2 , ху ) 1 ' ' 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1     2 ​ дюйма 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 С   Е 1 '' 2 2 потому что ( θ ) 2 соз(2 θ ) 0 −2 −2 потому что ( θ ) −2 cos(2 θ ) 0 ( р х , р у ) ( хз , yz ) Е2 ' ' 2 2 соз(2 θ ) 2 потому что ( θ ) 0 −2 −2 cos(2 θ ) −2 потому что ( θ ) 0
Д 6 ч.	Z 2 ×D 6	24	И    2 С 6   2 С 3   С 2   3 С 2 '   3 С 2 ''   я 2 С 3   2 С 6   σ ч   3 п д   3 с в     1 г 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 2г ​ 1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 −1 Р з   Б 1г 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1     Б 2г 1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 −1 1     Е 1г 2 1 −1 −2 0 0 2 1 −1 −2 0 0 ( р х , р у ) ( хз , yz ) Е 2г 2 −1 −1 2 0 0 2 −1 −1 2 0 0   ( х 2 − и 2 , ху ) В 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1     А 2у 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 1 1 С   Б 1у 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1     Б 2у 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 −1     это 1 ю 2 1 −1 −2 0 0 −2 −1 1 2 0 0 ( х , у )   Е 2у 2 −1 −1 2 0 0 −2 1 1 −2 0 0
Д 8 ч.	Z 2 ×D 8	32	И    2 С 8   2 С 8 3 2 С 4   С 2   4 С 2 '   4 С 2 ''   я 2 С 8 3 2 С 8   2 С 4   σ ч   4 п д   4 с в   θ =2 1/2 1 г 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 2г ​ 1 1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 1 1 −1 −1 Р з   Б 1г 1 −1 −1 1 1 1 −1 1 −1 −1 1 1 1 −1     Б 2г 1 −1 −1 1 1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 1     Е 1г 2 я - я 0 −2 0 0 2 я - я 0 −2 0 0 ( р х , р у ) ( хз , yz ) Е 2г 2 0 0 −2 2 0 0 2 0 0 −2 2 0 0   ( х 2 − и 2 , ху ) Е 3g 2 - я я 0 −2 0 0 2 - я я 0 −2 0 0     В 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1     А 2у 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 1 1 С   Б 1у 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1     Б 2у 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1     это 1 ю 2 я - я 0 −2 0 0 −2 - я я 0 2 0 0 ( х , у )   Е 2у 2 0 0 −2 2 0 0 −2 0 0 2 −2 0 0     EE3u 2 - я я 0 −2 0 0 −2 я - я 0 2 0 0

Антипризматические группы ( Д _нд )

группы обозначаются Dnd _. Антипризматические Эти группы характеризуются i) собственной n осью вращения -го порядка C _n ; ii) n 2-кратных собственных осей вращения C _{2 ,} нормальных к C _n ; iii) зеркальных плоскостей σd _, содержащих Cn _. n Группа D _{1 d} аналогична группе C _{2 h} в разделе групп отражения .

Точка Группа	Канонический группа	Заказ	Таблица символов
Д 2 д	Д 4	8	И   2 С 4   С 2   2 С 2 '   2 п д     А 1 1 1 1 1 1   х 2 , и 2 , С 2 AА2 1 1 1 −1 −1 Р з   Б 1 1 −1 1 1 −1   х 2 − и 2 BБ2 1 −1 1 −1 1 С ху И 2 0 −2 0 0 ( р Икс , Р y ), ( Икс , y ) ( хз , yz )
Д 3 д	Д 6	12	И   2 С 3   3 С 2   я   2 С 6   3 п д     1 г 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 2г ​ 1 1 −1 1 1 −1 Р з   г например 2 −1 0 2 −1 0 ( р х , р у ) ( х 2 − и 2 , ху ), ( хz , yz ) В 1 1 1 1 −1 −1 −1     А 2у 1 1 −1 −1 −1 1 С   Евросоюз ​ 2 −1 0 −2 1 0 ( х , у )
Д 4 д	Д 8	16	И   2 С 8   2 С 4   2 С 8 3 С 2   4 С 2 '   4 п д   θ =2 1/2 А 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 AА2 1 1 1 1 1 −1 −1 Р з   Б 1 1 −1 1 −1 1 1 −1     BБ2 1 −1 1 −1 1 −1 1 С   И 1 2 я 0 - я −2 0 0 ( х , у )   EЕ2 2 0 −2 0 2 0 0   ( х 2 − и 2 , ху ) Е 3 2 - я 0 я −2 0 0 ( р х , р у ) ( хз , yz )
Д 5 д	Д 10	20	И    2 С 5   2 С 5 2 5 С 2   я   2 С 10   2 С 10 3 5 п д   θ = 2π/5 1 г 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 2г ​ 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Р з   Е 1г 2 2 потому что ( θ ) 2 соз(2 θ ) 0 2 2 соз(2 θ ) 2 потому что ( θ ) 0 ( р х , р у ) ( хз , yz ) Е 2г 2 2 соз(2 θ ) 2 потому что ( θ ) 0 2 2 потому что ( θ ) 2 соз(2 θ ) 0   ( х 2 − и 2 , ху ) В 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1     А 2у 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 С   это 1 ю 2 2 потому что ( θ ) 2 соз(2 θ ) 0 −2 −2 cos(2 θ ) −2 потому что ( θ ) 0 ( х , у )   Е 2у 2 2 соз(2 θ ) 2 потому что ( θ ) 0 −2 −2 потому что ( θ ) −2 cos(2 θ ) 0
Д 6 д	Д 12	24	И    2 С 12   2 С 6   2 С 4   2 С 3   2 С 12 5 С 2   6 С 2 '   6 п д   θ =3 1/2 А 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 , С 2 AА2 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 Р з   Б 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 1 −1     BБ2 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 С   И 1 2 я 1 0 −1 - я −2 0 0 ( х , у )   EЕ2 2 1 −1 −2 −1 1 2 0 0   ( х 2 − и 2 , ху ) Е 3 2 0 −2 0 2 0 −2 0 0     Е 4 2 −1 −1 2 −1 −1 2 0 0     EЕ5 2 - я 1 0 −1 я −2 0 0 ( р х , р у ) ( хз , yz )

