Биномиальная пропорция, доверительный интервал

В статистике — доверительный интервал биномиальной пропорции это доверительный интервал для вероятности успеха, рассчитанный на основе результатов серии экспериментов успеха и неудач ( испытаний Бернулли ). Другими словами, доверительный интервал биномиальной пропорции — это интервальная оценка вероятности успеха. $\ p\$ когда только количество экспериментов $\ n\$ и количество успехов $\ n_{\mathsf {s}}\$ известны.

Существует несколько формул для биномиального доверительного интервала, но все они основаны на предположении о биномиальном распределении . В общем, биномиальное распределение применяется, когда эксперимент повторяется фиксированное количество раз, каждая попытка эксперимента имеет два возможных результата (успех и неудача), вероятность успеха одинакова для каждой попытки и испытания статистически независимы. . Поскольку биномиальное распределение является дискретным распределением вероятностей (т. е. не является непрерывным) и его трудно рассчитать для большого количества испытаний, для расчета этого доверительного интервала используются различные приближения, каждый из которых имеет свои собственные компромиссы в точности и интенсивности вычислений.

Простым примером биномиального распределения является набор различных возможных результатов и их вероятностей для количества орлов, наблюдаемых при подбрасывании монеты десять раз. Наблюдаемая биномиальная пропорция представляет собой долю бросков, которые оказываются орлами. Учитывая эту наблюдаемую пропорцию, доверительный интервал для истинной вероятности падения монеты орлом представляет собой диапазон возможных пропорций, которые могут содержать или не содержать истинную пропорцию. Например, 95% доверительный интервал для доли будет содержать истинную долю в 95% случаев, когда используется процедура построения доверительного интервала. ^[1]

Проблемы с использованием нормального приближения или «интервала Вальда».

Обычно используемая формула для биномиального доверительного интервала основана на аппроксимации распределения ошибок при биномиально распределенном наблюдении: ${\hat {p}}$ , с нормальным распределением . ^[3] Нормальное приближение зависит от теоремы Муавра – Лапласа (исходная, биномиальная версия центральной предельной теоремы ) и становится ненадежным, когда оно нарушает предпосылки теоремы, поскольку размер выборки становится малым или вероятность успеха приближается к либо $0$ или $1$ . ^[4]

Используя нормальное приближение, вероятность успеха $\ p\$ оценивается

\ p~~\approx ~~{\hat {p}}\pm {\frac {\;z_{\alpha }\ }{\ {\sqrt {n\;}}\ }}\ {\sqrt {{\hat {p}}\ \left(1-{\hat {p}}\right)\ }}\ ,

где $\ {\hat {p}}\equiv {\frac {\!\ n_{\mathsf {s}}\!\ }{n}}\$ - это доля успехов в судебном процессе Бернулли и оценка $\ p\$ в основном распределении Бернулли . Эквивалентная формула с точки зрения количества наблюдений:

\ p~~\approx ~~{\frac {\!\ n_{\mathsf {s}}\!\ }{n}}\pm {\frac {\;z_{\alpha }\ }{\ {\sqrt {n\;}}\ }}{\sqrt {{\frac {\!\ n_{\mathsf {s}}\!\ }{n}}\ {\frac {\!\ n_{\mathsf {f}}\!\ }{n}}\ }}\ ,

где данные являются результатами $\ n\$ испытания, которые дали $\ n_{\mathsf {s}}\$ успехи и $\ n_{\mathsf {f}}=n-n_{\mathsf {s}}\$ неудачи. Аргумент функции распределения $\ z_{\alpha }\$ это $\ 1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\$ квантиль стандартного нормального распределения (т. е. пробита ), соответствующий целевой частоте ошибок $\ \alpha ~.$ Для уровня достоверности 95% ошибка $\ \alpha =1-0.95=0.05\ ,$ так $\ 1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}=0.975\$ и $\ z_{.05}=1.96~.$

При использовании формулы Вальда для оценки $\ p\$ , или просто рассматривая возможные результаты этого расчета, сразу становятся очевидными две проблемы:

Во-первых, для $\ {\hat {p}}\$ приближаясь к $1$ или $0$ , интервал сужается до нулевой ширины (ложно подразумевая уверенность).
Во-вторых, для значений $~{\hat {p}}~<~{\frac {1}{\ 1+n/z_{\alpha }^{2}\ }}~$ (вероятность слишком мала/слишком близка к $0$ ), границы интервала выходят за пределы $\ [0,\ 1]\$ ( перелет ).

(Другая версия второй проблемы перерегулирования возникает, когда вместо этого $\ 1-{\hat {p}}\$ падает ниже той же верхней границы: вероятность слишком высока/слишком близка к $1.$ )

Важный теоретический вывод этого доверительного интервала включает инверсию проверки гипотезы. Согласно этой формулировке доверительный интервал представляет собой те значения параметра совокупности, которые будут иметь большие значения. $\ p\$ значения, если они были проверены как гипотетическая доля населения . ^{[ нужны разъяснения ]} Совокупность ценностей, $\ \theta \ ,$ для которого справедливо нормальное приближение, можно представить в виде

\left\{~~\theta \quad {\Bigg |}\quad y_{\alpha /2}~~\leq ~~{\frac {\ {\hat {p}}-\theta \ }{{\sqrt {{\frac {\!\ 1\!\ }{n}}\ {\hat {p}}\ \left(1-{\hat {p}}\right)\ }}\ }}~~\leq ~~z_{\alpha /2}~~\right\}\ ,

где $\ y_{\alpha /2}\$ это нижний $\ {\tfrac {\alpha }{\!\ 2\!\ }}\$ квантиль стандартного нормального распределения , vs. $\ z_{\alpha /2}\ ,$ что является верхним квантилем.

