Энергия Мёбиуса

В математике энергия Мёбиуса узла — это особая энергия узла , т. е. функционал в пространстве узлов. Его обнаружил Джун О'Хара , который продемонстрировал, что энергия взрывается, когда нити узла приближаются друг к другу. Это полезное свойство, поскольку оно предотвращает самопересечение и гарантирует, что результат при градиентном спуске будет иметь тот же тип узла .

Инвариантность энергии Мёбиуса относительно преобразований Мёбиуса была продемонстрирована Майклом Фридманом , Чжэн-Сюй Хэ и Чжэнханом Ваном (1994), которые использовали ее, чтобы показать существование $C^{1,1}$ минимизатор энергии в каждом изотопическом классе простого узла . Они также показали, что минимальная энергия любой формы узла достигается за счет круглого круга.

Предположительно, минимизатора энергии для составных узлов не существует. Роберт Б. Куснер и Джон М. Салливан провели компьютерные эксперименты с дискретизированной версией энергии Мёбиуса и пришли к выводу, что не должно быть минимизатора энергии для суммы узлов из двух трилистников (хотя это не доказательство).

Напомним, что преобразования Мёбиуса 3-сферы $S^{3}=\mathbf {R} ^{3}\cup \infty$ представляют собой десятимерную группу диффеоморфизмов, сохраняющих угол, порожденных инверсией в 2-сферах. Например, инверсия в сфере $\{\mathbf {v} \in \mathbf {R} ^{3}\colon |\mathbf {v} -\mathbf {a} |=\rho \}$ определяется $\mathbf {x} \to \mathbf {a} +{\rho ^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {a} |^{2}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} ).$

Рассмотрим спрямляемую простую кривую $\gamma (u)$ в евклидовом 3-пространство $\mathbf {R} ^{3}$, где $u$ принадлежит $\mathbf {R} ^{1}$ или $S^{1}$. Определим его энергию через

$E(\gamma )=\iint \left\{{\frac {1}{|\gamma (u)-\gamma (v)|^{2}}}-{\frac {1}{D(\gamma (u),\gamma (v))^{2}}}\right\}|{\dot {\gamma }}(u)||{\dot {\gamma }}(v)|\,du\,dv,$

где $D(\gamma (u),\gamma (v))$ это самая короткая дуга расстояние между $\gamma (u)$ и $\gamma (v)$ на кривой. Второй срок полномочий подынтегральная функция называется регуляризация. Это легко увидеть $E(\gamma )$ является не зависит от параметризации и не изменяется, если $\gamma$ меняется на сходство $\mathbf {R} ^{3}$. При этом энергия любой линии равна 0, энергия любого круга равна $4$. Фактически, давайте воспользуемся параметризацией длины дуги. Обозначим через $\ell$ длина кривой $\gamma$. Затем

$E(\gamma )=\int _{-\ell /2}^{\ell /2}{}dx\int _{x-\ell /2}^{x+\ell /2}\left[{1 \over |\gamma (x)-\gamma (y)|^{2}}-{1 \over |x-y|^{2}}\right]dy.$

Позволять $\gamma _{0}(t)=(\cos t,\sin t,0)$ обозначаем единичную окружность. У нас есть

$|\gamma _{0}(x)-\gamma _{0}(y)|^{2}={\left(2\sin {\tfrac {1}{2}}(x-y)\right)^{2}}$

и, следовательно,

${\begin{aligned}E(\gamma _{0})&=\int _{-\pi }^{\pi }{}dx\int _{x-\pi }^{x+\pi }\left[{1 \over \left(2\sin {\tfrac {1}{2}}(x-y)\right)^{2}}-{1 \over |x-y|^{2}}\right]dy\\&=4\pi \int _{0}^{\pi }\left[{1 \over \left(2\sin(y/2)\right)^{2}}-{1 \over |y|^{2}}\right]dy\\&=2\pi \int _{0}^{\pi /2}\left[{1 \over \sin ^{2}y}-{1 \over |y|^{2}}\right]dy\\&=2\pi \left[{1 \over u}-\cot u\right]_{u=0}^{\pi /2}=4\end{aligned}}$

с ${\frac {1}{u}}-\cot u={\frac {u}{3}}-\cdots$.

Инвариант узла

Слева — узел и эквивалентный ему узел. Может быть сложнее определить, эквивалентны ли сложные узлы, такие как тот, что справа, распущенному узлу.

