Вектор Лапласа–Рунге–Ленца

В этой статье векторы и их величины выделены жирным шрифтом и курсивом соответственно. Например, $\left|\mathbf {A} \right|=A$.

В классической механике вектор Лапласа -Рунге-Ленца (LRL) — это вектор, используемый в основном для описания формы и ориентации орбиты одного астрономического тела вокруг другого, например двойной звезды или планеты, вращающейся вокруг звезды. Для двух тел, взаимодействующих под действием ньютоновской гравитации , вектор LRL является константой движения , что означает, что он одинаков, независимо от того, где он рассчитывается на орбите; то же самое говорят, что вектор LRL сохраняется . В более общем смысле, вектор LRL сохраняется во всех задачах, в которых два тела взаимодействуют под действием центральной силы , которая изменяется как обратный квадрат расстояния между ними; такие проблемы называются проблемами Кеплера .

Атом водорода является проблемой Кеплера, поскольку он состоит из двух заряженных частиц, взаимодействующих по , Кулона закону электростатики еще одной центральной силе, имеющей форму обратного квадрата. Вектор LRL сыграл важную роль в первом квантовомеханическом выводе спектра атома водорода. до разработки уравнения Шрёдингера . Однако сегодня этот подход используется редко.

В классической и квантовой механике сохраняющиеся величины обычно соответствуют симметрии системы. Сохранение вектора LRL соответствует необычной симметрии; задача Кеплера математически эквивалентна частице, свободно движущейся по поверхности четырехмерной (гипер)сферы , так что вся проблема симметрична при определенных поворотах четырехмерного пространства. Эта более высокая симметрия является результатом двух свойств задачи Кеплера: вектор скорости всегда движется по идеальному кругу , и для данной полной энергии все такие круги скорости пересекаются друг с другом в одних и тех же двух точках.

Вектор Лапласа-Рунге-Ленца назван в честь Пьера-Симона де Лапласа , Карла Рунге и Вильгельма Ленца . Он также известен как вектор Лапласа . вектор Рунге – Ленца и вектор Ленца . По иронии судьбы, никто из этих ученых не обнаружил этого. Вектор LRL несколько раз открывался и переформулировался; например, он эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета небесной механики . Были определены различные обобщения вектора LRL, которые включают эффекты специальной теории относительности , электромагнитных полей и даже различных типов центральных сил.

Контекст

Отдельная частица, движущаяся под действием любой консервативной имеет как минимум четыре константы движения: полную энергию E и три декартовых компонента вектора углового момента центральной силы , L относительно центра силы. Орбита частицы ограничена плоскостью, определяемой начальным импульсом частицы p (или, что то же самое, ее скоростью v ) и вектором r между частицей и центром силы . (см. рисунок 1). Эта плоскость движения перпендикулярна вектору постоянного углового момента L = r × p ; векторного скалярного произведения математически это может быть выражено уравнением r ⋅ L = 0 . Учитывая его математическое определение, приведенное ниже, вектор Лапласа-Рунге-Ленца (вектор LRL) A всегда перпендикулярен вектору постоянного углового момента L для всех центральных сил ( A ⋅ L = 0 ). Следовательно, А всегда лежит в плоскости движения. Как показано ниже , точка А направлена ​​от центра силы к перицентру движения, точке наибольшего сближения, а ее длина пропорциональна эксцентриситету орбиты.

Вектор LRL A ​​постоянен по длине и направлению, но только для центральной силы, обратно квадратичной. Для других центральных сил вектор А не является постоянным, а изменяется как по длине, так и по направлению. Если центральная сила примерно подчиняется закону обратных квадратов, вектор A примерно постоянен по длине, но медленно меняет свое направление. консервативный вектор Обобщенный LRL ${\mathcal {A}}$ может быть определен для всех центральных сил, но этот обобщенный вектор представляет собой сложную функцию положения и обычно не выражается в замкнутой форме .

Вектор LRL отличается от других сохраняющихся величин следующим свойством. имеется соответствующая циклическая координата Если для типичных сохраняющихся величин в трехмерном лагранжиане системы не , то для вектора LRL такой координаты существует. Таким образом, сохранение вектора LRL должно быть получено напрямую, например, методом скобок Пуассона , как описано ниже. Сохраняющиеся величины такого рода называются «динамическими» в отличие от обычных «геометрических» законов сохранения, например закона сохранения момента импульса.

История повторного открытия

Вектор LRL A ​​является константой движения задачи Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, таких как движение планет и двойных звезд. Тем не менее, оно никогда не было хорошо известно физикам, возможно, потому, что оно менее интуитивно понятно, чем импульс и угловой момент. Следовательно, за последние три столетия его независимо открывали заново несколько раз.

Якоб Германн был первым, кто показал, что A сохраняется для частного случая центральной силы, обратной квадрату: и выяснил его связь с эксцентриситетом орбитального эллипса . Работа Германа была обобщена до современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году. В конце века Пьер-Симон де Лаплас заново открыл сохранение A , выведя его аналитически, а не геометрически. В середине девятнадцатого века Уильям Роуэн Гамильтон вывел эквивалентный вектор эксцентриситета, определенный ниже : используя его, чтобы показать, что вектор импульса p движется по окружности под действием центральной силы, обратно квадратичной (рис. 3).

