Топология подпространства

В топологии и смежных областях математики подпространство из топологического пространства X — это подмножество S пространства X , снабженное топологией, индуцированной топологии X, называемой топологией подпространства. ^[1] (или относительная топология , ^[1] или индуцированная топология , ^[1] или топология трассировки ). ^[2]

Определение [ править ]

Учитывая топологическое пространство $(X,\tau )$ и подмножество $S$ из $X$ , топология подпространства на $S$ определяется

\tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .

То есть подмножество $S$ открыто в топологии подпространства тогда и только тогда, когда оно пересечением является $S$ с открытым набором в $(X,\tau )$ . Если $S$ снабжено топологией подпространства, то оно само по себе является топологическим пространством и подпространством называется $(X,\tau )$ . Обычно предполагается, что подмножества топологических пространств оснащены топологией подпространства, если не указано иное.

Альтернативно мы можем определить топологию подпространства для подмножества $S$ из $X$ как наиболее грубую топологию, для которой отображение включения

\iota :S\hookrightarrow X

является непрерывным .

В более общем плане, предположим $\iota$ это инъекция из набора $S$ в топологическое пространство $X$ . Тогда топология подпространства на $S$ определяется как самая грубая топология, для которой $\iota$ является непрерывным. Открытые множества в этой топологии — это именно те множества вида $\iota ^{-1}(U)$ для $U$ открыть в $X$ . $S$ тогда гомеоморфен своему образу в $X$ (также с топологией подпространства) и $\iota$ называется топологическим вложением .

Подпространство $S$ называется открытым подпространством, если инъекция $\iota$ является открытой картой , т. е. если прямое изображение открытого набора $S$ открыт в $X$ . Аналогично оно называется замкнутым подпространством, если инъекция $\iota$ это закрытая карта .

Терминология [ править ]

Различие между множеством и топологическим пространством часто для удобства размывается в обозначениях, что может стать источником путаницы при первом знакомстве с этими определениями. Таким образом, всякий раз, когда $S$ является подмножеством $X$ , и $(X,\tau )$ является топологическим пространством, то неукрашенные символы» $S$ " и " $X$ "часто может использоваться для обозначения как $S$ и $X$ рассматриваться как два подмножества $X$ , а также $(S,\tau _{S})$ и $(X,\tau )$ как топологические пространства, связанные, как обсуждалось выше. Поэтому такие фразы, как « $S$ открытое подпространство $X$ " используются для обозначения того, что $(S,\tau _{S})$ является открытым подпространством $(X,\tau )$ , в том смысле, который использовался выше; то есть: (i) $S\in \tau$ ; и (ii) $S$ считается наделенным топологией подпространства.

Примеры [ править ]

В дальнейшем $\mathbb {R}$ представляет действительные числа с их обычной топологией.

Топология подпространства натуральных чисел , как подпространство $\mathbb {R}$ , – дискретная топология .
Рациональные числа $\mathbb {Q}$ рассматривается как подпространство $\mathbb {R}$ не имеют дискретной топологии (например, {0} не является открытым множеством в $\mathbb {Q}$ потому что нет открытого подмножества $\mathbb {R}$ пересечение которого с $\mathbb {Q}$ может привести только {0} к одноэлементному элементу ). Если a и b рациональны, то интервалы ( a , b ) и [ a , b ] соответственно открыты и закрыты, но если a и b иррациональны, то множество всех рациональных x с a < x < b является одновременно открытые и закрытые.
Множество [0,1] как подпространство $\mathbb {R}$ одновременно открыт и закрыт, тогда как как подмножество $\mathbb {R}$ он просто закрыт.
В качестве подпространства $\mathbb {R}$ , [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух непересекающихся открытых подмножеств (которые также оказываются замкнутыми) и, следовательно, является несвязным пространством .
Пусть S = [0, 1) — подпространство вещественной прямой $\mathbb {R}$ . Тогда [0, 1 ⁄ 2 ) открыт в S , но не в $\mathbb {R}$ (например, пересечение между (- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) и S приводит к [0, 1 ⁄ 2 )). Так же [ 1 ⁄ 2 , 1) замкнуто в S , но не в $\mathbb {R}$ (поскольку нет открытого подмножества $\mathbb {R}$ который может пересекаться с [0, 1), что приводит к [ 1 ⁄ 2 , 1)). S одновременно открыт и закрыт как подмножество самого себя, но не как подмножество $\mathbb {R}$ .

