Jump to content

Картирование сокращений

(Перенаправлено с карты субподряда )

В математике , сжатое отображение или сжатие или контрактор , в метрическом пространстве ( M , d ) — это функция f из M в себя, обладающая тем свойством, что существует некоторое действительное число. такой, что для всех x и y в M ,

Наименьшее такое значение k называется Липшица константой f . Сжимающие карты иногда называют липшицевыми картами . Если вместо этого выполняется вышеуказанное условие для k ≤ 1, то отображение называется нерасширяющим .

В более общем смысле идею сжимающего отображения можно определить для отображений между метрическими пространствами. Таким образом, если ( M , d ) и ( N , d' ) — два метрических пространства, то является сжимающим отображением, если существует константа такой, что

для всех x и y в M .

Каждое сжимающее отображение является липшицевым и, следовательно, равномерно непрерывным (для липшицевой непрерывной функции константа k уже не обязательно меньше 1).

Сжимающее отображение имеет не более одной фиксированной точки . , теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что каждое сжимающее отображение в непустом полном метрическом пространстве имеет единственную неподвижную точку и что для любого x в M повторяющаяся последовательность функций ( x , f ( x ), f ( f Более того x )) f ( f ( f ( x ))), ... сходится к неподвижной точке. Эта концепция очень полезна для итерированных функциональных систем , где часто используются сжимающие отображения . Теорема Банаха о неподвижной точке также применяется при доказательстве существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений и используется в одном доказательстве теоремы об обратной функции . [1]

Сокращающие отображения играют важную роль в задачах динамического программирования . [2] [3]

Твердо нерасширяющее картографирование [ править ]

Нерасширяющее отображение с может быть обобщено до строго нерастягивающего отображения в гильбертовом пространстве. если для всех x и y в :

где

.

Это частный случай усредненные нерасширяющие операторы с . [4] Строго нерасширяющее отображение всегда нерасширяющее согласно неравенству Коши – Шварца .

Класс твердо нерасширяющихся отображений замкнут относительно выпуклых комбинаций , но не композиций. [5] В этот класс входят проксимальные отображения собственных, выпуклых, полунепрерывных снизу функций, а значит, в него входят и ортогональные проекции на непустые замкнутые выпуклые множества . Класс твердо нерастягивающих операторов равен множеству резольвент максимально монотонных операторов . [6] Удивительно, но хотя итерация нерасширяющих карт не дает гарантии нахождения фиксированной точки (например, умножение на -1), твердой нерасширяемости достаточно, чтобы гарантировать глобальную сходимость к фиксированной точке, при условии, что фиксированная точка существует. Точнее, если , то для любой начальной точки , итерация

дает сходимость к фиксированной точке . Эта сходимость может быть слабой в бесконечномерной ситуации. [5]

Карта субподряда [ править ]

Карта субсжатия или субподрядчик — это карта f в метрическом пространстве ( M , d ), такая что

Если образ субподрядчика f компактен , то f имеет неподвижную точку. [7]

Локально выпуклые пространства [ править ]

В локально выпуклом пространстве ( E , P ) с топологией, заданной набором P полунорм такое , , можно определить для любого p P p - сжатие как отображение f что существует некоторое k p < 1 такое, что p ( f ( Икс ) - ж ( y )) k п п ( Икс - y ) . Если f является p -сжатием для всех p P и ( E , P ) секвенциально полно, то f имеет неподвижную точку, заданную как предел любой последовательности x n +1 = f ( x n ), и если ( E , P ) хаусдорфова , то неподвижная точка единственна. [8]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Шифрин, Теодор (2005). Многомерная математика . Уайли. стр. 244–260. ISBN  978-0-471-52638-4 .
  2. ^ Денардо, Эрик В. (1967). «Отображения сокращений в теории, лежащей в основе динамического программирования». Обзор СИАМ . 9 (2): 165–177. Бибкод : 1967SIAMR...9..165D . дои : 10.1137/1009030 .
  3. ^ Стоки, Нэнси Л .; Лукас, Роберт Э. (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 49–55. ISBN  978-0-674-75096-8 .
  4. ^ Комбеттс, Патрик Л. (2004). «Решение монотонных включений с помощью композиций нерасширяющих усредненных операторов». Оптимизация . 53 (5–6): 475–504. дои : 10.1080/02331930412331327157 . S2CID   219698493 .
  5. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Баушке, Хайнц Х. (2017). Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах . Нью-Йорк: Спрингер.
  6. ^ Комбеттс, Патрик Л. (июль 2018 г.). «Теория монотонных операторов в выпуклой оптимизации». Математическое программирование . Б170 : 177–206. arXiv : 1802.02694 . Бибкод : 2018arXiv180202694C . дои : 10.1007/s10107-018-1303-3 . S2CID   49409638 .
  7. ^ Гольдштейн, А.А. (1967). Конструктивный реальный анализ . Серия Харпера по современной математике. Нью-Йорк-Эванстон-Лондон: Харпер и Роу. п. 17. Збл   0189.49703 .
  8. ^ Каин, Г.Л. младший; Нашед, МЗ (1971). «Неподвижные точки и устойчивость суммы двух операторов в локально выпуклых пространствах» . Тихоокеанский математический журнал . 39 (3): 581–592. дои : 10.2140/pjm.1971.39.581 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Булло, Франческо (2022). Теория сжатия динамических систем . Kindle Direct Publishing. ISBN  979-8-8366-4680-6 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 2a82fbcec23fe489ea5cf18c0d8b5849__1720091040
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/2a/49/2a82fbcec23fe489ea5cf18c0d8b5849.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Contraction mapping - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)