В начале двадцатого века Джозайя Уиллард Гиббс вывел тот же вектор с помощью векторного анализа . Вывод Гиббса был использован в качестве примера Карлом Рунге в популярном немецком учебнике по векторам: на которую ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о (старой) квантово-механической трактовке атома водорода. В 1926 году Вольфганг Паули использовал вектор LRL для определения энергетических уровней атома водорода, используя матричную формулировку квантовой механики: после чего он стал известен главным образом как вектор Рунге–Ленца .

Математическое определение

Центральная сила обратного квадрата, действующая на одну частицу, описывается уравнением $$\mathbf {F} (r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ;$$Соответствующая потенциальная энергия определяется выражением $V(r)=-k/r$. Постоянный параметр k описывает силу центральной силы; он равен G ⋅ M ⋅ m для гравитационных и − k _e ⋅ Q ⋅ q для электростатических сил. Сила притягивает, если k > 0 , и отталкивает, если k < 0 .

Рисунок 1: Вектор LRL A ​​(показан красным) в четырех точках (обозначенных 1, 2, 3 и 4) на эллиптической орбите связанной точечной частицы, движущейся под действием центральной силы, обратной квадрату. Центр притяжения показан в виде маленького черного круга, из которого исходят векторы положения (также черные). Вектор углового момента L перпендикулярен орбите. Компланарные векторы p × L и ( mk / r ) r показаны синим и зеленым цветом соответственно; эти переменные определены ниже . Вектор A постоянен по направлению и величине.

Вектор LRL A ​​определяется математически по формуле

$\mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} ,$

где

• m — масса точечной частицы, движущейся под действием центральной силы,
• p - его вектор импульса,
• L = r × p — вектор его углового момента,
• r – вектор положения частицы (рис. 1),
• $\mathbf {\hat {r}}$ – соответствующий единичный вектор , т.е. $\mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}$, и
• r — величина r , расстояние массы от центра силы.

Единицы СИ вектора LRL — джоуль-килограмм-метр (Дж⋅кг⋅м). Это следует из того, что единицами измерения p и L являются кг⋅м/с и Дж⋅с соответственно. Это согласуется с единицами измерения м (кг) и k (Н⋅м ² ).

Это определение вектора LRL A ​​относится к одной точечной частице массы m, движущейся под действием фиксированной силы. Однако то же определение можно распространить на задачи двух тел, такие как задача Кеплера, взяв m как приведенную массу двух тел, а r как вектор между двумя телами.

Поскольку предполагаемая сила консервативна, полная энергия E является константой движения: $$E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}.$$

Предполагаемая сила также является центральной силой. Следовательно, вектор углового момента L также сохраняется и определяет плоскость, в которой движется частица. Вектор LRL A ​​перпендикулярен вектору углового момента L, потому что и p × L, и r перпендикулярны L . Отсюда следует, что А лежит в плоскости движения.

путем масштабирования вектора с помощью констант, таких как масса m , силовой параметр k или угловой момент L. Альтернативные формулировки для одной и той же константы движения могут быть определены, как правило , Самый распространенный вариант — разделить A на mk , что дает вектор эксцентриситета: вектор безразмерный вдоль большой полуоси, модуль которого равен эксцентриситету коники: $$\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} .$$Эквивалентная формулировка умножает этот вектор эксцентриситета на большую полуось a , давая результирующему вектору единицы длины. Еще одна формулировка делит А на $L^{2}$, что дает эквивалентную сохраняющуюся величину с единицами обратной длины, величину, которая появляется при решении задачи Кеплера $$u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta$$где $\theta$ — угол между A и вектором положения r . Дополнительные альтернативные формулировки приведены ниже .

Вывод кеплеровских орбит

Рисунок 2: Упрощенная версия рисунка 1, определяющая угол θ между A и r в одной точке орбиты.

Форму ориентацию и . орбит можно определить по вектору LRL следующим образом Скалярное произведение A с вектором положения r дает уравнение $$\mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =A\cdot r\cdot \cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr,$$где θ — угол между r и A (рис. 2). Перестановка скалярного тройного произведения дает $$\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\cdot \mathbf {L} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}$$

Перестановка дает решение уравнения Кеплера

${\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta$

Это соответствует формуле для конического сечения с эксцентриситетом e $${\frac {1}{r}}=C\cdot \left(1+e\cdot \cos \theta \right)$$где эксцентриситет $e={\frac {A}{\left|mk\right|}}\geq 0$ и C является константой.

Скалярное произведение A на самого себя дает уравнение, включающее полную энергию E : $$A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},$$которое можно переписать через эксцентриситет, $$e^{2}=1+{\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.$$

Таким образом, если энергия E отрицательна (связанные орбиты), эксцентриситет меньше единицы и орбита представляет собой эллипс. И наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые «рассеянными орбитами»). ), эксцентриситет больше единицы и орбита представляет собой гиперболу . Наконец, если энергия равна нулю, эксцентриситет равен единице, а орбита представляет собой параболу . Во всех случаях направление А лежит вдоль оси симметрии конического сечения и указывает от центра силы к перицентру, точке наибольшего сближения.

Годографы кругового импульса

Рисунок 3: Вектор импульса p (показан синим цветом) движется по окружности, когда частица движется по эллипсу. Четыре отмеченные точки соответствуют точкам на рисунке 1. Круг расположен по оси Y в положении A / L (показано пурпурным цветом) с радиусом mk / L (показано зеленым цветом). Угол η определяет эксцентриситет e эллиптической орбиты ( cos η = e ). По теореме о вписанном угле для окружностей также η является углом между любой точкой окружности и двумя точками пересечения с осью p _x , p _x = ± p ₀ , которые зависят только от E , но не от L .