Узел создается, начиная с одномерного отрезка линии, произвольно оборачивая его вокруг себя, а затем соединяя два его свободных конца вместе, образуя замкнутую петлю. Математически мы можем сказать узел $K$ является инъективной и непрерывной функцией $K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$ с $K(0)=K(1)$. Топологи считают узлы и другие запутывания, такие как звенья и косы, эквивалентными, если узел можно плавно перемещать, не пересекая сам себя, до совпадения с другим узлом. Идея эквивалентности узлов состоит в том, чтобы дать точное определение того, когда два узла следует считать одинаковыми, даже если они расположены совершенно по-разному в пространстве. Математическое определение состоит в том, что два узла $K_{1},K_{2}$ эквивалентны, если существует , сохраняющий ориентацию гомеоморфизм $h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ с $h(K_{1})=K_{2}$, а это, как известно, эквивалентно существованию внешней изотопии .

Основная проблема теории узлов, проблема распознавания , — это определение эквивалентности двух узлов. Для решения этой проблемы существуют алгоритмы , первый из которых был предложен Вольфгангом Хакеном в конце 1960-х годов. Тем не менее, эти алгоритмы могут отнимать чрезвычайно много времени, и основной проблемой теории является понимание того, насколько сложна эта проблема на самом деле. особый случай распознавания развязывания , называемый проблемой развязывания . Особый интерес представляет Мы будем изображать узел плавной кривой, а не многоугольником. Узел будет представлен плоской схемой. Особенности планарной диаграммы будем называть точками пересечения, а области, на которые она разделяет плоские области диаграммы. В каждой точке пересечения два из четырех углов будут отмечены точками, чтобы указать, какую ветвь через точку пересечения следует считать одной, проходящей под другой. Мы нумеруем любую область случайным образом, но зафиксируем номера всех остальных областей так, чтобы всякий раз, когда мы пересекаем кривую справа налево, мы должны были переходить от номера области $k$ на номер региона $k+1$. Очевидно, что в любой точке пересечения $c$, есть два противоположных угла одного и того же числа $k$ и два противоположных угла цифр $k-1$ и $k+1$, соответственно. Число $k$ называется индексом $c$. Перемычки различают двух типов: правосторонние и левосторонние, в зависимости от того, какое ответвление через точку проходит под или позади другого. В любой точке пересечения индекса $k$ два пунктирных угла — числа $k$ и $k+1$, соответственно, две цифры без точки $k-1$ и $k+1$. Индекс любого угла любой области индекса $k$ является одним из элементов $\{k\pm 1,k\}$. Мы хотим отличить один тип узла от другого с помощью инвариантов узла. Есть один инвариант, который довольно прост. Это полином Александера $\Delta _{K}(t)$ с целочисленным коэффициентом. Полином Александера симметричен со степенью $n$: $\Delta _{K}(t^{-1})t^{n-1}=\Delta _{K}(t)$ для всех узлов $K$ из $n>0$ пункты пересечения. Например, инвариант $\Delta _{K}(t)$ незавязанной кривой — 1, узла-трилистника — $t^{2}-t+1$.

• 
  Левый узел трилистник.
• 
  Правый узел трилистник.

Позволять

$\omega ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{4\pi }}\varepsilon _{ijk}{x^{i}dx^{j}\wedge dx^{k} \over |{\boldsymbol {x}}|^{3}}$ обозначают стандартный элемент поверхности $S^{2}$.

У нас есть

$\mathrm {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})=\int _{{\boldsymbol {x}}\in \gamma _{1},{\boldsymbol {y}}\in \gamma _{2}}\omega ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})$

$\int _{S^{2}}\omega ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{2}}\varepsilon _{ijk}x^{i}dx^{j}dx^{k}=1,\qquad \omega (\lambda {\boldsymbol {x}})=\omega ({\boldsymbol {x}}){\rm {sign}}\lambda ,\quad {\rm {for}}\quad \lambda \in \mathbb {R} ^{*}.$

Для узла $\gamma :[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, $\gamma (0)=\gamma (1)$,

$\int _{t_{1}<t_{2}<t_{3}<t_{4}<1}\omega (\gamma (t_{1})-\gamma (t_{3}))\wedge \omega (\gamma (t_{2})-\gamma (t_{4}))$

$+\int _{t_{1}<t_{2}<t_{3},{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\setminus \gamma ([0,1])}\omega (\gamma (t_{1})-{\boldsymbol {x}})\wedge \omega (\gamma (t_{2})-{\boldsymbol {x}})\wedge \omega (\gamma (t_{3})-{\boldsymbol {x}})$

не изменится, если мы поменяем узел $\gamma$ в своем классе эквивалентности.

