Гармонические тензоры

В данной статье сферические функции заменены полиномами , хорошо известными в электростатике со времен Максвелла и связанными с мультипольными моментами . В физике обычно появляются дипольные и квадрупольные моменты , поскольку именно с ними связаны фундаментальные понятия физики. Дипольный и квадрупольный моменты:

$\int x_{i}\rho (\mathbf {x} )dV$,

$\int (3x_{i}x_{k}-\delta _{ik})\rho (\mathbf {x} )dV$,

где $\rho (\mathbf {x} )$ – плотность зарядов (или другая величина).

Октупольный момент

$\int 3(5x_{i}x_{k}x_{l}-x_{l}\delta _{ik}-x_{k}\delta _{il}-x_{i}\delta _{lk})\rho (\mathbf {x} )dV$

используется довольно редко. Как правило, моменты высокого ранга вычисляются с помощью сферических функций.Сферические функции удобны в задачах рассеяния . Полиномы предпочтительнее при расчетах с дифференциальными операторами . При этом свойства тензоров , в том числе и моментов высокого ранга, считаются повторяющими в основном особенности твердых сферических функций, но имеющими свою специфику.

Использование инвариантных полиномиальных тензоров в декартовых координатах , как показано в ряде последних исследований, является предпочтительным и упрощает принципиальную схему расчетов. . Сферические координаты здесь не участвуют. Показаны правила использования гармонических симметричных тензоров, непосредственно вытекающие из их свойств. Эти правилаестественным образом отражаются в теории специальных функций , но не всегда очевидны, хотя свойства группы носят общий характер.. Во всяком случае, напомним главное свойство гармонических тензоров: след по любой паре индексов обращается в нуль. . Здесь выбираются те свойства тензоров, которые не только делают аналитические вычисления более компактными и уменьшают «число факториалов», но и позволяют корректно формулировать некоторые фундаментальные вопросы теоретической физики. .

Общие свойства

Четыре свойства симметричного тензора $\mathbf {M} _{i...k}$ привели к использованию его в физике.

А. Тензор является однородным полиномом:

$\mathbf {M} _{i...k}(k\mathbf {x} )=k^{l}\mathbf {M} _{i...k}(\mathbf {x} )$,

где $l$ – количество индексов, т. е. тензорный ранг ;

Б. Тензор симметричен относительно индексов;

C. Тензор гармоничен, т. е. является решением уравнения Лапласа :

$\Delta \mathbf {M} _{i...k}(\mathbf {x} )=0$;

D. Трассировка по любым двум индексам исчезает:

$\mathbf {M} _{ii[...]}(\mathbf {x} )=0$,

где символ $[...]$ обозначает оставшееся $(l-2)$ индексы после приравнивания $i=i$.

Компонентами тензора являются телесные сферические функции. Тензор можно разделить на коэффициент $r^{l}$ приобретать компоненты в виде сферических функций.

Мультипольные тензоры в электростатике

Мультипольные потенциалы возникают при разложении потенциала точечного заряда по степеням координат. $x_{oi}$ радиус-вектора $\mathbf {r} _{o}$ («Полюса Максвелла»). Для потенциальных

${\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}\right|}}$,

есть известная формула:

${\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}\right|}}=\sum _{l}(-1)^{l}{\frac {(\mathbf {r} _{0}\nabla )^{l}}{l!}}{\frac {1}{r}}=\sum _{l}{\frac {x_{0i}...x_{0k}}{l!r^{2l+1}}}\mathbf {M} _{i...k}^{(l)}(\mathbf {r} )=\sum _{l}{\frac {\mathbf {r} _{0}^{\otimes l}\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}}{l!r^{2l+1}}}$,

где используются следующие обозначения. Для $l$тензорная степень радиуса-вектора

$x_{0i}...x_{0k}=\mathbf {r} _{0}^{\otimes l}$,

и для симметричного гармонического тензора ранга $l$,

$\mathbf {M} _{i...k}^{(l)}(\mathbf {r} )=\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )$.

Тензор представляет собой однородный гармонический полином с описанными общими свойствами. Сокращение по любым двум индексам (когда два градиента становятся $\Delta$ оператор) имеет значение NULL. Если тензор разделить на $r^{2l+1}$, то мультипольный гармонический тензор возникает

${\frac {\mathbf {M} _{i...k}^{(l)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+1}}}={\frac {\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+1}}}$,

которая также является однородной гармонической функцией со степенью однородности $-(l+1)$.

Из формулы для потенциала следует, что

${\frac {\mathbf {M} _{im...k}^{(l+1)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+3}}}=-\nabla _{i}{\frac {\mathbf {M} _{m...k}^{(l)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+1}}}$,

что позволяет построить лестничный оператор.

Теорема о степенных эквивалентных моментах в электростатике

Существует очевидное свойство сжатия.

$(2l-1)!!(\mathbf {r} _{0}^{\otimes l},\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} ))=(\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} _{0}),\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} ))$,

которые приводят к теореме, существенно упрощающей вычисление моментов в теоретической физике.

Теорема

Позволять $\rho (x)$ быть распределением заряда. При расчете мультипольного потенциалаВместо гармонических тензоров (или вместо сферических функций) можно использовать степенные моменты:

$(\int \rho (\mathbf {r} _{0})\mathbf {r} _{0}^{\otimes l}dV_{\mathbf {r} _{0}},{\frac {\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )}{l!r^{2l+1}}})=(\int \rho (\mathbf {r} _{0})\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} _{0})dV_{\mathbf {r} _{0}},{\frac {\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )}{(2l-1)!!l!r^{2l+1}}})$.

Это преимущество по сравнению с использованием сферических функций.

Пример 1.

Для квадрупольного момента вместо интеграла

$\int \rho (\mathbf {r} )(3x_{i}x_{k}-r^{2}\delta _{ik})dV$,

можно использовать «короткий» интеграл

$3\int \rho (\mathbf {r} )x_{i}x_{k}dV$.

Моменты разные, но потенциалы равны.

Формула гармонического тензора

Формула для тензора рассматривалась в с помощью лестничного оператора.Его можно получить с помощью оператора Лапласа. Подобный подход известен в теории специальных функций. Первое слагаемое в формуле, как несложновидно из расширения потенциала точечного заряда, равен

$\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )=(2l-1)!!x_{i_{1}}...x_{i_{l}}+...=(2l-1)!!\mathbf {r} ^{\otimes l}+...$.

Остальные члены можно получить, многократно применяя оператор Лапласа иумножив на четную степень модуля $r$. Коэффициенты легко определить, подставив разложение в уравнение Лапласа. В результате формула следующая:

$\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )=(2l-1)!!\mathbf {r} ^{\otimes l}-{\frac {(2l-3)!!}{1!2^{1}}}r^{2}\Delta \mathbf {r} ^{\otimes l}+{\frac {(2l-5)!!}{2!2^{2}}}r^{4}\Delta ^{2}\mathbf {r} ^{\otimes l}-{\frac {(2l-7)!!}{3!2^{3}}}r^{6}\Delta ^{3}\mathbf {r} ^{\otimes l}+...$

.

Эта форма полезна для применения к ней дифференциальных операторов квантовой механики и электростатики . Дифференцирование порождает произведение символов Кронекера .

Пример 2

$\Delta x_{i}x_{k}=2\delta _{ik}$,

$\Delta x_{i}x_{k}x_{m}=2(\delta _{ik}x_{m}+\delta _{km}x_{i}+\delta _{im}x_{k})$,

$\Delta \Delta x_{i}x_{k}x_{m}x_{n}=8(\delta _{ik}\delta _{mn}+\delta _{km}\delta _{in}+\delta _{im}\delta _{kn})$.

Последнее качество можно проверить с помощью сокращения с $i=k$ . Это удобнозаписать формулу дифференцирования через операцию симметризации. Символ для него был предложен в с помощью суммы переняли все независимыеперестановки индексов:

${\frac {\Delta ^{k}\mathbf {r} ^{\otimes l}}{k!2^{k}}}=\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes (l-2k)}\mathbf {r} ^{\otimes (l-2k)}\right\rangle \right\rangle$.

В результате получается следующая формула:

$\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )=(2l-1)!!\mathbf {r} ^{\otimes l}-(2l-3)!!r^{2}\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes 1}\mathbf {r} ^{\otimes (l-2)}\right\rangle \right\rangle +(2l-5)!!r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes 2}\mathbf {r} ^{\otimes (l-4)}\right\rangle \right\rangle -...$

,

где символ $\otimes k$ используется для тензорной степени символа Кронекера $\delta _{im}$ а условный символ [..] используется для двух индексов, которые изменяются при симметризации.

Следующий можно найти связь между тензором и телесными сферическими функциями. Необходимы два единичных вектора: вектор $\mathbf {n} _{z}$ направлен вдоль $z$-ось и комплексный вектор $\mathbf {n} _{x}\pm i\mathbf {n} _{y}=\mathbf {n} _{\pm }$.Сокращение их полномочий дает требуемое соотношение

$(\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} ),\mathbf {n} _{z}^{\otimes (l-m)}\mathbf {n} _{\pm }^{\otimes m})=(l-m)!(x+iy)^{m}r^{(l-m)}{\frac {d^{m}}{dt^{m}}}P_{l}(t)\mid _{t={\frac {z}{r}}}$,

где $P_{l}(t)$ является полиномом Лежандра .

Особые схватки

В теории возмущений необходимо разложить источник по сферическим функциям. Если источником является полином, например, при расчете эффекта Штарка, то интегралы стандартные, но громоздкие. При расчете с помощью инвариантных тензоров коэффициенты разложения упрощаются, и тогда нет необходимости в интегралах. Этого достаточно, как показано в для вычисления сокращений, понижающих ранг рассматриваемых тензоров. Вместо интегралов операция вычисления следа ${\hat {T}}r$ тензора по двум индексам. Полезна следующая формула понижения ранга:

${\hat {T}}r\left\langle \left\langle \delta _{ik}\mathbf {M} _{ik[m]}^{(l)}\right\rangle \right\rangle =(2l+3)\mathbf {M} _{[m]}^{(l-2)}$,

где символ [m] обозначает все левые (l-2) индексы.

Если в скобках содержится несколько множителей с дельтой Кронекера, то следующая формула соотношения держит:

${\hat {T}}r\left\langle \left\langle \delta _{i_{1}p_{1}}...\delta _{i_{k}p_{k}}\mathbf {M} _{i_{1}p_{1}[m]}^{(l)}\right\rangle \right\rangle =(2l+2k+1)\left\langle \left\langle \delta _{i_{2}p_{2}}...\delta _{i_{k}p_{k}}\mathbf {M} _{[m]}^{(l-2)}\right\rangle \right\rangle$.

Вычисление следа уменьшает количество символов Кронекера на один, а ранг гармонического тензора в правой части уравнения уменьшается на два. Повторение расчета трассы k раз исключает все символы Кронекера:

${\hat {T}}r_{1}...{\hat {T}}r_{k}\left\langle \left\langle \delta _{i_{1}p_{1}}...\delta _{i_{k}p_{k}}\mathbf {M} _{[m]}^{(l)}\right\rangle \right\rangle =(2l+2k+1)!!\left\langle \left\langle \mathbf {M} _{[m]}^{(l-2k)}\right\rangle \right\rangle$.

Гармонические 4D тензоры

Уравнение Лапласа в четырехмерном 4D пространстве имеет свою специфику. Потенциал точечного заряда в четырехмерном пространстве равен ${\frac {1}{r^{2}}}$ . Из расширения потенциала точечного заряда ${\frac {1}{{(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}^{2}}}$ в отношении полномочий $\mathbf {r} _{0}^{\otimes n}$ возникает мультипольный 4D-потенциал:

${\frac {{\mathfrak {M}}_{i...k}^{(n)}}{r^{2n+2}}}={(-1)}^{n}\nabla _{i}...\nabla _{k}{\frac {1}{r^{2}}}$.

Гармонический тензор в числителе имеет структуру, аналогичную трехмерному гармоническому тензору. Его сжатие по любым двум индексам должно исчезнуть. Дипольный и четверной 4-D тензоры, как следует отсюда, выражаются как

${\mathfrak {M}}_{i}^{(1)}(\mathbf {r} )=2x_{i}$,

${\mathfrak {M}}_{ik}^{(2)}(\mathbf {r} )=2(4x_{i}x_{k}-\delta _{ik})$,

Главный член разложения, как видно, равен

${\mathfrak {M}}_{[i]}^{(n)}(\mathbf {r} )=(2n)!!x_{i_{1}}...x_{i_{n}}-...=(2n)!!\mathbf {r} ^{\otimes n}-...$

Метод, описанный для трехмерного тензора, дает соотношения

${\mathfrak {M}}_{[i]}^{(n)}(\mathbf {r} )=(2n)!!\mathbf {r} ^{\otimes n}-{\frac {(2n-2)!!}{1!2^{1}}}r^{2}\Delta \mathbf {r} ^{\otimes n}+{\frac {(2n-4)!!}{2!2^{2}}}r^{4}\Delta ^{2}\mathbf {r} ^{\otimes n}-{\frac {(2n-6)!!}{3!2^{3}}}r^{6}\Delta ^{3}\mathbf {r} ^{\otimes n}+...$

,

${\mathfrak {M}}_{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )=(2n)!!\mathbf {r} ^{\otimes n}-(2n-2)!!r^{2}\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes 1}\mathbf {r} ^{\otimes (n-2)}\right\rangle \right\rangle +(2n-4)!!r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes 2}\mathbf {r} ^{\otimes (n-4)}\right\rangle \right\rangle -...$

.

Четырехмерные тензоры структурно проще трехмерных тензоров.

Разложение полиномов по гармоническим функциям

Применение правил сжатия позволяет разложить тензор по гармоническим.В теории возмущений даже третье приближение часто считается хорошим. Здесь представлено разложение тензорной степени до ранга l=6:

$\bullet \ l=2$, $\qquad 3x_{i}x_{k}=\mathbf {M} _{ik}^{(2)}+r^{2}\delta _{ik}$,

$\bullet \ l=3$, $\qquad 5!!x_{i}x_{k}x_{m}=\mathbf {M} _{ikm}^{(3)}+3r^{2}\left\langle \left\langle \delta _{ik}x_{m}\right\rangle \right\rangle$,

$\bullet \ l=4$, $\qquad 7!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}=\mathbf {M} _{iklm}^{(4)}+5r^{2}\left\langle \left\langle \mathbf {M} _{ik}^{(2)}\delta _{lm}\right\rangle \right\rangle +7r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}\right\rangle \right\rangle$,

$\bullet \ l=5$, $\qquad 9!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}x_{n}=\mathbf {M} _{iklmn}^{(5)}+7r^{2}\left\langle \left\langle \mathbf {M} _{ikl}^{(3)}\delta _{mn}\right\rangle \right\rangle +27r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}x_{n}\right\rangle \right\rangle$ ,

$\bullet \ l=6$, $\qquad 11!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}x_{n}x_{p}=$: $\qquad \qquad \qquad =\mathbf {M} _{iklmnp}^{(6)}+9r^{2}\left\langle \left\langle \mathbf {M} _{iklm}^{(4)}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle +55r^{4}\left\langle \left\langle \mathbf {M} _{ik}^{(2)}\delta _{lm}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle +99r^{6}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle$.

Для вывода формул полезно вычислить сжатие по двум индексам, т. е. по следу . Формула для $l=6$ тогда следует формула для $l=4$ . Применяя трассировку, удобно пользоваться правилами предыдущего раздела. В частности, последний член отношений для четных значений $l$ имеет форму

${\frac {2l-1)!!}{(l+1)!!}}$.

Также полезным является часто встречающееся сокращение по всем показателям,

$(\mathbf {M} _{[i]}^{(l)},\mathbf {M} _{[i]}^{(l)})=(\mathbf {M} _{i...k}^{(l)}(\mathbf {x} ),\mathbf {M} _{i...k}^{(l)}(\mathbf {x} ))={\frac {(2l)!}{2^{l}}}r^{2l}$

которое возникает при нормализации состояний.

Разложение полиномов в 4D пространстве

Разложение тензорных степеней вектора также компактно в четырех измерениях:

$\bullet \ n=2$, $\qquad 4!!x_{i}x_{k}={\mathfrak {M}}_{ik}^{(2)}+2r^{2}\delta _{ik}$,

$\bullet \ n=3$, $\qquad 6!!x_{i}x_{k}x_{m}={\mathfrak {M}}_{ikm}^{(3)}+8r^{2}\left\langle \left\langle \delta _{ik}x_{m}\right\rangle \right\rangle$,

$\bullet \ n=4$, $\qquad 8!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}={\mathfrak {M}}_{iklm}^{(4)}+6r^{2}\left\langle \left\langle {\mathfrak {M}}_{ik}^{(2)}\delta _{lm}\right\rangle \right\rangle +16r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}\right\rangle \right\rangle$,

$\bullet \ n=5$, $\qquad 10!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}x_{n}={\mathfrak {M}}_{iklmn}^{(5)}+8r^{2}\left\langle \left\langle {\mathfrak {M}}_{ikl}^{(3)}\delta _{mn}\right\rangle \right\rangle +80r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}x_{n}\right\rangle \right\rangle$ ,

$\bullet \ n=6$, $\qquad 12!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}x_{n}x_{p}=$: $\qquad \qquad \qquad ={\mathfrak {M}}_{iklmnp}^{(6)}+10r^{2}\left\langle \left\langle {\mathfrak {M}}_{iklm}^{(4)}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle +72r^{4}\left\langle \left\langle {\mathfrak {M}}_{ik}^{(2)}\delta _{lm}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle +240r^{6}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle$.