Сохранение вектора LRL A ​​и вектора углового момента L полезно для демонстрации того, что вектор импульса p движется по окружности под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату.

Взяв скалярное произведение $$mk{\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {A}$$с самим собой дает $$(mk)^{2}=A^{2}+p^{2}L^{2}+2\mathbf {L} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {A} ).$$

Дальнейший выбор L вдоль оси z и большой полуоси в качестве оси x дает уравнение вектора для p :

$p_{x}^{2}+\left(p_{y}-{\frac {A}{L}}\right)^{2}=\left({\frac {mk}{L}}\right)^{2}.$

Другими словами, вектор импульса p ограничен кругом радиуса mk / L = L / ℓ с центром в (0, A / L ) . Для ограниченных орбит эксцентриситет e соответствует косинусу угла η, показанному на рисунке 3. Для неограниченных орбит мы имеем $A>mk$ и поэтому окружность не пересекает $p_{x}$-ось.

В вырожденном пределе круговых орбит и, следовательно, обращающемся в нуль A , центр окружности находится в начале координат (0,0) .Для краткости полезно также ввести переменную ${\textstyle p_{0}={\sqrt {2m|E|}}}$.

Этот круговой годограф полезен для иллюстрации симметрии задачи Кеплера.

Константы движения и суперинтегрируемость

Семь скалярных величин E , A и L (являясь векторами, последние две вносят по три сохраняющихся величины каждая) связаны двумя уравнениями: A ⋅ L = 0 и A ² = м ² к ² + 2 мл ² , дающий пять независимых констант движения . (Поскольку величина A а значит, и эксцентриситет e орбиты, может быть определена из полного углового момента L и энергии E только направление A , , независимо сохраняется ; более того, поскольку A должно быть перпендикулярно L , это вносит вклад только одна дополнительная сохраняющаяся величина.)

Это согласуется с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и векторы скорости, каждый из которых состоит из трех компонентов), которые определяют орбиту частицы, поскольку начальное время не определяется константой движения. Таким образом, полученная одномерная орбита в шестимерном фазовом пространстве полностью определена.

Механическая система с d степенями свободы может иметь не более 2 d − 1 констант движения, поскольку существует 2 d начальных условий и начальное время не может быть определено константой движения. Система с более чем d константами движения называется суперинтегрируемой , а система с 2 d −1 константами — максимально суперинтегрируемой . Поскольку решение уравнения Гамильтона–Якоби в одной системе координат может дать только d констант движения, суперинтегрируемые системы должны быть разделимы более чем в одной системе координат. Задача Кеплера максимально суперинтегрируема, поскольку она имеет три степени свободы ( d = 3 ) и пять независимых констант движения; его уравнение Гамильтона – Якоби разделимо как в сферических, так и в параболических координатах , как описано ниже .

Максимально суперинтегрируемые системы следуют замкнутым одномерным орбитам в фазовом пространстве , поскольку орбита является пересечением изоповерхностей фазового пространства их констант движения. Следовательно, орбиты перпендикулярны всем градиентам всех этих независимых изоповерхностей, пяти в этой конкретной задаче, и, следовательно, определяются обобщенными векторными произведениями всех этих градиентов. В результате все суперинтегрируемые системы автоматически описываются механикой Намбу . альтернативно и эквивалентно гамильтоновой механике .

Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием коммутационных соотношений , как показано ниже . Тем не менее, эквивалентно, они также квантуются в рамках Намбу, как, например, классическая задача Кеплера, в квантовом атоме водорода.

Эволюция при возмущенных потенциалах

Рисунок 5: Постепенно прецессирующая эллиптическая орбита с эксцентриситетом e = 0,667. Такая прецессия возникает в задаче Кеплера, если центральная сила притяжения незначительно отклоняется от закона обратных квадратов. Скорость прецессии можно рассчитать по формулам в тексте.

Вектор Лапласа – Рунге – Ленца A сохраняется только для идеальной центральной силы, имеющей форму обратного квадрата. Однако в большинстве практических задач, таких как движение планет, потенциальная энергия взаимодействия между двумя телами не является точно законом обратных квадратов, а может включать дополнительную центральную силу, так называемое возмущение, описываемое потенциальной энергией h ( r ) . В таких случаях вектор LRL медленно вращается в плоскости орбиты, что соответствует медленной апсидальной прецессии орбиты.

По предположению, возмущающий потенциал h ( r ) является консервативной центральной силой, из чего следует, что полная энергия E и вектор углового момента L сохраняются. Таким образом, движение по-прежнему лежит в плоскости, перпендикулярной L , и величина A сохраняется, из уравнения A ² = м ² к ² + 2 мл ² . Потенциал возмущения h ( r ) может быть любой функцией, но он должен быть значительно слабее, чем основная сила обратного квадрата между двумя телами.

Скорость вращения вектора LRL дает информацию о возмущающем потенциале h ( r ) . Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол , нетрудно показать что А вращается со скоростью, $${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}\\[1em]&={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\},\end{aligned}}$$где T — орбитальный период, а тождество L dt = m r ² dθ использовался для преобразования интеграла времени в угловой интеграл (рис. 5). Выражение в угловых скобках ⟨ h ( r )⟩ представляет собой возмущающий потенциал, но усредненный за один полный период; то есть усреднено за один полный оборот тела вокруг своей орбиты. Математически это среднее по времени соответствует следующей величине в фигурных скобках. Такое усреднение помогает подавить колебания скорости вращения.