Свойство инвариантности Мёбиуса

Позволять $\gamma$ быть замкнутой кривой в $\mathbb {R} ^{3}$ и $T$ преобразование Мёбиуса $S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \infty$. Если $T(\gamma )$ содержится в $\mathbb {R} ^{3}$ затем $E(T(\gamma ))=E(\gamma )$. Если $T(\gamma )$ проходит через $\infty$ затем $E(T(\gamma ))=E(\gamma )-4$.

Теорема A. Среди всех спрямляемых петель $\gamma \colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$, круглые круги имеют наименьшую энергию $E({\text{round circle}})=4$ и любой $\gamma$ наименьшей энергии параметризует круглый круг.

Доказательство теоремы А. Пусть $T$ быть преобразованием Мёбиуса, отправляющим точку $\gamma$ до бесконечности. Энергия $E(T(\gamma ))\geq 0$ с равенством тогда и только тогда, когда $T(\gamma )$ представляет собой прямую линию. Применив свойство инвариантности Мёбиуса, мы завершим доказательство.

Доказательство свойства инвариантности Мёбиуса. Достаточно рассмотреть, как $I$, инверсия сферы, преобразует энергию. Позволять $u$ быть параметром длины дуги спрямляемой замкнутой кривой. $\gamma$, $u\in \mathbb {R} /\ell \mathbb {Z}$. Позволять

$E_{\varepsilon }(\gamma )=\iint _{|u-v|\geq \varepsilon }\left({\frac {1}{|\gamma (u)-\gamma (v)|^{2}}}-{\frac {1}{D(\gamma (u),\gamma (v))^{2}}}\right)\,du\,dv$ ( 1 )

и

${\begin{aligned}E_{\varepsilon }(I\circ \gamma )=&\iint _{|u-v|\geq \varepsilon }\left({\frac {1}{|I\circ \gamma (u)-I\circ \gamma (v)|^{2}}}-{\frac {1}{(D(I\circ \gamma (u),I\circ \gamma (v)))^{2}}}\right)\\&\qquad \times \|I'(\gamma (u))\|\cdot \|I'(\gamma (v))\|\,du\,dv.\end{aligned}}$ ( 2 )

Четко, $E(\gamma )=\lim _{\varepsilon \to 0}E_{\varepsilon }(\gamma )$ и $E(I\circ \gamma )=\lim _{\varepsilon \to 0}E_{\varepsilon }(I\circ \gamma )$. Это короткий расчет (с использованием закона косинусов), который позволяет правильно преобразовать первые члены, т. е.

${\frac {\|I'(\gamma (u))\|\cdot \|I'(\gamma (v))\|}{|I(\gamma (u))-I(\gamma (v))|^{2}}}={\frac {1}{|\gamma (u)-\gamma (v)|^{2}}}.$

С $u$ длина дуги для $\gamma$, член регуляризации ( 1 ) представляет собой элементарный интеграл

$\int _{u=0}^{\ell }\left[2\int _{v=\varepsilon }^{\ell /2}{\frac {1}{v^{2}}}\,dv\right]\,du=4-{\frac {2\ell }{\varepsilon }}.$ ( 3 )

Позволять $s$ быть параметром длины дуги для $I\circ \gamma$. Затем $ds(u)/du=\|I'(\gamma (u))\|$ где $\|I'(\gamma (u))\|=f(u)$ обозначает коэффициент линейного расширения $I'$. С $\gamma (u)$ является функцией Липшица и $I'$ гладкий, $f(u)$ является липшицевым, следовательно, имеет слабую производную $f'(u)\in L^{\infty }$.

${\begin{aligned}{\rm {{regularization}(2)=}}&\int _{u\in \mathbf {R} /\ell \mathbf {Z} }\left[\int _{|v-u|\geq \varepsilon }{\frac {|(I\circ \gamma )'(v)|\,dv}{D(I\circ \gamma (u),I\circ \gamma (v))^{2}}}\right]|(I\circ \gamma )'(u)|\,du\\=&\int _{\mathbf {R} /\ell \mathbf {Z} }\left[{\frac {4}{L}}-{\frac {1}{\varepsilon _{+}}}-{\frac {1}{\varepsilon _{-}}}\right]\,ds,\end{aligned}}$ ( 4 )

где $L={\rm {{Length}(I(\gamma ))}}$ и

${\begin{aligned}\varepsilon _{+}&=\varepsilon _{+}(u)=D((I\circ \gamma )(u),(I\circ \gamma )(u+\varepsilon ))=s(u+\varepsilon )-s(u)\\&=\int _{u}^{u+\varepsilon }f(w)\,dw=f(u)\varepsilon +\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt\end{aligned}}$