Поскольку критерий в середине неравенства является критерием Вальда , нормальный интервал аппроксимации иногда называют интервалом Вальда или методом Вальда , по имени Абрахама Вальда , но впервые он был описан Лапласом (1812). ^[5]

Брекетинг доверительного интервала

Расширяя концепцию нормального приближения и интервала Вальда-Лапласа, Майкл Шорт показал, что неравенства относительно ошибки аппроксимации между биномиальным распределением и нормальным распределением могут использоваться для точного заключения в скобки оценки доверительного интервала вокруг $\ p\ :$ ^[6]

\ {\frac {\ k+C_{\mathsf {L1}}-z_{\alpha }\ {\widehat {W}}\ }{\ n+z_{\alpha }^{2}\ }}~~\leq ~~p~~\leq ~~{\frac {\ k+C_{\mathsf {U1}}+z_{\alpha }\ {\widehat {W}}\ }{n+z_{\alpha }^{2}}}\

с

\ {\widehat {W}}\equiv {\sqrt {{\frac {\ n\ k-k^{2}+C_{\mathsf {L2}}n\ -C_{\mathsf {L3}}k+C_{\mathsf {L4}}\ }{n}}~}}\ ,

и где $\ p\$ это снова (неизвестная) доля успехов в судебном процессе Бернулли (в отличие от $\ {\hat {p}}\equiv {\frac {\ n_{\mathsf {s}}\ }{n}}\$ который оценивает его), измеренный с помощью $\ n\$ испытания, дающие $\ k\$ успехи, $\ z_{\alpha }\$ это $\ 1-{\tfrac {\alpha }{2}}\$ квантиль стандартного нормального распределения (т. е. пробита), соответствующий целевой частоте ошибок $\ \alpha \ ,$ и константы $\ C_{\mathsf {L1}},C_{\mathsf {L2}},C_{\mathsf {L3}},C_{\mathsf {L4}},C_{\mathsf {U1}},C_{\mathsf {U2}},C_{\mathsf {U3}}\$ и $\ C_{\mathsf {U4}}\$ являются простыми алгебраическими функциями $\ z_{\alpha }~.$ ^[6] Для фиксированной $\ \alpha \$ (и, следовательно, $\ z_{\alpha }\$ ), приведенные выше неравенства дают легко вычисляемые одно- или двусторонние интервалы, которые заключают в себе точные биномиальные верхний и нижний доверительные пределы, соответствующие частоте ошибок $\ \alpha ~.$

Стандартная ошибка оценки доли при использовании взвешенных данных

Пусть будет простая случайная выборка $\ X_{1},\ \ldots ,\ X_{n}\$ где каждый $\ X_{i}\$ является iid из распределения Бернулли (p) и веса $w_{i}$ — это вес для каждого наблюдения с (положительными) весами $w_{i}$ нормализованы, поэтому их сумма равна $1$ . Взвешенная доля выборки равна: ${\textstyle \ {\hat {p}}=\sum _{i=1}^{n}\ w_{i}\ X_{i}~.}$ Поскольку каждый из $\ X_{i}\$ независима от всех остальных, и каждая из них имеет дисперсию $\ \operatorname {var} \{\ X_{i}\ \}\ =\ p\ (1-p)~~$ для каждого $~~i\ =\ 1,\ \ldots \ ,n\ ,$ Таким образом, выборочная дисперсия пропорции равна: ^[7]

\ \operatorname {var} \{\ {\hat {p}}\ \}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {var} \{\ w_{i}\ X_{i}\ \}=p\ (1-p)\ \sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}~.

Стандартная ошибка $\ {\hat {p}}\$ является квадратным корнем из этой величины. Потому что мы не знаем $\ p\ (1-p)\ ,$ мы должны это оценить. Хотя существует множество возможных оценок, общепринятым является использование $\ {\hat {p}}\ ,$ выборочное среднее значение и подставьте его в формулу. Это дает:

\ \operatorname {SE} \{\ {\hat {p}}\ \}\approx {\sqrt {~{\hat {p}}\ (1-{\hat {p}})\ \sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}~~}}\

Для невзвешенных данных эффективные веса одинаковы. ${\textstyle \ w_{i}={\tfrac {\!\ 1\!\ }{n}}\ ,}$ предоставление ${\textstyle \ \sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}={\tfrac {\!\ 1\!\ }{n}}~.}$ $\ \operatorname {SE} \$ становится ${\textstyle {\sqrt {{\tfrac {\!\ 1\!\ }{n}}\ {\hat {p}}\ (1-{\hat {p}})~}}\ ,}$ что приводит к знакомым формулам, показывающим, что расчет взвешенных данных является их прямым обобщением.

Интервал очков Уилсона

Интервал оценки Вильсона был разработан Э. Б. Уилсоном (1927). ^[8] Это улучшение по сравнению с интервалом нормальной аппроксимации во многих отношениях: в отличие от симметричного интервала нормальной аппроксимации (см. выше), интервал оценки Вильсона асимметричен и не страдает от проблем перерегулирования и интервалов нулевой ширины , которые влияют на нормальный интервал. . Его можно безопасно использовать с небольшими выборками и искаженными наблюдениями. ^[3] Наблюдаемая вероятность покрытия постоянно ближе к номинальному значению, $\ 1-\alpha ~.$ ^[2]

Как и обычный интервал, интервал можно рассчитать непосредственно по формуле.

Уилсон начал с нормального приближения бинома:

\ z_{\alpha }\approx {\frac {~\left(\ p-{\hat {p}}\ \right)~}{\sigma _{n}}}\

где $\ z_{\alpha }\$ — стандартная нормальная полуширина интервала, соответствующая желаемой достоверности $\ 1-\alpha ~.$ Аналитическая формула для биномиального стандартного отклонения выборки: $\ \sigma _{n}={\sqrt {{\frac {\ p\ \left(1-p\right)\ }{n}}~}}~.$ Объединение этих двух чисел и возведение в квадрат радикала дает уравнение, квадратное по отношению к $\ p\ :$

\left(\ p-{\hat {p}}\ \right)^{2}={\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{n}}\ p\ \left(\ 1-p\ \right)\ \qquad

или

\qquad p^{2}-2\ p\ {\hat {p}}+{\hat {p}}^{2}=p\ {\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{n}}-p^{2}\ {\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{n}}~.

