Универсальная геометрическая алгебра

В математике универсальная геометрическая алгебра — это тип геометрической алгебры, порождённой вещественными векторными пространствами, наделёнными неопределенной квадратичной формой . Некоторые авторы ограничивают это бесконечномерным случаем.

Универсальная геометрическая алгебра ${\mathcal {G}}$ порядка $2 2 2н$ определяется как алгебра Клиффорда 2 $n -$ мерного псевдоевклидова пространства $R н, н$ . ^[1] Эту алгебру еще называют «материнской алгеброй». Он имеет невырожденную сигнатуру. Векторы в этом пространстве порождают алгебру посредством геометрического произведения . Этот продукт делает манипуляции с векторами более похожими на знакомые алгебраические правила, хотя и некоммутативные .

Когда $n = \infty$ , т. е. имеется счетное число измерений, то ${\mathcal {G}}$ называется просто универсальной геометрической алгеброй (UGA), которая содержит такие векторные пространства, как $R п, д$ и соответствующие им геометрические алгебры ${\mathcal {G}}$ .

UGA содержит все конечномерные геометрические алгебры (ГА).

Элементы УГА называются мультивекторами. Каждый мультивектор можно записать как сумму нескольких $r$ -векторов. Некоторые r -векторы являются скалярами ( $r = 0$ ), векторами ( $r = 1$ ) и бивекторами ( $r = 2$ ).

Можно создать конечномерный ГА, выбрав единичный псевдоскаляр ( $I$ ). Набор всех векторов, удовлетворяющих

a\wedge I=0

является векторным пространством. Геометрическое произведение векторов в этом векторном пространстве определяет ГА, $которого я$ членом являюсь. Поскольку каждый конечномерный ГА имеет единственное $I$ ( с точностью до знака), им можно определить или охарактеризовать ГА. Псевдоскаляр можно интерпретировать как $сегмент n$ -плоскости единичной площади в $n$ -мерном векторном пространстве.

Векторные многообразия

Векторное многообразие — это особый набор векторов в УГА. ^[2] Эти векторы порождают набор линейных пространств, касающихся векторного многообразия. Векторные многообразия были введены для исчисления на многообразиях, поэтому можно определить (дифференцируемые) многообразия как множество, изоморфное векторному многообразию. Разница заключается в том, что векторное многообразие алгебраически богато, а многообразие - нет. Поскольку это основная мотивация для векторных многообразий, полезна следующая интерпретация.

Рассмотрим векторное многообразие как особый набор «точек». Эти точки являются членами алгебры, поэтому их можно складывать и умножать. Эти точки создают касательное пространство определенной размерности «в» каждой точке. Это касательное пространство порождает (единичный) псевдоскаляр , который является функцией точек векторного многообразия. Векторное многообразие характеризуется своим псевдоскаляром. Псевдоскаляр можно интерпретировать как касательный $сегмент n$ -плоскости единичной площади. Учитывая это, многообразие локально выглядит как $R н$ в каждой точке.

Хотя векторное многообразие можно рассматривать как полностью абстрактный объект, геометрическая алгебра создается таким образом, что каждый элемент алгебры представляет собой геометрический объект, а алгебраические операции, такие как сложение и умножение, соответствуют геометрическим преобразованиям.

Рассмотрим набор векторов ${x} = M н$ в УГА. Если этот набор векторов порождает набор «касательных» простых $(n + 1)$ -векторов, то есть

\forall x\in M^{n}:\exists I_{n}(x)=x\wedge A(x)\mid I_{n}(x)\lor M_{n}=x

тогда $М н$ является векторным многообразием, значение $A$ равно значению простого $n$ -вектора. Если интерпретировать эти векторы как точки, то $I n (x)$ является псевдоскаляром алгебры, касающейся $M н$ в $х$ . $I n (x)$ можно интерпретировать как единичную площадь в ориентированной $n$ -плоскости: поэтому она помечена буквой $n$ . Функция $I n$ дает распределение этих касательных $n$ -плоскостей над $M н$ .

Векторное многообразие определяется аналогично тому, как может быть определен конкретный ГА, с помощью его единичного псевдоскаляра. Множество ${x}$ не замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры. Это множество не является векторным пространством. В каждой точке векторы образуют касательное пространство определенной размерности. Векторы в этом касательном пространстве отличаются от векторов векторного многообразия. По сравнению с исходным набором они являются бивекторами, но, поскольку они охватывают линейное пространство — касательное пространство — их также называют векторами. Обратите внимание, что размерность этого пространства равна размерности многообразия. Это линейное пространство порождает алгебру, а ее единичный псевдоскаляр характеризует векторное многообразие. Именно таким образом набор абстрактных векторов ${x}$ определяет векторное многообразие. Как только набор «точек» порождает «касательное пространство», сразу же следуют «касательная алгебра» и ее «псевдоскаляр».

Единичный псевдоскаляр векторного многообразия — это (псевдоскалярная) функция точек векторного многообразия. Если т. е. эта функция гладкая, то говорят, что векторное многообразие гладкое. ^[3] Многообразие изоморфное можно определить как множество, ^{[ как? ]} к векторному многообразию. Точки многообразия не имеют никакой алгебраической структуры и принадлежат только самому множеству. В этом основное отличие векторного многообразия от изоморфного многообразия. Векторное многообразие по определению всегда является подмножеством универсальной геометрической алгебры, и его элементами можно манипулировать алгебраически. Напротив, многообразие не является подмножеством какого-либо множества, кроме него самого, но элементы не имеют между собой алгебраических отношений.

Дифференциальная геометрия многообразия ^[3] можно осуществить в векторном многообразии. Все величины, относящиеся к дифференциальной геометрии, можно вычислить по $I n (x),$ если это дифференцируемая функция. Это первоначальная мотивация его определения. Векторные многообразия позволяют подойти к дифференциальной геометрии многообразий, альтернативному подходу «наращивания», где такие структуры, как метрики , связности и расслоения . по мере необходимости вводятся ^[4] Соответствующей структурой векторного многообразия является его касательная алгебра . Использование геометрического исчисления вместе с определением векторного многообразия позволяет изучать геометрические свойства многообразий без использования координат.

См. также

Конформная геометрическая алгебра

Ссылки

^ Посо, Хосе Мария; Собчик, Гаррет. Геометрическая алгебра в линейной алгебре и геометрии
^ Глава 1: [Д. Гестенес и Г. Собчик] От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Глава 4: [Д. Гестенес и Г. Собчик] От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению.
^ Глава 5: [Д. Гестенес и Г. Собчик] От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению.

Д. Хестенес, Г. Собчик (31 августа 1987 г.). От алгебры Клиффорда до геометрического исчисления: единый язык математики и физики . Спрингер. ISBN 902-772-561-6 .
К. Доран, А. Ласенби (29 мая 2003 г.). «6.5 Вложенные поверхности и векторные многообразия». Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-715-954 .
Л. Дорст, Дж. Ласенби (2011). «19». Руководство по геометрической алгебре на практике . Спрингер. ISBN 0-857-298-100 .
Хунбо Ли (2008). Инвариантные алгебры и геометрические рассуждения . Всемирная научная. ISBN 981-270-808-1 .

[1] Посо, Хосе Мария; Собчик, Гаррет. Геометрическая алгебра в линейной алгебре и геометрии

[2] Глава 1: [Д. Гестенес и Г. Собчик] От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению.

[four-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Глава 4: [Д. Гестенес и Г. Собчик] От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению.

[4] Глава 5: [Д. Гестенес и Г. Собчик] От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению.

[1]

[2]

[3]

[4]