и

$\varepsilon _{-}=\varepsilon _{-}(u)=D((I\circ \gamma )(u-\varepsilon ),(I\circ \gamma )(u))=f(u)\varepsilon -\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u-\varepsilon t)\,dt.$

С $|f'(w)|$ равномерно ограничено, мы имеем

${\begin{aligned}{\frac {1}{\varepsilon _{+}}}=&{\frac {1}{f(u)\varepsilon }}\left[{1+{\varepsilon \over f(u)}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt}\right]^{-1}\\=&{\frac {1}{f(u)\varepsilon }}\left[1-{\frac {\varepsilon }{f(u)}}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt+O(\varepsilon ^{2})\right]\\=&{\frac {1}{f(u)\varepsilon }}-{\frac {1}{f(u)^{2}}}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt+O(\varepsilon ).\end{aligned}}$

Сходным образом, ${\frac {1}{\varepsilon _{-}}}={\frac {1}{f(u)\varepsilon }}+{\frac {1}{f(u)^{2}}}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u-\varepsilon t)\,dt+O(\varepsilon ).$

Тогда через ( 4 )

${\begin{aligned}{\rm {{regularization}\ (2)=}}&4-\int _{0}^{\ell }{\frac {2}{\varepsilon }}\,du+O(\varepsilon )\\&+\int _{u=0}^{\ell }\int _{t=0}^{1}{\frac {(1-t)}{f(u)}}[f'(u+\varepsilon t)-f'(u-\varepsilon t)]\,du\,dt\\=&4-{\frac {2\ell }{\varepsilon }}+O(\varepsilon ).\end{aligned}}$ ( 5 )

Сравнивая ( 3 ) и ( 5 ), получаем $E_{\varepsilon }(\gamma )-E_{\varepsilon }(I\circ \gamma )=O(\varepsilon );$ следовательно, $E(\gamma )=E(I\circ \gamma )$.

Для второго утверждения пусть $I$ отправить точку $\gamma$ до бесконечности. В этом случае $L=\infty$ и, таким образом, постоянный член 4 в ( 5 ) исчезает.

Гипотеза Фридмана – Хе – Ванга

Гипотеза Фридмана -Хе-Ванга (1994) утверждала, что энергия Мёбиуса нетривиальных связей в $\mathbb {R} ^{3}$ минимизируется стереографической проекцией стандартной связи Хопфа . Это было доказано в 2012 году Яном Аголом , Фернандо К. Маркесом и Андре Невесом с помощью теории мин-макса Альмгрена-Питтса . Позволять $\gamma _{i}:S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, $i=1,2,$ быть звеном из двух компонент, т. е. парой спрямляемых замкнутых кривых в евклидовом трехмерном пространстве с $\gamma _{1}(S^{1})\cap \gamma _{2}(S^{1})=\emptyset$. Перекрестная энергия Мёбиуса связи $(\gamma _{1},\gamma _{2})$ определяется как

$E(\gamma _{1},\gamma _{2})=\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}(s)||{\dot {\gamma }}_{2}(t)|}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{2}}}\,ds\,dt.$

Связующее количество $(\gamma _{1},\gamma _{2})$ определяется путем разрешения

${\begin{aligned}\mathrm {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&=\,{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\mathrm {det} ({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t))}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{3}}}\,ds\,dt.\end{aligned}}$

$\cdots$
	связующее число −2	связующее число −1	связующий номер 0
					$\cdots$
		связующий номер 1	связующее номер 2	связующий номер 3

Это не сложно проверить $E(\gamma _{1},\gamma _{2})\geq 4\pi |{\rm {link}}(\gamma _{1},\gamma _{2})|$. Если два круга находятся очень далеко друг от друга, перекрестную энергию можно сделать сколь угодно малой. Если связующий номер $\mathrm {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})$ не равно нулю, ссылка называется неразбитой, а для неразбитой ссылки $E(\gamma _{1},\gamma _{2})\geq 4\pi$. Поэтому нас интересует минимальная энергия нерасщепляемых связей. Обратите внимание, что определение энергии расширяется к любому двухкомпонентному звену в $\mathbb {R} ^{n}$. Энергия Мёбиуса обладает замечательным свойством инвариантности относительно конформных преобразований $\mathbb {R} ^{3}$. Это свойство объясняется следующим образом. Позволять $F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow {S^{3}}$ обозначаем конформное отображение. Затем $E(\gamma _{1},\gamma _{2})=E(F\circ \gamma _{1},F\circ \gamma _{2}).$ Это условие называется свойством конформной инвариантности перекрестной энергии Мёбиуса.