Этот подход использовался для проверки относительности Эйнштейна теории общей , которая добавляет небольшое эффективное обратно-кубическое возмущение к нормальному ньютоновскому гравитационному потенциалу: $$h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).$$

Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение $${\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)$$Чтобы выразить r через θ , скорость прецессии периапсиса, вызванная этим неньютоновским возмущением, рассчитывается как $${\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}},$$что близко соответствует наблюдаемой аномальной прецессии Меркурия. и двойные пульсары . Это согласие с экспериментом является убедительным доказательством общей теории относительности.

Скобки Пуассона

Немасштабируемые функции

Алгебраическая структура задачи, как объяснено в последующих разделах, такова: SO(4)/ Z ₂ ~ SO(3) × SO(3) . Три компонента вектора _Li углового момента L имеют скобки Пуассона $$\{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},$$где i =1,2,3 и εijs _символ — полностью антисимметричный тензор , т. е. Леви-Чивита ; индекс суммирования s используется здесь, чтобы избежать путаницы с параметром силы k, определенным выше . Тогда, поскольку вектор LRL A ​​преобразуется как вектор, мы имеем следующие соотношения скобок Пуассона между A и L : $$\{A_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}A_{s}.$$ Наконец, отношения скобок Пуассона между различными компонентами A следующие: $$\{A_{i},A_{j}\}=-2mH\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},$$где $H$ является гамильтонианом. Обратите внимание, что диапазон компонент A и компонентов L не замкнут в скобках Пуассона из-за фактора $H$ в правой части этого последнего соотношения.

Наконец, поскольку и L , и A являются константами движения, мы имеем $$\{A_{i},H\}=\{L_{i},H\}=0.$$

Скобки Пуассона будут расширены на квантовомеханические коммутационные соотношения в следующем разделе и на скобки Ли в следующем разделе .

Масштабируемые функции

Как отмечено ниже , масштабированный вектор Лапласа–Рунге–Ленца D можно определить в тех же единицах, что и угловой момент, разделив A на ${\textstyle p_{0}={\sqrt {2m|H|}}}$. Поскольку D по-прежнему преобразуется как вектор, скобки Пуассона D с вектором момента количества движения L можно записать в аналогичном виде $$\{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}D_{s}.$$

Скобки Пуассона D с самим собой зависят от знака H , т. е. от того , является ли энергия отрицательной (создавая замкнутые эллиптические орбиты под действием центральной силы обратного квадрата) или положительной (создавая открытые гиперболические орбиты под действием центральной силы обратного квадрата). сила). Для отрицательных энергий, т. е. для связанных систем, скобки Пуассона имеют вид $$\{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.$$Теперь мы можем оценить мотивацию выбранного масштабирования D : при таком масштабировании гамильтониан больше не появляется в правой части предыдущего соотношения. Таким образом, совокупность трех компонентов L и трех компонентов D образует шестимерную алгебру Ли под скобкой Пуассона. Эта алгебра Ли изоморфна so(4) , алгебре Ли 4-мерной группы вращений SO(4) .

Напротив, для положительной энергии скобки Пуассона имеют противоположный знак: $$\{D_{i},D_{j}\}=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.$$В этом случае алгебра Ли изоморфна so(3,1) .

Различие между положительными и отрицательными энергиями возникает потому, что желаемое масштабирование - то, которое исключает гамильтониан из правой части скобочных соотношений Пуассона между компонентами масштабированного вектора LRL - включает квадратный корень из гамильтониана. Чтобы получить вещественные функции, мы должны затем взять абсолютное значение гамильтониана, который различает положительные значения (где $|H|=H$) и отрицательные значения (где $|H|=-H$).

Оператор Лапласа-Рунге-Ленца для атома водорода в импульсном пространстве

Масштабированный оператор Лапласа-Рунге-Ленца в импульсном пространстве был найден в 2022 году. Формула для оператора проще, чем в позиционном пространстве:

${\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {p} }=\imath ({\hat {l}}_{\mathbf {p} }+1)\mathbf {p} -{\frac {(p^{2}+1)}{2}}\imath \mathbf {\nabla } _{\mathbf {p} },$

где «оператор степени»

${\hat {l}}_{\mathbf {p} }=(\mathbf {p} \mathbf {\nabla } _{\mathbf {p} })$

умножает однородный многочлен на его степень.

Инварианты Казимира и энергетические уровни

для Инварианты Казимира отрицательных энергий: $${\begin{aligned}C_{1}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}},\\C_{2}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0,\end{aligned}}$$

и имеют исчезающие скобки Пуассона со всеми компонентами D и L , $$\{C_{1},L_{i}\}=\{C_{1},D_{i}\}=\{C_{2},L_{i}\}=\{C_{2},D_{i}\}=0.$$C ₂ тривиально равен нулю, поскольку два вектора всегда перпендикулярны.

Однако другой инвариант C ₁ нетривиален и зависит только от m , k и E . уровни энергии водородоподобных атомов , используя только квантовомеханические канонические коммутационные соотношения вместо традиционного решения уравнения Шредингера. При каноническом квантовании этот инвариант позволяет получать Подробно этот вывод обсуждается в следующем разделе.

Квантовая механика атома водорода

Рисунок 6: Энергетические уровни атома водорода, предсказанные на основе коммутационных соотношений углового момента и векторных операторов Лапласа – Рунге – Ленца; эти уровни энергии были подтверждены экспериментально.