Полиэдральные симметрии

Эти симметрии характеризуются наличием более одной собственной оси вращения порядка больше 2.

Кубические группы

Эти полиэдрические группы характеризуются отсутствием собственной оси вращения C ₅ .

Точка Группа	Канонический группа	Заказ	Таблица символов
Т	A 4	12	И 4 С 3   4 С 3 2 3 С 2   θ = е 2π я /3 А 1 1 1 1   х 2 + и 2 + я 2 И 1 1 я   я С я С я   1 1   (2 з 2 − х 2 − и 2 , х 2 − и 2 ) Т 3 0 0 −1 ( р х , р у , р z ), ( х , у , z ) ( ху , хз , уз )
Т д	С 4	24	И 8 С 3   3 С 2   6 С 4   6 п д     А 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 + я 2 AА2 1 1 1 −1 −1     И 2 −1 2 0 0   (2 з 2 − х 2 − и 2 , х 2 − и 2 ) Т 1 3 0 −1 1 −1 ( р Икс , Р y , Р z )   Т 2 3 0 −1 −1 1 ( х , у , z ) ( ху , хз , уз )
Т ч	Z 2 ×A 4	24	И 4 С 3   4 С 3 2 3 С 2   я 4 С 6   4 С 6 5 3 σ ч   θ = е 2π я /3 AМистер 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 + я 2 AВ 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1     г например 1 1 я   я С я С я   1 1 1 1 я   я С я С я   1 1   (2 з 2 − х 2 − и 2 , х 2 − и 2 ) Евросоюз ​ 1 1 я   я С я С я   1 1 −1 −1 - я   - я С - я С - я   −1 −1     Т г 3 0 0 −1 3 0 0 −1 ( р Икс , Р y , Р z ) ( ху , хз , уз ) Ты ​ 3 0 0 −1 −3 0 0 1 ( х , у , z )
ТО	С 4	24	И    6 С 4   3 С 2   ( С 4 2 ) 8 С 3   6 С' 2     А 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 + я 2 AА2 1 −1 1 1 −1     И 2 0 2 −1 0   (2 з 2 − х 2 − и 2 , х 2 − и 2 ) Т 1 3 1 −1 0 −1 ( р х , р у , р z ), ( х , у , z )   Т 2 3 −1 −1 0 1   ( ху , хз , уз )
Ой ​	Z 2 ×S 4	48	И    8 С 3   6 С 2   6 С 4   3 С 2   ( С 4 2 ) я 6 С 4   8 С 6   3 σ ч   6 п д     1 г 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 + я 2 2г ​ 1 1 −1 −1 1 1 −1 1 1 −1     г например 2 −1 0 0 2 2 0 −1 2 0   (2 з 2 − х 2 − и 2 , х 2 − и 2 ) Т 1г 3 0 −1 1 −1 3 1 0 −1 −1 ( р Икс , Р y , Р z )   Т 2г 3 0 1 −1 −1 3 −1 0 −1 1   ( ху , хз , уз ) В 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1     А 2у 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 −1 1     Евросоюз ​ 2 −1 0 0 2 −2 0 1 −2 0     Т 1у 3 0 −1 1 −1 −3 −1 0 1 1 ( х , у , z )   Т 2у 3 0 1 −1 −1 −3 1 0 1 −1

Икосаэдрические группы

Смотрите также: икосаэдральная симметрия

Эти полиэдрические группы характеризуются наличием собственной оси вращения C ₅ .

Точка Группа	Канонический группа	Заказ	Таблица символов
я	AА5	60	И 12 С 5   12 С 5 2 20 С 3   15 С 2   θ =π/5 А 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 + я 2 Т 1 3 2 потому что ( θ ) 2 соз(3 θ ) 0 −1 ( р х , р у , р z ), ( х , у , z )   Т 2 3 2 соз(3 θ ) 2 потому что ( θ ) 0 −1     Г 4 −1 −1 1 0     ЧАС 5 0 0 −1 1   (2 з 2 − х 2 − и 2 , х 2 − и 2 , ху , хз , уз )
I h	Z 2 ×A 5	120	И 12 С 5   12 С 5 2 20 С 3   15 С 2   я 12 С 10   12 С 10 3 20 С 6   15 р. θ =π/5 AМистер 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   х 2 + и 2 + я 2 Т 1г 3 2 потому что ( θ ) 2 соз(3 θ ) 0 −1 3 2 соз(3 θ ) 2 потому что ( θ ) 0 −1 ( р Икс , Р y , Р z )   Т 2г 3 2 соз(3 θ ) 2 потому что ( θ ) 0 −1 3 2 потому что ( θ ) 2 соз(3 θ ) 0 −1     G g 4 −1 −1 1 0 4 −1 −1 1 0     ч г 5 0 0 −1 1 5 0 0 −1 1   (2 з 2 − х 2 − и 2 , х 2 − и 2 , ху , хз , уз ) AВ 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1     Т 1у 3 2 потому что ( θ ) 2 соз(3 θ ) 0 −1 −3 −2 cos(3 θ ) −2 потому что ( θ ) 0 1 ( х , у , z )   Т 2у 3 2 соз(3 θ ) 2 потому что ( θ ) 0 −1 −3 −2 потому что ( θ ) −2 cos(3 θ ) 0 1     Г ты 4 −1 −1 1 0 −4 1 1 −1 0     Ч ты 5 0 0 −1 1 −5 0 0 1 −1

Линейные (цилиндрические) группы

Эти группы характеризуются наличием собственной оси вращения C _∞ , симметрия вокруг которой инвариантна к любому вращению.

Точка Группа	Таблица символов
C ∞v	И 2 C ∞ Ф ... ∞ с v     А 1 =С + 1 1 ... 1 С х 2 + и 2 , С 2 А 2 =Σ − 1 1 ... −1 Р з   Е 1 =Р 2 2 соз(Φ) ... 0 ( Икс , у ), ( р Икс , р у ) ( хз , yz ) Е 2 =Д 2 2 соз(2Φ) ... 0   ( х 2 - и 2 , ху ) Е 3 =Φ 2 2 соз(3Φ) ... 0     ... ... ... ... ...
D ∞h	И 2 C ∞ Ф ... ∞ с v   я 2 S ∞ Ф ... ∞ С 2     С г + 1 1 ... 1 1 1 ... 1   х 2 + и 2 , С 2 С г − 1 1 ... −1 1 1 ... −1 Р з   Πг 2 2 соз(Φ) ... 0 2 −2 соз(Φ) .. 0 ( р х , р у ) ( хз , yz ) ΔΔg 2 2 соз(2Φ) ... 0 2 2 соз(2Φ) .. 0   ( х 2 − и 2 , ху ) ... ... ... ... ... ... ... ... ...     Σ ты + 1 1 ... 1 −1 −1 ... −1 С   Σ ты − 1 1 ... −1 −1 −1 ... 1     Π ты 2 2 соз(Φ) ... 0 −2 2 соз(Φ) .. 0 ( х , у )   Δ ты 2 2 соз(2Φ) ... 0 −2 −2 соз(2Φ) .. 0     ... ... ... ... ... ... ... ... ...

См. также

• Линейная комбинация атомных орбиталей (метод молекулярных орбиталей)
• Рамановская спектроскопия
• Колебательная спектроскопия (молекулярная вибрация)
• Список малых групп
• Кубические гармоники

Внешние ссылки

• Таблицы символов для групп точек, используемых в химии . gernot-katzers-spice-pages.com (включает преобразования симметрии декартовых произведений до шестого порядка)

Дальнейшее чтение

• Банкер, Филип; Дженсен, Пер (2006). Молекулярная симметрия и спектроскопия, второе издание . Оттава : NRC Research Press. ISBN  0-660-19628-Х .