Основная теорема. Позволять $\gamma _{i}:S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, $i=1,2,$ быть неразделенной ссылкой из двух компонентов. Затем $E(\gamma _{1},\gamma _{2})\geq 2\pi ^{2}$. Более того, если $E(\gamma _{1},\gamma _{2})=2\pi ^{2}$ тогда существует конформное отображение $F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow {S^{3}}$ такой, что $F\circ \gamma _{1}(t)=(\cos t,\sin t,0,0)$ и $F\circ \gamma _{2}(t)=(0,0,\cos t,\sin t)$ (стандартное звено Хопфа с точностью до ориентации и перепараметризации).

Даны две непересекающиеся дифференцируемые кривые. $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, определим Гаусса отображение $\Gamma$ от тора к сфере ​

$\Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}.$

Карта Гаусса ссылки $(\gamma _{1},\gamma _{2})$ в $\mathbf {R} ^{4}$, обозначенный $g=G(\gamma _{1},\gamma _{2})$, — отображение Липшица $g:S^{1}\times S^{1}\to S^{3}$ определяется $g(s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}.$ Обозначим открытый шар в $\mathbf {R} ^{4}$, с центром в $\mathbf {x}$ с радиусом $r$, к $B_{r}^{4}(\mathbf {x} )$. Границу этого шара обозначим через $S_{r}^{3}(\mathbf {x} )$. Внутренний открытый шар $S^{3}$, с центром в $\mathbf {p} \in S^{3}$ с радиусом $r$, обозначается $B_{r}(\mathbf {p} )$. У нас есть

${\frac {\partial g}{\partial s}}={{\dot {\gamma }}_{1}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{1}\rangle g \over |\gamma _{1}-\gamma _{2}|}\quad {\mbox{and}}\quad {\frac {\partial g}{\partial t}}=-{{\dot {\gamma }}_{2}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{2}\rangle g \over |\gamma _{1}-\gamma _{2}|}.$

Таким образом,

${\begin{aligned}\left|{\frac {\partial g}{\partial s}}\right|^{2}\left|{\frac {\partial g}{\partial t}}\right|^{2}-\left\langle {\frac {\partial g}{\partial s}},{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\rangle ^{2}&\leq \left|{\frac {\partial g}{\partial s}}\right|^{2}\left|{\frac {\partial g}{\partial t}}\right|^{2}\\&={\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}|^{2}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{1}\rangle ^{2}}{|\gamma _{1}-\gamma _{2}|^{2}}}{\frac {|{\dot {\gamma }}_{2}|^{2}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{2}\rangle ^{2}}{|\gamma _{1}-\gamma _{2}|^{2}}}\\&\leq {\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}|^{2}|{\dot {\gamma }}_{2}|^{2}}{|\gamma _{1}-\gamma _{2}|^{4}}}.\end{aligned}}$

Отсюда следует, что почти для каждого $(s,t)\in S^{1}\times S^{1}$, $|{\rm {Jac\,}}g|(s,t)\leq {\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}(s)||{\dot {\gamma }}_{2}(t)|}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{2}}}.$ Если равенство имеет место при $(s,t)$, затем $\langle {\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t)\rangle =\langle {\dot {\gamma }}_{1}(s),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\rangle =\langle {\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\rangle =0.$

${\mathbf {M} }(C)\leq \int _{S^{1}\times S^{1}}|{\rm {Jac\,}}g|\,ds\,dt\leq E(\gamma _{1},\gamma _{2}).$

Если ссылка $(\gamma _{1},\gamma _{2})$ содержится в ориентированной аффинной гиперплоскости с единичным вектором нормали $\mathbf {p} \in S^{3}$ совместимо с ориентацией, то $C={\rm {link}}(\gamma _{1},\gamma _{2})\cdot \partial B_{\pi /2}(-\mathbf {p} ).$

Ссылки

• Адамс, Колин (2004). Книга «Узлы: элементарное введение в математическую теорию узлов» . Американское математическое общество. ISBN  9780821836781 .
• Хасс, Джоэл (апрель – май 1998 г.). «Алгоритмы распознавания узлов и трехмерных многообразий». Хаос, солитоны и фракталы . 9 (4–5): 569–581. arXiv : математика/9712269 . Бибкод : 1998CSF.....9..569H . дои : 10.1016/S0960-0779(97)00109-4 . S2CID   7381505 .
• Сосинский, Алексей (2002). Узлы, математика с изюминкой . Издательство Гарвардского университета. ISBN  9780674009448 .

Сноски