Гетероклинные каналы

Гетероклинные каналы — это ансамбли траекторий, которые могут соединять седловые точки равновесия в фазовом пространстве . Динамические системы и связанные с ними фазовые пространства могут использоваться для описания природных явлений в математических терминах; Гетероклинические каналы и циклы (или орбиты), которые они производят, представляют собой особенности фазового пространства, которые можно спроектировать так, чтобы они занимали определенные места в этом пространстве. Гетероклинные каналы перемещают траектории от одной точки равновесия к другой. Более формально, гетероклинический канал — это область фазового пространства, в которой близлежащие траектории все ближе и ближе приближаются к одной уникальной ограничивающей траектории — гетероклинической орбите. Равновесия, связанные гетероклиническими траекториями, образуют гетероклинические циклы , а циклы могут соединяться с образованием гетероклинических сетей . Гетероклинические циклы и сети естественным образом появляются во многих приложениях, таких как гидродинамика , динамика численности населения , и нейронная динамика. Кроме того, динамические системы часто используются в качестве методов управления роботами. В частности, для роботизированного управления точки равновесия могут соответствовать роботизированным состояниям, а гетероклинические каналы могут обеспечивать плавные методы переключения из состояния в состояние.

Четыре точки седлового равновесия (серые), соединенные гетероклиническими каналами (красные).

Обзор

Гетероклинические каналы (или гетероклинические орбиты ) являются строительными блоками для подмножества динамических систем, которые строятся вокруг связанных седловых точек равновесия. Гомоклинические каналы/орбиты соединяют одну точку равновесия с самой собой, тогда как гетероклинические каналы соединяют две разные точки седлового равновесия в фазовом пространстве. Связь образуется от неустойчивого многообразия первого седла («отталкивания» от этой точки) к устойчивому многообразию следующей точки седла («притягивания» к этой точке). Такое объединение по крайней мере трех седловых равновесий приводит к гетероклиническому циклу. и множественные гетероклинические циклы могут быть связаны в гетероклинические сети.

Гетероклинные каналы имеют как пространственные, так и временные особенности в фазовом пространстве. Пространственные, потому что они влияют на траектории внутри определенной области вокруг себя. и временной, поскольку параметры гетероклинического канала влияют на то, сколько времени траектория проводит по этому каналу (или, точнее, сколько времени она проводит вокруг одной из седловых точек). Транзиторный характер гетероклинических каналов важен для описания их «переключательной» природы. То есть некоторая окрестность вокруг каждой точки равновесия может быть определена как отдельное состояние, а сам гетероклинический канал представляет собой метод последовательного переключения между этими состояниями.

Гетероклиническое «переключение» — важный дескриптор природных явлений, особенно в нейронной динамике . Он также использовался в качестве подхода для разработки методов управления роботами, которые циклически переключаются между состояниями, независимо от того, являются ли эти состояния заранее определенным поведением. или переходные состояния, которые приводят к более масштабному поведению.

История

Описанный выше математический образ – серия состояний с функциональным механизмом переключения между ними – также описывает явление, известное как конкуренция без победителя (WLC). Конкуренция без победителей описывает феномен переключения между двумя конкурирующими состояниями и был выявлен Буссе и Хейкесом в 1980 году, когда они исследовали смену фаз в конвекционном цикле. Однако широко распространено мнение, что переходная динамика WLC впервые была представлена ​​Альфредом Дж. Лоткой , который впервые разработал концепцию описания автокаталитических химических реакций в 1910 году. а затем в 1925 году разработал расширенную версию для описания экологических отношений хищник-жертва. В 1926 году Вито Вольтерра независимо опубликовал тот же набор уравнений с упором на математическую биологию, особенно на межвидовые взаимодействия. Эти уравнения, теперь известные как уравнения Лотки-Вольтерра , широко используются в качестве математической модели для описания динамики переходного гетероклинического переключения.

Гетероклинические циклы , описывающие переход как минимум между тремя состояниями, были впервые описаны Мэем и Леонардом в 1975 году. Они определили особый случай уравнений Лотки-Вольтерра для динамики населения. . Возрождение гетероклинических циклов и возросшая способность выполнять численные вычисления по сравнению с периодом Лотки и Вольтерры вызвали возрождение интереса к гетероклиническим каналам, циклам и сетям как математическим моделям переходной последовательной динамики.