Преобразование соотношения в квадратное уравнение стандартной формы для $\ p\ ,$ лечение $\ {\hat {p}}\$ и $\ n\$ как известные значения из выборки (см. предыдущий раздел) и используя значение $\ z_{\alpha }\$ что соответствует желаемой уверенности $\ 1-\alpha \$ для оценки $\ p\$ дает это: $\left(\ 1+{\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{n}}\ \right)\ p^{2}-\left(\ 2\ {\hat {p}}+{\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{n}}\ \right)\ p+{\biggl (}\ {\hat {p}}^{2}\ {\biggr )}=0~,$ где все значения, заключенные в круглые скобки, являются известными величинами. Решение для $\ p\$ оценивает верхний и нижний пределы доверительного интервала для $\ p~.$ Отсюда вероятность успеха $\ p\$ оценивается $\ {\hat {p}}\$ и с $\ 1-\alpha \$ уверенность заключена в скобки в интервале

p\quad {\underset {\approx }{\in }}_{\alpha }\quad {\bigl (}\ w^{-},\ w^{+}\ {\bigr )}~~=~~{\frac {1}{~1+z_{\alpha }^{2}\ /n~}}{\Bigg (}\ {\hat {p}}+{\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{2\ n}}~~\pm ~~{\frac {\!\ z_{\alpha }\!\ }{\!\ 2\ n\!\ }}\ {\sqrt {\ 4\ n\ {\hat {p}}\ (1-{\hat {p}})+\ z_{\alpha }^{2}~}}~{\Biggr )}\

где $\ {\underset {\approx }{\in }}_{\alpha }\$ это аббревиатура от

\ \operatorname {\mathbb {P} } {\Bigr \{}~~p\in \left(\ w^{-},\ w^{+}\ \right)~~{\Bigl \}}=1-\alpha ~.

Эквивалентное выражение, использующее количество наблюдений $\ n_{\mathsf {s}}\$ и $\ n_{\mathsf {f}}\$ является

p\quad {\underset {\approx }{\in }}_{\alpha }\quad {\frac {\ n_{\mathsf {s}}+{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\ z_{\alpha }^{2}\ }{n+z_{\alpha }^{2}}}~\pm ~{\frac {z_{\alpha }}{\ n+z_{\alpha }^{2}\ }}{\sqrt {{\frac {\ n_{\mathsf {s}}\ n_{\mathsf {f}}\ }{n}}+{\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{4}}~}}\ ,

с указанными выше значениями: $n_{\mathsf {s}}\equiv$ количество наблюдаемых «успехов», $\ n_{\mathsf {f}}\equiv$ количество наблюдаемых «сбоев», а их сумма равна общему количеству наблюдений $\ n=n_{\mathsf {s}}+n_{\mathsf {f}}~.$

При практических проверках результатов формулы пользователи обнаруживают, что этот интервал имеет хорошие свойства даже для небольшого количества испытаний и/или экстремумов оценки вероятности. $\ {\hat {p}}\equiv {\frac {\!\ n_{\mathsf {s}}\ }{n}}~.$ ^[2]^[3]^[9]

Интуитивно понятно, что центральное значение этого интервала представляет собой средневзвешенное значение $\ {\hat {p}}\$ и $\ {\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\ ,$ с $\ {\hat {p}}\$ получают больший вес по мере увеличения размера выборки. Формально центральное значение соответствует псевдосчета использованию $\ {\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}z_{\alpha }^{2}\ ,$ количество стандартных отклонений доверительного интервала: добавьте это число к количеству успешных и неудачных попыток, чтобы получить оценку соотношения. Для двух общих стандартных отклонений в каждом интервале направлений (охват примерно 95%, что само по себе составляет примерно 1,96 стандартных отклонения) это дает оценку $\ {\frac {\ n_{\mathsf {s}}+2\ }{n+4}}\ ,$ которое известно как «правило плюс четыре».

Хотя квадратичное уравнение можно решить явно, в большинстве случаев уравнения Вильсона также можно решить численно, используя итерацию с фиксированной точкой.

p_{\!\ k+1}={\hat {p}}\pm z_{\alpha }\ {\sqrt {{\tfrac {\!\ 1\!\ }{n}}\ p_{k}\ \left(\ 1-p_{k}\ \right)~}}

с $\ p_{0}={\hat {p}}~.$

Интервал Вильсона также можно получить с помощью z-теста для одной выборки или критерия хи-квадрат Пирсона с двумя категориями. Полученный интервал,

\left\{~~\theta \quad {\Bigg |}\quad \ y_{\alpha }~~\leq ~~{\frac {\ {\hat {p}}-\theta \ }{\ {\sqrt {{\tfrac {\!\ 1\!\ }{n}}\ \theta \ \left(1-\theta \right)~}}\ }}~~\leq ~~z_{\alpha }~~\right\}\ ,

(с $\ y_{\alpha }\$ нижний $\ \alpha \$ квантиль) тогда можно решить для $\ \theta \$ чтобы получить интервал оценки Вильсона. Тест в середине неравенства — это тест на оценку .

Принцип интервального равенства

Поскольку интервал получается путем решения нормального приближения к биному, интервал оценки Вильсона $~{\bigl (}\ w^{-}\ ,\ w^{+}\ {\bigr )}~$ имеет свойство гарантированно получать тот же результат, что и эквивалентный z-тест или тест хи-квадрат .

Это свойство можно визуализировать, построив график функции плотности вероятности для интервала оценок Вильсона ( см. Уоллис). ^[9]^{(стр. 297-313)} После этого также строится обычный PDF-файл по каждой границе. Области хвостов результирующего распределения Вильсона и нормального распределения представляют вероятность значимого результата в этом направлении и должны быть равны.

интервал оценки Вильсона с поправкой на непрерывность и интервал Клоппера-Пирсона Этому свойству также соответствуют . Практическое значение состоит в том, что эти интервалы можно использовать в качестве критериев значимости с результатами, идентичными исходному критерию, а новые тесты могут быть получены с помощью геометрии. ^[9]

Интервал оценки Уилсона с коррекцией непрерывности

Интервал Вильсона можно изменить, используя поправку на непрерывность , чтобы согласовать минимальную вероятность покрытия , а не среднюю вероятность покрытия, с номинальным значением. $\ 1-\alpha ~.$

Точно так же, как интервал Вильсона отражает критерий хи-квадрат Пирсона , интервал Вильсона с поправкой на непрерывность отражает эквивалентный критерий хи-квадрат Йейтса .