При использовании тензорной записи с подавленными индексами последнее равенство принимает вид

$\bullet \ n=6$, $\qquad 12!!\mathbf {x} ^{\otimes (6)}={\mathfrak {M}}_{[i]}^{(6)}+10r^{2}\left\langle \left\langle {\mathfrak {\mathfrak {M}}}_{[i]}^{(4)}\delta _{[..]}\right\rangle \right\rangle +72r^{4}\left\langle \left\langle {\mathfrak {M}}_{[i]}^{(2)}\delta _{[..]}^{\otimes 2}\right\rangle \right\rangle +240r^{6}\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes 3}\right\rangle \right\rangle$.

Разложение высших степеней не сложнее, если использовать сокращения по двум индексам.

Оператор лестницы

Лестничные операторы полезны для представления собственных функций в компактной форме. Они являются основой для построения когерентных государств. . Рассмотренные здесь операторы во многом близки к операторам «рождения» и «уничтожения» осциллятора.

Efimov's operator $\mathbf {\hat {D}}$ увеличивающее значение ранга на единицу, было введено в . Его можно получить из разложения потенциала точечного заряда:

$\mathbf {\nabla } _{i}{\frac {\mathbf {M} _{k...m}^{(l)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+1}}}=-{\frac {\mathbf {M} _{ik...m}^{(l+1)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+3}}}$.

Прямое дифференцирование в левой части уравнения дает векторный оператор, действующий на гармонический тензор:

${\hat {D}}_{i}M_{k...m}^{(l)}(\mathbf {r} )=M_{ik...m}^{(l+1)}(\mathbf {r} )$,

$\mathbf {\hat {D}} =(2{\hat {l}}-1)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {\nabla } ,$

оператор где

${\hat {l}}=(\mathbf {r} \mathbf {\nabla } )$

умножает однородный полином на степень однородности $l$.В частности,

${\hat {D}}_{i}x_{k}=3x_{i}x_{k}-r^{2}\delta {ik}$,

${\hat {D}}_{i}{\hat {D}}_{k}{\hat {D}}_{m}1=3[5x_{i}x_{k}x_{m}-r^{2}(\delta _{ik}x_{m}+\delta _{km}x_{i}+\delta _{im}x_{k})]$.

В результате $l$- складываем приложение к единице, возникает гармонический тензор:

${\hat {D}}_{i}{\hat {D}}_{k}...{\hat {D}}_{m}\mathbf {1} =M_{ik...m}^{(l)}=\mathbf {D} _{[i]}^{\otimes l}=\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}$,

здесь написано в разных формах.

Связь этого тензора с оператором углового момента ${\hat {\mathbf {L} }}$ $(\hbar =1)$ заключается в следующем:

$\mathbf {\hat {D}} ={\hat {l}}\mathbf {r} +i[\mathbf {r} \times \mathbf {\hat {L}} ]$.

Некоторые полезные свойства оператора в векторной форме приведены ниже. Скалярное произведение

${\hat {D}}_{i}{\hat {D}}_{i}=r^{2}\Delta$

дает исчезающий след по любым двум индексам. Скалярное произведение векторов ${\hat {\mathbf {D} }}$и $\mathbf {x}$ является

$\mathbf {x} {\hat {\mathbf {D} }}=r^{2}({\hat {l}}+1)$,

${\hat {\mathbf {D} }}\mathbf {x} =r^{2}{\hat {l}}$,

и, следовательно, сжатие тензора с вектором $\mathbf {x}$ может быть выражено как

$x_{i}M_{ik...m}^{(l)}=2lr^{2}M_{k...m}^{(l-1)}$,

где $l$ это число.

Коммутатор в скалярном произведении на сфере равен единице:

$\mathbf {x} \mathbf {D} -\mathbf {D} \mathbf {x} =r^{2}$.

Для расчета дивергенции тензора полезна формула:

$\mathbf {\nabla } {\hat {\mathbf {D} }}=({\hat {l}}+1)(2{\hat {l}}+3)$,

откуда

$\nabla _{i}{\hat {M}}_{ik...m}^{(l)}=l(2l+1)M_{(k...m)}^{(l-1)}$

( $l$ справа стоит число).