Скобки Пуассона служат простым руководством для квантования большинства классических систем: отношение коммутации двух квантово-механических операторов задается скобкой Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на iħ .

Выполнив это квантование и вычислив собственные значения оператора C ₁ Казимира для задачи Кеплера, Вольфганг Паули смог получить энергетические уровни водородоподобных атомов (рис. 6) и, таким образом, их атомный спектр излучения. Этот элегантный вывод 1926 года был получен до разработки уравнения Шрёдингера .

Тонкость квантовомеханического оператора для вектора LRL A ​​заключается в том, что операторы импульса и углового момента не коммутируют; следовательно, перекрестное произведение квантового оператора p и L должно быть определено тщательно. Обычно операторы для декартовых компонентов определяются _A с использованием симметризованного (эрмитова) произведения: $$A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}\ell _{j}+\ell _{j}p_{i}),$$Как только это будет сделано, можно показать, что квантовые операторы LRL удовлетворяют коммутационным соотношениям, точно аналогичным соотношениям скобок Пуассона в предыдущем разделе — просто заменяя скобку Пуассона на $1/(i\hbar )$ раз коммутатор.

Из этих операторов дополнительные лестничные операторы для L можно определить : $${\begin{aligned}J_{0}&=A_{3},\\J_{\pm 1}&=\mp {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(A_{1}\pm iA_{2}\right).\end{aligned}}$$Они дополнительно соединяют различные собственные состояния L ² , поэтому разные спиновые мультиплеты между собой.

Аналогичным образом можно определить нормализованный первый инвариантный оператор Казимира, квантовый аналог вышеизложенного: $$C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I,$$где Н ⁻¹ — обратный гамильтонову оператору энергии, а I — тождественный оператор .

Применение этих лестничных операторов к собственным состояниям | ℓ mn 〉 операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии собственные значения первого оператора Казимира C ₁ квантованы, n ² − 1 . Важно отметить, что благодаря исчезновению C ₂ они не зависят от квантовых чисел ℓ и m , что приводит к вырождению энергетических уровней .

Следовательно, уровни энергии определяются выражением $$E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},$$что совпадает с формулой Ридберга для водородоподобных атомов (рис. 6). Дополнительные операторы симметрии A соединили между собой различные мультиплеты ℓ для заданной энергии (и C ₁ ), диктуя n ² состояния на каждом уровне. По сути, они расширили группу угловых моментов SO(3) до SO(4) / Z ₂ ~ SO(3) × SO(3) .

Сохранение и симметрия

Сохранение вектора LRL соответствует тонкой симметрии системы. В классической механике симметрии — это непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую без изменения энергии системы; В квантовой механике симметрии — это непрерывные операции, «перемешивающие» электронные орбитали одинаковой энергии, т. е. вырожденные энергетические уровни. С такими симметриями обычно связана сохраняющаяся величина. Например, каждая центральная сила симметрична относительно группы вращения SO(3) что приводит к сохранению углового момента L. , Классически общее вращение системы не влияет на энергию орбиты; квантово-механически вращения смешивают сферические гармоники одного и того же квантового числа ℓ без изменения энергии.

Рисунок 7: Семейство годографов кругового импульса для заданной энергии E . Все окружности проходят через одни и те же две точки ${\textstyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m|E|}}}$ по оси px _{(см .} рисунок 3). Этому семейству годографов соответствует одно семейство аполлоновых окружностей и σ-изоповерхности биполярных координат .

Симметрия центральной силы обратного квадрата выше и тоньше. Своеобразная симметрия задачи Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента L, так и вектора LRL A ​​(как определено выше ) и с квантовой точки зрения гарантирует, что энергетические уровни водорода не зависят от квантовых чисел углового момента ℓ и м . Однако симметрия более тонкая, поскольку операция симметрии должна происходить в пространстве более высокой размерности ; такие симметрии часто называют «скрытыми симметриями».

Классически, более высокая симметрия задачи Кеплера допускает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; Другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но с разным угловым моментом (эксцентриситетом) могут непрерывно превращаться друг в друга. Квантово-механически это соответствует смешивающим орбиталям, которые различаются квантовыми числами ℓ и m , например, атомные орбитали s ( ℓ = 0 ) и p ( ℓ = 1 ). Такое смешивание невозможно осуществить с помощью обычных трехмерных перемещений или вращений, но оно эквивалентно вращению в более высоком измерении.

Для отрицательных энергий, т. е. для связанных систем, более высокой группой симметрии является SO(4) , которая сохраняет длину четырехмерных векторов.

$$|\mathbf {e} |^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.$$

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая связанная проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, заключенной в трехмерную единичную сферу в четырехмерном пространстве. Шрёдингера В частности, Фок показал, что волновая функция в пространстве импульсов для задачи Кеплера представляет собой стереографическую проекцию сферических гармоник на сферу. Вращение сферы и перепроецирование приводит к непрерывному отображению эллиптических орбит без изменения энергии, симметрии SO (4), иногда известной как симметрия Фока ; квантово-механически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым энергетическим квантовым числом n . Валентин Баргманн впоследствии отметил, что скобки Пуассона для вектора углового момента L и масштабированного вектора LRL A ​​образуют алгебру Ли для SO(4) . Проще говоря, шесть величин A и L соответствуют шести сохраняющимся угловым моментам в четырех измерениях, связанным с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве (есть шесть способов выбора двух осей из четырех). Этот вывод не означает, что наша Вселенная представляет собой трехмерную сферу; это просто означает, что эта конкретная физическая задача (задача двух тел для центральных сил, обратных квадратам) математически эквивалентна свободной частице на трехмерной сфере.