Свойства [ править ]

Топология подпространства обладает следующим характерным свойством. Позволять $Y$ быть подпространством $X$ и пусть $i:Y\to X$ быть картой включения. Тогда для любого топологического пространства $Z$ карта $f:Z\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда составное отображение $i\circ f$ является непрерывным.

Характеристическое свойство топологии подпространства — Characteristic property of the subspace topology

Это свойство характерно в том смысле, что с его помощью можно определить топологию подпространства на $Y$ .

Перечислим некоторые дополнительные свойства топологии подпространства. В дальнейшем пусть $S$ быть подпространством $X$ .

Если $f:X\to Y$ непрерывно, то ограничение на $S$ является непрерывным.
Если $f:X\to Y$ является непрерывным, тогда $f:X\to f(X)$ является непрерывным.
Закрытые наборы в $S$ именно являются пересечениями $S$ с закрытыми наборами в $X$ .
Если $A$ является подпространством $S$ затем $A$ также является подпространством $X$ с той же топологией. Другими словами, топология подпространства, которая $A$ наследует от $S$ такой же, как тот, который он наследует от $X$ .
Предполагать $S$ является открытым подпространством $X$ (так $S\in \tau$ ). Тогда подмножество $S$ открыт в $S$ тогда и только тогда, когда он открыт в $X$ .
Предполагать $S$ является замкнутым подпространством $X$ (так $X\setminus S\in \tau$ ). Тогда подмножество $S$ закрыт в $S$ тогда и только тогда, когда оно замкнуто в $X$ .
Если $B$ является основой для $X$ затем $B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}$ является основой для $S$ .
Топология, индуцированная на подмножестве метрического пространства путем ограничения метрики этим подмножеством, совпадает с топологией подпространства для этого подмножества.

Сохранение топологических свойств [ править ]

Если из топологического пространства, обладающего некоторым топологическим свойством, следует, что его подпространства обладают этим свойством, то мы говорим, что это свойство является наследственным . Если только замкнутые подпространства должны иметь общее свойство, мы называем его слабо наследственным .

Всякое открытое и всякое замкнутое подпространство вполне метризуемого пространства вполне метризуемо.
Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
Каждое замкнутое подпространство компакта компактно.
передается Хаусдорфово пространство по наследству.
Быть нормальным пространством слабо наследственно.
Полная ограниченность является наследственной.
передается Полная потеря связи по наследству.
Первая счетность и вторая счетность являются наследственными.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология , Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, стр. 5, номер домена : 10.4171/048 , ISBN 978-3-03719-048-7 , МР 2456045
^ Пиноли, Жан-Шарль (июнь 2014 г.), «Геометрическая и топологическая основа», Математические основы обработки и анализа изображений 2 , Wiley, стр. 57–69, doi : 10.1002/9781118984574.ch26 , ISBN 9781118984574 ; см. раздел 26.2.4. Подмногообразия, с. 59

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николас , Элементы математики: общая топология , Аддисон-Уэсли (1966)
Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 0507446
Уиллард, Стивен. Общая топология , Dover Publications (2004). ISBN 0-486-43479-6

[ttd-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология , Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, стр. 5, номер домена : 10.4171/048 , ISBN 978-3-03719-048-7 , МР 2456045

[2] Пиноли, Жан-Шарль (июнь 2014 г.), «Геометрическая и топологическая основа», Математические основы обработки и анализа изображений 2 , Wiley, стр. 57–69, doi : 10.1002/9781118984574.ch26 , ISBN 9781118984574 ; см. раздел 26.2.4. Подмногообразия, с. 59

[1]

[2]