Четырехмерный лестничный оператор

Оператор повышения в 4D пространстве

${\hat {\mathfrak {D}}}_{i}{\mathfrak {M}}_{k...m}^{(n)}(\mathbf {r} ,\tau )={\mathfrak {M}}_{ik...m}^{(n+1)}(\mathbf {r} ,\tau )={\mathfrak {M}}_{ik...m}^{(n+1)}(\mathbf {y} )$

имеет во многом схожие свойства. Основная формула для него:

${\hat {\mathfrak {D}}}=2{\hat {n}}\mathbf {y} -\left|\mathbf {y} \right|^{2}\mathbf {\nabla } _{\mathbf {y} },$

где $y_{i}$ представляет собой 4D-вектор, $i=1,2,3,4$,

$\mathbf {y} =(\mathbf {r} ,\tau ),\quad \left|\mathbf {y} \right|^{2}=\rho _{\mathbf {y} }^{2}=\mathbf {r} ^{2}+\tau ^{2}$,

и ${\hat {n}}$ Оператор умножает однородный многочлен на его степень. Разделение $\tau$ переменная удобна для физических задач:

${\hat {n}}=(\mathbf {r} \mathbf {\nabla } _{\mathbf {r} }+\tau {\frac {\partial }{\partial \tau }})=\mathbf {y} \mathbf {\nabla } _{\mathbf {y} }$.

В частности,

${\hat {\mathfrak {D}}}_{i}\mathbf {1} =2y_{i},\quad {\hat {\mathfrak {D}}}_{i}y_{k}=2(4y_{i}y_{k}-\rho _{\mathbf {y} }^{2}\delta _{ik})$,

${\hat {\mathfrak {D}}}_{i}{\hat {\mathfrak {D}}}_{k}{\hat {\mathfrak {D}}}_{m}=4!![6x_{i}x_{k}x_{m}-\rho _{\mathbf {y} }^{2}(\delta _{ik}x_{m}+\delta _{km}x_{i}+\delta _{im}x_{k})]$.

Скалярное произведение лестничного оператора ${\hat {\mathfrak {D}}}$ и $y$ так же просто, как в трехмерном пространстве:

$\mathbf {y} {\hat {\mathfrak {D}}}={\hat {n}}_{\mathbf {y} }\rho _{\mathbf {y} }^{2},\quad {\hat {\mathfrak {D}}}\mathbf {y} =({\hat {n}}-2)\rho _{\mathbf {y} }^{2}$.

Скалярное произведение ${\hat {\mathfrak {D}}}$ и $\mathbf {\nabla }$ является

$\mathbf {\nabla } {\hat {\mathfrak {D}}}=2({\hat {n}}+2)^{2}$.

Лестничный оператор теперь связан с оператором углового момента и дополнительным оператором вращения в 4D-пространстве. ${\hat {\mathbf {A} }}$. Они выполняют алгебру Ли как угловой момент и операторы Лапласа-Рунге-Ленца .Оператор ${\hat {\mathbf {A} }}$ имеет простую форму

$\mathbf {\hat {A}} =i(\tau \mathbf {\nabla } _{\mathbf {r} }-\mathbf {r} {\frac {\partial }{\partial \tau }})$.

Отдельно про 3D. $\mathbf {r}$ -компонента и четвертая координата $\tau$повышающего оператора, формулы имеют вид

${\hat {\mathfrak {D}}}_{\mathbf {r} }=({\hat {n}}+1)\mathbf {r} +i[\mathbf {r} \times {\hat {\mathbf {L} }}]+i\tau {\hat {\mathbf {A} }}$,

${\hat {\mathfrak {D}}}_{\tau }=({\hat {n}}+1)\tau +i(\mathbf {r} {\hat {\mathbf {A} }})$.

См. также

• Тензор
• Сферические гармоники
• Оператор (физика)
• Вектор Лапласа-Рунге-Ленца
• Оператор углового момента
• Оператор лестницы
• Многополярное обменное взаимодействие

Внешние ссылки

• Фейнман, Ричард (1964–2013). «31.Тензоры» . Фейнмановские лекции . Калифорнийский технологический институт.
• Эдмондс, Арканзас (1996). Угловой момент в квантовой механике . Принстон: Издательство Принстонского университета. п. 146. ИСБН  0691025894 .