Гетероклинные каналы стали моделями нейронной динамики. Примером является Лоран и др. (2001), которые описали нейронные реакции рыб и насекомых на обонятельные стимулы как систему WLC, где каждый стимул и его реакция могут быть идентифицированы как отдельное состояние в пространстве. Реакции можно смоделировать таким образом из-за их пространственных и временных свойств, которые соответствуют пространственно-временной природе WLC. Рабинович и др. (2001) и Афраймович и др. (2004) использовали сети WLC (через модели Фитцхью-Нагумо и Лотки-Вольтерры соответственно) для связи математической концепции стабильных гетероклинических каналов (SHC) с переходной нейронной динамикой в ​​более общем смысле, особенно другие сенсорные процессы и более абстрактные нейронные связи. Рабинович и др. (2008) распространили эту идею на более крупные когнитивные динамические системы и крупномасштабные мозговые сети. Стабильные гетероклинические каналы также использовались для моделирования нейромеханических систем. С помощью гетероклинических каналов проанализированы структуры питания и связанные с ними процессы питания (этапы глотания) морских моллюсков.

Биологические модели всегда были источником вдохновения для робототехников, особенно для тех, кто интересуется роботизированным управлением. Поскольку управление роботом требует определения и последовательности физических действий робота, модели нейронной динамики могут быть очень полезны. Пример этого можно найти в генераторах центральных шаблонов , которые широко используются для ритмичных движений роботов. Гетероклинные каналы использовались для репликации генераторов центральных шаблонов управления роботами. Аналогичным образом, примитивы динамического движения, еще одна распространенная система управления движением роботов, были адаптированы и сделаны более гибкими за счет использования гетероклинических каналов. В более практических приложениях стабильные гетероклинические каналы напрямую использовались для управления несколькими биологическими роботами.

Концепции

Динамические системы

Динамическая система — это правило или набор правил, которые описывают эволюцию государства (или системы состояний) во времени. Множество всех возможных состояний называется пространством состояний . Фазовое пространство — это пространство состояний непрерывной системы. Динамические системы описывают состояние во времени с помощью математических уравнений, часто обыкновенных дифференциальных уравнений . Текущее состояние в определенный момент времени можно изобразить в виде точки в фазовом пространстве. Набор точек во времени можно построить в виде траектории.

Стабильность

Сам гетероклинический канал может быть асимптотически устойчивым. То есть любая точка вблизи канала притягивается к гетероклиническому циклу в ядре канала. И гетероклинические каналы, и циклы могут быть устойчивыми (или структурно стабильными ), если в пределах заданного диапазона параметров они поддерживают заданное поведение; однако это не требуется.

Стохастичность

Шум — это один из факторов, влияющих на гетероклиническую систему, который перемещает ее от одного равновесия к другому. Причина в том, что шум (или какая-то другая стохастичность ) возмущает систему настолько, что перемещает ее в окрестности следующей седловой точки равновесия в последовательности. Требуемое количество шума обратно пропорционально «привлекательности» седловых точек; чем более привлекательна устойчивая часть седла для состояния системы, тем дольше траектория будет задерживаться в ее окрестностях и тем больше шума потребуется, чтобы сдвинуть состояние системы с этой притягивающей точки равновесия. Существуют и другие способы перемещения между точками равновесия, включая параметрические изменения или использование сенсорной обратной связи.

Теория управления

Теория управления в робототехнике занимается использованием динамических систем для управления робототехническими системами. Целью роботизированного управления является выполнение точных, скоординированных действий с использованием физических приводов в ответ на входные сигналы датчиков . Динамические системы могут использоваться для приведения робота в желаемое состояние (или набор состояний) с использованием входных данных датчика, чтобы минимизировать ошибки исполнительного механизма.

Математическое определение

Точка равновесия в динамической системе — это решение системы дифференциальных уравнений, описывающей траекторию, не меняющуюся со временем. системы Точки равновесия можно описать их устойчивостью, которая часто определяется собственными значениями матрицы Якоби . Как правило, собственные значения седловой точки имеют ненулевые действительные части, по крайней мере одна из действительных частей положительна и хотя бы одна из действительных частей отрицательна. Любое собственное значение с отрицательным действительным значением указывает на устойчивое многообразие седла, притягивающее траектории, тогда как любое собственное значение с положительным действительным значением указывает на неустойчивое многообразие седла, отталкивающее траектории.