Для положительных энергий – т.е. для несвязанных, «рассеянных» систем – более высокой группой симметрии является SO(3,1) , которая сохраняет Минковского длину 4-векторов.

$$ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.$$

Случаи как отрицательной, так и положительной энергии были рассмотрены Фоком. и Баргманн и были энциклопедически рассмотрены Бандером и Ицыксоном.

Орбиты систем центральных сил – и в частности орбит задачи Кеплера – также симметричны при отражении . Следовательно, упомянутые выше группы SO(3) , SO(4) и SO(3,1) не являются полными группами симметрии своих орбит; полные группы — это O(3) , O(4) и O(3,1) соответственно. Тем не менее, только связные подгруппы , SO(3) SO (4) и SO ⁺ (3,1) , необходимы для демонстрации сохранения векторов углового момента и LRL; симметрия отражения не имеет значения для сохранения, которое можно вывести из алгебры Ли группы.

Вращательная симметрия в четырех измерениях

Рисунок 8: Годографы импульса на рисунке 7 соответствуют стереографическим проекциям больших кругов на трехмерную единичную сферу η . Все большие круги пересекают ось η _x , перпендикулярную странице; проекция осуществляется от северного полюса ( единичный вектор w ) на плоскость η _x - η _y , как показано здесь для пурпурного годографа пунктирными черными линиями. Большой круг на широте α соответствует эксцентриситету e = sin α . Цвета больших кругов, показанных здесь, соответствуют соответствующим годографам на рисунке 7.

Связь между проблемой Кеплера и четырехмерной вращательной симметрией SO(4) легко представить себе. Обозначим четырехмерные декартовы координаты ( w , x , y , z ), где ( x , y , z ) представляют декартовы координаты вектора нормального положения r . Трехмерному вектору импульса p сопоставлен четырехмерный вектор ${\boldsymbol {\eta }}$ на трехмерной единичной сфере

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\eta }}&={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} \\[1em]&={\frac {mk-rp_{0}^{2}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp_{0}}{mk}}\mathbf {p} ,\end{aligned}}$$

где $\mathbf {\hat {w}}$ — единичный вектор вдоль новой оси w . Преобразование p в η можно однозначно инвертировать; например, x -компонента импульса равна $$p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}},$$ для py _z и p _. и аналогично Другими словами, трехмерный вектор p является стереографической проекцией четырехмерного вектора. ${\boldsymbol {\eta }}$ вектор, масштабированный по p ₀ (рис. 8).

Без ограничения общности мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбрав декартовы координаты так, чтобы ось z была совмещена с вектором углового момента L , а годографы импульса были выровнены, как на рисунке 7, с центрами кругов на ось Y. ​Поскольку движение плоское, а p и L перпендикулярны, p _z = η _z = 0 и внимание можно ограничить трехмерным вектором ${\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\eta _{x},\eta _{y})$. Семейство аполлоновых кругов годографов импульса (рис. 7) соответствует семейству больших кругов на трехмерном пространстве. ${\boldsymbol {\eta }}$ сферы, все из которых пересекают ось η _x в двух фокусах η _x = ±1 , соответствующих фокусам годографа импульса в точке p _x = ± p ₀ . Эти большие круги связаны простым вращением вокруг оси η _x (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты одной и той же энергии друг в друга; однако такое вращение ортогонально обычному трехмерному вращению, поскольку оно преобразует четвертое измерение η _w . Эта более высокая симметрия характерна для задачи Кеплера и соответствует сохранению вектора LRL.

Элегантное решение переменных действие-угол для задачи Кеплера можно получить, исключив избыточные четырехмерные координаты. ${\boldsymbol {\eta }}$ в пользу эллиптических цилиндрических координат ( χ , ψ , φ )

$${\begin{aligned}\eta _{w}&=\operatorname {cn} \chi \operatorname {cn} \psi ,\\[1ex]\eta _{x}&=\operatorname {sn} \chi \operatorname {dn} \psi \cos \phi ,\\[1ex]\eta _{y}&=\operatorname {sn} \chi \operatorname {dn} \psi \sin \phi ,\\[1ex]\eta _{z}&=\operatorname {dn} \chi \operatorname {sn} \psi ,\end{aligned}}$$где sn , cn и dn — эллиптические функции Якоби .

Обобщения на другие потенциалы и относительность

Вектор Лапласа-Рунге-Ленца также можно обобщить для определения сохраняющихся величин, применимых к другим ситуациям.

При наличии однородного электрического поля E обобщенный вектор Лапласа–Рунге–Ленца ${\mathcal {A}}$ является

$${\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right],$$где q — заряд вращающейся частицы. Хотя ${\mathcal {A}}$ не сохраняется, он порождает сохраняющуюся величину, а именно ${\mathcal {A}}\cdot \mathbf {E}$.

При дальнейшем обобщении вектора Лапласа – Рунге – Ленца на другие потенциалы и специальную теорию относительности наиболее общую форму можно записать как $${\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} ,$$

где u = 1/ r и ξ = cos θ , с углом θ, определяемым формулой

$$\theta =L\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}},$$

– γ фактор Лоренца . Как и раньше, мы можем получить сохраняющийся вектор бинормали B, взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента

$${\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}.$$

Эти два вектора также можно объединить в сохраняющийся диадический тензор W ,

$${\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta \,{\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.$$

На иллюстрации можно вычислить вектор LRL для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора. Поскольку сила является центральной, $$\mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} ,$$вектор углового момента сохраняется и движение лежит в плоскости.

Сохраняющийся диадический тензор можно записать в простой форме $${\mathcal {W}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\,\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} ,$$хотя p и r не обязательно перпендикулярны.

Соответствующий вектор Рунге–Ленца более сложен: $${\mathcal {A}}={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\left\{\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left(mr\omega _{0}A-mrE\right)\mathbf {\hat {r}} \right\},$$где $$\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$$ - собственная частота колебаний, а $$A=(E^{2}-\omega ^{2}L^{2})^{1/2}/\omega .$$

Доказательства сохранения вектора Лапласа–Рунге–Ленца в задачах Кеплера.

Ниже приведены аргументы, показывающие, что вектор LRL сохраняется под действием центральных сил, подчиняющихся закону обратных квадратов.

Прямое доказательство сохранения

Центральная сила $\mathbf {F}$ действие на частицу

$$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}}$$

для какой-то функции $f(r)$ радиуса $r$. Поскольку угловой момент $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ сохраняется под действием центральных сил, ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0}$ и

$${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right],$$

где импульс ${\textstyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$ и где тройное векторное произведение было упрощено с помощью формулы Лагранжа

$$\mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.$$

Личность

$${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}$$

дает уравнение

$${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right).$$

Для частного случая центральной силы, обратно квадратичной ${\textstyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}$, это равно

$${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} ).$$

Следовательно, A сохраняется для центральных сил, обратных квадратам.

$${\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-{\frac {d}{dt}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=\mathbf {0} .$$

Более короткое доказательство получается с использованием связи углового момента и угловой скорости: $\mathbf {L} =mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}$, что справедливо для частицы, движущейся в плоскости, перпендикулярной $\mathbf {L}$. Задавая центральные силы, обратные квадрату, производную по времени $\mathbf {p} \times \mathbf {L}$ является $${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} \times \mathbf {L} =\left({\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \right)\times \left(mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mk\,{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} =mk\,{\frac {d}{dt}}\mathbf {\hat {r}} ,$$где последнее равенство выполняется, поскольку единичный вектор может изменяться только при вращении, и ${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}}$ — орбитальная скорость вращающегося вектора. Таким образом, A рассматривается как разность двух векторов с равными производными по времени.

Как описано в другом месте этой статьи , этот вектор LRL A ​​является частным случаем общего консервативного вектора. ${\mathcal {A}}$ это можно определить для всех центральных сил. Однако, поскольку большинство центральных сил не создают замкнутых орбит (см. теорему Бертрана ), аналогичный вектор ${\mathcal {A}}$ редко имеет простое определение и обычно является многозначной функцией угла θ между r и ${\mathcal {A}}$.

Уравнение Гамильтона–Якоби в параболических координатах

Постоянство вектора LRL также можно получить из уравнения Гамильтона–Якоби в параболических координатах ( ξ , η ) , которые определяются уравнениями $${\begin{aligned}\xi &=r+x,\\\eta &=r-x,\end{aligned}}$$где r представляет собой радиус в плоскости орбиты $$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$$

Инверсия этих координат есть $${\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{2}}(\xi -\eta ),\\y&={\sqrt {\xi \eta }},\end{aligned}}$$

Разделение уравнения Гамильтона–Якоби в этих координатах дает два эквивалентных уравнения

$${\begin{aligned}2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi &=-\Gamma ,\\2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta &=\Gamma ,\end{aligned}}$$где Γ — константа движения. Вычитание и повторное выражение через декартовы импульсы p _x и p _y показывает, что Γ эквивалентен вектору LRL.

$$\Gamma =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.$$

Теорема Нётер

Связь между описанной выше вращательной симметрией и сохранением вектора LRL можно сделать количественной с помощью теоремы Нётер . Эта теорема, используемая для нахождения констант движения, утверждает, что любое бесконечно малое изменение обобщенных координат физической системы

$$\delta q_{i}=\varepsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$$

что приводит к изменению лагранжиана до первого порядка на полную производную по времени

$$\delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,t)$$

соответствует сохраняющейся величине Γ

$$\Gamma =-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right).$$

В частности, сохраняющаяся компонента вектора ЛРЛ A _s соответствует изменению координат

$$\delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{is}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right],$$

где i 3, где x _i и pi _{равно 1, 2 и} являются i -ми компонентами векторов положения и импульса r и p соответственно; как обычно, δ _{представляет} собой дельту Кронекера . Результирующее изменение лагранжиана первого порядка равно

$$\delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).$$

Подстановка в общую формулу для сохраняющейся величины Γ дает сохраняющуюся компоненту A _s вектора LRL: $$A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right]_{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).$$

Трансформация лжи

сохранение вектора LRL A. Рисунок 9: Преобразование Ли, из которого получено При изменении масштабного параметра λ энергия и угловой момент изменяются, но эксцентриситет e , а также величина и направление A не изменяются.

