Обратная задача лагранжевой механики.

В математике обратной задачей лагранжевой механики является задача определения того, может ли данная система обыкновенных дифференциальных уравнений возникнуть в виде уравнений Эйлера–Лагранжа для некоторой функции Лагранжа .

С начала 20 века велась активная работа по изучению этой проблемы. Заметным достижением в этой области стала статья американского математика Джесси Дугласа в 1941 году , в которой он предоставил необходимые и достаточные условия для того, чтобы проблема имела решение; эти условия теперь известны как условия Гельмгольца , в честь немецкого физика Германа фон Гельмгольца .

Предыстория и постановка проблемы

Обычная установка лагранжевой механики на n - мерном евклидовом пространстве R ^н заключается в следующем. Рассмотрим дифференцируемый путь u : [0, T ] → R ^н . Действие ) , пути u , обозначаемого S ( u задается формулой

$S(u)=\int _{0}^{T}L(t,u(t),{\dot {u}}(t))\,\mathrm {d} t,$

где L — функция времени, положения и скорости, известная как лагранжиан . Принцип наименьшего действия гласит, что при начальном состоянии x ₀ и конечном состоянии x ₁ в R ^н система, определяемая L , траектория, по которой фактически будет следовать , должна быть минимизатором действия функционала S, удовлетворяющего граничным условиям u (0) = x ₀ , u (T) = x ₁ . Более того, критические точки (и, следовательно, минимизаторы) S должны удовлетворять уравнениям Эйлера–Лагранжа для S :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {u}}^{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial u^{i}}}=0\quad {\text{for }}1\leq i\leq n,$

где верхние индексы i обозначают компоненты u = ( u ¹ , ..., в ^н ).

В классическом случае

$T({\dot {u}})={\frac {1}{2}}m|{\dot {u}}|^{2},$

$V:[0,T]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$

$L(t,u,{\dot {u}})=T({\dot {u}})-V(t,u),$

Уравнения Эйлера-Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, более известные как законы движения Ньютона :

$m{\ddot {u}}^{i}=-{\frac {\partial V(t,u)}{\partial u^{i}}}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n,$

${\mbox{i.e. }}m{\ddot {u}}=-\nabla _{u}V(t,u).$

Обратная задача лагранжевой механики состоит в следующем: дана система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

${\ddot {u}}^{i}=f^{i}(u^{j},{\dot {u}}^{j})\quad {\text{for }}1\leq i,j\leq n,\quad {\mbox{(E)}}$

которое справедливо для времен 0 ⩽ t ⩽ T , существует ли лагранжиан L : [0, T ] × R ^н × Р ^н → R, для которого эти обыкновенные дифференциальные уравнения (E) являются уравнениями Эйлера–Лагранжа? Вообще говоря, эта задача ставится не на евклидовом пространстве R ^н , но на n -мерном многообразии M , а лагранжианом является функция L : [0, T ] × TM → R , где TM обозначает касательное расслоение к M .

Теорема Дугласа и условия Гельмгольца

Для упрощения обозначений пусть

$v^{i}={\dot {u}}^{i}$

и определим коллекцию из n ² функции Φ _j ^я к

$\Phi _{j}^{i}={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial f^{i}}{\partial v^{j}}}-{\frac {\partial f^{i}}{\partial u^{j}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\partial f^{i}}{\partial v^{k}}}{\frac {\partial f^{k}}{\partial v^{j}}}.$

Теорема. (Дуглас 1941) Существует лагранжиан L : [0, T ] × TM → R такой, что уравнения (E) являются его уравнениями Эйлера – Лагранжа тогда и только тогда, когда существует неособая симметричная матрица g с элементами g _ij в зависимости от u и v, удовлетворяющих следующим трем условиям Гельмгольца :

$g\Phi =(g\Phi )^{\top },\quad {\mbox{(H1)}}$

${\frac {\mathrm {d} g_{ij}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial f^{k}}{\partial v^{i}}}g_{kj}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial f^{k}}{\partial v^{j}}}g_{ki}=0{\mbox{ for }}1\leq i,j\leq n,\quad {\mbox{(H2)}}$

${\frac {\partial g_{ij}}{\partial v^{k}}}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial v^{j}}}{\mbox{ for }}1\leq i,j,k\leq n.\quad {\mbox{(H3)}}$

( соглашение Эйнштейна о суммировании Для повторяющихся индексов используется .)