Следующие формулы для нижней и верхней границ интервала оценки Вильсона с поправкой на непрерывность $\ \left(w_{\mathsf {cc}}^{-},w_{\mathsf {cc}}^{+}\right)\$ получены из Ньюкомба: ^[2]

{\begin{aligned}w_{\mathsf {cc}}^{-}&=\max \left\{~~0\ ,~~{\frac {\ 2\ n\ {\hat {p}}+z_{\alpha }^{2}-\left[\ z_{\alpha }\ {\sqrt {z_{\alpha }^{2}-{\frac {\ 1\ }{n}}+4\ n\ {\hat {p}}\ \left(1-{\hat {p}}\right)+\left(4\ {\hat {p}}-2\right)~}}\ +\ 1\ \right]\ }{\ 2\left(n+z_{\alpha }^{2}\right)~~}}\right\}\ ,\\w_{\mathsf {cc}}^{+}&=\min \left\{~~1\ ,~~{\frac {\ 2\ n\ {\hat {p}}+z_{\alpha }^{2}+\left[\ z_{\alpha }\ {\sqrt {z_{\alpha }^{2}-{\frac {\ 1\ }{n}}+4\ n\ {\hat {p}}\ \left(1-{\hat {p}}\right)-\left(4\ {\hat {p}}-2\right)~}}\ +\ 1\ \right]\ }{\ 2\left(n+z_{\alpha }^{2}\right)~~}}\right\},\end{aligned}}

для $\ {\hat {p}}\neq 0\$ и $\ {\hat {p}}\neq 1~.$

Если $\ {\hat {p}}=0\ ,$ затем $\ w_{\mathsf {cc}}^{-}\$ вместо этого необходимо установить значение $\ 0\ ;$ если $\ {\hat {p}}=1\ ,$ затем $\ w_{\mathsf {cc}}^{+}\$ вместо этого необходимо установить значение $\ 1~.$

Уоллис (2021) ^[9] определяет более простой метод вычисления интервалов Вильсона с поправкой на непрерывность, в котором используется специальная функция, основанная на формуле нижней границы Вильсона: В обозначениях Уоллиса для нижней границы пусть

~{\mathsf {Wilson_{lower}}}\left(\ {\hat {p}},\ n,\ {\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ \right)\ \equiv \ w^{-}\ =\ {\frac {1}{~1+z_{\alpha }^{2}\ /n~}}{\Bigg (}\ {\hat {p}}+{\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{\!\ 2\ n\!\ }}~~-~~{\frac {\!\ z_{\alpha }\!\ }{\!\ 2\ n\!\ }}\ {\sqrt {\ 2\ n\ {\hat {p}}\ (1-{\hat {p}})+\ z_{\alpha }^{2}~}}~{\Biggr )}\ ,

где $\ \alpha \$ выбранный допустимый уровень ошибки для $\ z_{\alpha }~.$ Затем

\ w_{\mathsf {cc}}^{-}={\mathsf {Wilson_{lower}}}\left(\ \max \left\{\ {\hat {p}}-{\tfrac {1}{\!\ 2\ n\!\ }},\ 0\ \right\},\ n,\ {\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ \right)~.

Преимущество этого метода заключается в возможности дальнейшего разложения.

интервал Джеффриса

Интервал Джеффриса имеет байесовский вывод, но имеет хорошие частотные свойства (превосходит большинство частотных конструкций). В частности, он имеет свойства покрытия, аналогичные свойствам интервала Вильсона, но это один из немногих интервалов с тем преимуществом, что он равнохвостый (например, для 95% доверительного интервала вероятности интервала, лежащего выше или ниже истинного значения, оба близки к 2,5%). Напротив, интервал Вильсона имеет систематическое смещение, так что он расположен слишком близко к центру. $\ p=0.5~.$ ^[10]

Интервал Джеффриса — это байесовский доверительный интервал, полученный при использовании неинформативного априора Джеффриса для биномиальной пропорции. $\ p~.$ Приор Джеффриса для этой задачи представляет собой бета-распределение с параметрами $\ \left({\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}},{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\right)\ ,$ сопряженный априор . После наблюдения $\ x\$ успехи в $\ n\$ испытаниях, апостериорное распределение для $\ p\$ представляет собой бета-распределение с параметрами $\ \left(x+{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}},n-x+{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\right)~.$

Когда $\ x\neq 0\$ и $\ x\neq n\ ,$ интервал Джеффриса принимается за $\ 100\ \left(1-\alpha \right)\ \mathrm {\%} \$ равнохвостый интервал апостериорной вероятности, т.е. $\ {\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\ \alpha \$ и $\ 1-{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\ \alpha \$ квантили бета-распределения с параметрами $\ \left(\ x+{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}},\ n-x+{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\ \right)~.$

Во избежание стремления вероятности покрытия к нулю при $\ p\to 0\$ или $1$ , когда $\ x=0\$ верхний предел рассчитывается, как и раньше, но нижний предел устанавливается равным $0$ , и когда $\ x=n\$ нижний предел рассчитывается, как и раньше, но верхний предел устанавливается равным $1$ . ^[4]

Интервал Джеффриса также можно рассматривать как частотный интервал, основанный на инвертировании значения p из G-теста после применения поправки Йейтса, чтобы избежать потенциально бесконечного значения для статистики теста.

Интервал Клоппера – Пирсона

Интервал Клоппера-Пирсона — это ранний и очень распространенный метод расчета биномиальных доверительных интервалов. ^[11] Этот метод часто называют «точным» методом, поскольку он достигает номинального уровня покрытия в точном смысле, то есть уровень покрытия никогда не бывает меньше номинального. $\ 1-\alpha ~.$ ^[2]

Интервал Клоппера – Пирсона можно записать как

\ S_{\leq }\cap S_{\geq }\

или эквивалентно,

\ \left(\inf S_{\geq }\ ,\ \sup S_{\leq }\right)\

с

S_{\leq }~\equiv ~\left\{~p~~{\Big |}~~\operatorname {\mathbb {P} } \left\{~\operatorname {Bin} \left(n;p\right)\leq x~\right\}>{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}~~\right\}~

и

~S_{\geq }~\equiv ~\left\{~p~~{\Big |}~~\operatorname {\mathbb {P} } \left\{~\operatorname {Bin} \left(n;p\right)\geq x\right\}>{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}~~\right\}\ ,

где $\ 0\leq x\leq n\$ количество успехов, наблюдаемых в выборке, и $\ {\mathsf {Bin}}\left(n;p\right)\$ представляет собой биномиальную случайную величину с $\ n\$ испытания и вероятность успеха $\ p~.$

Эквивалентно мы можем сказать, что интервал Клоппера – Пирсона равен ${\textstyle \ \left(\ {\frac {\!\ x\!\ }{n}}-\varepsilon _{1},\ {\frac {\!\ x\!\ }{n}}+\varepsilon _{2}\ \right)\ }$ с уровнем уверенности $\ 1-\alpha \$ если $\ \varepsilon _{i}\$ является нижней границей таких, что следующие проверки гипотез успешны со значимостью ${\textstyle \ {\frac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ :}$

Х0 : $\ p={\frac {\!\ x\!\ }{n}}-\varepsilon _{1}\$ с _ХА : $\ p>{\frac {\!\ x\!\ }{n}}-\varepsilon _{1}$
Х0 : $\ p={\frac {\!\ x\!\ }{n}}+\varepsilon _{2}\$ с _ХА : $\ p<{\frac {\!\ x\!\ }{n}}+\varepsilon _{2}~.$

Из-за связи между биномиальным распределением и бета-распределением интервал Клоппера-Пирсона иногда представляется в альтернативном формате, в котором используются квантили из бета-распределения. ^[12]

\ B\!\left({\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ ;\ x\ ,\ n-x+1\right)~<~p~<~B\!\left(\ 1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ ;\ x+1\ ,\ n-x\ \right)\

где $\ x\$ это количество успехов, $\ n\$ количество испытаний, и $\ B\!\left(\ p\ ;\ v\ ,\ w\ \right)\$ — $p$ -й квантиль бета-распределения с параметрами формы $\ v\$ и $\ w~.$

Таким образом, $\ p_{\min }~<~p<~p_{\max }\ ,$ где:

{\tfrac {\ \Gamma (n+1)\ }{\ \Gamma \!(x)\ \Gamma \!(n-x+1)\ }}\ \int _{0}^{p_{\min }}\ t^{x-1}\ (1-t)^{n-x}\ \mathrm {d} \!\ t~~=~~{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ ,

{\tfrac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (x+1)\Gamma (n-x)}}\ \int _{0}^{p_{\max }}\ t^{x}\ (1-t)^{n-x-1}\ \mathrm {d} \!\ t~=~1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}~.

Тогда доверительный интервал биномиальной пропорции равен $\ \left(\ p_{\min }\ ,\ p_{\max }\right)\ ,$ как следует из связи между кумулятивной функцией распределения биномиального распределения и регуляризованной неполной бета-функцией .

Когда $\ x\$ либо $0,$ либо $\ n\ ,$ доступны выражения в замкнутой форме для границ интервала: когда $\ x=0\$ интервал

{\textstyle \ \left(0\ ,\ 1-\left(\ {\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ \right)^{1/n}\right)\ }

и когда $\ x=n\$ это

{\textstyle \ \left(\ \left({\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ \right)^{1/n}\ ,\ 1\ \right)~.}

^[12]

Бета-распределение, в свою очередь, связано с F-распределением , поэтому третью формулировку интервала Клоппера – Пирсона можно записать с использованием F- квантили:

\left(\ 1+{\frac {\ n-x+1\ }{\ x\ F\!\left[\ {\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ ;\ 2\ x\ ,\ 2\ (\ n-x+1\ )\ \right]\ }}\ \right)^{-1}~~<~~p~~<~~\left(\ 1+{\frac {\ n-x\ }{(x+1)\ \ F\!\left[\ 1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ ;\ 2\ (x+1)\ ,\ 2\ (n-x\ )\ \right]\ }}\ \right)^{-1}

где $\ x\$ это количество успехов, $\ n\$ количество испытаний, и $\ F\!\left(\ c\ ;\ d_{1}\ ,d_{2}\ \right)\$ это $\ c\$ квантиль из F-распределения с $\ d_{1}\$ и $\ d_{2}\$ степени свободы. ^[13]

Интервал Клоппера-Пирсона является «точным» интервалом, поскольку он основан непосредственно на биномиальном распределении, а не на каком-либо приближении к биномиальному распределению. Этот интервал никогда не бывает меньше номинального охвата для любой доли населения, но это означает, что он обычно консервативен. Например, истинный уровень покрытия 95% интервала Клоппера-Пирсона может быть значительно выше 95%, в зависимости от $\ n\$ и $\ p~.$ ^[4] Таким образом, интервал может быть шире, чем необходимо для достижения 95%-ной достоверности, и шире, чем другие интервалы. Напротив, стоит отметить, что другие доверительные интервалы могут иметь уровни охвата ниже номинального. $\ 1-\alpha \ ,$ т.е. интервал нормального приближения (или «стандартный»), интервал Вильсона, ^[8] Интервал Агрести–Кулла, ^[13] и т. д., при номинальном охвате 95% на самом деле может охватывать менее 95%, ^[4] даже для больших объемов выборки. ^[12]

Определение интервала Клоппера – Пирсона также можно изменить, чтобы получить точные доверительные интервалы для различных распределений. Например, его также можно применить к случаю, когда выборки формируются без замены из совокупности известного размера вместо повторных выборок биномиального распределения. В этом случае базовым распределением будет гипергеометрическое распределение .

Границы интервалов можно вычислить с помощью числовых функций qбета ^[14] в R и scipy.stats.beta.ppf ^[15] в Python.

from scipy.stats import beta
k = 20
n = 400
alpha = 0.05
p_u, p_o = beta.ppf([alpha/2, 1 - alpha/2], [k, k + 1], [n - k + 1, n - k])

Интервал Агрести – Кулла

Интервал Агрести-Кулла также является еще одним приближенным биномиальным доверительным интервалом. ^[13]

Данный $\ n_{\mathsf {s}}\$ успехи в $\ n\$ испытания, определить

\ {\tilde {n}}\equiv n+z_{\alpha }^{2}\

и

\ {\tilde {p}}={\frac {1}{\!\ {\tilde {n}}\!\ }}\left(\!\ n_{\mathsf {s}}+{\tfrac {\ z_{\alpha }^{2}}{2}}\!\ \right)\

Тогда доверительный интервал для $\ p\$ дается

\ p~~\approx ~~{\tilde {p}}~\pm ~z_{\alpha }\ {\sqrt {{\frac {\!\ {\tilde {p}}\!\ }{\tilde {n}}}\ \left(\!\ 1-{\tilde {p}}\!\ \right)~}}

где $\ z_{\alpha }=\operatorname {\Phi ^{-1}} \!\!\left(\ 1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ \right)\$ является квантилем стандартного нормального распределения, как и раньше (например, 95% доверительный интервал требует $\ \alpha =0.05\ ,$ тем самым производя $\ z_{.05}=1.96\$ ). По мнению Брауна , Кай и ДасГупта (2001), ^[4] принимая $\ z=2\$ вместо 1,96 получается интервал «добавьте 2 успеха и 2 неудачи», ранее описанный Agresti & Coull . ^[13]

Этот интервал можно резюмировать как использование корректировки центральной точки, $\ {\tilde {p}}\ ,$ интервала оценки Вильсона, а затем применив к этой точке нормальное приближение. ^[3]^[4]

\ {\tilde {p}}={\frac {\quad {\hat {p}}+{\frac {\ z_{\alpha }^{2}\!\ }{\ 2\ n\ }}\quad }{\quad 1+{\frac {\ z_{\alpha }^{2}}{n}}\quad }}\

Арксинусное преобразование

Арксинусное преобразование приводит к выдергиванию концов распределения. ^[16] Хотя он может стабилизировать дисперсию (и, следовательно, доверительные интервалы) данных о пропорциях, его использование подвергалось критике в нескольких контекстах. ^[17]

Позволять $\ X\$ быть числом успехов в $\ n\$ испытания и пусть $\ p={\tfrac {1}{\!\ n\!\ }}\!\ X~.$ Дисперсия $\ p\$ является

\operatorname {var} \{~~p~~\}={\tfrac {1}{\!\ n\!\ }}\ p\ (1-p)~.

Используя преобразование арксинуса , дисперсию арксинуса $\ {\sqrt {\ p~}}\$ является ^[18]

\ \operatorname {var} \left\{~~\arcsin {\sqrt {p~}}~~\right\}~\approx ~{\frac {\ \operatorname {var} \{~~p~~\}\ }{\ 4\ p\ (1-p)\ }}={\frac {\ p\ (1-p)\ }{\ 4\ n\ p\ (1-p)\ }}={\frac {\ 1\ }{\ 4\ n\ }}~.

Итак, сам доверительный интервал имеет вид

\ \sin ^{2}\left(\ -\ {\frac {z_{\alpha }}{\ 2\ {\sqrt {n\ }}\ }}+\arcsin {\sqrt {p\ }}~\right)~<~\theta ~<~\sin ^{2}\left(\ +\ {\frac {\ z_{\alpha }\ }{\ 2\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ +\arcsin {\sqrt {p\ }}~\right)\ ,

где $\ z_{\alpha }\$ это $\ 1\ -\ {\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\$ квантиль стандартного нормального распределения.

Этот метод можно использовать для оценки дисперсии $\ p\$ но его использование проблематично, когда $\ p\$ близко к $0$ или $1$ .

т _{преобразование}

Позволять $\ p\$ быть пропорцией успехов. Для $\ 0\leq a\leq 2\ ,$

\ t_{a}\ =\ \log \left(\ {\frac {\ p^{a}\ }{\ (1-p)^{2-a}\ }}\ \right)\ =\ a\ \log p-(2-a)\ \log(\ 1-p\ )\

Это семейство является обобщением логит-преобразования, которое является частным случаем с a = 1 и может использоваться для преобразования пропорционального распределения данных в приблизительно нормальное распределение . Параметр a должен быть оценен для набора данных.

Правило трёх — для случаев, когда успехов не наблюдается

Правило трех используется для простого определения приблизительного 95% доверительного интервала для $\ p\ ,$ в особом случае никаких успехов ( $\ {\hat {p}}=0\$ ) наблюдались. ^[19] Интервал $\ \left(\ 0,\ {\tfrac {\!\ 3\!\ }{n}}\right)~.$

По симметрии, в случае только успехов ( $\ {\hat {p}}=1\$ ), интервал $\ \left(\ 1-{\tfrac {\!\ 3\!\ }{n}},\ 1\ \right)~.$

Сравнение и обсуждение

Есть несколько исследовательских работ, в которых сравниваются эти и другие доверительные интервалы для биномиальной пропорции. ^[3]^[2]^[20]^[21]

Оба Росс (2003) ^[22] и Агрести и Коулл (1998) ^[13] отметим, что точные методы, такие как интервал Клоппера-Пирсона, могут работать не так хорошо, как некоторые приближения. Нормальный интервал аппроксимации и его представление в учебниках подверглись резкой критике, причем многие статистики выступали за его неиспользование. ^[4] Основными проблемами являются превышение пределов (границы превышают $\ \left[\ 0,\ 1\ \right]\$ ), интервалы нулевой ширины при $\ {\hat {p}}\ =0\$ или $1$ (ложно подразумевающий уверенность), ^[2] и общее несоответствие с проверкой значимости. ^[3]

Из перечисленных выше приближений метод интервальных оценок Вильсона (с коррекцией непрерывности или без нее) оказался наиболее точным и наиболее надежным. ^[3]^[4]^[2] хотя некоторые предпочитают подход Agresti & Coulls для выборок большего размера. ^[4] Методы Вильсона и Клоппера-Пирсона дают согласующиеся результаты с тестами значимости источника. ^[9] и это свойство является определяющим для многих исследователей.

Многие из этих интервалов можно рассчитать в R с помощью таких пакетов, как binomнекоторые ^[23]

См. также

Ссылки

^ Салливан, Лиза (27 октября 2017 г.). «Доверительные интервалы» . sphweb.bumc.bu.edu (примечания к курсу). Бостон, Массачусетс: Бостонского университета Школа общественного здравоохранения . БС704.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Ньюкомб, Р.Г. (1998). «Двусторонние доверительные интервалы для одной пропорции: сравнение семи методов». Статистика в медицине . 17 (8): 857–872. doi : 10.1002/(SICI)1097-0258(19980430)17:8<857::AID-SIM777>3.0.CO;2-E . ПМИД 9595616 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Уоллис, Шон А. (2013). «Биномиальные доверительные интервалы и тесты на непредвиденные обстоятельства: математические основы и оценка альтернативных методов» (PDF) . Журнал количественной лингвистики . 20 (3): 178–208. дои : 10.1080/09296174.2013.799918 . S2CID 16741749 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Браун, Лоуренс Д .; Кай, Т. Тони ; ДасГупта, Анирбан (2001). «Интервальная оценка биномиальной пропорции». Статистическая наука . 16 (2): 101–133. CiteSeerX 10.1.1.50.3025 . дои : 10.1214/ss/1009213286 . МР 1861069 . Збл 1059.62533 .
^ Лаплас, PS (1812 г.). теория вероятностей Аналитическая ( на французском языке). Ве. Курьер. п. 283.
^ Jump up to: ^а ^б Шорт, Майкл (08 ноября 2021 г.). «О биномиальном квантиле и границах пропорций: с приложениями в технике и информатике» . Коммуникации в статистике - теория и методы . 52 (12): 4183–4199. дои : 10.1080/03610926.2021.1986540 . ISSN 0361-0926 . S2CID 243974180 .
^ «Как рассчитать стандартную ошибку пропорции, используя взвешенные данные?» . stats.stackexchange.com . 159220/253.
^ Jump up to: ^а ^б Уилсон, Э.Б. (1927). «Вероятный вывод, закон последовательности и статистический вывод». Журнал Американской статистической ассоциации . 22 (158): 209–212. дои : 10.1080/01621459.1927.10502953 . JSTOR 2276774 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Уоллис, Шон А. (2021). Статистика в корпусной лингвистике: новый подход . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Рутледж. ISBN 9781138589384 .
^ Цай, Т.Т. (2005). «Односторонние доверительные интервалы в дискретных распределениях». Журнал статистического планирования и выводов . 131 (1): 63–88. дои : 10.1016/j.jspi.2004.01.005 .
^ Клоппер, К.; Пирсон, ES (1934). «Использование доверительных или фидуциальных пределов, проиллюстрированное на примере бинома». Биометрика . 26 (4): 404–413. дои : 10.1093/biomet/26.4.404 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Тулин, Монс (1 января 2014 г.). «Стоимость использования точных доверительных интервалов для биномиальной пропорции». Электронный статистический журнал . 8 (1): 817–840. arXiv : 1303.1288 . дои : 10.1214/14-EJS909 . ISSN 1935-7524 . S2CID 88519382 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Агрести, Алан ; Коулл, Брент А. (1998). «Приблизительное лучше, чем точное, для интервальной оценки биномиальных пропорций». Американский статистик . 52 (2): 119–126. дои : 10.2307/2685469 . JSTOR 2685469 . МР 1628435 .
^ «Бета-дистрибутив» . stat.ethz.ch (документ программного обеспечения). Р Руководство . Проверено 2 декабря 2023 г.
^ "scipy.stats.beta" . Руководство по SciPy. docs.scipy.org (документ по программному обеспечению) (изд. 1.11.4) . Проверено 2 декабря 2023 г.
^ Холланд, Стивен. «Преобразования пропорций и процентов» . Strata.uga.edu . Проверено 8 сентября 2020 г.
^ Уортон, Дэвид И.; Хуэй, Фрэнсис К.К. (январь 2011 г.). «Арксинус ослиный: Анализ пропорций в экологии» . Экология . 92 (1): 3–10. Бибкод : 2011Ecol...92....3W . дои : 10.1890/10-0340.1 . hdl : 1885/152287 . ISSN 0012-9658 . ПМИД 21560670 .
^ Шао, Дж. (1998). Математическая статистика . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер.
^ Саймон, Стив (2010). «Доверительный интервал с нулевыми событиями» . Спросите профессора Мина. Канзас-Сити, Миссури: Детская больница милосердия. Архивировано из оригинала 15 октября 2011 года. Темы статистики по медицинским исследованиям.
^ Сауро, Дж.; Льюис, младший (2005). Сравнение калькулятора интервалов Вальда, Адж-Вальда, точных и Вильсона (PDF) . Общество человеческого фактора и эргономики, 49-е ежегодное собрание (HFES 2005). Орландо, Флорида. стр. 2100–2104. Архивировано из оригинала (PDF) 18 июня 2012 года.
^ Райцигель, Дж. (2003). «Доверительные интервалы для биномиального параметра: некоторые новые соображения» (PDF) . Статистика в медицине . 22 (4): 611–621. дои : 10.1002/сим.1320 . ПМИД 12590417 . S2CID 7715293 .
^ Росс, Т.Д. (2003). «Точные доверительные интервалы для биномиальной пропорции и оценки коэффициента Пуассона» . Компьютеры в биологии и медицине . 33 (6): 509–531. дои : 10.1016/S0010-4825(03)00019-2 . ПМИД 12878234 .
^ Дораи-Радж, Сундар (2 мая 2022 г.). binom: Биномиальные доверительные интервалы для нескольких параметризаций (документация по программному обеспечению) . Проверено 2 декабря 2023 г.

[Sullivan-1] Салливан, Лиза (27 октября 2017 г.). «Доверительные интервалы» . sphweb.bumc.bu.edu (примечания к курсу). Бостон, Массачусетс: Бостонского университета Школа общественного здравоохранения . БС704.

[Newcombe-1998-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Ньюкомб, Р.Г. (1998). «Двусторонние доверительные интервалы для одной пропорции: сравнение семи методов». Статистика в медицине . 17 (8): 857–872. doi : 10.1002/(SICI)1097-0258(19980430)17:8<857::AID-SIM777>3.0.CO;2-E . ПМИД 9595616 .

[Wallis2013-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Уоллис, Шон А. (2013). «Биномиальные доверительные интервалы и тесты на непредвиденные обстоятельства: математические основы и оценка альтернативных методов» (PDF) . Журнал количественной лингвистики . 20 (3): 178–208. дои : 10.1080/09296174.2013.799918 . S2CID 16741749 .

[Brown2001-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Браун, Лоуренс Д .; Кай, Т. Тони ; ДасГупта, Анирбан (2001). «Интервальная оценка биномиальной пропорции». Статистическая наука . 16 (2): 101–133. CiteSeerX 10.1.1.50.3025 . дои : 10.1214/ss/1009213286 . МР 1861069 . Збл 1059.62533 .

[5] Лаплас, PS (1812 г.). теория вероятностей Аналитическая ( на французском языке). Ве. Курьер. п. 283.

[Short-2021-6] Jump up to: ^а ^б Шорт, Майкл (08 ноября 2021 г.). «О биномиальном квантиле и границах пропорций: с приложениями в технике и информатике» . Коммуникации в статистике - теория и методы . 52 (12): 4183–4199. дои : 10.1080/03610926.2021.1986540 . ISSN 0361-0926 . S2CID 243974180 .

[7] «Как рассчитать стандартную ошибку пропорции, используя взвешенные данные?» . stats.stackexchange.com . 159220/253.

[Wilson1927-8] Jump up to: ^а ^б Уилсон, Э.Б. (1927). «Вероятный вывод, закон последовательности и статистический вывод». Журнал Американской статистической ассоциации . 22 (158): 209–212. дои : 10.1080/01621459.1927.10502953 . JSTOR 2276774 .

[Wallis2021-9] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Уоллис, Шон А. (2021). Статистика в корпусной лингвистике: новый подход . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Рутледж. ISBN 9781138589384 .

[10] Цай, Т.Т. (2005). «Односторонние доверительные интервалы в дискретных распределениях». Журнал статистического планирования и выводов . 131 (1): 63–88. дои : 10.1016/j.jspi.2004.01.005 .

[11] Клоппер, К.; Пирсон, ES (1934). «Использование доверительных или фидуциальных пределов, проиллюстрированное на примере бинома». Биометрика . 26 (4): 404–413. дои : 10.1093/biomet/26.4.404 .

[Thulin2014-12] Jump up to: ^а ^б ^с Тулин, Монс (1 января 2014 г.). «Стоимость использования точных доверительных интервалов для биномиальной пропорции». Электронный статистический журнал . 8 (1): 817–840. arXiv : 1303.1288 . дои : 10.1214/14-EJS909 . ISSN 1935-7524 . S2CID 88519382 .

[AgrestiCoull1998-13] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Агрести, Алан ; Коулл, Брент А. (1998). «Приблизительное лучше, чем точное, для интервальной оценки биномиальных пропорций». Американский статистик . 52 (2): 119–126. дои : 10.2307/2685469 . JSTOR 2685469 . МР 1628435 .

[14] «Бета-дистрибутив» . stat.ethz.ch (документ программного обеспечения). Р Руководство . Проверено 2 декабря 2023 г.

[15] "scipy.stats.beta" . Руководство по SciPy. docs.scipy.org (документ по программному обеспечению) (изд. 1.11.4) . Проверено 2 декабря 2023 г.

[16] Холланд, Стивен. «Преобразования пропорций и процентов» . Strata.uga.edu . Проверено 8 сентября 2020 г.

[17] Уортон, Дэвид И.; Хуэй, Фрэнсис К.К. (январь 2011 г.). «Арксинус ослиный: Анализ пропорций в экологии» . Экология . 92 (1): 3–10. Бибкод : 2011Ecol...92....3W . дои : 10.1890/10-0340.1 . hdl : 1885/152287 . ISSN 0012-9658 . ПМИД 21560670 .

[Shao1998-18] Шао, Дж. (1998). Математическая статистика . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер.

[19] Саймон, Стив (2010). «Доверительный интервал с нулевыми событиями» . Спросите профессора Мина. Канзас-Сити, Миссури: Детская больница милосердия. Архивировано из оригинала 15 октября 2011 года. Темы статистики по медицинским исследованиям.

[20] Сауро, Дж.; Льюис, младший (2005). Сравнение калькулятора интервалов Вальда, Адж-Вальда, точных и Вильсона (PDF) . Общество человеческого фактора и эргономики, 49-е ежегодное собрание (HFES 2005). Орландо, Флорида. стр. 2100–2104. Архивировано из оригинала (PDF) 18 июня 2012 года.

[21] Райцигель, Дж. (2003). «Доверительные интервалы для биномиального параметра: некоторые новые соображения» (PDF) . Статистика в медицине . 22 (4): 611–621. дои : 10.1002/сим.1320 . ПМИД 12590417 . S2CID 7715293 .

[22] Росс, Т.Д. (2003). «Точные доверительные интервалы для биномиальной пропорции и оценки коэффициента Пуассона» . Компьютеры в биологии и медицине . 33 (6): 509–531. дои : 10.1016/S0010-4825(03)00019-2 . ПМИД 12878234 .

[23] Дораи-Радж, Сундар (2 мая 2022 г.). binom: Биномиальные доверительные интервалы для нескольких параметризаций (документация по программному обеспечению) . Проверено 2 декабря 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]