Определение фазового пространства (с гетероклинической орбиты)

Позволять ${\textstyle {\dot {x}}=f(x)}$ – обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее непрерывную динамическую систему. Если существуют равновесия при $x=x_{0}$ и $x=x_{1}$, то решение $\phi (t)$ представляет собой гетероклиническую связь от $x_{0}$ к $x_{1}$ если

$$\phi (t)\rightarrow x_{0}$$ как $t\rightarrow -\infty$

и

$$\phi (t)\rightarrow x_{1}$$ как $t\rightarrow +\infty$

Это означает, что связность содержится в устойчивом многообразии $x_{1}$ и неустойчивое многообразие $x_{0}$.

Примеры нейронной динамики

Нейронная динамика — это нелинейная динамика, описывающая нервные процессы, от отдельных нейронов до когнитивных процессов и крупномасштабных нейронных систем.

Lotka-Volterra model

Эта модель была впервые независимо представлена ​​Альфредом Дж. Лоткой для автокаталитических химических реакций. а затем снова о конкуренции биологических видов Вито Вольтерра с точки зрения математической биологии. Первоначально эта модель рассматривалась только для двух видов: двух химических видов в реакции или ситуации хищник-жертва в общей среде.

Исходные уравнения были основаны на логистическом уравнении численности населения , которое широко используется в экологии .

$${dx \over dt}=rx{\Bigl (}1-{x \over K}{\Bigr )}$$

где $x$ размер или концентрация вида в данный момент времени, $r$ это темпы роста и $K$ является грузоподъемностью этого вида.

Лотка ввел термин, обозначающий взаимодействие между видами, и, с некоторым обобщением, серию уравнений можно записать следующим образом:

$${dx_{i}(t) \over dt}=rx_{i}(t){\Biggl [}1-\sum _{j=1}^{N}\alpha _{ij}x_{j}(t){\Biggr ]}$$

В этом определении $x_{i}(t)$ размер или концентрация $i$-й вид и $N$ это общее количество видов. Взаимодействие между каждым видом описывается матрицей $\alpha$.

Расширение Мэй-Леонарда

Мэй и Леонард расширили уравнения Лотки-Вольтерра , исследуя систему, в которой три вида взаимодействуют друг с другом (т. е. $N=3$). Они обнаружили, что для системы, в которой каждая точка равновесия представляет собой седло с $N-1$ размерное стабильное многообразие, а нестабильное многообразие соединяет точки последовательно, приведенное выше уравнение можно переписать следующим образом:

$${dx_{i}(t) \over dt}=x_{i}(t){\Biggl [}1-\sum _{j=1}^{N}\rho _{ij}x_{j}(t){\Biggr ]}$$

Явно для $N=3$, это становится

${\begin{aligned}{dx_{1} \over dt}&=x_{1}[1-x_{1}-\alpha x_{2}-\beta x_{3}],\\{dx_{2} \over dt}&=x_{2}[1-\beta x_{1}-x_{2}-\alpha x_{3}],\\{dx_{3} \over dt}&=x_{3}[1-\alpha x_{1}-\beta x_{2}-x_{3}],\end{aligned}}$

где матрица связи, $\rho$, определяется

$$\rho ={\begin{bmatrix}1&\alpha &\beta \\\beta &1&\alpha \\\alpha &\beta &1\end{bmatrix}}.$$

В этой модели легко определяется устойчивость седловых равновесий. Требования стабильности для формирования стабильного гетероклинического цикла: $\alpha +\beta \geq 2$ с любым $\alpha >1$ или $\beta >1$.

В этой работе было отмечено, что система никогда асимптотически не достигает ни одной из точек равновесия, но время пребывания траектории в каждой точке равновесия увеличивается со временем. С экологической точки зрения это предполагает, что одна популяция в конечном итоге «выбьет» две другие. Мэй и Леонард отметили, что это не является практическим результатом в биологии (см. также).