Применение теоремы Дугласа

На первый взгляд решение уравнений Гельмгольца (H1)–(H3) кажется чрезвычайно сложной задачей. Условие (H1) решить проще всего: всегда можно найти g , удовлетворяющее (H1), и само по себе это не означает, что лагранжиан сингулярен. Уравнение (Н2) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений: из обычных теорем существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что в принципе решение (Н2) возможно. Интегрирование дает не дополнительные константы, а вместо этого дает первые интегралы системы (E), поэтому на практике этот шаг становится трудным , если (E) не имеет достаточно явных первых интегралов. В некоторых случаях корректного поведения (например, геодезический поток для канонической связности на группе Ли ) это условие выполняется.

Последний и самый трудный шаг — решить уравнение (H3), называемое условиями замыкания , поскольку (H3) — это условие того, что дифференциальная 1-форма g _i является замкнутой формой для каждого i . Причина, почему это так устрашающе, заключается в том, что (H3) представляет собой большую систему связанных уравнений в частных производных: для n степеней свободы (H3) представляет собой систему

$2\left({\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right)$

уравнения в частных производных с 2 n независимыми переменными, которые являются компонентами g _ij функции g , где

$\left({\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right)$

обозначает биномиальный коэффициент . Чтобы построить наиболее общий лагранжиан, необходимо решить эту огромную систему!

К счастью, есть некоторые вспомогательные условия, которые можно наложить, чтобы помочь в решении условий Гельмгольца. Во-первых, (H1) — чисто алгебраическое условие на неизвестную матрицу g . Вспомогательные алгебраические условия на g можно задать следующим образом: определить функции

Ψ _джк ^я

к

$\Psi _{jk}^{i}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\partial \Phi _{j}^{i}}{\partial v^{k}}}-{\frac {\partial \Phi _{k}^{i}}{\partial v^{j}}}\right).$

Тогда вспомогательное условие на g будет

$g_{mi}\Psi _{jk}^{m}+g_{mk}\Psi _{ij}^{m}+g_{mj}\Psi _{ki}^{m}=0{\mbox{ for }}1\leq i,j\leq n.\quad {\mbox{(A)}}$

Фактически уравнения (H2) и (A) являются лишь первыми в бесконечной иерархии подобных алгебраических условий. В случае параллельного соединения (например, канонического соединения в группе Ли) всегда выполняются условия более высокого порядка, поэтому интерес представляют только (H2) и (A). Обратите внимание, что (A) включает

$\left({\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right)$

условия, тогда как (H1) включает

$\left({\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right)$

условия. Таким образом, возможно, что (H1) и (A) вместе означают, что функция Лагранжа сингулярна. По состоянию на 2006 год не существует общей теоремы, позволяющей обойти эту трудность в произвольной размерности, хотя некоторые частные случаи были решены.

Второй путь атаки — посмотреть, допускает ли система (E) погружение в систему более низкой размерности, и попытаться «поднять» лагранжиан для системы более низкой размерности до системы более высокой размерности. На самом деле это не столько попытка решить условия Гельмгольца, сколько попытка построить лагранжиан, а затем показать, что его уравнения Эйлера-Лагранжа действительно являются системой (E).

Ссылки

• Дуглас, Джесси (1941). «Решение обратной задачи вариационного исчисления» . Труды Американского математического общества . 50 (1): 71–128. дои : 10.2307/1989912 . ISSN   0002-9947 . JSTOR   1989912 . ПМЦ   1077987 .
• Равашде М. и Томпсон Г. (2006). «Обратная задача для шестимерной коразмерности двухнильрадикальных алгебр Ли». Журнал математической физики . 47 (11): 112901. Бибкод : 2006JMP....47k2901R . дои : 10.1063/1.2378620 . ISSN   0022-2488 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )