н ! догадка

В математике n ​ ! Гипотеза – это гипотеза о том, что размерность некоторого биградуированного модуля диагональных гармоник равна n !. Оно было сделано А. М. Гарсией и М. Хайманом и позднее доказано Хайманом М. . Это подразумевает о гипотезу Макдональда полиномов положительности Макдональда .

Формулировка и предыстория

Полиномы Макдональда $P_{\lambda }$ представляют собой двухпараметрическое семейство ортогональных полиномов, индексированных положительным весом λ корневой системы , введенное Яном Г. Макдональдом (1987). Они обобщают несколько других семейств ортогональных полиномов, таких как полиномы Джека и полиномы Холла – Литтлвуда . Известно, что они имеют глубокие связи с аффинными алгебрами Гекке и схемами Гильберта , которые использовались для доказательства нескольких гипотез, сделанных о них Макдональдом.

Макдональд (1988) ввел новый базис пространства симметричных функций , который специализируется на многих известных базисах симметричных функций, путем подходящих замен параметров q и t .

Фактически, мы можем получить таким образом функции Шура , симметричные функции Холла – Литтлвуда, симметричные функции Джека, зональные симметричные функции , зональные сферические функции , а также элементарные и мономиальные симметричные функции.

Так называемые q , t - полиномы Костки являются коэффициентами результирующей матрицы перехода . Макдональд предположил, что они являются полиномами от q и t с неотрицательными целыми коэффициентами.

Это была идея Адриано Гарсиа построить соответствующий модуль для доказательства положительности (как это было сделано в его предыдущей совместной работе с Процесси по положительности Шура полиномов Костки-Фоулкса ).

Пытаясь доказать гипотезу Макдональда, Гарсиа и Хайман (1993) ввели двухградуированный модуль. $H_{\mu }$ диагональных гармоник и предположил, что (модифицированные) полиномы Макдональда являются образом Фробениуса характер-производящей функции H _µ под действием диагонального действия симметрической группы .

Доказательство гипотезы Макдональда затем было сведено к n ! догадка; т. е. доказать, что размерность H _µ равна n !. В 2001 году Хайман доказал, что размерность действительно равна n ! (см. [4]).

Этот прорыв привел к открытию многих скрытых связей и новых аспектов теории представления симметричных групп , а также комбинаторных объектов (например, таблиц вставки, чисел инверсии Хаглунда и роли парковочных функций в теории представлений ).

Ссылки

• Гарсия, AM; Процесси, К. (1992). «О некоторых градуированных -модулях _Sn и q-полиномах Костки» . Достижения в математике . 94 (1): 82–138. дои : 10.1016/0001-8708(92)90034-I .
• Гарсия, AM; Хайман, М. (1993). «Модель градуированного представления полиномов Макдональда» . Труды Национальной академии наук . 90 (8): 3607–3610. дои : 10.1073/pnas.90.8.3607 . ПМК   46350 . ПМИД   11607377 .
• Гарсия, AM; Хайман, М. Орбитальные гармоники и градуированные представления, исследовательская монография . Появиться как часть коллекции, опубликованной Лабораторией. де. Гребень. et Informatique Mathématique, под редакцией С. Брлека, Университет Квебека в Монреале.
• Хайман, М. (2001). «Схемы Гильберта, полиграфы и гипотеза положительности Макдональда» . Журнал Американского математического общества . 14 (4): 941–1006. дои : 10.1090/S0894-0347-01-00373-3 .
• Макдональд, И.Г. (1988). «Новый класс симметричных функций» . Лотарингский семинар по комбинаторике . 20 . Опубл. ИРМА Страсбург: 131–171.

Внешние ссылки

• Семинар Бурбаки (Прочези), PDF
• н ! гипотеза Франсуа Бержерона
• н ! домашняя страница Гарсии
• http://www.maths.ed.ac.uk/~igordon/pubs/grenoble3.pdf
• http://mathworld.wolfram.com/n!Theorem.html