Структура конкурса без победителей

Схема «конкурса без победителей» (предложенная Лораном и др.) позволял одному нейрону и/или группе синхронизированных нейронов кодироваться между «включено» и «выключено». Лоран и др. исследовал обоняние у рыб и насекомых, в частности обонятельную рецепцию, а также некоторые постсинаптические структуры сенсорной системы запахов . Они обнаружили, что обработка (или кодирование) воспринимаемых запахов происходила как минимум в трех временных интервалах: быстром, промежуточном и медленном. Они утверждали, что система кодирования запаха должна быть воспроизводимой, что требует от нее нечувствительности (или быстрого забывания) к любому начальному состоянию. Это возможно только в том случае, если динамическая система сильно диссипативна, то есть быстро переходит в состояние и нечувствительна к внутреннему шуму. И наоборот, полезная система кодирования запаха должна быть чувствительна к небольшим изменениям входных данных, что требует, чтобы система была активной. Активная система использует внешние источники, чтобы позволить небольшим изменениям в начальных состояниях расти со временем. Система конкуренции без победителя позволяла одному нейрону (или узлу) кодировать стимул («быстрая» временная шкала), или многие стимулы могли быть закодированы с помощью траекторий, специфичных для стимула («медленная» временная шкала).

Систему соревнований без победителей описал

$${dx_{i}(t) \over dt}=x_{i}(t){\Biggl [}1-\sum _{j=1}^{N}\rho _{ij}x_{j}(t){\Biggr ]}+S_{i}^{s}$$

где $x_{i}(t)$ и $x_{j}(t)$ характеризуют деятельность стимул-специфичных групп $i$ и $j$, соответственно, $N$ количество моделируемых нейронов, $\rho _{ij}>0$ характеризует силу торможения $i$ и $j$ (т.е. их взаимодействие друг с другом), и $S_{i}^{s}(t)$ это текущий входной сигнал от стимула $s$ к $i$.

Конкуренция без победителей требовала, чтобы тормозные связи в $\rho$ матрицы были асимметричными и циклическими. Например, для $N=3$, если $\rho _{11},\rho _{22},\rho _{33}=1$ затем $\rho _{12},\rho _{23},\rho _{31}>1$, и $\rho _{21},\rho _{32},\rho _{13}<1$.

В целом это описание создает гетероклинический канал, состоящий из нескольких гетероклинических орбит (траекторий).

Переходная нейронная динамика

Сенсорное кодирование через гетероклинические орбиты (которым способствуют гетероклинические каналы), как описано Laurent et al. было экстраполировано за пределы обонятельной системы. Рабинович и др. исследовали конкуренцию без победителей как пространственно-временную динамическую систему, соответствующую активности конкретных нейронов или групп нейронов. Они определили дополнительный стимул как фактор, который будет управлять траекторией от одного узла вдоль канала к другому. Без него система перешла бы в устойчивое состояние, в котором один нейрон (или группа нейронов) был активен, а остальные находились в состоянии покоя.

Афраймович и др. также разработал соревнование без победителей, используя связанные седловые точки в фазовом пространстве в качестве модели временной последовательной нейронной активности. Они обозначили, как следует определять седловые точки, условия гетероклинических связей между ними и условия стабильности гетероклинических последовательностей. Они выполнили численное моделирование динамики сети с N = 50 нейронами и использовали гауссов шум в качестве внешнего входного сигнала. Они обнаружили, что движение траектории по каждому соединению инициируется шумом, а скорость переключения с одного седла на другое зависела от уровня шума.

Когнитивная динамика

Свойство последовательного переключения стабильных гетероклинических каналов было расширено для описания переходной когнитивной динамики более высокого уровня, особенно последовательного принятия решений . Рабинович и др. впервые представил эту идею, применив последовательное переключение, которое характеризует стабильные гетероклинические каналы, к последовательному процессу принятия решений, наблюдаемому в игре с фиксированным временем. Игрок предпринимает последовательные действия в меняющейся среде, чтобы максимизировать вознаграждение. В игре с фиксированным временем, чтобы максимизировать награду, игрок должен столкнуться с как можно большим количеством состояний принятия решения. Это означает, что за фиксированный промежуток времени траектория должна пройти вблизи как можно большего числа седловых точек или узлов. Когда траектория достигала окрестности седловой точки, применялась функция принятия решения.