Вывод теоремы Нётер о сохранении вектора LRL A ​​элегантен, но имеет один недостаток: изменение координаты δx _i включает не только положение r , но также импульс p или, что то же самое, скорость v . Этот недостаток можно устранить, выведя вместо этого сохранение A, используя подход, предложенный Софусом Ли . В частности, можно определить преобразование Ли в котором координаты r и время t масштабируются разными степенями параметра λ (рис. 9), $$t\rightarrow \lambda ^{3}t,\qquad \mathbf {r} \rightarrow \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\qquad \mathbf {p} \rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} .$$

Это преобразование изменяет полный угловой момент L и энергию E , $$L\rightarrow \lambda L,\qquad E\rightarrow {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E,$$но сохраняет свой продукт EL ² . Поэтому эксцентриситет e и величина A сохраняются, как видно из уравнения для A ² $$A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.$$

Направление A также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при глобальном масштабировании. Это преобразование также сохраняет третий закон Кеплера , а именно, что полуось a и период T образуют постоянную T ² / а ³ .

Альтернативные масштабы, символы и формулировки

В отличие от векторов количества движения и момента p и L , не существует общепринятого определения вектора Лапласа – Рунге – Ленца; В научной литературе используется несколько различных коэффициентов масштабирования и символов. Наиболее распространенное определение дано выше , но другой распространенной альтернативой является деление на величину mk для получения безразмерного сохраняющегося вектора эксцентриситета.

$$\mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}\left(\mathbf {v} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\right)-\mathbf {\hat {r}} ,$$

где v — вектор скорости. Этот масштабированный вектор e имеет то же направление, что и A , и его величина равна эксцентриситету орбиты и, таким образом, обращается в нуль для круговых орбит.

Возможны и другие масштабированные версии, например, путем деления A на m. только $$\mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} ,$$или через p ₀ $$\mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{p_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m|E|}}}\left\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \right\},$$который имеет те же единицы измерения, что и вектор углового момента L .

В редких случаях знак вектора LRL может быть изменен на противоположный, т.е. масштабирован на -1 . Другие общие символы вектора LRL a , R , F , J и V. включают Однако выбор масштабирования и символа вектора LRL не влияет на его сохранение.

Рисунок 4: Вектор углового момента L , вектор LRL A ​​и вектор Гамильтона, бинормаль B , взаимно перпендикулярны; Точки A и B расположены вдоль большой и малой осей эллиптической орбиты задачи Кеплера соответственно.

Альтернативным консервативным вектором является бинормальный вектор B, изученный Уильямом Роуэном Гамильтоном:

$\mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)\ \left(\mathbf {L} \times \mathbf {r} \right),$

который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. (Он не определен для исчезающего эксцентриситета.)

Вектор LRL A ​​= B × L является векторным произведением B и L (рис. 4). На годографе импульса в соответствующем разделе выше легко увидеть, что B связывает начало импульсов с центром кругового годографа и обладает величиной A / L . В перигелии он указывает в направлении импульса.

Вектор B обозначается как «бинормальный», поскольку он перпендикулярен как A , так и L . Подобно самому вектору LRL, вектор бинормали можно определить с помощью различных масштабов и символов.

Два сохраняющихся вектора, A и B, можно объединить, чтобы сформировать сохраняющийся диадический тензор W , $$\mathbf {W} =\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \,\mathbf {B} \otimes \mathbf {B} ,$$где α и β — произвольные масштабирующие константы и $\otimes$ представляет тензорное произведение (которое не связано с векторным векторным произведением , несмотря на схожий символ). Записанное в явных компонентах, это уравнение имеет вид $$W_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.$$

Будучи перпендикулярными друг другу, векторы A и B можно рассматривать как главные оси сохраняющегося тензора W , т.е. его масштабированные собственные векторы . W перпендикулярна L , $$\mathbf {L} \cdot \mathbf {W} =\alpha \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} \right)\mathbf {A} +\beta \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} =0,$$поскольку A и B перпендикулярны L также , L ⋅ A = L ⋅ B = 0 .

Более конкретно, это уравнение в явных компонентах выглядит следующим образом: $$\left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {W} \right)_{j}=\alpha \left(\sum _{i=1}^{3}L_{i}A_{i}\right)A_{j}+\beta \left(\sum _{i=1}^{3}L_{i}B_{i}\right)B_{j}=0.$$

См. также

• Астродинамика
  • Орбита
  • Вектор эксцентриситета
  • Орбитальные элементы
• Теорема Бертрана
• Уравнение Бине
• Задача двух тел

Дальнейшее чтение

• Баэз, Джон (2008). «Возвращение к проблеме Кеплера: вектор Лапласа – Рунге – Ленца» (PDF) . Проверено 31 мая 2021 г.
• Баэз, Джон (2003). «Тайны гравитационной задачи двух тел» . Архивировано из оригинала 21 октября 2008 г. Проверено 11 декабря 2004 г.
• Баэз, Джон (2018). «Тайны гравитационной задачи двух тел» . Проверено 31 мая 2021 г. Обновленная версия предыдущего источника.
• Д'Элизео, ММ (2007). «Орбитальное уравнение первого порядка». Американский журнал физики . 75 (4): 352–355. Бибкод : 2007AmJPh..75..352D . дои : 10.1119/1.2432126 .
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN  978-1461471158 .
• Лич, ПГЛ; ГП Флессас (2003). «Обобщения вектора Лапласа – Рунге – Ленца». Дж. Нелинейная математика. Физ . 10 (3): 340–423. arXiv : math-ph/0403028 . Бибкод : 2003JNMP...10..340L . дои : 10.2991/jnmp.2003.10.3.6 . S2CID   73707398 .