Метрическая карта

В математической теории метрических пространств метрическое отображение — это функция между метрическими пространствами, которая не увеличивает расстояние. Эти отображения являются морфизмами категории метрических пространств Met . Такие функции всегда являются непрерывными функциями . Их также называют липшицевыми функциями с константой Липшица 1, нерасширяющими отображениями , нерасширяющими отображениями , слабыми сокращениями или короткими отображениями .

В частности, предположим, что $X$ и $Y$ являются метрическими пространствами и $f$ это функция от $X$ к $Y$. Таким образом, мы имеем метрическое отображение, когда для любых точек $x$ и $y$ в $X$, $$d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y).\!$$ Здесь $d_{X}$ и $d_{Y}$ обозначим метрики на $X$ и $Y$ соответственно.

Примеры

Рассмотрим метрическое пространство $[0,1/2]$ с евклидовой метрикой . Тогда функция $f(x)=x^{2}$ является метрическим отображением, так как для $x\neq y$, $|f(x)-f(y)|=|x+y||x-y|<|x-y|$.

Категория метрических карт

Функциональная композиция двух метрических карт представляет собой еще одну метрическую карту, а тождественная карта $\mathrm {id} _{M}:M\rightarrow M$ в метрическом пространстве $M$ — это метрическая карта, которая также является идентификационным элементом для композиции функций. Таким образом, метрические пространства вместе с метрическими отображениями образуют категорию Met . Met — подкатегория категории метрических пространств и липшицевых функций. Отображение между метрическими пространствами является изометрией тогда и только тогда, когда оно является биективным метрическим отображением, обратное которому также является метрическим отображением. Таким образом, изоморфизмы в Met являются в точности изометриями.

Строго метрические карты

Можно сказать, что $f$ является строго метрическим , если неравенство строго для каждых двух различных точек. Таким образом, сжимающее отображение является строго метрическим, но не обязательно наоборот. Обратите внимание, что изометрия никогда не бывает строго метрической, за исключением вырожденного случая пустого пространства или одноточечного пространства.

Многозначная версия

Отображение $T:X\to {\mathcal {N}}(X)$ из метрического пространства $X$ семейству непустых подмножеств $X$ называется липшицевым, если существует $L\geq 0$ такой, что $$H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),$$ для всех $x,y\in X$, где $H$ — расстояние Хаусдорфа . Когда $L=1$, $T$ называется нерасширяющим , а когда $L<1$, $T$ называется сокращением .

См. также

• Сжатие (теория операторов) - Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Картирование сжатия — функция, уменьшающая расстояние между всеми точками.
• Коэффициент растяжения – математический параметр вложений.
• Карта субподряда — функция, уменьшающая расстояние между всеми точками. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.