Награда была максимизирована за счет выбора соответствующих параметров системы. Одним из них было правило принятия решений, которое соответствовало самому быстрому движению от седла, что означало наименьшее время для достижения следующего седла. Кроме того, был достигнут оптимальный уровень аддитивного шума; шум был достаточно высоким, чтобы траектория могла быстро уйти от каждого седла, но не настолько высоким, чтобы траектория полностью выходила за пределы цикла.

Главным моментом этой работы было то, что без значительного внешнего стимула игрок, скорее всего, нашёл одну из двух крайностей: быстрое прекращение принятия решений или достижение цикла, охватывающего всё отведённое время. Поведенчески этот цикл приводит к формированию привычки (на когнитивном уровне) и чувствителен к внешним стимулам, которые могут изменить направление траектории в любой момент.

Rabinovich & Varona аналогичным образом описал последовательную память. Они также ввели «группировку», которая описывает, как мозг группирует последовательные элементы информации в блоки на разных иерархических уровнях. Они использовали стабильные гетероклинические каналы в качестве основы для построения этих фрагментов в гетероклинические сети высокого уровня.

Нейромеханические модели

Гетероклинные каналы также использовались в качестве модели нейромеханических систем животных, особенно структур питания морских моллюсков. Шоу и др. (2015) исследовали потенциальные модели пищевого поведения Aplysia Californica . Они обнаружили, что гетероклинические каналы могут более точно соответствовать характеристикам фактических экспериментальных данных, чем другие модели, такие как предельные циклы . Литтл и др. (2017) показали, что как гетероклиническая модель, так и модель предельного цикла системы питания Aplysia Californica имеют разные преимущества и недостатки, такие как устойчивость к возмущениям и гибкость к вводимым ресурсам. Они также показали, что разумную модель поведения животного можно создать, переключаясь между этими режимами, гетероклиническим и предельным циклом, используя внешние сенсорные данные, что обеспечивает динамическую основу для понимания как устойчивости, так и гибкости двигательных систем.

Примеры роботизированного управления

Математическое расширение структуры требуется для приложений роботизированного управления.

Для систем более высокой размерности матрица связи/ингибирования $\rho$ можно обобщить как:

$$\rho ={\begin{bmatrix}1&\alpha &\gamma &\gamma &\cdots &\gamma &\beta \\\beta &1&\alpha &\gamma &\gamma &\cdots &\gamma \\\gamma &\beta &1&\alpha &\gamma &\cdots &\gamma \\\gamma &\gamma &\beta &1&\alpha &\cdots &\gamma \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\gamma &\cdots &&\gamma &\beta &1&\alpha \\\alpha &\gamma &\cdots &\gamma &\gamma &\beta &1\end{bmatrix}}$$

или составы, подобные этому.

Чтобы сделать систему диссипативной, необходимо задать соответствующие седловые значения. Прочность седла можно охарактеризовать двумя его наибольшими собственными значениями: единственным нестабильным собственным значением, $\lambda ^{u}$и самое слабое стабильное собственное значение, $-\lambda ^{s}$. Седловая стоимость $i$- этот узел может быть определен как

$$v_{i}={Re\lambda _{i}^{s} \over \lambda _{i}^{u}}$$

Если $v_{i}>1$, $i$-й узел диссипативный и устойчивый, и если $\textstyle \prod _{i=1}^{N}\displaystyle v_{i}>1$ весь цикл будет стабильным.

SHC для биологического управления роботами

SHC использовались непосредственно для управления роботами, особенно роботизированными системами, созданными на основе биологии . SHC также использовались для адаптации существующих систем управления роботами. В обоих случаях особые свойства SHC использовались для улучшения связанных с ними задач управления. Некоторые примеры включают интегрированное контактное распознавание для модуляции аддитивного шума SHC, комбинированная модель гауссовой смеси для информирования SHC о «переключении», центральный генератор шаблонов, адаптированный для временной чувствительности, и модифицированную структуру управления, имеющую свойство интуитивной визуализации.

Контактное зондирование для аддитивной модуляции шума

SHC позволяют использовать сенсорную обратную связь для быстрого выбора в роботизированной системе с высокой степенью свободы. Например, Далторио и др. использовали SHC в качестве контроллера для моделирования движения червеобразного робота в трубе. Конструкция робота состояла из 12 приводимых в действие сегментов тела, каждый из которых имел одну степень свободы: длину сегмента. Каждый сегмент связывал свою высоту с длиной так, что по мере уменьшения длины высота увеличивалась. Эта структура использовалась для имитации перистальтического движения, поскольку приведение в действие сегментов было скоординировано для формирования перистальтической волны, спускающейся по роботу, при этом каждый сегмент сокращался один за другим по телу робота.

В этой системе каждый сегмент тела был связан с седловой точкой в ​​системе SHC. Многомерная матрица связей была построена таким образом, чтобы каждая точка подавляла своих соседей, за исключением точки, следующей за ней. Эта асимметрия привела к тому, что активный узел SHC двигался «назад» вниз по конструкции робота, в то время как тело двигалось вперед.

Контроллер был протестирован на нескольких трубчатых дорожках, где контактные датчики робота могли предоставлять информацию об окружающей среде. Информация контактного зондирования использовалась для модуляции шума, добавляемого в систему, что, в свою очередь, позволяло изменить последовательность активации. Это было ключом к высокоскоординированному движению во всех сегментах.

Модель гауссовой смеси для информирования о «переключении»

SHC можно использовать для информирования о переключении между сложными конфигурациями. Петрич и др. использовали комбинированную модель гауссовой смеси (GMM) и систему SHC для управления экзоскелетом позвоночника. Экзоскелет был спроектирован как квазипассивная система, которая физически поддерживает пользователя в разной степени в зависимости от текущей позы или движения пользователя. Различные функциональные позы/движения были идентифицированы как узлы системы SHC. GMM использовались, чтобы указать, какими должны быть дополнительные входные данные для каждого узла SHC, которые будут переводить систему из одного положения в другое.

Временно-чувствительный генератор центральных шаблонов

SHC использовались в качестве альтернативы центральным генераторам шаблонов для управления роботами. Хорхлер и др. использовали SHC для создания генератора, поведением которого вблизи каждого узла можно было манипулировать с помощью параметров системы: аддитивного шума и седловых значений. В результате был создан циклический контроллер, который при необходимости мог проводить больше времени на определенном узле. Реакция контроллера на внешние входные данные была продемонстрирована путем приостановки и сброса цикла с использованием аддитивного шума.

Интуитивное свойство визуализации

Роуз и Далторио заменили основные точки аттрактора примитивов динамического движения, еще одного биологического метода управления роботами, на седловые точки SHC. Эта адаптивная структура поддерживала стабильность системы. Кроме того, он предоставил свойство визуализации, которое позволяло пользователю интуитивно размещать седловые точки в фазовом пространстве для соответствия желаемой траектории в пространстве задач.

См. также

• Динамические системы
• Точки равновесия седла
• Гетероклинические сети
• Гетероклинические орбиты
• Lotka-Volterra equations
• Нейромеханические системы
• Теория управления
• Роботизированные системы, основанные на биологии
• Предельные циклы

Дальнейшее чтение

• Дж. Лотка, Элементы физической биологии . Балтимор: Уильямс и Уилкинс, 1925.
• М. Крупа, «Надежные гетероклинические циклы», J. Nonlinear Sci , vol. 7, стр. 129–176, 1997.
• М. И. Рабинович и М. К. Муэдзиноглу, «Взаимная динамика эмоций и познания», Ассоциация по развитию искусственного интеллекта , 7 сентября 2009 г. [Онлайн]. Доступно: arXiv : 0909.1144 . [Доступ: 2 ноября 2021 г.].
• Антонио Паласиос (2007) Гетероклинические циклы. Схоларпедия, 2(1):2352.
• Евгений Михайлович Ижикевич (2007) Равновесие. Схоларпедия, 2 (10): 2014.
• Джеймс Мейсс (2007) Динамические системы. Схоларпедия, 2 (2): 1629.
• Фрэнк Хоппенстедт (2006) Модель «хищник-жертва». Схоларпедия, 1 (10): 1563.
• Рэндалл Д. Бир (2009) Биологически вдохновленная робототехника. Схоларпедия, 4 (4): 1531.

Внешние ссылки

• Самые просматриваемые «гетероклинические» статьи на Frontiers Media.
• Набор инструментов Matlab для моделирования, анализа и проектирования непрерывных динамических систем на основе сетей стабильных гетероклинических каналов (SHC)
• Код для моделирования и рисунков от Lyttle et al. (2017)